Исследовательская работа по диофантовым уравнениям

Международная научно-практическая конференция

«Первые шаги в науку»

Исследовательская работа по математике по теме:

“Диофантовы уравнения, типы и способы решения»

Предметная область: математика

Работу выполнила:Хомякова Ольга, ученица 10 класса

Учитель:, учитель математики

МБОУ средняя школа №4 с углубленным изучением отдельных предметов

2.Виды диофантовых уравнений и их классификация

3. Диофантовые уравнения в части С ЕГЭ-13

4. Практическое применение теории диофантовых ур-ний -16

В школьном курсе математики диофантовы уравнения практически не изучаются, но, например, в заданиях группы С6 в ЕГЭ встречаются уравнения 2-ой степени. Также с этими заданиями я сталкивалась в математических олимпиадах. Я заинтересовалась этой темой для того, чтобы успешно сдать Единый Государственный Экзамен и принимать участие в олимпиадах и конкурсах. Помимо этого, меня заинтересовала практическая направленность области этой темы.

Предметная областью моего исследования является математика.

Объект работы — диофантовы уравнения, типы и способы их решения.

1. Повысить уровень математической культуры ;

2. Развить в себе навыки исследовательской деятельности в области математики;

3. Научиться самой и научить других решать диофантовы уравнения эффективными методами;

4. Применять эти методы решения к задачам из повседневной жизни человека, а также к задачам, предлагаемым на вступительных экзаменах в ВУЗы и в олимпиадных заданиях;

5. Классифицировать методы решений дифференциальных уравнений;

6. Составить сборник задач с решениями в помощь ученикам нашей школы.

1. изучить исторические корни ;

2. научиться пользоваться научной литературой, строить графики в современных компьютерных программах, быстро и грамотно находить информацию в интернете;

3. исследовать методы решения задач, приводимых к уравнениям первой степени с двумя переменными, выбрав самые удобные и простые;

4. научиться решать задачи из повседневной жизни, вступительных экзаменов в ВУЗы экономического направления и олимпиадных заданий, применив изученные ранее методы;

5. разработать методическое пособие для всех интересующихся (подобрать или самим составить задачи с экономическим содержанием, приводящие к решению уравнений с двумя переменными).

Методы исследования : анализ, синтез, сравнение, противопоставление, ранжирование, прогнозирование, наблюдение.

Гипотеза: изучив типы, классифицировав диофантовы уравнения по способам решения можно успешно справиться с решением текстовых задач, задач с практическим содержанием и с частью заданий С6 ЕГЭ.

1. Изучение истории появления диофантовых уравнений, основной литературы по этой теме;

2. Изучение способов и методов решения диофантовых уравнений;

3. Попытка их классификации ;

4. Поиск практической значимости данной темы.

Видео:Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

Основая часть.

Видео:Классический способ решения Диофантовых уравнений ➜ Решите уравнение в целых числах ➜ 13x-7y=6Скачать

1.Историческая справка.

Диофант( вероятно 3 в. н. э. – древнегреческий математик из Александрии)

Диофантовы уравнения – алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, у которых отыскиваются целые или рациональные решения.

Эти уравнения названы по имени Диофанта ( вероятно 3 в. н. э. – древнегреческий математик из Александрии), изучавшего такие уравнения.

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам неизвестно ни время, когда он жил, ни предшественники, которые работали бы в той же области. Достаточно решить уравнение первой степени с одним неизвестным – и мы узнаем, что Диофант прожил 84 года.

Наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть из тринадцати книг, которые были объединены в “Арифметику”, стиль и содержание этих книг резко отличается от классических античных сочинений по теории чисел и алгебры, образцы которых мы знаем по “Началам” Евклида, его “Данным”, леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. “Арифметика”, несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые остались совершенно неизвестными. Число неизвестных диофантовых уравнениях превосходит число уравнений, и поэтому иногда их называют неопределенными.

Диофантовы уравнения впервые обстоятельно исследовались в книге Диофанта “Арифметика”. Такие уравнения имеют некоторые особенности:

1. Они сводятся к уравнениям или системам уравнений с целочисленными коэффициентами.

2. Требуется найти только целые, часто натуральные решения.

2. Определение, виды диофантовых уравнений и способы их решений.

Итак, диофантовым уравнением для целочисленных переменных х 1 , х 2 , …, х n называется уравнение, которое может быть приведено к виду

Где Р — некоторый многочлен от указанных переменных с целыми коэффициентами.

Простейшим диофантовым уравнением является уравнение вида ax + by = c , где a и b – целые взаимно простые числа. Такое диофантово уравнение имеет бесконечное число решений: если x 0 и y 0 – одно решение, то числа x = x 0 + bn и y = y 0 — an ( где n — любое целое число ) также будут решениями, которыми исчерпывается вся совокупность решений.

Виды диофантовых уравнений:

Итак, я предлагаю рассмотреть решение следующего уравнения:

Так как 8 и 9 взаимно простые числа, т. е. наибольший общий делитель 8 и 9 равен 1 то решение существует. Одно из решений найдем подбором:

x 0 =2, y 0 =3. Остальные решения вычисляются по формулам:

x = x 0 + bn

Если наибольший общий делитель d коэффициентов а и b больше 1, а свободный член с не делится на d , то уравнение ах + by = c не имеет решений в целых числах.

А теперь рассмотрим линейное диофантово уравнение, которое не имеет целых решений:

Для доказательства того, что это уравнение не имеет целых решений, необходимо вынести за скобки общий множитель 5, получим 5( x +7 y )=17 . Тогда левая часть уравнения делится на 5, а правая часть на 5 не делится. Значит, уравнение не имеет решений в целых числах.

Любое уравнение ах + by = с , где НОД(а, b ) = 1, имеет хотя бы одно решение в целых числах.

К диофантовому уравнению приводит и такая задача:

На покупку нескольких открыток по 11 рублей и конвертов по 13 рублей потратили всего 61 рубль. Сколько купили открыток?

Давайте обозначим число открыток через х, а число конвертов через y , то задача сводится к уравнению 11 x +13 y =61 . Очевидно, что по условию задачи здесь пригодны лишь целые положительные числа. Методом подбора найдем такие числа. Данное уравнение имеет только одно такое решение: x =2, y =3 .

Еще в Древнем Вавилоне родилась задача о построении прямоугольного треугольника с попарно соизмеримыми сторонами. Соизмеримость сторон означает, что найдется такой масштаб, в котором катеты и гипотенуза будут выражаться натуральными числами x и y , но тогда:

Таким образом, вавилонская задача сводится к задаче построения всех троек натуральных чисел x , y , z удовлетворяющих предыдущему уравнению. Пифагорейцы нашли способ построения всех его решений. Но, возможно, этот способ был найден еще раньше в Вавилоне и Индии. Так или иначе, решения ( x , y , z ) уравнения x ^2+ y ^2= z ^2 принято называть пифагоровыми тройками: x =2 n +1; y =2 n ( n +1) ; z =2 n ^2+2 n +1 , n принадлежит Z . Примеры пифагорейских троек: 3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13.

Однако эти формулы не дают возможности найти все пифагорейские тройки чисел, имеющие выбранное исходное число. Формулы Пифагора и Платона и их различные модификации дают только частные решения. Приведем еще примеры пифагорейских троек чисел, которые нельзя получить по указанным формулам: 72, 65, 97; 72, 320, 328.

Эти и другие пифагорейские тройки чисел дает вавилонская клинописная табличка, относимая к эпохе гг. до н. э. Метод вавилонян дает возможность найти все пифагорейские тройки, содержащие выбранные исходные числа.

Известный в теории диофантовых уравнений является проблема Ферма ( Пьер Ферма ( ) – французский математик). Эта проблема носит название великой теоремы Ферма.

Она была сформулирована Ферма примерно в 1630 году на полях книги Диофанта “Арифметика”. Общее доказательство получил английский математик Уайлс в 1995 году.

2уравнения второй степени:

Я предлагаю вам решить 4 уравнения:

Итак, попробуем найти решение для первого уравнения:

Так как число 11 имеет делители только 1 и 11, то возможны следующие сочетания сомножителей:

1. x =1,

Тогда x=1, y=10.

Тогда x=11, y= -10

Тогда x= -1, y= -10

Тогда x= -11, y= 10

Ответ запишем в следующем виде: (1;10), (11;-10), (-1;-10), (-11;10).

Задачу №2 я предлагаю решить аналогичным способом, при помощи 4 систем.

1. х=2,

Тогда х=2, у=1/3 (т. е. система не имеет решения в целых числах).

2. х=1,

Тогда х=1, у=-1/3 (т. е. система не имеет решения в целых числах).

Тогда х=-1, у=1/3 (т. е. система не имеет решения в целых числах).

Тогда х=-2, у=-1/3 (т. е. система не имеет решения в целых числах).

Из этих пар чисел видно, что уравнение не имеет решений в целых числах.

Задачу № 3 тоже можно решить при помощи 4 систем. Решив системы, получим следующие пары чисел: ( 0;-1), (0;1), ( y =4/5), ( y = -4/5)

Последние две системы не имеют целых решений, следовательно, ответ: (0;-1),(0;1).

Последнее уравнение не похоже на 3 предыдущих.

Преобразуем заданное уравнение (вынесем за скобки y и вычтем и прибавим число 3):

В результате преобразований получаем уравнение:

Так как число 2 может быть представлено 4 способами в виде произведения целых чисел 2= (-2) * (-1); 2=( -1) * ( -2); 2=1 * 2; 2= 2*1, то возможны четыре системы. Из них получаем четыре пары чисел (1; -2), (2; -3), ( 4;1), (5;0). Ответом этого уравнения будут являться все 4 пары.

Запишем данное уравнение в виде (3 x – y ) * (3 x + y )=14 . Так как число 14 с учетом порядка следования множителей может быть представлено в виде произведения целых чисел следующим образом: 14=( -2) * (-7); 14=( -7) *(-2); 14=( -1) * ; 14= (-14) * (-1); 14= 2 * 7; 14= 7 * 2; 14= 1* 14; 14= 14* 1, то будет 8 случаев.

Решив все 8 систем, мы получаем дробные значения, а значит, что это уравнение не имеет решений в целых числах.

Разложим левую часть заданного уравнения на линейные множители: Уравнение примет вид: (3 x + 2 y )( x + y )=7

Так как 7 число простое, то оно равно произведению двух целых чисел в четырех случаях. Решив все 4 системы, получим пары чисел (-5;4), (5; -4), ( -13;20), ( 13;-20). Эти числа и будут ответом.

x^2 + y^2 – 2x + 4y=-5

В левой части уравнения выделим полный квадрат:

x^2 – 2x + 1 + y^2 + 4y + 4=0

Сумма квадратов равна 0 лишь в одном случае

( x – 1) ^ 2=0 ,

Решив систему, получим, что x = 1, y = -2

x^2 – 6x + y^2 + 6y + 18=0

Докажем, что это уравнение имеет единственное целочисленное решение.

В левой части уравнения выделим полные квадраты :

( x – 3 )^2 + ( y + 3 )^2=0

Данное уравнение имеет решение, когда

x – 3=0,

Теперь я предлагаю рассмотреть графический метод решения диофантовых уравнений.

Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0:

1. Придать переменной х конкретное значение х= х1; найти из уравнения ах1 + by + c = 0 соответствующее значение y = y 1.

2. Придать переменной х другое значение х=х2; найти из уравнения ах2 + by + c = 0 соответствующее значение y = y 2.

3. Построить на координатной плоскости х Oy две точки (х1;у1) и (х2;у2).

4. Провести через эти две точки прямую – она и будет графиком уравнения ах + by + с = 0.

Так, например, уравнение 5 x + 7 y =17 можно решить графическим методом, изобразив прямую 5 x + 7 y = 17, и определив на этой прямой точки, обе координаты которых будут в данном случае натуральными числами.

Целые решения: (2 ;1),( 9;-4), ( 16;-9),(-5;6),(-12;11)

Видео:РЕШАЕМ ДИОФАНТОВОЕ УРАВНЕНИЕ | ПРОСТЫМИ СЛОВАМИСкачать

3. Диофантовы уравнения в заданиях С5 ЕГЭ.

Необходимо найти все пары (х, у) целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств:

x ^2 + y ^2 x – 20 y – 166, (1)

Рассмотрим на координатной плоскости области, которые описываются заданными неравенствами. А затем выберем в них лишь точки с целочисленными координатам х, у.

Получаем два случая:

1) Неравенство (1) путем выделения полных квадратов сводится к условию

Т. е. описывает внутренность круга с центром А(9; -10) и радиусом R 1=√15 .

2) Неравенство (2) сводится к виду

Т. е. описывает внутренность круга с центром В(16; -6) и радиусом R 2=√21 .

Единственной точкой, принадлежащей одновременно двум кругам, будет точка М( 12; -8). Это выясняется подстановкой в систему числовых значений координат всех узлов квадратной сетки, соседних с точкой М.

Найти наименьшее значение суммы тогда в области

Решением данного неравенства является область, ограниченная окружностью радиусом 2 с центром в точке O (1;-2)

Пусть искомое значение , тогда

Угловой коэффициент равен -1, – значение координаты y при x =0.

Треугольник ABC прямоугольный. Чтобы найти c , достаточно найти ординату точки B . Для этого найдем координаты точек A и B . Зная, что точки лежат на прямой с точкой O (1;-2), т. е. на прямой , и на окружности , решим систему

A ( ) C ( ; )

Согласно рисунку ;

B ( ; )

Ответ:

Видео:Метод Спуска В Диофантовых УравненияхСкачать

4.Практическое применение теории диофантовых уравнений.

Неожиданно, лет 20-30 назад, было осознано, что эту чисто абстрактную теорию можно использовать для построения алгоритмов, которые нужны для криптографии, чтобы зашифровывать и безопасно передавать секретные сообщения, а также снимать и класть деньги в банкоматах и т. п. Теория эта оказалась востребована на практике. Яркий пример: в девяностые годы, когда математикам есть было нечего, многие уехали за границу, но многие и остались здесь, и некоторые математики из провинциальных институтов успешно сотрудничали с банками. Банкиры обратились к ним с просьбой помочь в переводе денег из дальних регионов в Москву. В России есть целая Академия криптографии и научно-исследовательские организации, которые используют такие разработки.

Знаменитый мост Золотые Ворота был построен с применением диофантовых уравнений.

Мост Золотые Ворота

Видео:Математика. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать

Заключение.

В процессе исследования типов диофантовых уравнений мне удалось их классифицировать по способам решения, выработать алгоритм решения некоторых распространенных видов этих уравнений, научиться решать текстовые задачи, успешно справляться с заданиями части С ЕГЭ, о чем свидетельствует диплом 2 степени на всероссийской дистанционной олимпиаде по математике на сайте «Инфоурок. Ру.»

Данная исследовательская работа дала мне возможность совершенствовать навыки работы с научно-популярной литературой и освоить программы графопостроители.

Говоря о практическом использовании полученных результатов нельзя не вспомнить слова Алексея Николаевича Крылова: «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле».

Видео:Линейные диофантовы уравненияСкачать

Научно -исследовательская работа на тему » Диофант и его уравнения»

В работе рассматриваются неопределенные уравнения первой степени,второго порядка,третьей степени,методы решения диофантовых уравнений,теория чисел по диофанту,связь неопределенных уравнений с теоремой Пифагора .Великая теорема Ферма.

Видео:Решение диофантовых уравненийСкачать

Скачать:

Видео:Диофантовы уравнения x+y=xyСкачать

Предварительный просмотр:

Глава I Диофант и диофантовы уравнения

1.1 «Арифметика» Диофанта 6

1.2 Диофант и способы его решений неопределенных уравнений 14

1.3 Теория чисел по Диофанту 18

1.4 Неопределенные уравнения первой степени 23

1.5 Неопределенные уравнения второго порядка 34

1.6 Неопределенные уравнения третьей степени 41

Глава II Методы решений диофантовых уравнений

2.1 Решение диофантовых уравнений методом «перебора» 45

2.2 Решение диофантовых уравнений методом «спуска» 47

2.3 Решение диофантовых уравнений методом «рассеивания» 51

2.4 Алгоритм Евклида 57

2.5 Цепные дроби 61

2.6 Связь диофантовых уравнений с теоремой Пифагора 66

2.7 Великая теорема Ферма 68

Необычайный рассвет древнегреческой науки IV-III вв. до н.э. сменился к началу новой эры постепенным спадом в связи с завоеванием Греции Римом, а потом и начавшимся разложением Римской империи. Но на фоне этого угасания еще вспыхивает яркий факел. В III веке уже новой эры появляется сочинение александрийского математика Диофанта «Арифметика».

Диофант был одним из самых своеобразных математиков, труды которого имели большое значение для алгебры и теории чисел. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в III веке н.э.

В одном из древних рукописных сборников задач в стихах¹ жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле. [6; 374]

«Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей – и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов часть жизни он прожил ребенком

И половину шестой он встретил с пушком на щеках. Только минута седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец. Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей».

Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:

Речь идет о греческой «Палатинской антологии», изданной в VI в. грамматиком Метродором.

Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Считают, что великий математик жил около 250 года.

Диофант написал большой труд под общим названием «Арифметика», из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. Эти книги были открыты в Венеции в 1463 г Регимонтаном, который в связи с этим писал, что в произведении Диофанта сосредоточен «весь цвет арифметики, искусство неизвестной»

В сохранившихся книгах Диофанта содержатся 189 задач с решениями. В первой книге изложены задачи, приводящие к определенным уравнениям первой и второй степени. Остальные же 5 книг содержат в основном неопределенные уравнения. В этих книгах еще нет систематической теории неопределенных уравнений, методы решения меняются от случая к случаю. Диофант довольствуется каким-нибудь одним решением, целым или дробным, лишь бы оно было положительным. Тем не менее, решения составляют основной вклад Диофанта в математику.

В работе рассматривается вопрос о видах диофантовых уравнений и способах их решений.

Основная цель — изучить диофантовы уравнения и методы их решения.

Цель исследования определяет следующие задачи:

1)Изучить исторический аспект.

2)Выделить виды диофантовых уравнений.

3)Рассмотреть методы решения неопределенных уравнений.

4)Выявить специфические особенности решения задач с помощью диофантовых уравнений.

5)Выявить связь неопределенных уравнений с теоремой Пифагора.

К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвестные значения величин могут быть только целыми числами. Решение уравнений в целых числах — очень увлекательная задача. Задачи диофантовой «Арифметики» решаются с помощью уравнений, а проблемы решения уравнений относятся скорее к алгебре, чем к арифметике.

Решение задач с помощью диофантовых уравнений имеют специфические особенности. Во-первых, они сводятся к уравнениям или системам уравнений с целыми коэффициентами. Как правило, эти системы неопределенные, то есть число уравнений в них меньше числа неизвестных.

Во-вторых, решения требуется найти только целые, часто натуральные. Для выделения таких решений из всего бесконечного их множества приходится пользоваться свойствами целых чисел, а это уже относится к области арифметики.

Тема актуальна и значима в школьном курсе, так как расширяет представления об уравнениях с несколькими переменными, развивает познавательную активность, интерес к математике.

Поскольку тема интересна, требует сообразительности, напряженной работы ума, исследовательского подхода к рассматриваемой проблеме, поэтому очень часто задачи встречаются в материалах математических олимпиад различных уровней.

Сообщение исторических сведений по математике является одной из форм воспитания научного мировоззрения, способствуют лучшему усвоению науки, воспитывает отношение к математике как части общечеловеческой культуры. Без математики человека нельзя назвать культурным. Как отмечают современные ученые, требования нашего времени таковы, что каждому специалисту, будь то естествоиспытатель или гуманитарий, необходимы знания в области математики. Математика – язык, который связывает науки между собой. Математика есть продукт творческой деятельности человеческого гения в течение тысяч лет, а не хитрая выдумка какого-то одного «мудреца». Каждая теорема, каждое уравнение – это обобщение гигантского опыта человечества, подведение итогов многовековой работы человеческой мысли.

ГЛАВА I ДИОФАНТ И ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

1.1 «Арифметика» Диофанта

Диофант открыл новую главу в математике, и невозможно выявить, какие невидимые источники питали его творчество.

С 16 века известны только 6 книг из его великого труда « Арифметики». Они содержатся в греческом манускрипте, обнаруженные в 1464 году Регимонтаном в Венеции и явившемся копией более древнего манускрипта. Неясно, где располагались семь недостающих книг в общей структуре трактата. Тот кажущийся беспорядок, в котором находится этот труд, и который мог возникнуть в результате переписок и вмешательства позднейших комментаторов, дал пищу для множества противоречивых интерпретаций в ХIХ веке.

Ныне возникла опасность, что прежнее прочтение Диофанта окажется неверным, и анализ его труда нужно будет проводить заново. Действительно, недавно в Иране (1972 г.) были обнаружены и идентифицированы четыре из арифметических книг Диофанта [4; с.104]. Речь идет об арабском манускрипте, датируемом 1175г., который оказался копией знаменитого перевода Диофанта на арабский язык, приписываемого Коста ибн Лука (умер около 912 г.), под названием «Искусство алгебры».

Арабские книги помечены номерами 4, 5, 6 и 7, и первое исследование Рашеда, по-видимому, указывает на то, что они идут за греческой книгой III. Вообще проблему числа и порядка книг «Арифметики» историки математики должны полностью пересмотреть. Может оказаться, что труд Диофанта еще более значителен, чем казалось раньше.

«Арифметику» нельзя считать теоретическим трудом по арифметике в пифагорейском смысле – пифагорейцы термин «арифметика» предназначали для теории чисел, которая считалась дисциплиной без определенного метода, но требующей от ума некоего рода божественной интуиции. А этот трактат ближе всего к традициям вычислительной математики, или логистики. Однако в период, когда Диофант работал над составлением своей книги, это первоначальное различие уже, по-видимому, стерлось – это видно и из самого выбора названия и из того, что практические задачи у Диофанта всегда сначала формулируются в абстрактной форме, а числовые данные вводятся позже. Эта общая и абстрактная формулировка радикальным образом отличает Диофанта от Вавилонских математиков.

Разумно считать «Арифметику» компиляцией, аналогичной «Началам» Евклида, составленной одним автором, но являющейся плодом коллективной традиции.

Диофант выделяет среди чисел квадраты, кубы, биквадраты, квадратокубы, наконец, кубокубы. Наименование степеней основано на сложении показателей степеней, то есть квадратокуб — это квадрат, умноженный на куб. Диофант указывал, что решение большого числа арифметических задач приводит к операциям над числами различного вида, то есть к оперированию с различными степенями неизвестного. Он ввел символы для шести первых положительных и шести первых отрицательных степеней неизвестных.

Неизвестное Х определяется как неопределенное кратное единицы, однако на деле это означает, что его значение может быть рациональным; оно просто называется числом. Числа, не являющиеся коэффициентами при неизвестных, называются единицами и обозначаются символом М. Появился знак вычитания, в то время как сложение чисел обозначается просто написанием их друг за другом.

Наконец, Диофант вставлял слова «часть от» между двумя алгебраическими выражениями в том месте, где мы ставим черту дроби.

Число неизвестных могло достигать шести, но Диофант имел обозначение только для одного. Когда их было несколько, он говорил о первом, о втором, самом большом, самом маленьком и т.д. неизвестном или выражал неизвестные через одно из них. В этом отношении его текст бывает иногда весьма темным.

Диофант написал свой труд в классической форме непрерывного рассуждения. Но он сократил немного этот словесный поток, систематически используя некоторые сокращения для степеней чисел, а также для операций, и заменил некоторые часто встречающиеся слова их начальными и конечными буквами. Но алгебраических манипуляций над этими сокращениями он никогда не производил. Эта стадия эволюции алгебраической записи, промежуточная между чисто описательной, словесной стадией алгебраического символизма, которая сложилась в ХVII веке, была названа синкопированной. Диофант проводил над своими символами все алгебраические операции, которые мы проводим теперь (возведение в степень, приведение подобных, подстановки и т.д.). Отличие от алгебры ХVI-ХVII вв. состояло в том, что у Диофанта не было обозначений для параметров. Им приходилось придавать всякий раз конкретное числовое значение. Таким образом, в «Арифметике» впервые была введена буквенная символика. Более того, в «Арифметике» мы находим впервые запись уравнений (с числовыми коэффициентами), там же формулируются и первые операции с уравнениями, ставшими впоследствии известными под арабскими названиями «ал-джабр» и «ал-мукабала».

Книга I в греческом варианте посвящена определенным задачам первой и второй степени с одним или несколькими неизвестными. Например: «Найти два таких числа, чтобы их сумма и произведение равнялись заданным числам». Нужно, чтобы квадрат полусуммы искомых отличался от их произведения на квадрат. Это необходимое условие формирования. Пусть их сумма будет 20, а произведение 96» (1,27).Диофант действовал следующим образом: он полагал, что разность двух чисел равна двум аритмам (аритм обозначал неизвестную величину), скажем 2d. Тогда эти два числа равны 10+d и 10-d. Имеем (10 + d) (10 –d ) = 96, то есть 100 — d² = 96 и d = 2. В современных обозначениях, если х и у-искомые числа, полагаем

Получаем ху = 100 — d² = 96, откуда d = 2.

Первое число равно 10 + 2 = 12, второе 10 – 2 = 8.

Таким образом, условие разрешимости выражается соотношением

(( ) 2 – ху) 2 = полный квадрат. (1.1.1)

У Диофанта оно имеет целью получение лишь рациональных положительных решений.

Действительно, если мы положим х + у = а и ху = b, то получим значения , которые будут рациональными, если ( ) 2 – b = полный квадрат, что непосредственно дает (1.1.1)

Данная задача возвращает нас к задаче из «Начал» Евклида, состоящей в отыскании двух чисел, сумма и произведение которых известны. Можно заведомо констатировать отсутствие обращений к какому бы то ни было геометрическому построению и обнаружить начатки разрешающего алгоритма, который бесспорно роднит Диофанта с вавилонянами. Эта разрешающая процедура присутствует во многих аналогичных задачах, состоящих в решении систем уравнений с двумя неизвестными, и приводит с помощью исключения к квадратному уравнению. На самом деле квадратных уравнений как таковых у Диофанта нет, хотя он и обещал во введении их рассмотреть, но, тем не менее, многие примеры доказывают, что он был знаком с их решением. Коэффициенты уравнений были всегда рациональными положительными числами, часто даже целыми, и если уравнение не имело рациональных положительных корней, Диофант его отбрасывал и объявлял не имеющим смысла; иногда он изменял числовые значения, чтобы сделать уравнение разрешимым в его смысле. В противоположность Герону Александрийскому или Архимеду, допускавшим в решении геометрических задач иррациональные числа, которые они затем пытались найти приближенно, Диофант проявил себя большим приверженцем арифметики и алгебры. Для него статус чисел распространялся лишь на положительные рациональные числа. Разумеется, отрицательное решение было немыслимо.

Наконец, если уравнение второй степени имеет два допустимых корня, Диофант либо упоминал лишь об одном из них, либо, если он находил эти два решения с помощью различных процедур, то не пытался объединить их общим представлением.

Пять других книг в основном посвящены неопределенным уравнениям, то есть уравнениям и системам уравнений со многими неизвестными, которые, вообще говоря, имеют большое число решений. И здесь Диофант ограничился исключительно рациональными решениями. Можно сказать, что это наиболее новая тема «Арифметики» Диофанта. (В настоящее время исследования целочисленных решений этого типа неопределенных уравнений называют диофантовым анализом).

Можно сказать, что, изучив сто решений Диофанта, невозможно предвидеть сто первое; и действительно, каждая из 189 задач решалась особым способом благодаря разумному выбору вспомогательного неизвестного и блестящим вычислительным приемам, учитывающим конкретные свойства чисел, выбранных в качестве числовых значений. Самые трудные дроби не пугали Диофанта – вообще он любил вычисления.

В общем случае при решении систем неопределенных уравнений он уменьшал число неизвестных, подставляя вместо них произвольные рациональные значения или выбирая вспомогательные неизвестные. Так, некоторые задачи с неопределенными уравнениями изменяли характер в ходе решения, поскольку он доопределял одну или несколько неизвестных произвольным образом, что сводило их к задачам с определенными уравнениями.

Приведем пример неопределенной задачи Диофанта [4; с.111].

Задача 1. «Найти такие три числа, чтобы квадрат суммы всех трех, вычтенный из каждого числа, давал квадрат. Положим сумму этих трех чисел аритмом.»

Условия задачи можно перевести так:

Диофант полагал X + Y + Z = x, откуда (X + Y + Z)² = x².

Затем он сделал следующие подстановки:

X = 2x², Y = 5x², Z = 10x²,

которые обращали все три уравнения в тождества α² = x², β² = 4x²,γ² = 9x².

Затем он подставлял эти значения в соотношение X + Y + Z = x и получал 2х² + 5х² + 10х² = х или 17х² = х, откуда х = , х² =

Решение Диофанта таково: Х = Y = , Z = .

Он редко приводил полное семейство решений.

Хотя ни один общий результат в «Арифметике» не был сформулирован, Диофант явно ссылался на леммы, возможно доказанные в работе, озаглавленной «Поризмы» и полностью утерянной.

Речь идет о тождествах, которые можно квалифицировать как алгебраические, таких, как

[( )] 2 + mn = [( )] 2 , или (m 2 -n 2 ) 2 + (2mn) 2 = (m 2 +n 2 ) 2 ;

второе является тождеством для пифагоровых троек. Например, в задаче из греческой книги III Диофанту нужно было построить четыре прямоугольных треугольника с одинаковой гипотенузой. Он исходит из двух пифагоровых троек: 3, 4, 5 и 5, 12, 13 и, умножая каждый «треугольник» на «гипотенузу» другого, выводит из них две новые пифагоровы тройки: 39, 52,65 и 25,60,65.

Но, пишет далее Диофант, 65 записывается также в виде 16+49 и 64+1, «а это происходит потому, что 65 получается от произведения 13 и 5, а каждое из этих чисел раскладывается на два квадрата».

В действительности он использовал здесь тождество

a = 2, b = 1, c = 2, d = 3,

5·13 = 65 = 4² + 7² = 8² + 1².

Затем отсюда с помощью пифагоровых троек он выводит при m = 7, n = 4 и m = 8, n = 1, что

Числа, выбранные для этого примера, позволяют предположить, что Диофант знал, что всякое простое число вида 4n + 1 является суммой двух квадратов.

Судя по выбираемым им числовым значениям, Диофант, вероятно, был знаком со многими свойствами чисел, например с тем фактом, что число вида 4n + 3 не является суммой двух квадратов, число вида 8n + 7 не является суммой трех квадратов и т.д., но эти свойства нигде не были им высказаны явно(V; 9,11,14).

Многие из них были сформулированы, а затем доказаны Ферма и его исследователями в ХVIII веке и легли в основу современной теории чисел.

«Арифметика» Диофанта предполагала хорошее знакомство со свойствами целых и рациональных чисел и подразумевала знание определенных приемов алгебраического характера: преобразования выражений, подстановок, исключения и т. д., даже если это явно не оговаривалось.

В греческой математике этот труд представлял собой новое по своей сути слово, как в смысле содержания, так и методов, которые означали разрыв с традиционными геометрическими методами. Однако именно эти последние воспринимались впоследствии как основное греческое наследие, в то время как влияние Диофанта оказалось скрытым.

Видео:Как распознать талантливого математикаСкачать

Исследовательская работа по математике «Диафантовы уравнения»

Исследовательская работа по математике «Диафантовы уравнения», выполнена ученицами 8 Д класса МАОУ СОШ № 3 г. Южно-Сахалинска Мачкалян Ангелиной и Авасбековой Айгерим

Научный руководитель — Цой Ю.Е.

Просмотр содержимого документа
«Исследовательская работа по математике «Диафантовы уравнения»»

Муниципальное автономное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №3 имени Героя России Сергея Ромашина

Исследовательская работа по математике
«Линейные диофантовы уравнения»

Выполнили :ученицы 8 Д класса Мачкалян Ангелина,
Авасбекова Айгерим

Научный руководитель :Цой Ю.Е.

Что такое линейное диофантово уравнения? 5

Диофантовы уравнения в олимпиадных задачах 6

Диофантовы уравнения в экономике 7

Применение в истории 10

Диафантовы уравнения в КИМах ЕГЭ 10

Проблема :диофантовы уравнения не изучается в школьной программе,но для решения олимпиадных задач,а также задания уровня С ЕГЭ поэтому необходимо изучить данную тему

Диофантовы уравнения не изучаются в школьном курсе математики, но присутствуют во многих олимпиадных заданиях и в ЕГЭ группы С 6( № 19). Помимо этого они применяются в молекулярной физике и органической химии, системах цифровой подписи и шифрования, в экономике и теории вероятностей.

Цель— узнать что такое линейные диофатовы уравнения, как они решаются, сферы их применения.

Умение решать диофантовы уравнения поможет решать олимпиадные задания, а также подготовиться к решению ряду задач № 19 ЕГЭ.

Изучить литературу, интернет-ресурсы

Узнать, как решаются, когда не имеют решений

Разобрать решение различных задач, в том числе задания №19 ЕГЭ .

Разработать сборник и предложить для решения на дополнительных занятиях по математике.

Что такое линейное диофантово уравнения?

Древнегреческий математик Диофант Александрийский занимался решением отдельных задач, равносильных неопределенным уравнениям (уравнения, содержащие несколько неизвестных), применяя для этого хитроумные, но частные методы. Между тем простой разбор задач Диофанта показывает, что он не только обозначил проблему решения неопределенных уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения.

Диофантовы уравнения – алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях больше числа уравнений.

Рассмотрим простое диофантово уравнение

Найдем частное решение методом подбора х=7, у=2.

Вычтем из уравнения 1) второе равенство, получим

5 и 8 взаимно простые(НОД=1), 5 не делится на 8, следовательно делится (х-7)

Существует более удобный способ подбора частного решения.

Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. 5х — 8у = 19 х = .

Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим вместо у эти числа.

Если у = 0, то х = =.

Если у =1, то х = =.

Если у = 2, то х = = = 7 Z.

Если у =3, то х = =.

Если у = 4 то х = =.

Итак, частным решением является пара (7;2).

Тогда общее решение: n Z.

Диофантовы уравнения могут и не могут иметь решение.

7(5x+4y) делится на 7, а 25 не делится на 7, т.к. эти части равны, такого быть не может, получили противоречие, значит это уравнение не имеет решений. Мы рассмотрели множество таких уравнений и пришли к выводу, что уравнение вида

ax+by=c, не имеют решение, если a и b делятся на целое число d, а с не делится на d, то диофантовое уравнение не имеет решений.

Диофантовы уравнения в экономике

Задача 1. Как, имея монеты в 5 копеек и в 3 копейки, заплатить кассиру в магазине 13 копеек?

Решение : х— количество монет по 5 коп., у- количество монет по 3 коп. Составим и решим уравнение 5х + 3у= 13. Подберём частное решение х=2, у=1, тогда 5·2+3·1=13,

5х + 3у = 5·2+3·1, перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем

5·(х-2) + 3·(у-1) =0, обозначим х-2 = х_1, у-1 = у_1, тогда уравнение становиться однородным, 5х₁+3у₁=0, отсюда , у₁ кратно 5, т.е. у₁ =5n, х₁ = -3n, где n- любое целое число, вернёмся к старым неизвестным х-2= -3n , х= 2-3n,

Ответ: х= 2-3n, у =1+ 5n , где n- любое целое число.

Замечание: Если х будет отрицательным, это значит сдача, т.е. продавец должна будет вернуть .

Задача. 2. Для перевозки зерна имеются мешки, в которые входит либо 60 кг, либо 80 кг зерна. Сколько надо заготовить тех и других мешков для загрузки 1 т зерна таким образом, чтобы все мешки были полными? Какое наименьшее количество мешков при этом может понадобиться?

Решение: Для неизвестных х и у , обозначающих количество мешков по 60 и по 80 кг соответственно, имеем уравнение 60х+80у=1000, сократив обе части уравнения получим 3 х+5 у =50. Надо решить это уравнение в целых неотрицательных числах. Одно целочисленное решение этого уравнения

(-50;50), действительно 3·(-50)+4·50 = 50.

3 х+5 у = 3·(-50)+4·50 , 3( х+50)+5( у-50)=0,

х=4n-50, у=50-3n, где n- любое целое число.

Так как число мешков неотрицательно, то 4n-50 ≥0 и 50-3n ≥0, значит

💥 Видео

Решите уравнение в целых числах 5x-4y=3 ➜ Как решать Диофантовы уравнения?Скачать

Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому видуСкачать

Как решать Диофантовы уравнения ➜ Решите уравнение в целых числах 4x+5y=6Скачать

ПЕРЕЧНЕВЫЕ ОЛИМПИАДЫ. Диофантовы уравненияСкачать

Нелинейный диофант | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Гипотеза Пуанкаре — Алексей Савватеев на ПостНаукеСкачать

Решите уравнение в целых числах 3x^2+5y^2=345 ✱ Диофантовы уравнения ✱ Как решать?Скачать

Диофантовы уравнения x²+xy-y=2Скачать

Диофантовы уравнения в задачах на ЕГЭСкачать

Консультация. Решение линейных диофантовых уравнений от двух переменных 12.02Скачать

Линейные диофантовы уравненияСкачать