История тригонометрических уравнений и неравенств (7 видео)

История тригонометрии

Содержание

Скачать:
Предварительный просмотр:
Доклад на МО «Этапы развития тригонометрии»
История тригонометрических уравнений и неравенств
История тригонометрии
📸 Видео

Видео:10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
referat.docx	44.56 КБ

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Предварительный просмотр:

1.1 История тригонометрии как науки…………………………. 2

1.2 Тригонометрия как учебный предмет………………………. 4

1.3 Тригонометрия в школе до 1966 года…………………………5

1.4 Тригонометрия в школе после 1966 года………………. 6

1.5 тригонометрия в современной школе………………………..7

1.6 Простейшие тригонометрические уравнения…………. 9

1.7Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным. 14

Тригонометрия, как и любая научная дисциплина, возникла из потребностей практической деятельности человека. Тригонометрия изучает важный класс функций – так называемых тригонометрических, а также их применение в геометрии. Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающие «измерение треугольника»: τρ і γωνоν (тригонон) – треугольник, μετρειω (метрейн) – измерение, показывает что этот раздел математики связан с задачами решения треугольников, т. е. с задачами нахождения одних элементов треугольника по другим его известным элементам. Исторически тригонометрия и возникла из таких задач, но ими далеко не исчерпывается широкое применение тригонометрических функций в самых различных разделах математики, естествознания и техники.

В школьном курсе математики знакомство с тригонометрией начинается в 8 классе на уроках геометрии, когда вводится понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника. Затем идёт расширение этого вопроса, и мы уже знакомимся с понятием синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла. Рассматриваются теоремы синуса и косинуса, позволяющие решать треугольники.

На уроках алгебры в 9 классе помимо этих понятий мы рассматриваем ряд формул, позволяющих преобразовывать тригонометрические выражения; находить их значения; вычислять значения тригонометрических функций по заданному значению одной из функций и другие вопросы, связанные с тригонометрией.

В курсе алгебры и начала анализа в 10 классе начинается изучение темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств». На уроках мы рассмотрели приёмы решения тригонометрических уравнений и неравенств, но их оказалось немного. Я задумалась над тем, а есть ли другие приёмы решения тригонометрических уравнений. И выбирая в 11 классе экзамен по выбору, я решила исследовать этот вопрос и попытаться выяснить: что же предлагает (по типам) школьный курс алгебры и начал анализа, выпускной экзамен за курс средней полной школы.

Итак, цель моей работы:

¨ систематизировать, обобщить, расширить знания и умения, связанные с

решением тригонометрических уравнений.

· повторить решение простейших тригонометрических уравнений;

· провести классификацию тригонометрических уравнений, предлагаемых в школьном курсе алгебры и начал анализа;

· рассмотреть тригонометрические уравнения, предлагаемые на выпускном экзамене.

¨ научный (изучение литературы);

1.1 История тригонометрии как науки

Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Еще за долго до новой эры вавилонские ученые умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Это позволяет сделать вывод о том, что им были известны некоторые простейшие сведения из тригонометрии. Постепенно в геометрии и астрономии установились понятия синуса, косинуса, тангенса угла.

Одним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во II в. до н. э. Гиппарх является автором первых тригонометрических таблиц. Эти таблицы до нас не дошли, но они вошли (в усовершенствованном виде) в сочинения «великое построение» (Альмагест) знаменитого александрийского астронома Клавдия Птолемея жившего во второй половине II в. до н. э.

Эти таблицы являются таблицами значений удвоенного синуса половины соответствующего центрального угла. В них были даны значения хорд для всех углов (через каждые пол градуса) от 0° до 180°. Однако надо иметь в виду, что в древней Греции тригонометрия не выделялась в самостоятельную науку» а считалась частью астрономии.

Важный вклад в развитие тригонометрии был внесен индийской математикой в период V-X1I в. н.э. Индийские математики стали вычислять не полную хорду, как это делали греки, а ее половину (то есть «линию синусов»). Линия синусов именовалась ими «архаджива», что буквально означало “половина

тетивы лука”. Индийцы составили таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд, измеренных частями (минутами) окружности для всех углов от 0° до 90° (через каждые 3°45′). Эти таблицы были точнее таблиц Птолемея.

В Х1-ХШ вв. в трудах математиков Средней Азии, Закавказья, Ближнего Востока и Индии началось формирование тригонометрии как отдельной науки. И в дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела способствовали развитию тригонометрии как науки. Особенно усиленно тригонометрия развивалась в средние века, в первую очередь на юго-востоке: в Индии (Ариабхата, Брамагупта, Бхаскара), в Узбекистане, Азербайджане и Таджикистане (Насирад-Дин ат-Туси, ал-Каши, ал-Бируни), в Арабии (Ахмад, ибн-Абдаллах, ал-Баттани). Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насирад-Дину Мухаммаду ат-Туси (1201-1274), написавшему «Трактат о полном четырехугольнике». Работы ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела математики. Однако в их трудах еще не было необходимой символики, и поэтому развитие тригонометрии происходило медленно.

С XV в. и в Европе появляются работы, посвященные вопросам тригонометрии. Немецкий ученый Иоганн Мюллер (1436-1476 гг.), известный в науке под именем Региомонтан, издал труд «Пять книг о треугольниках всех видов», сыгравший важную роль в развитии тригонометрии. Здесь дано систематическое изложение тригонометрии как самостоятельной научной дисциплины. Региомонтан составил таблицы синусов с точностью уже до 10-7. В его таблицах радиус круга принимался за 107 вместо числа кратного 60, то есть по сути был совершен переход от шестидесятеричной системы измерения к десятичной. В 1696 г. появился труд Варфоломея Питискуса «Тригонометрия, или Краткий обзорный трактат о решении треугольников «.

В XV-XVII в. в Европе было составлено и издано несколько тригонометрических таблиц. Над их составлением работали крупнейшие ученые: Н. Коперник (1473-1543), И. Кеплер (1571-1630), Ф. Виет (1540-1603) и др. В России первые тригонометрические таблицы были изданы в 1703 г. при участии Л.Ф. Магницкого.

распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометрических функций как функций числового аргумента, основа аналитической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был разработан Ньютоном.

Современный вид тригонометрия получила в трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (1707-1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа – величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу («тригонометрический круг» или «единичная окружность»). Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразные обозначения. Именно в его трудах впервые встречаются записи sin α, cos α, tg α, ctg α. Он также открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.

Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, получило завершение в трудах великого русского ученого Н.И. Лобачевского.

1.2 Тригонометрия как учебный предмет

Тригонометрия состоит их двух различных частей:

а) первой (ее обычно называют гониометрией) – части математического анализа, где независимо от геометрических соображений аналитически раскрывается учение о трансцендентных тригонометрических функциях с их свойствами;

б) второй – собственно тригонометрии, где соединяются математический анализ и геометрия того или иного пространства.

В XVIII в., и особенно в XIX в., в связи с бурным развитием дифференциального исчисления, возникает новый предмет – математический анализ, и тригонометрия становится его составной частью. А учебный предмет тригонометрия с его первоначальной геометрической основой продолжает существовать самостоятельно. То есть возникают два направления учебного предмета тригонометрии: аналитическое решение

треугольников и изучение свойств круговых (тригонометрических) функций.

В 1848 г. академик М.В. Остроградский предложил систему индуктивного изучения тригонометрии:

а) сначала (в младших классах) изучается тригонометрия острого угла как учение о вычислительных приемах решения треугольников и фигур, сводимых к ним;

б) затем (в старших классах) обобщаются понятия тригонометрии острого угла, то есть излагаются основы теории тригонометрических функций любого действительного аргумента.

С тех пор эта система успешно применялась в отечественной методике обучения тригонометрии в школе

1.3 Тригонометрия в школе до 1966 года

Основательное изучение тригонометрии начиналось очень рано, уже в 14 лет.

В Программе 1921 г. предписывалось во втором полугодии 7-го класса (2 часа в неделю) изучить раздел «Тригонометрия».

Изучение тригонометрического материала в семилетней школе было нацелено, прежде всего, на освоение практических методов решения определенных вычислительных геометрических задач, на расширение возможности вычисления элементов треугольников – на тригонометрию треугольника. При этом раннее введение тригонометрии треугольников существенно повышало требования к числовой культуре школьника и, прежде всего, требовало знания элементов теории приближений и измерений.

Несколько позже, уже в программе средней десятилетней школы (например, в программе 1949 г.), начало изучения тригонометрии перемещается в курс геометрии 8-го класса, а в 7-м классе, также в курсе геометрии, обращается особое внимание (в пояснительной записке замечено даже «в особенности в сельских школах») на необходимость проведения измерительных работ на местности: провешивание линий, промер линий, проведение перпендикуляров эккером, измерение углов, определение расстояний и высот. Тем самым, с одной стороны, серьезно усиливался прикладной характер изучаемого в массовой школе математического материала, а с другой – создавалась хорошая опора для изучения формального материала курса тригонометрии.

А вот в 9-м классе (десятилетней школы) данной программы тригонометрия

начинает обретать черты отдельной школьной дисциплины. Внимание сосредотачивается на четырех тригонометрических функциях: синус, косинус, тангенс и котангенс. Секанс и косеканс даются в ознакомительном порядке. В 10-м классе предусматривается «решение косоугольных треугольников, основанное на теоремах синусов, косинусов и тангенсов с применением в соответствующих случаях различных таблиц».

Роль тригонометрического материала в школьном образовании оценивалась столь высоко, что до 1966 г. в 9-х и 10-х классах изучалась отдельная дисциплина «Тригонометрия», на которую выделяли 2 часа в неделю. Этот курс изучался параллельно с курсом алгебрыДля этой дисциплины был подготовлен и введен отдельный учебник (С. И. Новоселово)»Тригонометрия. Учебник для 9-10 классов средней школы, выдержавший десять изданий).

Учебник тригонометрии предназначался для старшей ступени обучения, то есть для тех школьников, кто планировал поступать в высшие учебные заведения страны.

Тригонометрическим уравнениям уделялось совсем немного внимания. В учебнике рассматривались простейшие тригонометрические уравнения, способ приведения к одной функции, способ разложения на множители и иллюстрировались возможности потери решений и появления посторонних решений при выполнении преобразований. Вместе с тем выделялся целый параграф, посвященный приближенным решениям тригонометрических уравнений.

1.4 Тригонометрия в школе после 1966 года

Начиная с середины шестидесятых годов в ходе подготовки и осуществления реформы школьного математического образования, получившей в дальнейшем название «реформа А.Н. Колмогорова», отношение к тригонометрии стало меняться и со временем изменилось принципиально.

Прежде всего, это выразилось в изменении программных целей изучения данного раздела науки в школе. В программах основной школы семидесятых годов (например, в программе 1978 г. для десятилетней школы) о начале изучения такого специфического раздела математики, как тригонометрия, даже не упомянуто. Просто в пояснении к отдельным темам сказано, что в 8-м классе изучаются четыре темы, одна из которых «Поворот и тригонометрические функции».

Тригонометрия утратила свое значение как отдельная школьная дисциплина

и стала просто одним из многих разделов курса математики, который надлежало осваивать в силу того простого факта, что вопросы тригонометрии «традиционно» присутствовали в школьных программах и учебниках.

Обучение проводилось по учебнику Е.С. Кочеткова, Е.С. Кочетковой. В поддержку этого учебника был издан сборник задач А.И. Худобина, Н.И. Худобина, М.Ф. Шуршалова.

Но эти учебник и задачник переходного периода проработали в школе менее 10 лет. Вскоре им на смену пришел учебник «Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы» (1975) под редакцией А.Н. Колмогорова. В нем тригонометрия изучалась в конце 9-го в начале 10-го классов. Формально содержание обучения в целом было сохранено и даже расширено. Здесь вводилось радианное измерение угловых величин, тригонометрические функции и их свойства, формулы сложения, производные и исследование тригонометрических функций, тригонометрические уравнения и неравенства. В дальнейшем, после перехода к одиннадцатилетней школе, тригонометрический материал в основной ступени был значительно усилен.

1.5 Тригонометрия в современной школе

К концу XX в. в примерных программах основного общего образования объем рекомендуемого к изучению в массовой школе тригонометрического материала заметно сократился. Например, в программе подготовленной Г.М. Кузнецовой в 1998 г. предлагается рассмотреть в основной школе:

1. в курсе алгебры — синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла, основные тригонометрические тождества, формулы приведения;

2. в курсе геометрии — синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла, решение прямоугольных треугольников, метрические соотношения между элементами произвольного треугольника: теорема синусов и теорема косинусов.

В старшей ступени обучения для общеобразовательных классов тригонометрические формулы сложения и их следствия, тождественные преобразования тригонометрических выражений получили статус необязательного материала. Оставлены лишь тригонометрические функции числового аргумента, свойства и графики тригонометрических функций. А более серьезные вопросы тригонометрии отнесены к программам повышенного уровня. Но и здесь преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму отнесено к

необязательному материалу. Таким образом, после 1966 г. тригонометрический материал стал постепенно «выжиматься» не только из основной школы, но и из курса старшей ступени обучения для общеобразовательных классов.

Введение всеобщего и обязательно десятилетнего образования в 1966 г. и последовавший затем переход к «знаниевой» педагогике принципиально изменили ситуацию, прежде всего в старшей и основной ступенях. Возникло две проблемы.

Во-первых, это проблема обучения всех детей в течение одиннадцати лет одному и тому же содержанию. Разные способности детей не дают возможности качественно решить эту проблему, если не признать необходимость принципиально понизить уровень среднего образования. Отсюда и все споры вокруг стандартов, и учебная перегрузка детей, и отвращение многих из них к математике как к наиболее формализованному учебному предмету. А тригонометрические функции действительного аргумента в курсе математики по части формализации занимают не последнее место. Отсюда и стремление исключить этот материал из обязательного минимума содержания образования.

Одновременно с этим тригонометрический материал традиционно популярен при проведении всевозможных конкурсов, олимпиад и при отборе математически одаренных учащихся, поскольку он чрезвычайно удобен для усложнения заданий.

Другими словами, тригонометрический материал, теряя свое общеобразовательное значение в представлениях некоторых специалистов в области методики обучения математике, на практике все больше обретает характер селективного инструмента. Соответственно возрастает потребность определенной части учащихся и их родителей в хорошей организации обучения этому разделу в школьный период обучения. По крайней мере, к этой части учащихся можно отнести тех, кто заинтересован в продолжении обучения в учреждениях среднего и высшего профессионального образования. А в настоящее время это не менее половины выпускников.

Таким образом, вторая проблема – подготовка в массовой школе одаренных в академическом смысле детей к поступлению и обучению в вузе.

До шестидесятых годов такие понятия как «репетитор», «факультатив», «класс (школа) с углубленным изучением предмета» и т.п. не были известны школьным работникам и их родителям. Действительно, поскольку только половина детей переходили на обучение в старшую ступень, а в ней

допускалось отчисление за неуспеваемость, то необходимости понижать уровень образования в старшей ступени даже не возникало. В так организованной школе добравшийся до выпуска школьник в основном был весьма серьезно обучен и имел широкий кругозор.

В семидесятых-восьмидесятых годах стали возникать классы, а затем и школы с углубленным изучением какого-либо предмета, в девяностых – лицеи и гимназии.

В общеобразовательных классах, и в классах с углубленным изучением того или иного предмета или цикла предметов освоение опыта «создания» фрагмента науки, безусловно, должно присутствовать. А тригонометрия для этого, как и прежде, наиболее естественный раздел школьной математики.

1.6 Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнением называется равенство, содержащее переменную. А уравнения, в которых неизвестные содержатся под знаком тригонометрических функций, называются тригонометрическими уравнениями.

Решением уравнения с неизвестным х называют число х о , при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство. Отличительная особенность тригонометрических уравнений – бесконечное множество корней. Эта особенность связана с характерным свойством тригонометрических функций – периодичностью. Решить уравнение – это значит найти все его решения или показать, что их нет.

Решение любого уравнения: сводится к стандартному виду. Путем преобразований линейные уравнения сводят к виду ах = в, квадратные – к виду ax 2 + вx + c =0.

Необходимость классификации уравнений вызывается невозможностью найти общий метод их решения. Известно, что целые алгебраические уравнения со времен Декарта (1596-1650) классифицируются по степени уравнения. Чем выше степень таких уравнений, тем сложнее взаимная связь неизвестного с коэффициентами уравнения и тем труднее выразить это неизвестное через коэффициенты.

В тригонометрии предпринимались попытки создавать свою специфическую классификацию. Пример такой классификации, содержащей восемь типов тригонометрических уравнений, приводится в пособии И.К. Андронова, А.К. Окунева «Курс тригонометрии». Классифицировать тригонометрические уравнения по степени не имеет большого смысла, так как тригонометрические уравнения допускают повышение и понижение степени

за счет использования формул половинного и двойного аргумента. Очевидно, что классифицировать тригонометрические уравнения имеет смысл с опорой на методы их решения. Здесь я попытаюсь показать, с какими методами решения тригонометрических уравнений мы сталкиваемся в учебнике для 10-11 классов общеобразовательных учреждений «Алгебра и начала анализа» под редакцией А. Н. Колмогорова (2001 г.).

Решение тригонометрических уравнений выполняется в большинстве случаев (с помощью различных преобразований) путём сведения их к простейшим тригонометрическим уравнениям. Поэтому и работу с тригонометрическими уравнениями естественно начинать с простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение f(x) = а, где а – данное число, а f(x) – одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением. В школьном курсе рассматриваются следующие простейшие тригонометрические уравнения: sint= a, cost= a, tgt= a, ctgt= a.

Рассмотрим, при каких значениях а простейшие тригонометрические уравнения разрешимы (имеют решения) и как правильно находить все решения таких уравнений.

А)Уравнение sint= a.

Так как множество значений функции у = sinx – отрезок [– 1; 1], то уравнение sint= a разрешимо только в том случае, когда |а| ≤ 1. И тогда решение данного уравнения находится по формуле: t= (– 1) n arcsina+ πn, где nÎZ . Соответственно, если |а| > 1, то уравнение не имеет действительных корней. Это обстоятельство следует хорошо помнить, т. к. забывая об этом, часто допускают ошибки. Например, при решении уравнения sint= часто, не обращая внимания на то, что > 1, пишут ответ: t= (– 1) n arcsin+πn, где nÎZ, который не имеет никакого смысла, т. к. функция arcsina не определена в точке а = (эта точка не принадлежит области определения функции arcsin a).

Если а = – 1; 0; 1, то рассматривают частные случаи решения данного уравнения.

а = 0 х = πn, где nÎZ;

Б) Уравнение cost= a.

Это уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда |а| ≤ 1. Если это условие выполнено, то все решения уравнения cos t = a записываются в виде: t= ±arccosа + 2πn, где nÎZ. Соответственно, если |а| > 1, то уравнение не имеет действительных корней.

Если а = – 1; 0; 1, то также рассматривают частные случаи решения данного уравнения.

В) Уравнение tgt= a.

Данное уравнение имеет решения при любом значении а Î(– µ; µ). Все решения уравнения задаются формулой t= arctgа + πn, где nÎZ. Частные случаи здесь не рассматривают.

Г) Уравнение сtgt= a.

Данное уравнение имеет решения при любом значении а Î(– µ; µ) . Все решения уравнения задаются формулой t= arсctgа + πn, где nÎZ. Частные случаи здесь также не рассматривают.

Ряд уравнений путём элементарных преобразований: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, деление обеих частей уравнения на одно и тоже число, отличное от нуля, также очень легко сводятся к простейшим.

При решении простейших тригонометрических уравнений вида Аsin(вх + с) = d,Аcos(вх + с) = d, Аtg(вх + с) = d, Аctg(вх + с) = d следует обратить внимание на то, что они приводятся к виду sin(вх + с) = а, cos(вх + с) = а, tg(вх + с) = а, ctg(вх + с) = а.

Сведение тригонометрических уравнений к простейшим тригонометрическим уравнениям выполняется различными способами. Первоначально надо рассмотреть тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрических функций стоит более сложное выражение, зависящее от х. для решения таких уравнений можно обозначить выражение, стоящее под знаком тригонометрической функции, одной буквой; решить простейшее тригонометрическое уравнение, а потом найти х, решая алгебраическое уравнение.

К таким уравнениям относятся уравнения:

№ 138, 139, 142(а, в), 143(а), 144(а), 145(б, г), 146(б), 173(в)

№ 136, 137, 142(б, г), 143(б), 144(в), 145(а), 146(г), 172(б)

№ 140(а, в, г), 141(а, в), 143(г), 144(б), 145(в), 146(в), 173(б)

№ 140(б), 141(б, г), 143(б), 144(г)

Покажу на примерах, как решаются такие уравнения с применением выше указанных формул.

х = ±arccos(– ) + 2πn, nÎZ,

х= (– 1) n arcsin (– ) + πn, n ÎZ,

х = (– 1) n+ 1 + πn, nÎZ.

Ответ: х = (– 1) n+ 1 + πn, nÎZ.

= arсctg(– 1) + πn, nÎZ,

Ответ: х = + 2πn, nÎZ.

Ответ: х = 3πn, nÎZ.

Проблема решения тригонометрических уравнений состоит не в большом количестве разнообразных формул, а в выборе направления, по которому необходимо двигаться для решения уравнения. Первый шаг на пути решения тригонометрического уравнения – это попытка отнести его к какому-либо типу, и если это удаётся, то применить характерный для данного типа уравнения приём. Рассмотрим основные типы уравнений, предлагаемых в школьном учебнике под редакцией А. Н. Колмогорова. В учебном пособии приёмы решения тригонометрических уравнений не конкретизируются, а рассматриваются на нескольких конкретных примерах.

Для решения тригонометрических уравнений чаще всего используется два метода: введения новой переменной и разложения на множители.

Одним из самых общих методов решения тригонометрических уравнений является сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции с использованием тригонометрических формул: cos 2 х = 1 – sin 2 х, sin 2 х = 1 – cos 2 х,

Уравнения вида sinах ±sinвх = 0, cosах ±cosвх = 0 решаются заменой суммы (разности) синусов и косинусов произведением.

Часто, особенно при решении квадратного уравнения относительно одной из тригонометрических функций, используется метод введения новой переменной.

Интерес вызывают и уравнения, сводимые к однородным: а ×sinх + в ×сosx= 0, а ×sin 2 х + в ×sinх ×сosx+ с ×сos 2 x= 0

1.7 Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным

Сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции – один из самых общих методов решения тригонометрических уравнений. В этом разделе рассмотрим уравнения, которые после введения нового неизвестного t= f(x), где f(x) –

одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные. К таким уравнениям можно отнести уравнения вида: asin 2 x+ вsinx+ c= 0, аcos 2 x+ вsinx+ c= 0 и т. д. Но в большинстве случаев приходится исходное уравнение преобразовать так, чтобы оно приобрело нужный вид. Для этого чаще всего используется основное тригонометрическое тождество sin 2 х + cos 2 х = 1.

В учебнике это: № 164, 165, 166, 167, 168(б, г), 171(б, г).

Покажу на примерах, как решаются такие уравнения.

2sin 2 x+ sinх – 1 = 0.

Введём новую переменную: t= sinх. Тогда данное уравнение можно записать в виде: 2t 2 + t– 1 = 0. это квадратное уравнение. Его корни: t 1 = – 1; t 2 = . Тогда sinх = –1 и sinх = – . Решим каждое из получившихся простейших уравнений.

1) sinх = –1 (это частный случай),

х= (– 1) n arcsin (–) + πk, k ÎZ,

х= (– 1) k + 1 + πk, k ÎZ.

Ответ: х n = х k = (– 1) k + 1 + πk, k ÎZ.

4сos x = 4 – sin 2 x,

4сos x = 4 – (1 – cos 2 x),

4сosx = 4 – 1 + cos 2 x,

cos 2 x– 4сosx+ 3 = 0.

Пусть cos x = t, тогда t 2 – 4 t + 3 = 0.

Так как а + в + с = 0, то t 1 = 1, t 2 = 3.

Если t= 1, то cosx= 1,

Если t= 3, то cosx= 3,

корней нет, т.к. 3 Ï[– 1; 1].

Ответ: х = 2πn, nÎZ.

Получим : tgx– 2 ×+ 1 = 0.

Пусть tg x = t, тогда t – + 1 = 0,

t 2 + t– 2 = 0 (при условии t≠0 ),

Так как а + в + с = 0, то t 1 = 1, t 2 = – 2.

Если t= 1, то tgx= 1,

х = arctg1 + πn, nÎZ,

Если t= – 2, то tgx= – 2,

х = arctg(– 2) + πk, kÎZ,

x k = – arctg2 + πk, kÎZ.

Ответ: х n = + πn, n ÎZ, x k = – arctg 2 + πk, kÎZ

Изучив литературу по выбранной теме, я узнала очень много интересных фактов из истории развития тригонометрии как науки, узнала очень много до сих пор не известных мне имён математиков прошлого.

Я повторила решение тригонометрических уравнений школьного курса алгебры и научилась решать уравнения методом введения вспомогательного угла – такие уравнения встречаются в сборнике для проведения итоговой аттестации выпускников.

Кроме этого мне показался интересным ещё один способ решения уравнений: метод оценки.

Кроме этого я сделала классификацию уравнений по способу их решения, что, я надеюсь, поможет моему преподавателю в дальнейшей работе при изучении данной темы.

Я планирую продолжить эту работу и рассмотреть тригонометрические уравнения, предлагаемые на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и на ЕГЭ.

Видео:Как решать тригонометрические неравенства?Скачать

Доклад на МО «Этапы развития тригонометрии»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

1.Этапы развития тригонометрии как науки

2.Содеожание и анализ материала по тригонометрии в различных школьных учебниках

3.Роль и место тригонометрических уравнений и неравенств в школьном курсе

4.Виды тригонометрических уравнений и методы их решения

В настоящее время основной задачей перестройки школьного образования является переориентация на приоритет развивающей функции обучения. Это означает, что на первый план выходит задача интеллектуального развития личности, т.е. развитие учебно- познавательной деятельности. Пожалуй, ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности.

Исторически сложилось, что тригонометрическим уравнениям и неравенствам уделялось особое место в школьном курсе. Еще греки на заре человечества, считали тригонометрия важнейшая из наук. Поэтому и мы не оспаривая древних греков, будем считать тригонометрию одним из важнейших разделов школьного курса, да и всей математической науки в целом.

Тригонометрические уравнения и неравенства занимают одно из центральных мест в курсе математики средней школы, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности, которые могут и должны быть сформированы при их изучении и применены к решению большого числа задач теоретического и прикладного характера.

В школьном математическом образовании с изучением тригонометрических уравнений и неравенств связаны несколько направлений:

Решение уравнений и неравенств;

Решение систем уравнений и неравенств;

Анализ учебной, научно-методической литературы показывает, что большое внимание уделяется первому и второму направлениям. Как показал анализ содержания школьного математического образования, возможности решения тригонометрических уравнений, а особенно тригонометрических неравенств, в этом плане достаточно широки.

Решение тригонометрических уравнений и неравенств создает предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных со всем учебным материалом по тригонометрии и дает возможность установить действенные связи с изученным материалом по алгебре (уравнения, равносильность уравнений, неравенства, тождественные преобразования алгебраических выражений и т.д.)

Иначе говоря, рассмотрение приемов решения тригонометрических уравнений и неравенств предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание.

1.Этапы развития тригонометрии как науки

Тригонометрия является одним из наиболее молодых отделов элементарной математики, получивших окончательное оформление лишь в XVIII в., хотя отдельные идеи её относятся к глубокой древности, к античному миру и к математическому творчеству индусов (К. Птолемей, II в., Аль Баттани, IX в., и др.). Европейские математики достигли высокой степени совершенства в вычислении таблиц натуральных синусов и тангенсов (Региомонтанус, XV в., Ретикус и Питискус, XVI в., и др.).

Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее «измерение треугольников»: (тригонон) – треугольник, (метрейн) – измерение.

Научная разработка тригонометрии осуществлена Л. Эйлером в его труде «Jntroductio in analysis infinitorum» (1748). Он создал тригонометрию как науку о функциях, дал ей аналитическое изложение, вывел всю совокупность формул из немногих основных формул. Обозначение сторон малыми буквами и противолежащих углов — соответствующими большими буквами позволило ему упростить все формулы, внести в них ясность и стройность. Эйлеру принадлежит мысль рассматривать тригонометрические функции как отношения соответствующих линий к радиусу круга, т. е. как числа, причём радиус круга как «полный синус» он принял за единицу. Эйлер получил ряд новых соотношений, установил связь тригонометрических функций с показательными, дал правило знаков функций для всех четвертей, получил обобщённую формулу приведения и освободил тригонометрию от многих ошибок, которые допускались почти во всех европейских учебниках математики.

Сочинение Л. Эйлера в дальнейшем послужило фундаментом для учебников тригонометрии. Одно из первых руководств, «Сокращённая математика» С. Румовского (1760), отдел «Начальные основания плоской тригонометрии», начинает изложение следующим образом: «Тригонометрия плоская есть знание через Арифметические выкладки сыскивать треугольники, которые геометрия черченьем находит». Всё изложение сводится к решению треугольников (самые простые случаи), вычисления проводятся весьма сложным путём, учение о функциях отсутствует.

Таким образом, тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул; применение отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометрических функций как функций числового аргумента, основа аналитической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был разработан Ньютоном.[25]

Современный вид тригонометрия получила в трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (1707 – 1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа – величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу («тригонометрический круг» или «единичная окружность»). Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразные обозначения. Именно в его трудах впервые встречаются записи . Он также открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.

Современная точка зрения на тригонометрические функции как на функции числового аргумента во многом обусловлена развитием физики, механики, техники. Эти функции легли в основу математического аппарата, при помощи которого изучаются различные периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, движения механизмов, колебание переменного электрического тока. Как показал Ж. Фурье (1768 – 1830), всякое периодическое движение с любой степенью точности можно представить в виде суммы простейших синусоидальных (гармонических) колебаний. Если в начале развития тригонометрии соотношение лишь выражало зависимость между площадями квадратов, построенных на сторонах переменного прямоугольного треугольника с гипотенузой равной 1, то в последующем это отношение стало отражать также сложение двух колебательных движений с происходящей при этом интерференцией.

Таким образом, на первоначальных стадиях своего развития тригонометрия служила средством решения вычислительных геометрических задач. Ее содержанием считалось вычисление элементов простейших геометрических фигур, то есть треугольников. Но в современной тригонометрии самостоятельное и столь же важное значение имеет изучение свойств тригонометрических функций. Этот период развития тригонометрии был подготовлен всем ходом развития механики колебательных движений, физики звуковых, световых и электромагнитных волн.

В этот период даны обобщения многим терминам тригонометрии и, в частности, выведены соотношения для , где n – натуральное число, и др. Функции и рассматриваются теперь как суммы степенных рядов:

Почти также изложен и учебник В. Никитина и П. Суворова.
Вполне научное изложение тригонометрии даёт акад. М. Е. Головин в своём учебнике «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами», 1789. В этой книге можно найти все важнейшие формулы тригонометрии почти в том виде, в каком принято излагать их в XIX в. (за исключением обратных тригонометрических функций). Автор не нашёл нужным загромождать изложение введением секанса и косеканса, так как эти функции в редких случаях применяются на практике.
В 1804 г. выходит учебник Н. Фусса. Книга предназначена для гимназий. «Плоская тригонометрия,— говорит автор,— есть наука, имеющая предметом из трёх данных и числами изображённых частей прямолинейного треугольника определять три прочие его части». Учебник состоит из 4 равных частей. Общие понятия, решение треугольников, приложение тригонометрии к практической геометрии и геодезии и, наконец, теорема сложения. Учебник Н. Фусса отмежёвывается от сферической тригонометрии.

Шаг вперёд делает академик М. В. Остроградский в 1851 г. В своём конспекте по тригонометрии для руководства в военно-учебных заведениях он выступает как сторонник определения тригонометрических функций, на первом этапе их изучения, как отношений сторон в прямоугольном треугольнике с последующим обобщением их определения и распространением его на углы любой величины. [24]

2 Содержание и анализ материала по тригонометрии в различных школьных учебниках

Анализ материала, посвящённого решению тригонометрических уравнений и неравенств, в учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов под ред. А.Н.Колмогорова и в учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов авторов Ш.А. Алимова и др. свидетельствует, что различные виды тригонометрических уравнений и неравенств представлены в пособиях по математике для средней школы. Значит, перед учителем стоит задача – формировать у учащихся умения решать уравнения и неравенства каждого вида.

Рассмотрим содержание материала по тригонометрии изложенного в различных учебниках по математике за курс 10 – 11 класс средней школы, с целью его сравнения, анализа и формироваания наиболее приемлемой методики внедрения данной темы в школьном курсе математики.

Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. 10-11

Учебник разбит на 6 глав. Каждая глава открывается списком вопросов и задач. Затем коротко формулируются результаты, которые необходимо достичь после изучения главы. Материал, касающийся темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» представлен в главе III «Тригонометрические функции» после изучения глав «Функции и графики» и «Производная и её применение».

Четвёртая глава «Показательная и логарифмическая функции» и пятая глава «Интеграл и его применение» не содержат обращений к области тригонометрии вообще, а в шестой главе «Уравнения и неравенства» встречаются и тригонометрические уравнения, и тригонометрические неравенства.

Обращаясь в главе III к теме «Тригонометрические функции» М.И. Башмаков считает нужным повторить такие темы как: измерение углов; соотношения в треугольнике; вращательное движение; техника вычислений. Далее вводятся: определения и простейшие свойства тригонометрических функций; формулы приведения; значения тригонометрических функций.

Причём, здесь же вводится основное тригонометрическое тождество.

Здесь же М.И Башмаков рассматривает вопрос решения простейших тригонометрических уравнений по тригонометрической окружности.

Следующие разделы данной темы «Исследование тригонометрических функций» и «Тождественные преобразования». Лишь после этого в разделе «Решение уравнений и неравенств» вводятся различные виды уравнений и некоторые виды неравенств. И соответственно здесь же говорится о способах и методах их решения.

Схема изучения темы «Решение тригонометрические уравнений и неравенств» определяется следующим образом: функция → уравнения → преобразования.[3]

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11

Учебник разбит на 8 глав. В конце изучения каждой главы чётко обозначены основные результаты изучения. Курс изучения математики в 10 классе начинается с изучения главы «Тригонометрические функции». Здесь автор вводит понятия тригонометрической окружности на координатной плоскости, понятия синус и косинус, основные тригонометрические соотношения с ними связанные, решения простейших уравнений по тригонометрической окружности. Как таковые формулы приведения вводятся после изучения тригонометрических функций углового аргумента. Далее рассматриваются свойства и графики тригонометрических функций. Во второй главе «Тригонометрические уравнения» подробно рассматривается решение каждого простейшего тригонометрического уравнения, на основе ранее введенных понятий арксинуса, арккосинуса, арктангенса. В этой же главе рассмотрены такие методы решения: разложение на множители и введение новой переменной; метод решения однородных тригонометрических уравнений. Другие методы решения рассматриваются после изучения третьей главы «Преобразование тригонометрических выражений».

Здесь схема изучения выглядит следующим образом: функция → уравнения → преобразования.

С точки зрения применения учебник Мордковича удобен для самостоятельного изучения учащимися, т.к. он содержит сильную теоретическую базу. Изложение теоретического материала ведётся очень подробно. В условиях острой нехватки часов для проведения занятий в классе возрастает значение самостоятельной работы учеников с книгой. Опираясь на учебник, учитель прекрасно разберётся в том, что надо рассказать учащимся на уроке, что заставить их запомнить, а что предложить им просто прочесть дома.

К недостаткам можно отнести не очень большое количество упражнений по этой теме в самом учебнике.[19]

Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа

Учебник содержит 4 главы. Схема изучения материала по теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» радикально отличается от предыдущих, т.к. сначала рассматриваются тригонометрические функции числового аргумента и основные формулы тригонометрии. В этой же первой главе, но несколько позже, рассматриваются основные свойства тригонометрических функций, их графики и их исследование. После этого вводятся понятия арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс и «параллельно» с этим решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств. Автор не называет методов решения тригонометрических уравнений, а описывает алгоритм их решения. Тоже касается и решения тригонометрических неравенств.

Таким образом, схема изучения выглядит так: преобразования → функции → уравнения.

Стоит отметить, что учебник содержит достаточно много дидактических материалов, как простых так и более сложных. Это естественно обеспечивает учителю возможность варьировать задания для учащихся.

С точки зрения изложения теоретического материала нельзя сказать, что учебник идеально подходит для самостоятельного изучения.[14]

Анализ содержания набора задач в теме «Тригонометрические уравнения» приводит к следующим выводам:

1) преобладающими являются простейшие тригонометрические уравнения, решение которых основано на определениях соответствующих функций в понятиях арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа;

2) фактически отсутствуют тригонометрические уравнения, способ решения которых основан на свойстве ограниченности синуса и косинуса;

3) если говорить о связях приемов решения тригонометрических уравнений с приемами тождественных преобразований тригонометрических и алгебраических выражений, то следует отметить, что эти приемы в учебном пособии представлены бедно и однообразно. Рассматриваются приемы тождественных преобразований:

а) тригонометрические выражения:

— прием использования основного тригонометрического тождества;

— прием использования формул двойного и половинного аргументы;

— прием преобразования суммы тригонометрических выражений в произведение;

б) алгебраических выражений:

— прием разложения на множители;

— прием преобразования тригонометрического выражения, представляющего собой однородный многочлен относительно синуса и косинуса.

Использование указанных приемов приводит к тригонометрическим уравнениям, которые условно можно разделить на следующие виды:

а) сводящиеся к квадратным относительно тригонометрической функции;

б) сводящиеся к дробно-рациональным относительно тригонометрической функции;

в) сводящиеся к однородным;

г) сводящиеся к виду , где — тригонометрическая функция . [16, c/55]

3 Роль и место тригонометрических уравнений и неравенств в ШКМ

Тригонометрия традиционно является одной из важнейших составных частей школьного курса математики. И этот курс предполагает задачи, решить которые, как правило, можно, пройдя целенаправленную специальную подготовку.

Анализ школьных учебников по математике в полной степени определяет место тригонометрических уравнений и неравенств в линии изучения уравнений и линии изучения неравенств.

Изучению темы «Решение тригонометрических уравнений» часто предшествует изучение таких тем как «Преобразование тригонометрических выражений» и «Основные свойства и графики тригонометрических функций». В разделе «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» мы знакомим учащихся с понятиями арксинус, арккосинус, арктангенс.

Опыт преподавания математики показывает, что осознание важности изучаемого материала приходит к ученикам не в процессе его изучения, а в процессе его применения при решении других заданий, т.е. тогда когда он становится средством для решения других задач.

Так, например, решение уравнения , сводится к простейшему уравнению , причём частному виду простейшего, после элементарного преобразования выражения, стоящего в левой части уравнения по формулам сложения косинуса. Аналогичная ситуация может возникнуть и при решении тригонометрических неравенств. Неравенства вида , в принципе становится решаемым только после преобразования выражения стоящего в правой части неравенства. Получим, , а затем с помощью таблицы значений основных тригонометрических функций имеем простое неравенство , решение которого не должно вызвать затруднений у учащихся.

Мы видим, что именно здесь школьники могут наблюдать пользу от изучения формул тригонометрии. С их помощью нерешаемое на первый взгляд уравнение или неравенство принимает достаточно простой и, главное знакомый вид. Примерно то же самое происходит и при решении тригонометрических неравенств.

При таком подходе изучения тригонометрии, когда уравнения и неравенства изучаются после формул преобразования тригонометрических выражений, место тригонометрических уравнений и неравенств определяется через систематизацию знаний по темам «Преобразование тригонометрических выражений» и «Основные свойства и графики тригонометрических функций».

Если же тригонометрические уравнения и неравенства изучаются до темы «Преобразование тригонометрических выражений», то здесь место их изучения определяется совершенно противоположным образом. Здесь на изучение тригонометрических уравнений отводится больше времени: как только появляется новая формула, она сразу же используется для решения уравнений или неравенств. То есть в данном случае не формула преобразования является средством для решения тригонометрического уравнения или неравенства, а уравнение выступает как средство закрепления тригонометрических формул.

Таким образом, при любом подходе к изучению тригонометрии, роль изучения уравнений и неравенств неизмеримо велика, не зависимо от места их изучения. Ну и как следствие из этого велико и неизмеримо место изучения методов решения и тригонометрических уравнений и тригонометрических неравенств. Т.к. авторы учебников не уделяют должного внимания обозначению методов решения тригонометрических уравнений и неравенств, попробуем классифицировать уравнения и неравенства, и соответственно методы их решения.

4 Виды тригонометрических уравнений и методы их решения

Материал, относящийся к тригонометрии, изучается не единым блоком, учащиеся не представляют себе весь спектр применения тригонометрического материала, дробление на отдельные темы приводит к тому, что тригонометрия изучается в течение нескольких лет.

Необходимость классификации уравнений и неравенств вызывается невозможностью найти общий метод их решения. Очевидно, что классифицировать тригонометрические уравнения и неравенства имеет смысл с опорой на методы их решения. Мы будем рассматривать типы уравнений и неравенств в той последовательности, которая представляется нам наиболее приемлемой для обучения школьников, то есть в последовательности, построенной в соответствии с принципом «от простого к сложному».

4.1 Уравнения, сводящиеся к простейшим

Практически все тригонометрические уравнения считаются «сводящимися к простейшим», но можно выделить ряд уравнений которые сводятся к простейшим достаточно просто. Рассмотрим сначала виды простейших уравнений.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида: , , , .

На эти уравнения следует обратить особое внимание, так как без умения их решать невозможно решить никакое другое тригонометрическое уравнение. Лучше всего, если учащиеся будут иметь схемы решения каждого из простейших уравнений

Уравнение вида .

Если , то

Если , то (рис 1, а)

;

Любая из этих формул может быть заменена формулой общего вида, однако они проще и их выгоднее применять при решении уравнений.

Полезно помнить, что при ; ;

Уравнение вида .

Если , то

Если , то (рис 1, д)

;

Нужно помнить, что при ;

;

Уравнение вида .

(рис 1, и)

Нужно помнить, что при ; ;

Уравнение вида .

(рис 1, к)

Нужно помнить, что при ; ;

;

Уравнения, сводящиеся к простейшим, имеют вид , , , .

Данные уравнения также являются простейшими и решаются сначала относительно f(x), а затем полученные уравнения решаются относительно х.

1. ;

1.4.2 Уравнения, являющиеся равенством двух одноимённых тригонометрических функций:

а) уравнения вида равносильно совокупности уравнений:

б) уравнения вида равносильно системе уравнений:

в) уравнения вида равносильно системе уравнений:

Проработав соответствующую психолого- педагогическую и методическую литературу по данному вопросу, очевидно, сделать вывод о том, что умения и навыки решать тригонометрических уравнений и неравенства в школьном курсе алгебры и начала анализа являются очень важными, развитие которых требует значительных усилий со стороны учителя математики.

Таким образом, учитель сам обязан в достаточной мере владеть методиками формирования умений и навыков решать тригонометрические уравнения и неравенства. С учетом того, что тригонометрические уравнения и неравенства разделяются на несколько типов, то соответственно и методика для каждого типа различна.

Бесспорно, достичь поставленной цели с помощью только средств и методов предложенным авторами современных учебников, практически невозможно. Это связано с индивидуальными особенностями учащихся. Ведь в зависимости от уровня их базовых знаний по тригонометрии выстраивается линия возможностей изучения различных видов уравнений и неравенств на разных уровнях.

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

История тригонометрических уравнений и неравенств

Список секций
Математика
История тригонометрии

Видео:Как решать уравнения и неравенства? | Ботай со мной #072 | Борис Трушин |Скачать

История тригонометрии

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Тригонометрия – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Слово тригонометрия состоит из двух греческих слов: «trigwnon» — «треугольник» и «metrew» — «измерять», означает – «измерение треугольников». Именно эта задача – «измерение треугольников» или «решение треугольников», определение всех элементов треугольника по трем данным, с древнейших времен составила основу практических приложений тригонометрии.

Актуальность: знакомство с новым предметом — тригонометрией.

Цель: Расширить знания по истории развития тригонометрии.

1. Чем вызвана к жизни наука тригонометрия

2. Применение тригонометрии в астрономии, физике, биологии и медицине.

Объект: тригонометрия, история зарождения и развития тригонометрии.

Гипотеза: многие физические явления природы можно описать с помощью тригонометрии.

Новизна: знакомство с тригонометрией.

Методика исследования. Изучение литературы по данной теме, информации из Интернет-ресурсов. Обобщение найденного материала.

Продукт: Буклет «История тригонометрии» (Приложение 2).

Практическая значимость: данный материал можно использовать на уроках геометрии и тригонометрии для дополнительного образования. Любой ученик может развить в себе интерес к науке тригонометрии через данный материал.

Возникновение тригонометрии

Исторически тригонометрия сложилась из задач на решение плоских и сферических треугольников.

Как и всякая другая наука, тригонометрия возникла в результате человеческой практики в процессе решения конкретных практических задач.

Возникновение тригонометрии тесно связано с развитием одной из древнейших наук – астрономии. Главная роль принадлежит ей в формировании и развитии сферической тригонометрии. Со времен древнего Вавилона до времени Эйлера и Лапласа астрономия была руководящей и вдохновляющей силой самых замечательных математических открытий.

Развитие астрономии, вызвано, в первую очередь, необходимостью составления правильного календаря, имевшего важное значение для земледельческого хозяйства древности. Земледельцу нужно было знать смену времен года, чтобы своевременно производить необходимые сельскохозяйственные работы. Календарь был необходим также и служителям культа, исполняющим религиозные обряды, для определения дней праздником и многим другим лицам.

Развитие торговли, связанное с необходимостью передвижения, как по суше, так и водным путем, оказало большое влияние на развитие астрономии: нужно было уметь правильно определять курс корабля в открытом море.

Значительную роль в развитии астрономии и связанной с ней тригонометрии сыграла, несомненно, потребность в составлении точных географических карт, это требовало правильного определения больших расстояний на земной поверхности.

Врачам нужна была астрономия, алгебра и тригонометрия для астрологических вычислений, чтобы составить гороскоп больного и по расположению планет в созвездиях определить, поправится больной или нет.

Эти и другие стороны деятельности человека уже в глубокой древности наталкивались на необходимость ознакомления с положением и видимым движением небесных светил (Солнца, Луны, звезд).

Уровень развития математики у древних народов Двуречья был более высоким, чем у других восточных народов. У древних народов Двуречья были особенно развиты астрономические наблюдения. Следовательно, они владели некоторыми простейшими сведениями из тригонометрии. Уже 2-3 тысяч лет до нашей эры древние египтяне практически использовали астрономические наблюдения при работах по сельскому хозяйству. Разливы Нила были важны фактором в развитии земледелия.

В классическом китайском трактате «математика в девяти книгах», составленном во II-I веках нашей эры по более ранним источникам, в книге IX трактата собран ряд задач на применение прямоугольных треугольников, где есть задачи на определение расстояния до недоступных предметов. Больших успехов в астрономии добились древние майя, ими был создан достаточно точный календарь (календарно- хронологическая система).

Тригонометрия в Древней Греции

Значительно позднее тригонометрия вступила в следующий этап своего развития в древней Греции, как часть астрономии. В связи с потребностями астрономии и геодезии первостепенное значение получили вычислительные задачи сферической тригонометрии. Некоторое знакомство с сферической тригонометрией имел еще Фалес Милетский (640 – 548 гг. до н.э. – древнегреческий математик и астроном (Приложение 1); в первой половине 3 веке до н.э. древнегреческий астроном и математик Аристарх Самосский (310 – 230 г г. до н.э.); Архимед (Приложение 1), высказал смелую гипотезу о том, что Земля движется по кругу около Солнца (за это его обвинили в безбожии и изгнали из Афин).

Уже в середине I тысячелетия до н.э. древнегреческие ученные знали, что Земля имеет форму шара, в частности длины его окружности. Были разработаны некоторые методы решения этой задачи. Первое измерение дуги меридиана и радиуса Земли принадлежит Эратосфену Киренскому (ок. 276 – 194 гг. до н.э.) – древнегреческому математику, географу, историку, философу, поэту (Приложение 1).

Но основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения имели работы древнегреческого ученого Гиппарха (ок. 180 – 125 г г. до н.э. ) (Приложение 1) – основателя научной астрономии.

Гиппарх составил звездный каталог с тем, чтобы будущие астрономы могли следить за появлением новых звезд и исчезновением старых. В каталог было занесено положение на небе более 1 тысячи звезд, подразделенных им по блеску на 6 звездных величин и определенных им по блеску на 6 звездных величин и определенных для того времени весьма точно. Гиппарх явился основоположником математической географии. Им было введено определение точек на земной поверхности при помощи географических координат – широты и долготы.

Важно отметить, что тригонометрии как науки в современном смысле этого слова не было ни у Гиппарха, ни у других ученных древности. Но они, пользуясь известными им положениями элементарной геометрии, решали те задачи, которые сейчас относятся к тригонометрии. В основе всех тригонометрических вычислений у греков лежала известная еще Гиппарху теорема Птолемея, которую можно сформулировать так: «Произведение диагоналей вписанного в круг четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон».

Тригонометрия в Индии

Следующий шаг по развитию тригонометрии связан с развитием математической культуры народов индии с IV по XII вв. Наряду с «синусом» индийцы ввели в тригонометрию «косинус», точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. Сам термин «косинус» появился значительно позднее в работах европейских ученных австрийского математика Пейрбаха или Пурбаха (1423 – 1461) и немецкого математика Региомонтана (1436 – 1476) .) (Приложение 1).

Индийцам было так же известно соотношение sin 2 a + cos 2 a= r 2 , а также формулы для синуса половинного угла и синуса суммы и разности двух углов. Таким образом, индийцы положили начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах, хотя у них и было мало внимания отведено как раз решению треугольников. Для измерений высот и расстояний были разработаны несколько правил, основанных на изменении тени вертикального шеста – гномона и на подобии треугольников. Все это предвосхищало введение тангенса и котангенса.

Тригонометрия в странах Арабского Халифата

Следующий этап в развитии тригонометрии связан с расцветом культуры стран арабского халифата. Так называлось объединение различных стран и народов, завоеванных арабами в VII – VIII вв. в него входили таджики, узбеки, персы, азербайджанцы, египтяне, сирийцы и другие народы. Многие из этих народов стояли на более высоком уровне общественного и культурного развития, чем сами арабы. Необходимые сведения по астрономии вместе с тригонометрией, алгеброй и арифметикой были заимствованы в первые из Индии. И хотя индийская математика дала начало развитию арабской математики, господствующее положение в нарождающейся науки науке у арабов занимала греческая геометрия и астрономия, благодаря переводом всех трудов Евклида, Аполлония, Архимеда, Птолемея и их позднейших комментаторов. Особенно велик вклад, внесенный арабоязычными народами в математику. Это прежде всего десятичная система счисления, позаимствованная арабами у индийцев и позже, благодаря трудам арабоязычных ученых, получившая распространение в Европе. Успехи в математике, в частности в тригонометрии, создали основу для достижений в астрономии и в некоторых других науках.

Тригонометрия и здесь развивалась в тесной связи с астрономией и географией и носила ярко выраженный «вычислительный» характер.

В Багдаде в разное время занимались научной работой такие ученые, как ал – Хорезми (783 – 830), ал – Хабаш (764 – 874), Ибн кора (836 – 901), Ибн Ирак (965 – 1035), ал – Бируни (973 – 1050) (Приложение 1) .)

Ал – Хорезми внес большой вклад в развитии математики, астрономии и математической географии. Его труды в течение нескольких столетий оказывали сильное влияние на ученных Востока и Запада и долго служили образцом при написании учебников математики. Два его трактата по арифметики и алгебре сыграли большую роль в развитии математики.

Тригонометрия в Европе

В XII вв Европе возникает городская культура, развиваются товарно–денежные отношения внутри феодальной системы хозяйства. Этому способствовали также торговые путешествия и крестовые походы, позволившие частично познакомиться не только с движениями восточной культуры, но и с культурой древней Греции. Начинается самостоятельное творчество европейских ученых. Им пришлось заново открывать многое из того, что открыто было задолго до них. Первые их достижения относятся именно к тригонометрии. Эта наука разливалась в основном на базе достижений древних греков. Появились переводы некоторых «арабских» сочинений по тригонометрии. На основе этих сочинений в Англии были написаны работы по тригонометрии Р. Уоллигрфордом (ок. 1292 – 1335) и его современником Д. Модюктом. Английский ученый Томас Брадвардин (ок. 1290 – 1349) (Приложение 1). Он впервые в Европе предложил единичный радиус тригонометрического круга, ввел в тригонометрические вычисления котангенс под назначением «прямой тени» и тангенс под названием «обратной тени». В этот период составляют таблицы синусов.

Региомонтан, независимо от арабов (опередивших его на 400 лет) и Т.Бродвардина, ввел в еврейскую науку функцию тангенса, составил таблицу синусов через 1’ и таблицу тангенсов через 1 о . он составил так же таблицу для вычисления катета прямоугольного треугольника (сферического ) по лежащему против него углу А и по гипотенузе С согласно формуле sina – sinCsinA,назвав ее таблицей «с двойным входом». Эта работа Региомонтана (Приложение 1) сыграла очень большую роль в дальнейшем развитии тригонометрии.

Важный вклад в развитие тригонометрии внес польский астроном Николай Коперник (1473 – 1543) (Приложение 1), создатель гелиоцентрической системы мира, реформатор астрономии. Не знакомый с работами Региомонтана, Коперник самостоятельно обосновал некоторые основные положения сферической тригонометрии; он впервые сводит все дело к трехграннику, проектирующему треугольник из центра. Коперник сам занимался составлением тригонометрических таблиц. Немецкий математик Петер Крюгер (1480 – 1532) был первым из европейских математиков, составивших отдельно таблицы логарифмов тригонометрических функций и таблицы логарифмов чисел. Датский математик Томас Финк (1561 – 1656) (Приложение 1) в работе «Геометрия круглого»(1583) впервые вводит термины «синус», «тангенс» и «секанс».

Английский математик Абрахам Муавр (1667 – 1754) (Приложение 1), по происхождению француз, находит правило для возведения в степень комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, которое широко применяется в тригонометрии и алгебре при решении двухчленных уравнений и известно теперь как «формула Муавра».

В настоящее время тригонометрия перестала существовать как самостоятельная наука, распавшись на две части. Одна из этих частей представляет собой учение о тригонометрических функциях, а другая – вычисление элементов тригонометрических фигур.

Первая часть, как мы уже говорили выше, входит в состав математического анализа, располагающего общими методами исследования функций, а вторая часть относится к геометрии и играет в ней вспомогательную роль.

«Геометрическая» часть тригонометрии в свою очередь распадается на два раздела – «прямолинейную тригонометрию» и «сферическую тригонометрию». Основным содержанием первого раздела является вычисление элементов плоских треугольников, а второго раздела – вычисления элементов сферического треугольника.

Применение тригонометрии

Продолжая тему тригонометрии важно отметить, что тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей: астрономии, физике, природе, музыке, медицине, биологии и многих других.

2.1. Тригонометрия в астрономии

Так в астрономии возникла потребность в «решении треугольников».

Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии.

2.2. Тригонометрия в физике

В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений.

Механические колебания. Механическими колебанияминазывают движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

2.3 Тригонометрия в природе

Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

Северное сияние Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.

2.4. Тригонометрия в медицине

Ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.

К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.

Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца — комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

2.5. Тригонометрия и тригонометрические функции в медицине и биологии, музыке

Одно из фундаментальных свойств живой природы — это цикличность большинства происходящих в ней процессов. Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов. Основной земной ритм – суточный. Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией. Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций. Для этого необходимо ввести дату рождения человека (день, месяц, год ) и длительность прогноза.

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.

При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…

диатоническая гамма 2:3:5

Заключение

В ходе исследовательской работы расширились знания по тригонометрии, изучены материалы по истории тригонометрии и сделан вывод о том, что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Выяснили, что тригонометрия исторически сложившаяся наука. Она была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Убедились, что тригонометрия перестала существовать как самостоятельная наука, распавшись на две части.

Думаем, что тригонометрия не только нашла своё применение в жизни человека, что сферы применения её будут расширяться.

Список использованных источников и литературы

https://sites.google.com/site/trigonometry история тригонометрии

http://fb.ru история тригонометрии

Волошинов. Математика и искусство// Москва, 1992г. Газета

История математики с Древнейших времен до начала XIX столетия в 3-х томах// под ред. А. П. Юшкевича. Москва, 1970г. – том 1-3 Э. Т. Бэлл Творцы математики.

Маслова Т.Н. «Справочник школьника по математике» М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008. — 672 с.

Математика. Приложение к газете от 1.09.98г.

Предшественники современной математики// под ред. С. Н. Ниро. Москва,1983г. А. Н. Тихонов, Д. П. Костомаров.

Рассказы о прикладной математике//Москва, 1979г. А. В.

Ученые, внёсшие вклад в развитие тригонометрии