Исследуйте функцию на условный экстремум с уравнением связи

В задачах оптимизации возникает необходимость найти экстремумы функции двух и более переменных при условии, что существует связь между переменными этой связи, заданная уравнением . В этом случае говорят, что требуется найти условный экстремум.

Для того чтобы найти условный экстремум требуется находить частные производные и решать системы уравнений Существует алгоритм нахождения условного экстремума из трёх шагов, который сейчас и разберём на примере, и геометрический смысл условного экстремума, который должен дойти до каждого при разборе этого самого примера.

Итак, алгоритм, который разберём на примере самой распространённой задачи — нахождение условного экстремума функции двух переменных..

Шаг 1. Вводится функция Лагранжа

,

где первое слагаемое — сама исходная функция, а второе слагаемое со знаком минус — левая часть уравнения условия связи, умноженная на (лямбда) — множитель Лагранжа.

Пример 1. Найти условные экстремумы функции двух переменных , выражающей площадь прямоугольника через его стороны x и y при условии , означающем, что существует верёвка, которой можно ограничить этот прямоугольник, и длина этой верёвки равна 100.

Шаг 1. Решение. Приведём уравнение условия связи к требуемому виду с нулём в правой части:

.

Составим функцию Лагранжа:

.

Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств частных производных нулю и уравения условия связи (необходимый признак существования условного экстремума):

Решения этой системы уравнений являются точками возможного условного экстремума — стационарными точками или, как ещё говорят, критическими точками.

Решение. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:

Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :

Подставим эти выражения в третье уравнение и найдём значение множителя Лагранжа:

Подставим теперь значение множителя Лагранжа в выражения для x и y и найдём значения переменных исходной функции:

Получили и . Эти значения являются также координатами стационарной точки. Таким образом, получили стационарную точку .

Шаг 3. Пусть является стационарной точкой, найденной на шаге 2. Чтобы определить, является ли условный экстремум минимумом или максимумом, нужно найти второй дифференциал функции Лагранжа

и в полученном выражении подставить вместо «лямбды» её значения (значения множителя Лагранжа), найденные на шаге 2.

Если значение второго дифференциала функции Лагранжа меньше нуля (), то стационарная точка является точкой максимума, если больше нуля (), то стационарная точка является точкой минимума. Если значение второго дифференциала функции Лагранжа равно нулю, то требуются дополнительные исследования, но такие случаи практически не попадаются в задачах, задаваемых студентам.

Координаты стационарных точек подставляются в исходную точку и, таким образом, мы окончательно находим условные экстремумы (или минимум и максимум или что-то одно из этих экстремумом).

Решение. Найдём второй дифференциал функции Лагранжа:

В нашем случае, так как первое и третье составляющие равны нулю, нам не придётся подставлять в них значения множителя Лагранжа. Зато нужно найти отношения между дифференциалами dx и dy :

Так как полученные значения — противоположные по знаку, то получаем, что в любом случае .

Теперь можем найти значение условного экстремума исходной функции, являющееся максимумом:

.

Это заданная исходной функцией максимальная площадь прямоугольника, который можно ограничить верёвкой, длина которой равна 100.

Пример 2. Найти условные экстремумы функции двух переменных при условии .

Шаг 1. Составим функцию Лагранжа:

.

Шаг 2. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:

Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :

Подставим эти выражения в третье уравнение и найдём значения множителя Лагранжа:

Подставим теперь значение множителя Лагранжа в выражения для x и y и найдём значения переменных исходной функции при двух значениях множителя Лагранжа:

Эти значения икса и игрека являются координатами двух стационарных точек. Таким образом, получили стационарные точки .

Шаг 3. Найдём частные производные второго порядка функции Лагранжа:

:

Найдём второй дифференциал функции Лагранжа по формуле

:

.

Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :

Получили значение, меньшее нуля, следовательно, точка — точка условного максимума:

.

Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :

Получили значение, большее нуля, следовательно, точка — точка условного минимума:

.

Таким образом, условные экстремумы заданной функции найдены.

Пример 3. Найти условные экстремумы функции двух переменных при условии .

Шаг 1. Составим функцию Лагранжа:

.

Шаг 2. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:

Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :

Получаем, что , однако подстановка этих значений переменных в третье уравнение системы не даёт верного равенства. Поэтому считаем, что на самом деле второй сомножитель равенства равен нулю: . Отсюда получаем

Ищем координаты стационарных точек при значении множителя Лагранжа . Тогда из выражений для икса и игрека из системы уравнений следует, что . Из третьего уравнения системы получаем:

Получили две стационарные точки:

Ищем координаты стационарных точек при значении множителя Лагранжа . Тогда из выражений для икса и игрека из системы уравнений следует, что .

На основании вычислений двух первых стационарных точек получилаем ещё две стационарные точки:

Шаг 3. Найдём частные производные второго порядка функции Лагранжа:

:

Найдём второй дифференциал функции Лагранжа по формуле

:

.

Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :

Получили значение, меньшее нуля, следовательно, точки — точки условного максимума:

.

Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :

Получили значение, большее нуля, следовательно, точки — точки условного минимума:

.

Таким образом, условные экстремумы заданной функции найдены.

Аналогичным образом можно находить условные экстремумы функций трёх и более переменных.

Условный экстремум

Понятие условного экстремума.

Пусть на открытом множестве (G subset boldsymbol^) заданы функции (f_(x)), (f_(x), ldots, f_(x)), причем (m Определение 1.

Точка (x^ = (x_^, ldots, x_^) in G) называется точкой условного минимума функции (f_(x)) при наличии связей eqref, если найдется такая окрестность (S_(x^)), что для всех (x in G cap S_(x^)) выполнено неравенство (f_(x) geq f_(x^)).

Точка (x^ in G) называется точкой строгого условного минимума функции (f_(x)) при наличии связей eqref, если найдется такая окрестность (S_(x^)), что для всех (x in dot_(x^) cap G) выполнено неравенство (f_(x) geq f_(x^)).

Аналогично определяются точки условного максимума. Точки условного максимума и минимума называются точками условного экстремума.

Прямой метод отыскания точек условного экстремума.

Предположим, что из системы уравнений eqref можно выразить какие-либо (m) переменных (x_) через остальные переменные. Тогда, подставив вместо соответствующих переменных (x_) их выражения через остальные (n-m) переменных в функцию (f_(x)), получим функцию (F) от (n-m) переменных.

Задача о нахождении точек экстремума функции (f_(x)) при наличии связей eqref сведется к задаче нахождения обычного (безусловного) экстремума функции (F), зависящей от (n-m) переменных.

Найти точки условного экстремума функции (z = 1-x^-y^), если (x+y = 1).

(vartriangle) Уравнение связи (x+y = 1) легко разрешается относительно переменной (y), а именно (y = 1-x). Подставив это выражение для (y) в функцию (z = 1-x^-y^), получаем, что (z = 1-x^-(1-x)^ = 2x-2x^). Функция (2x-2x^) имеет максимум при (x = frac). Точка ((frac, frac)) является точкой условного максимума функции (z(x, y)) при наличии связи (x+y = 1), причем (z_ = displaystylefrac). (blacktriangle)

Прямой метод нахождения условного экстремума редко бывает эффективным ввиду трудности разрешения уравнений связей относительно какой-либо группы переменных.

Метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию (n+m) переменных
$$
L(x, lambda) = f_(x)+lambda_f_(x)+ldots+lambda_f_(x),nonumber
$$
где (x in G), а (lambda = (lambda_, ldots, lambda_) in boldsymbol^). Числа (lambda_, ldots, lambda_) называются множителями Лагранжа, а функция (L(x, lambda)) называется функцией Лагранжа.

Пусть (x^) — точка условного экстремума функции (f_(x)) при наличии связей eqref, и пусть функции (f_(x)), (i = overline), непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (x^), причем в точке (x^) ранг матрицы Якоби
$$
A = begindisplaystylefrac<partial f_><partial x_>(x)&ldots&displaystylefrac<partial f_><partial x_>(x)\………&…..&…….\displaystylefrac<partial f_><partial x_>(x)&ldots&displaystylefrac<partial f_><partial x_>(x)endlabel
$$
равен (m).

Тогда найдутся такие множители Лагранжа (lambda_^, ldots, lambda_^), что ((x^0, lambda^0)) будет стационарной точкой функции Лагранжа.

(circ) Так как (m Теорема 2.

Пусть (x^) есть точка условного минимума функции (f_(x)) при наличии связей eqref, и пусть функции (f_(x)), (i = overline), имеют непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки (x^), причем в точке (x^) ранг функциональной матрицы eqref равен (m).

Тогда найдутся множители Лагранжа (lambda_^, ldots, lambda_^) такие, что ((x^, lambda^)) есть стационарная точка функции Лагранжа, a (d^L(x^, lambda^) geq 0) при ((dx_, ldots, dx_) in E_).

(circ) Так как выполнены все условия теоремы 1, то найдутся множители Лагранжа (lambda_^, ldots, lambda_^) такие, что ((x^, lambda^)) будет стационарной точкой функции Лагранжа, то есть выполняются условия eqref. Повторяя рассуждения теоремы 1, рассмотрим сложную функцию eqref, имеющую безусловный экстремум в точке ((x_^, ldots, x_^)). Так как эта функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то, в силу теоремы о необходимом условии минимума должно быть выполнено условие (d^F(x_^, ldots, x_^) geq 0).

Воспользовавшись правилом нахождения второго дифференциала сложной функции и формулой eqref, находим, что
$$
sum_^ sum_^ frac <partial^f_(x^)> <partial x_partial x_> dx_ dx_+sum_^ frac <partial^f_><partial x_>(x^) d^x_ geq 0.label
$$

Если умножить каждое из равенств eqref на соответствующий множитель Лагранжа (lambda_^) и сложить с неравенством eqref, то получаем неравенство
$$
d_^L(x^, lambda^)+sum_^ frac<partial L(x^, lambda^)><partial x_> d^x_ geq 0.label
$$
Последняя сумма в неравенстве eqref равна нулю, так как ((x^, lambda^)) есть стационарная точка функции Лагранжа и в ней выполняются условия eqref. Таким образом, (d_^L(x^, lambda^) geq 0) при ((dx_, ldots, dx_) in E_). (bullet)

(Достаточные условия условного экстремума).

Пусть функции (f_(x)), (i = overline), имеют непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки (x^ in boldsymbol^), причем в точке (x^) ранг функциональной матрицы (3) равен (m), и пусть ((x^, lambda^)) есть стационарная точка функции Лагранжа (L(x, lambda)).

Тогда если (d_L(x^, lambda^)) есть положительно определенная квадратичная форма при (dx in E_), то (x^) является точкой условного строгого минимума функции (f_(x)) при наличии связей eqref. Если (d_L(x^, lambda^)) есть отрицательно определенная квадратичная форма при (dx in E_), то (x^) — точка условного строгого максимума. Если (d_L(x^, lambda^)) есть неопределенная квадратичная форма при (dx in E_), то (x^) не есть точна условного экстремума функции (f_(x)) при наличии связей eqref.

(circ) Пусть
$$
E = <x: f_(x) = 0, i = overline>.label
$$
По условию теоремы функции (f_(x)), (i = overline), имеют непрерывные частные производные второго порядка, а ранг функциональной матрицы eqref равен (m). Повторяя рассуждения теоремы 1, можем без ограничения общности считать, что выполнено условие eqref и что найдется такая окрестность (K(x^) = K_(x_^, ldots, x_^) times K_(x_^, ldots, x_^)), что множество (E cap K(x^)) можно задать формулой eqref. На (E cap K(x^)) функция (f_(x)) становится функцией (n-m) переменных (F(x_^, ldots, x_^)), определенной формулой eqref и имеющей непрерывные частные производные второго порядка.

Рассмотрим функцию (L(x, lambda^)) на множестве (E cap K(x^)). Очевидно, что
$$
L(x, lambda^) = f_(x) = F(x_, ldots, x_) mbox x in E cap K(x^).label
$$
В силу инвариантности формы первого дифференциала из формулы eqref следует, что
$$
dF(x_^, ldots, x_^) = d_L(x^, lambda^) = 0.label
$$

Пусть (d_^L(x^, lambda^) > 0) при (dx in E_), (dx neq 0). Так как множество (E cap K(x^)) можно задать в форме eqref, то, выбирая (dx_, ldots, dx_) произвольным образом, получим, что дифференциалы (dx_,…, dx_) зависят от ((dx_, ldots, dx_)). Дифференцируя тождества eqref в точке (x^), получаем соотношения eqref, которые означают, что (dx in E_).

Из eqref и eqref получаем, что ((x_^, ldots, x_^)) есть точка строгого минимума функции (F(x_, ldots, x_)), то есть (x^) есть точка строгого минимума функции (f_(x)) на множестве (E cap K(x^)). Таким образом, (x^) есть точка строгого условного минимума функции (f_(x)) при наличии связей eqref.

Аналогично рассматривается случай, когда (d_^L(x^, lambda^) Замечание.

Если окажется, что (d_^L(x^, lambda^)) есть положительно определенная квадратичная форма на всем пространстве (boldsymbol^), то (d_^L(x^, lambda^) > 0) при (dx in E_), (dx neq 0). Поэтому в этом случае в квадратичной форме (d_^L(x^, lambda^)) не нужно исключать зависимые дифференциалы.

Найти экстремумы функции (x-2y+2z = u) и на сфере (x^+y^+z^ = 1).

(vartriangle) Строим функцию Лагранжа
$$
L(x, y, z, lambda) = x-2y+2z+lambda(x^+y^+x^-1)nonumber
$$
Стационарные точки функции Лагранжа находим, решая систему уравнений
$$
frac = 1+2lambda x = 0,quad frac = -2+2lambda y = 0,quad frac = 2+2lambda z = 0,nonumber
$$
$$
frac = x^+y^+z^-1 = 0.nonumber
$$
Исключая из этой системы (x, y, z), получаем (displaystyleleft(fracright)^+left(fracright)^+left(fracright)^-1 = 0), откуда (lambda_ = displaystylefrac), (lambda_ = -displaystylefrac).

У функции Лагранжа есть две стационарные точки,
$$
M_ = left(-frac, frac, -frac, fracright)quad mboxquad M_ = left(frac, -frac, frac, -fracright).nonumber
$$

Так как (d^L(M_) = 3(dx^+dy^+dz^) > 0), a (d^L(M_) = -3(dx^+dy^+dz^) 0), тo (displaystyleleft(-frac, frac, -frac, fracright)) — точка условного минимума, a (displaystyleleft(frac, -frac, frac, -fracright)) — точка условного максимума функции (u = x-2y+2x) при наличии ограничения (x^+y^+z^-1 = 0), Причем (u_ = -3), (u_ = 3). (blacktriangle)

Найти условные экстремумы функции (f_(x, y) = e^), (a neq 0), при наличии ограничения (f_(x, y) = x^+y^+x+y-4 = 0).

(vartriangle) Построим функцию Лагранжа:
$$
L(x, y) = e^+lambda(x^+y^+x+y-4).nonumber
$$
Стационарные точки функции Лагранжа определяются из системы уравнений
$$
begin
& displaystylefrac = aye^+lambda(3x^+1) = 0,\
&\
& displaystylefrac = axe^+lambda(3y^+1) = 0,\
&\
& displaystylefrac = x^+y^+x+y-4 = 0.
endlabel
$$

Умножая первое уравнение на (x), а второе на (y) и вычитая, получаем
$$
lambda(3x^-3y^+x-y) = lambda(x-y)(3x^+3xy+3y^+1) = 0.label
$$

Если (lambda = 0), то из первых двух уравнений eqref получаем (x = y = 0). Но (x = y = 0) не удовлетворяет уравнению связи. Итак, (lambda neq 0), поэтому из eqref следует, что (x = y) (второй сомножитель всегда положителен: (3(x^+xy+y^)+1 > 0)). Подставляя (x = y) в уравнение связи, получаем (x^+x = 2), (x = y = 1). Первое из уравнений eqref дает при (x = y = 1) значение (lambda = -displaystylefrac e^).

Поэтому при (a 0) — условный максимум функции (f_(x, y)) при наличии связи (x^+y^+x+y = 4), причем экстремальное значение функции равно (e^). (blacktriangle)

Уравнение связи (x^+y^+x+y = 4) было бы затруднительно разрешить относительно одной из переменных. Метод Лагранжа для примера 2 более эффективен, чем прямой метод исключения зависимых переменных.

Несколько замечаний о методе множителей Лагранжа.

Задачи об отыскании экстремумов функций (как числовых, так и функций более общей природы) при наличии ограничений являются весьма распространенными. Теория экстремальных задач интенсивно развивается и находит широкий круг приложений. Здесь были рассмотрены ограничения типа равенств, задаваемые достаточно гладкими функциями (гладкие связи). Метод множителей Лагранжа имеет глубокие обобщения и на более общий случай, когда ограничения задаются системой равенств и неравенств при помощи недифференцируемых в обычном смысле функций.

В конкретных прикладных вопросах множители Лагранжа имеют содержательную интерпретацию. Так, в механике множители Лагранжа задают реакции связей, а в математической экономике — цены на продукты производства. Широко развиты приближенные методы решения экстремальных задач, использующие современную вычислительную технику.

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Математический анализ
• Исследование функций на условный экстремум.

Исследование функций на условный экстремум.

Функция $u=f(P)=f(x_1, x_2, . x_n)$ имеет условный максимум (минимум) в точке $P_0(x_1, . x_n)$, если существует такая окрестность точки $P_0,$ для всех точек которой $Pneq P_0,$ удовлетворяющих уравнениям связи $$varphi_k(P)=varphi_k(x_1. x_n)=0quad (k=1, 2, . m:,,,,, m f(P)$ (соответственно $f(P_0) ).

Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа $$L(x_1, x_2, . x_n, lambda_1, . lambda_m)=f(x_1, . x_m)+sumlimits_^mlambda_kvarphi_k(x_1. x_n);$$

$lambda_kquad (k=1, 2, . m)$ называются множителями Лагранжа.

Необходимые условия условного экстремума выражаются системой $n+m$ уравнений $$frac=0quad (i=1, 2, . n)qquad ,,,,quad\varphi_k(P)=0quad (k=1, 2, . m)qquad quad(1)$$ из которой могут быть найдены неизвестные $$x_1^0,, . x_n^0,,lambda_1^0,. ,lambda_m^0,$$ где $x_1^0,, . x_n^0$ — координаты точки, в которой возможен условный экстремум.

Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением знака 2-го дифференциала функции Лагранжа $d^2 L(x_1^0,, . x_n^0,,lambda_1^0,. ,lambda_m^0, dx_1,. dx_n)$ для каждой системы значений $x_1^0,, . x_n^0,,lambda_1^0,. ,lambda_m^0,$ полученной из (1) при условии, что $dx_1,, dx_2,, . dx_n$ удовлетворяют уравнениям $$sumlimits_^nfracdx_j=0quad (k=1, 2, . m)qquad (2)$$ при $dx_1^2+dx_2^2+. +dx^2_nneq 0.$ А именно, функция $f(P)$ имеет условный максимум в точке $P_0(x_1^0. x_n^0),$ если для всевозможных значений $dx_1, . dx_n,$ удовлетворяющих условиям (2) и не равных одновременно нулю, выполняется неравенство $d^2 L(x_1^0,, . x_n^0,,lambda_1^0,. ,lambda_m^0, dx_1,. dx_n) и условный минимум, если при этих условиях $d^2 L(x_1^0,, . x_n^0,,lambda_1^0,. ,lambda_m^0, dx_1,. dx_n)>0.$

В случае функции $z=f(x, y)$ при уравнении связи $varphi(x,, y)=0$ функция Лагранжа имеет вид $L(x, y, lambda)=f(x, y)+lambdavarphi(x,y.)$

Пусть $P_0(x_0, y_0), , lambda_0$- любое из решений этой системы и $$Delta=-begin0&varphi_x'(P_0)&varphi_y'(P_0)\varphi_x'(P_0)&L_»(P_0,lambda_0)&L_»(P_0,lambda_0)\varphi_y'(P_0)&L_»(P_0,lambda_0)&L_»(P_0,lambda_0)end.$$

Если $Delta 0 -$ то условный минимум.

Примеры.

Найти условные экстремумы функций.

7.201. $z=x^2+y^2-xy+x+y-4$ при $x+y+3=0.$

Решение.

Составим функцию Лагранжа: $$L(x, y, lambda)=x^2+y^2-xy+x+y-4+lambda(x+y+3).$$

Система (1) принимает вид $$left<begin2x-y+1+lambda=0\2y-x+1+lambda=0\x+y+3=0endright.$$

Ответ: в точке $P(-1,5;-1,5)$ функция имеет условный минимум; $z_=-4,75.$

7.202. $z=frac+frac$ при $x+y=2.$

Решение.

Составим функцию Лагранжа: $$L(x, y, lambda)=frac+frac+lambda(x+y-2).$$

Ответ: в точке $P(1;1)$ функция имеет условный минимум; $z_=2.$

7.205. $z=2x+y$ при $x^2+y^2=1.$

Составим функцию Лагранжа: $$L(x, y, lambda)=2x+y+lambda(x^2+y^2-1).$$

Система (1) принимает вид $$left<begin2+2xlambda=0\1+2ylambda=0\x^2+y^2-1=0endright.$$

Получили два решения системы: при $lambda_1=frac$ $x_1=-frac;$ $y_1=-frac;$

$$Delta=-begin0&2x&2y\2x&2lambda&0\2y&0&2lambdaend=-(-8lambda y^2-8lambda x^2).$$

Следовательно, в точке $P_1(-frac;-frac$ функция имеет условный минимум.

Ответ: в точке $P_1(-frac;-frac$ функция имеет условный минимум ; $z_=-sqrt 5.$ в точке $P_2(-frac;-frac$ функция имеет условный максимум, $z_=sqrt 5.$