по учебной дисциплине
«Теоретические Основы Управления»
Выполнил: магистрант группы МЭЭ-01-13/03
Нестерин Андрей Алексеевич
Проверил: доцент, к. т. н.
Мочалов Михаил Юрьевич
Чебоксары 2014 г.
1) Определить передаточную функцию в операторной форме системы управления, которая описываются следующим уравнением:
Передаточная функция в операторной форме будет иметь следующий вид:
2) Записать дифференциальное уравнение системы управления, передаточная функция которой имеет следующий вид:
Дифференциальное уравнение системы имеет вид:
3) Определить весовую и переходную функции для звена со следующей передаточной функцией:
Из определения переходной функции следует, что 
при 
. Так как при этом 
и 
, то получаем
.
Переходная функция по теореме разложения:
.
.
4) Определить частотную передаточную функцию, вещественную, мнимую, амплитудную, фазовую, логарифмическую амплитудную частотные функции, переходную и весовую функции апериодического звена.
.
Его частотные и временные функции:
5) На вход системы подается сигнал u = 2×sin(0.5t). Определить в установившемся режиме реакцию системы со следующей передаточной функцией:
Изображение входного сигнала
.
Изображение выходного сигнала
.
Установившееся значение оригинала:
.
6) Построить асимптотическую ЛАЧХ звена со следующей передаточной функцией:
Для построения ЛАЧХ (рисунки 1,2) последовательного соединения звеньев следует построить соответствующие характеристики каждого звена, и затем геометрически их сложить:
a. Пропорциональное звено: 
b. Форсирующее звено: 
c. Апериодическое звено: 
d. Колебательное звено: 
7) Записать передаточные функции звеньев, если их асимптотические ЛАЧХ имеют следующий вид:
7) 
a) 
;
b) 
.
Рисунок 1 – Асимптотическая ЛАЧХ
Рисунок 2 – ЛАЧХ
8) Для системы на рисунке определить следующие передаточные функции (ПФ):
а) Wyg — ПФ относительно входа g и выхода у,
б) Wyf — ПФ относительно входа f и выхода y.
9) Составить передаточную функцию для пассивного четырехполюсника, показанного на рисунке:
C1 = 4 мкФ, R2 = 200 кОм, С2 = 1 мкФ.
10) Исследовать устойчивость системы управления, у которой характеристическое уравнение имеет следующий вид:
Корни характеристического уравнения:
11) Исследовать устойчивость системы управления, которая описывается следующим уравнением:
.
Корни характеристического уравнения:
12) Исследовать устойчивость замкнутой системы при следующей передаточной функции разомкнутой системы:
.
Корни характеристического уравнения:
13) Пользуясь критерием Найквиста исследовать устойчивость замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
a. Система имеет один правый нуль и АФЧХ (рисунок 3) 0,5 раз охватывает точку (-1; j0). Система устойчива.
Рисунок 3 – АФЧХ для варианта а)
b. Система имеет один правый нуль и АФЧХ (рисунок 4) 1 раз охватывает точку (-1; j0). Система неустойчива.
14) Передаточная функция разомкнутой системы W(p) = k/(Тр+ 1) 3 . Определить область устойчивости замкнутой системы на плоскости параметров (к,Т).
Характеристическое уравнение замкнутой системы:
.
Система устойчива при T>0 и k>0, а также 
.
Рисунок 4 – АФЧХ для варианта б)
15) Найти уравнение кривой, представляющей собой амплитудно-фазовую характеристику дифференцирующего звена, изображенного на рисунке. Построить амплитудно-фазовую характеристику звена для случая R1 = 40 кОм, R2 = 10 кОм, С = 2,5 мкф.
.
АФЧХ цепи построена на рисунке 5.
16) Система автоматического управления имеет характеристическое уравнение четвертого порядка. Кривая Михайлова системы приведена на рисунке. Определить устойчивость автоматической системы.
Рисунок 5 – АФЧХ дифференцирующего звена
17) Система автоматического управления имеет характеристическое уравнение пятого порядка. На рисунке приведена кривая Михайлова системы. Определить число корней характеристического уравнения с отрицательной вещественной частью и число корней характеристического уравнения с положительной вещественной частью.
2 корня с отрицательной вещественной частью и 1 корень с положительной вещественной частью.
Видео:Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать
Дифференциальные уравнения
Задача №1 дифференциальный уравнение функция
Записать дифференциальное уравнение системы управления с одним выходом и двумя входами и , передаточные функции которых имеют вид:
 |  |
Система управления определяется двумя передаточными функциями:
1) передаточной функцией относительно входа :
2) передаточной функцией относительно входа :
С помощью передаточной функции уравнение рассматриваемой системы управления можно записать в виде:
Передаточные функции сложных систем легко могут быть определены через передаточные функции составляющих их элементов.
Имеющее наименьший порядок отношение изображений Лапласа выходной и входной переменных, вычисленных при нулевых начальных условиях, называется передаточной функцией в изображениях Лапласа. В соответствии с определением передаточная функция в изображениях Лапласа не может иметь равные между собой нули и полюса, так как в этом случае ее порядок может быть понижен путем сокращения числителя и знаменателя на общий множитель.
Так как оператор , то дифференциальное уравнение системы управления имеет вид:
На вход системы подается сигнал . Определить в установившемся режиме реакцию системы на входное воздействие при следующих передаточных функциях:
Рассмотрим, как определить в установившемся режиме реакцию системы, если известна ее передаточная функция
а на ее вход подается гармонический сигнал
Для этого перейдем от передаточной функции в изображениях Лапласа к частотной передаточной функции , произведя подстановку , где :
Частота подаваемого на вход системы сигнала . Произведем ее оценку:
Подставим значение частоты в формулу:
С учетом этого, согласно формуле, выходной сигнал системы в установившемся режиме имеет вид:
С помощью критерия Гурвица исследовать устойчивость систем управления, которые описываются следующими дифференциальными уравнениями ( — выход, — вход):
Для определения устойчивости линейной системы управления необходимо определить переходную составляющую. Для этого необходимо решить однородное дифференциальное уравнение
Необходимым условием устойчивости системы является условие положительности всех коэффициентов ее характеристического уравнения:
Алгебраические критерии устойчивости определяют условия устойчивости в виде алгебраических неравенств, составленных из коэффициентов характеристического уравнения системы.
Согласно алгебраическому критерию устойчивости Гурвица, для того чтобы система управления была устойчива необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительными.
Для системы управления четвертого порядка характеристическое уравнение имеет вид:
Составим определитель Гурвица 4-го порядка:
Если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то условия устойчивости по Гурвицу имеют вид:
Элементы последнего столбца определителя Гурвица, за исключением нижнего, будут равны нулю. Поэтому определитель Гурвица можно представить в виде:
Определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительны, следовательно система устойчива.
С помощью критерия Михайлова исследовать устойчивость замкнутой системы управления, у которой передаточная функция в разомкнутом состоянии имеет вид:
Для анализа устойчивости замкнутой системы управления по ее передаточной функции в разомкнутом состоянии
вначале следует определить характеристическое уравнение замкнутой системы управления:
Затем производят подстановку в и находят выражение для характеристического вектора:
Далее определяют выражения для вещественной и мнимой частей:
После чего определяют значения частот, при которых кривая Михайлова пересекает мнимую ось. Для этого находят вещественные корни уравнения . Получаем:
Затем определяют значения частот, при которых кривая Михайлова пересекает вещественную ось. Для этого находят вещественные корни уравнения . Получаем:
После этого определяют координаты точек пересечения кривой Михайлова с осями координат. Результаты вычислений сводим в таблицу:
По полученным координатам точек строим кривую Михайлова. Анализируя расположение этой кривой на комплексной плоскости, видим, что она последовательно обходит против часовой стрелки квадранта, охватывая начало координат. Следовательно, исследуемая система 3-го порядка в замкнутом состоянии будет устойчива.
Рис. 1. Кривая Михайлова
Одноконтурная система управления содержит объект и пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-регулятор), передаточные функции которых соответственно равны:
Определить оптимальные параметры настройки (коэффициент передачи) и (постоянная интегрирования) ПИ-регулятора, если даны:
— коэффициент передачи объекта;
— время транспортного запаздывания, с;
— постоянная времени объекта, с;
— порядок линейного дифференциального уравнения одномерной системы управления.
1. Для определения окрестности оптимальных параметров настройки
вычисляем границы этой окрестности:
Таким образом, (0,003; 3,925).
2. Для значений частоты = 0,0035; 0,004; 0,0045; 0,005 вычисляем длину вектора:
Для тех же значений частоты вычисляем угол между вектором и отрицательной мнимой полуосью, причём — угол между отрицательной вещественной полуосью и лучом ОЕ (рис.2) обычно на практике используют значения
Рис.2. КЧХ объекта и графическое задание величины
- 0,055
- 0,435
- 0,781
Определяем вспомогательную функцию по формуле:
Результаты вычислений сводим в таблицу:
Рис. 3. Настройка регулятора методом вспомогательной функции
3. Из таблицы определяем, что вспомогательная функция принимает максимальное значение при частоте = 0,004 c-1 и соответствующему этой частоте коэффициенту передачи
Тогда искомая постоянная интегрирования ПИ-регулятора
и оптимальное значение передаточной функции ПИ-регулятора имеет вид:
- 1. Автоматика: Основные понятия, терминология и условные обозначения: Справочное пособие / А.А. Герасенков, А.А. Шавров, О.А. Липа; Рос. гос. аграр. заоч. ун-т. — М., 2008.
- 2. Шавров А.В. Основы теории управления: учеб. пособие / А.В.Шавров, О.А.Липа, А.А.Шавров; Рос. гос. агр. заоч. ун-т. — М., 2005.
- 3. Бородин И.Ф., Судник Ю.А. Автоматизация технологических процессов. — М.: КолосС, 2004.
- 4. Ким Д.П., Дмитриева Н.Д. Сборник задач по теории автоматического управления. Линейные системы. — М.: Физматлит, 2007.
- 5. Солдатов В.В. Технические средства автоматизации: учеб. пособие / В.В.Солдатов, А.В.Шавров, А.А.Герасенков; Рос. гос. агр. заоч. ун-т. — М., 2004.
- 6. Радченко Г.Е. Автоматизация сельскохозяйственной техники: учеб. пособие. — Минск: УП «Технопринт», 2005.
- 7. Ротач В.Я. Теория автоматического управления: учебник для вузов. 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Издательство МЭИ, 2004.
Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Определение устойчивости систем
Решить дифференциальное уравнение с использованием преобразования Лапласа и построить график решения y(t). Начальные условия нулевые. Дифференциальное уравнение:
1) Операторная форма с учетом нулевых начальных условий имеет вид:
2) Применяю приемы разложения, известные из интегрального исчисления:
3) Для определения коэффициентов имеем тождество:
Если , , то имеем
4) Далее строим график решения y(t):
Рисунок 1 График решения y(t)
Найти передаточную функцию объекта, дифференциальное уравнение которого имеет вид: .
1) Операторная форма с учетом нулевых начальных условий уравнения имеет вид:
2) Используя определение передаточной функции, будем иметь:
Найти передаточную функцию объекта по уравнениям входного и выходного сигнала x(t) и y(t), которые приведены в таблице:
Уравнение входного сигнала x(t)
Уравнение выходного сигнала y(t):
1) Используя формулы таблицы изображений находим:
2) По определению придаточной функции будем иметь:
С помощью критерия устойчивости Гурвица исследовать устойчивость системы, уравнение которой имеет вид: .
1) Операторная форма уравнения имеет вид:
2) Составим придаточную функцию:
3) Характеристическое уравнение будет иметь вид:
Все коэффициенты положительные. Проверяем знак минора:
Ответ: рассматриваемое САУ неустойчива.
С помощью критерия устойчивости Рауса исследовать устойчивость системы, уравнение которой имеет вид: .
1) Характеристическое уравнение имеет вид:
Ответ: САУ устойчивый (первый столбец положительный).
С помощью критерия устойчивости Михайлова исследовать устойчивость системы, уравнение которой имеет вид: .
лаплас дифференциальный уравнение раус
1) Так как характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет вид:то, представлю левую часть этого уравнения в виде функции от р:
2) Заменю р на јщ, где , получу уравнение комплексного вектора:
3) Для построения кривой Михайлова необходимо в функции D(p) заменить р на јщ и разделить D(jщ) на действительную U(щ) и мнимую V(щ) части:
4) Значения координат точек годографа Михайлова:
Рисунок 2 Годограф Михайлова
Ответ: САУ неустойчива, т.к. годограф, описываемый концом вектора D(jщ), не начался на вещественной положительной полуоси.
Вычислить дискретную передаточную функцию (ДПФ) W(z) звена, имеющего непрерывную передаточную функцию W(p), приведенную в таблице 8, без экстраполятора и с экстраполятором на его входе для такта квантования T0, указанного также в таблице:
Непрерывная передаточная функция звена, W(p)
Такт квантования, T0, с
1) Пусть задано апериодическое звено с параметрами:
2) По таблице Z- преобразований получим:
3) Если экстраполятор нулевого порядка , то получим:
Рисунок 3 Линейная система с экстраполятором нулевого порядка и импульсным входом и выходом: а — блок схема; б — переходные процессы в разных точках системы
4) Воспользовавшись выражением в пункте 3 и таблицей z-преобразований, получаем:
Определить устойчивость замкнутой импульсной системы регулирования, передаточная функция Ф(z) которой имеет вид: .
1) Характеристическое уравнение имеет вид:
3) Модуль корней:
Корни характеристического уравнения , а значит система устойчива.
Ответ: Импульсная система регулирования устойчива.
Вычислить: а) z-преобразование; б) w-преобразование функции времени для такта квантования T0 = 1с.
a) Z — преобразование:
1) Представим 5*sin2*t в виде:
2) Тогда получим
b) W — преобразование
1) Исходя из того, что получим следующее выражение:
Список используемой литературы
- 1. Дорф, Р. Современные системы управления [Текст] / Р. Дорф, Р. Бишоп М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. 832 с.: ил.
- 2. Е.В. Лубенцова, Д.В. Болдырев Методические указания разработаны в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта в части содержания и уровня подготовки выпускников по специальности 220301. «Автоматизация технологических процессов и производств» (химико-технологических производств), 230201. «Информационные системы и технологии» и 140604. «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов». 2009.
📹 Видео
Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать
Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать
Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать
Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать
9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать
МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать
Исследовать систему уравнений на совместность и решить методом Гаусса и методом обратной матрицыСкачать
Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать
Алгебра 9 класс. Графическое решение систем уравненийСкачать
Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать
ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать
ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать
Решение систем уравнений методом сложенияСкачать
Решение систем уравнений. Методом подстановки. Выразить YСкачать
Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать
Алгебра 9 класс. Решение систем уравнений через подстановку.Скачать
Решение системы линейных уравнений. Подстановка. С дробными выражениями.Скачать
