Исследовать устойчивость систем уравнения которые описываются следующими уравнениями y выход u вход

Видео:Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

по учебной дисциплине

«Теоретические Основы Управления»

Выполнил: магистрант группы МЭЭ-01-13/03

Нестерин Андрей Алексеевич

Проверил: доцент, к. т. н.

Мочалов Михаил Юрьевич

Чебоксары 2014 г.

1) Определить передаточную функцию в операторной форме системы управления, которая описываются следующим уравнением:

Передаточная функция в операторной форме будет иметь следующий вид:

2) Записать дифференциальное уравнение системы управления, передаточная функция которой имеет следующий вид:

Дифференциальное уравнение системы имеет вид:

3) Определить весовую и переходную функции для звена со следующей передаточной функцией:

Из определения переходной функции следует, что при . Так как при этом и , то получаем

.

Переходная функция по теореме разложения:

.

.

4) Определить частотную передаточную функцию, вещественную, мнимую, амплитудную, фазовую, логарифмическую амплитудную частотные функции, переходную и весовую функции апериодического звена.

.

Его частотные и временные функции:

5) На вход системы подается сигнал u = 2×sin(0.5t). Определить в установившемся режиме реакцию системы со следующей передаточной функцией:

Изображение входного сигнала

.

Изображение выходного сигнала

.

Установившееся значение оригинала:

.

6) Построить асимптотическую ЛАЧХ звена со следующей передаточной функцией:

Для построения ЛАЧХ (рисунки 1,2) последовательного соединения звеньев следует построить соответствующие характеристики каждого звена, и затем геометрически их сложить:

a. Пропорциональное звено:

b. Форсирующее звено:

c. Апериодическое звено:

d. Колебательное звено:

7) Записать передаточные функции звеньев, если их асимптотические ЛАЧХ имеют следующий вид:

7)

a) ;

b) .

Рисунок 1 – Асимптотическая ЛАЧХ

Рисунок 2 – ЛАЧХ

8) Для системы на рисунке определить следующие передаточные функции (ПФ):

а) Wyg — ПФ относительно входа g и выхода у,

б) Wyf — ПФ относительно входа f и выхода y.

9) Составить передаточную функцию для пассивного четырехполюсника, показанного на рисунке:

C1 = 4 мкФ, R2 = 200 кОм, С2 = 1 мкФ.

10) Исследовать устойчивость системы управления, у которой характеристическое уравнение имеет следующий вид:

Корни характеристического уравнения:

11) Исследовать устойчивость системы управления, которая описывается следующим уравнением:

.

Корни характеристического уравнения:

12) Исследовать устойчивость замкнутой системы при следующей передаточной функции разомкнутой системы:

.

Корни характеристического уравнения:

13) Пользуясь критерием Найквиста исследовать устойчивость замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

a. Система имеет один правый нуль и АФЧХ (рисунок 3) 0,5 раз охватывает точку (-1; j0). Система устойчива.

Рисунок 3 – АФЧХ для варианта а)

b. Система имеет один правый нуль и АФЧХ (рисунок 4) 1 раз охватывает точку (-1; j0). Система неустойчива.

14) Передаточная функция разомкнутой системы W(p) = k/(Тр+ 1) 3 . Определить область устойчивости замкнутой системы на плоскости параметров (к,Т).

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

.

Система устойчива при T>0 и k>0, а также .

Рисунок 4 – АФЧХ для варианта б)

15) Найти уравнение кривой, представляющей собой амплитудно-фазовую характеристику дифференцирующего звена, изображенного на рисунке. Построить амплитудно-фазовую характеристику звена для случая R1 = 40 кОм, R2 = 10 кОм, С = 2,5 мкф.

.

АФЧХ цепи построена на рисунке 5.

16) Система автоматического управления имеет характеристическое уравнение четвертого порядка. Кривая Михайлова системы приведена на рисунке. Определить устойчивость автоматической системы.

Рисунок 5 – АФЧХ дифференцирующего звена

17) Система автоматического управления имеет характеристическое уравнение пятого порядка. На рисунке приведена кривая Михайлова системы. Определить число корней характеристического уравнения с отрицательной вещественной частью и число корней характеристического уравнения с положительной вещественной частью.

2 корня с отрицательной вещественной частью и 1 корень с положительной вещественной частью.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Дифференциальные уравнения

Задача №1 дифференциальный уравнение функция

Записать дифференциальное уравнение системы управления с одним выходом и двумя входами и , передаточные функции которых имеют вид:

Система управления определяется двумя передаточными функциями:

1) передаточной функцией относительно входа :

2) передаточной функцией относительно входа :

С помощью передаточной функции уравнение рассматриваемой системы управления можно записать в виде:

Передаточные функции сложных систем легко могут быть определены через передаточные функции составляющих их элементов.

Имеющее наименьший порядок отношение изображений Лапласа выходной и входной переменных, вычисленных при нулевых начальных условиях, называется передаточной функцией в изображениях Лапласа. В соответствии с определением передаточная функция в изображениях Лапласа не может иметь равные между собой нули и полюса, так как в этом случае ее порядок может быть понижен путем сокращения числителя и знаменателя на общий множитель.

Так как оператор , то дифференциальное уравнение системы управления имеет вид:

На вход системы подается сигнал . Определить в установившемся режиме реакцию системы на входное воздействие при следующих передаточных функциях:

Рассмотрим, как определить в установившемся режиме реакцию системы, если известна ее передаточная функция

а на ее вход подается гармонический сигнал

Для этого перейдем от передаточной функции в изображениях Лапласа к частотной передаточной функции , произведя подстановку , где :

Частота подаваемого на вход системы сигнала . Произведем ее оценку:

Подставим значение частоты в формулу:

С учетом этого, согласно формуле, выходной сигнал системы в установившемся режиме имеет вид:

С помощью критерия Гурвица исследовать устойчивость систем управления, которые описываются следующими дифференциальными уравнениями ( — выход, — вход):

Для определения устойчивости линейной системы управления необходимо определить переходную составляющую. Для этого необходимо решить однородное дифференциальное уравнение

Необходимым условием устойчивости системы является условие положительности всех коэффициентов ее характеристического уравнения:

Алгебраические критерии устойчивости определяют условия устойчивости в виде алгебраических неравенств, составленных из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Согласно алгебраическому критерию устойчивости Гурвица, для того чтобы система управления была устойчива необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительными.

Для системы управления четвертого порядка характеристическое уравнение имеет вид:

Составим определитель Гурвица 4-го порядка:

Если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то условия устойчивости по Гурвицу имеют вид:

Элементы последнего столбца определителя Гурвица, за исключением нижнего, будут равны нулю. Поэтому определитель Гурвица можно представить в виде:

Определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительны, следовательно система устойчива.

С помощью критерия Михайлова исследовать устойчивость замкнутой системы управления, у которой передаточная функция в разомкнутом состоянии имеет вид:

Для анализа устойчивости замкнутой системы управления по ее передаточной функции в разомкнутом состоянии

вначале следует определить характеристическое уравнение замкнутой системы управления:

Затем производят подстановку в и находят выражение для характеристического вектора:

Далее определяют выражения для вещественной и мнимой частей:

После чего определяют значения частот, при которых кривая Михайлова пересекает мнимую ось. Для этого находят вещественные корни уравнения . Получаем:

Затем определяют значения частот, при которых кривая Михайлова пересекает вещественную ось. Для этого находят вещественные корни уравнения . Получаем:

После этого определяют координаты точек пересечения кривой Михайлова с осями координат. Результаты вычислений сводим в таблицу:

По полученным координатам точек строим кривую Михайлова. Анализируя расположение этой кривой на комплексной плоскости, видим, что она последовательно обходит против часовой стрелки квадранта, охватывая начало координат. Следовательно, исследуемая система 3-го порядка в замкнутом состоянии будет устойчива.

Рис. 1. Кривая Михайлова

Одноконтурная система управления содержит объект и пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-регулятор), передаточные функции которых соответственно равны:

Определить оптимальные параметры настройки (коэффициент передачи) и (постоянная интегрирования) ПИ-регулятора, если даны:

— коэффициент передачи объекта;

— время транспортного запаздывания, с;

— постоянная времени объекта, с;

— порядок линейного дифференциального уравнения одномерной системы управления.

1. Для определения окрестности оптимальных параметров настройки

вычисляем границы этой окрестности:

Таким образом, (0,003; 3,925).

2. Для значений частоты = 0,0035; 0,004; 0,0045; 0,005 вычисляем длину вектора:

Для тех же значений частоты вычисляем угол между вектором и отрицательной мнимой полуосью, причём — угол между отрицательной вещественной полуосью и лучом ОЕ (рис.2) обычно на практике используют значения

Рис.2. КЧХ объекта и графическое задание величины

• 0,055
• 0,435
• 0,781

Определяем вспомогательную функцию по формуле:

Результаты вычислений сводим в таблицу:

Рис. 3. Настройка регулятора методом вспомогательной функции

3. Из таблицы определяем, что вспомогательная функция принимает максимальное значение при частоте = 0,004 c-1 и соответствующему этой частоте коэффициенту передачи

Тогда искомая постоянная интегрирования ПИ-регулятора

и оптимальное значение передаточной функции ПИ-регулятора имеет вид:

• 1. Автоматика: Основные понятия, терминология и условные обозначения: Справочное пособие / А.А. Герасенков, А.А. Шавров, О.А. Липа; Рос. гос. аграр. заоч. ун-т. — М., 2008.
• 2. Шавров А.В. Основы теории управления: учеб. пособие / А.В.Шавров, О.А.Липа, А.А.Шавров; Рос. гос. агр. заоч. ун-т. — М., 2005.
• 3. Бородин И.Ф., Судник Ю.А. Автоматизация технологических процессов. — М.: КолосС, 2004.
• 4. Ким Д.П., Дмитриева Н.Д. Сборник задач по теории автоматического управления. Линейные системы. — М.: Физматлит, 2007.
• 5. Солдатов В.В. Технические средства автоматизации: учеб. пособие / В.В.Солдатов, А.В.Шавров, А.А.Герасенков; Рос. гос. агр. заоч. ун-т. — М., 2004.
• 6. Радченко Г.Е. Автоматизация сельскохозяйственной техники: учеб. пособие. — Минск: УП «Технопринт», 2005.
• 7. Ротач В.Я. Теория автоматического управления: учебник для вузов. 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Издательство МЭИ, 2004.

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Определение устойчивости систем

Решить дифференциальное уравнение с использованием преобразования Лапласа и построить график решения y(t). Начальные условия нулевые. Дифференциальное уравнение:

1) Операторная форма с учетом нулевых начальных условий имеет вид:

2) Применяю приемы разложения, известные из интегрального исчисления:

3) Для определения коэффициентов имеем тождество:

Если , , то имеем

4) Далее строим график решения y(t):

Рисунок 1 График решения y(t)

Найти передаточную функцию объекта, дифференциальное уравнение которого имеет вид: .

1) Операторная форма с учетом нулевых начальных условий уравнения имеет вид:

2) Используя определение передаточной функции, будем иметь:

Найти передаточную функцию объекта по уравнениям входного и выходного сигнала x(t) и y(t), которые приведены в таблице:

Уравнение входного сигнала x(t)

Уравнение выходного сигнала y(t):

1) Используя формулы таблицы изображений находим:

2) По определению придаточной функции будем иметь:

С помощью критерия устойчивости Гурвица исследовать устойчивость системы, уравнение которой имеет вид: .

1) Операторная форма уравнения имеет вид:

2) Составим придаточную функцию:

3) Характеристическое уравнение будет иметь вид:

Все коэффициенты положительные. Проверяем знак минора:

Ответ: рассматриваемое САУ неустойчива.

С помощью критерия устойчивости Рауса исследовать устойчивость системы, уравнение которой имеет вид: .

1) Характеристическое уравнение имеет вид:

Ответ: САУ устойчивый (первый столбец положительный).

С помощью критерия устойчивости Михайлова исследовать устойчивость системы, уравнение которой имеет вид: .

лаплас дифференциальный уравнение раус

1) Так как характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет вид:то, представлю левую часть этого уравнения в виде функции от р:

2) Заменю р на јщ, где , получу уравнение комплексного вектора:

3) Для построения кривой Михайлова необходимо в функции D(p) заменить р на јщ и разделить D(jщ) на действительную U(щ) и мнимую V(щ) части:

4) Значения координат точек годографа Михайлова:

Рисунок 2 Годограф Михайлова

Ответ: САУ неустойчива, т.к. годограф, описываемый концом вектора D(jщ), не начался на вещественной положительной полуоси.

Вычислить дискретную передаточную функцию (ДПФ) W(z) звена, имеющего непрерывную передаточную функцию W(p), приведенную в таблице 8, без экстраполятора и с экстраполятором на его входе для такта квантования T₀, указанного также в таблице:

Непрерывная передаточная функция звена, W(p)

Такт квантования, T₀, с

1) Пусть задано апериодическое звено с параметрами:

2) По таблице Z- преобразований получим:

3) Если экстраполятор нулевого порядка , то получим:

Рисунок 3 Линейная система с экстраполятором нулевого порядка и импульсным входом и выходом: а — блок схема; б — переходные процессы в разных точках системы

4) Воспользовавшись выражением в пункте 3 и таблицей z-преобразований, получаем:

Определить устойчивость замкнутой импульсной системы регулирования, передаточная функция Ф(z) которой имеет вид: .

1) Характеристическое уравнение имеет вид:

3) Модуль корней:

Корни характеристического уравнения , а значит система устойчива.

Ответ: Импульсная система регулирования устойчива.

Вычислить: а) z-преобразование; б) w-преобразование функции времени для такта квантования T₀ = 1с.

a) Z — преобразование:

1) Представим 5*sin2*t в виде:

2) Тогда получим

b) W — преобразование

1) Исходя из того, что получим следующее выражение:

Список используемой литературы

• 1. Дорф, Р. Современные системы управления [Текст] / Р. Дорф, Р. Бишоп М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. 832 с.: ил.
• 2. Е.В. Лубенцова, Д.В. Болдырев Методические указания разработаны в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта в части содержания и уровня подготовки выпускников по специальности 220301. «Автоматизация технологических процессов и производств» (химико-технологических производств), 230201. «Информационные системы и технологии» и 140604. «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов». 2009.

💥 Видео

Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Алгебра 9 класс. Графическое решение систем уравненийСкачать

Исследовать систему уравнений на совместность и решить методом Гаусса и методом обратной матрицыСкачать

Решение систем уравнений методом сложенияСкачать

ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Решение систем уравнений. Методом подстановки. Выразить YСкачать

Алгебра 9 класс. Решение систем уравнений через подстановку.Скачать

Решение системы линейных уравнений. Подстановка. С дробными выражениями.Скачать