Исследовать системы линейных уравнений зависящих от параметра лямбда
Обновлено
Поделиться
∀ x, y, z
Главная ≫ Форум ≫ Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи ≫ Найдите общее решение линейной системы в зависимости от значения параметра лямбда
Видео:Исследование систем линейных уравнений на совместностьСкачать
Найдите общее решение линейной системы в зависимости от значения параметра лямбда
Сообщения: 1 🔎
# 12 Мар 2016 11:10:39 Math
Найдите общее решение линейной системы в зависимости от значения параметра . При каких значениях система допускает решение с помощью обратной матрицы?
тогда систему можно записать в виде .
Приравнивая к нулю, найдем, что при и .
Если и , то матрица имеет обратную
и решение имеет вид .
Если аккуратно перемножить и упростить, получим .
Случаи и рассматриваются отдельно. Нужно просто подставить и решить как обычную систему линейных уравнений с числовыми коэффициентами без параметров, например, методом гаусса.
Можно не использовать обратную матрицу, а применить метод редукции гаусса к расширенной матрице, учитывая, что и ,
При расширенная матрица
Следовательно решения имеют вид , или в матричном виде:
Видео:Найти ранг матрицы при всех значениях параметраСкачать
Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Вторая часть.
В первой части мы рассматривали системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), все коэффициенты которых были известны. В этой же части разберём СЛАУ, среди коэффициентов которых есть некий параметр. Для исследования СЛАУ на совместность станем использовать теорему Кронекера-Капелли. В процессе решения примеров на данной странице будем применять метод Гаусса или же метод Крамера. Сформулируем теорему и следствие из неё ещё раз:
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $rang A=rangwidetilde$.
Следствие из теоремы Кронекера-Капелли
Параметр $n$, использованный выше, равен количеству переменных рассматриваемой СЛАУ.
Исследовать СЛАУ $ left <begin& kx_1+2x_2+x_3=8;\ & -x_1+x_2+2x_3=7;\ & x_2+kx_3=5.endright.$ на совместность и найти решение системы в зависимости от значений параметра $k$.
Чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $widetilde$. Сделать это можно несколькими путями. Стоит учесть, что в данном примере нам требуется не только исследовать систему на совместность, но и указать её решения. Мне кажется наиболее удобным в таких задачах применять метод Гаусса, однако это вовсе не является обязательным. Для разнообразия данный пример решим методом Гаусса, а следующий – методом Крамера. Итак, запишем и начнём преобразовывать расширенную матрицу системы. При записи расширенной матрицы системы поменяем местами первую и вторую строки. Это нужно для того, чтобы первым элементом первой строки стало число -1.
$$ left(begin -1 & 1 &2 &7 \ k & 2 & 1 & 8\ 0 & 1 & k & 5 end right) begin phantom \ r_2+kcdot\ phantomendrightarrow left(begin -1 & 1 &2 &7 \ 0 & 2+k & 1+2k & 8+7k\ 0 & 1 & k & 5 end right)rightarrowleft|begin&text\&textendright|rightarrow \ rightarrow left(begin -1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & k & 5 \ 0 & 2+k & 1+2k & 8+7k end right) begin phantom\phantom\r_3-(2+k)cdotend rightarrow left(begin -1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & k & 5 \ 0 & 0 & 1-k^2 & 2k-2 end right) $$
Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Напомню, что до черты расположена преобразованная матрица матрица системы: $left(begin-1 & 1 &2\0 & 1 & k\ 0 & 0 & 1-k^2end right)$.
Каким бы ни было значение параметра $k$, полученная нами после преобразований матрица будет содержать не менее двух ненулевых строк (первая и вторая строки точно останутся ненулевыми). Вопрос о количестве решений зависит лишь от третьей строки.
В следствии из теоремы Кронекера-Капелли указаны три случая, и в данном примере легко рассмотреть каждый из них. Начнём с варианта $rang Aneqrangwidetilde$, при котором система не имеет решений, т.е. несовместна.
Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать
$rang Aneqrangwidetilde$
Ранги будут не равны друг другу лишь в одном случае: когда $1-k^2=0$, при этом $2k-2neq$. В этом случае преобразованная матрица системы будет содержать две ненулевых строки (т.е. $rang A=2$), а преобразованная расширенная матрица системы будет содержать три ненулевых строки (т.е. $rang widetilde=3$). Иными словами, нам требуется решить систему уравнений:
Из первого уравнения имеем: $k=1$ или $k=-1$, однако $kneq$, поэтому остаётся лишь один случай: $k=-1$. Следовательно, при $k=-1$ система не имеет решений.
Видео:Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать
$rang A=rangwidetilde<3$
Рассмотрим второй пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой, но меньше, чем количество переменных (т.е. меньше 3). Это возможно лишь в том случае, если последняя строка преобразованной расширенной матрицы системы полностью станет нулевой, т.е.
Из данной системы имеем: $k=1$. Именно при $k=1$ третья строка преобразованной расширенной матрицы системы станет нулевой, поэтому $rang=rangwidetilde=2$. При этом, повторюсь, у нас всего три переменных, т.е. имеем случай $rang A=rangwidetilde=2<3$.
Система имеет бесконечное количество решений. Найдём эти решения. Подставим $k=1$ в преобразованную матрицу и продолжим операции метода Гаусса. Третью строку (она станет нулевой) просто вычеркнем:
Видео:Неоднородная система линейных уравненийСкачать
$rang A=rangwidetilde=3$
Рассмотрим третий пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой и равны количеству переменных. Это возможно лишь в том случае, если $1-k^2neq$, т.е. $kneq$ и $kneq$. Продолжаем решение методом Гаусса:
Исследовать СЛАУ $left <begin& 2kx_1+x_2+x_3=0;\ & x_1-x_2+kx_3=1;\ & (k-6)x_1+2x_2-4x_3=-3.endright.$ на совместность и найти решение системы при тех значениях параметра, при которых она совместна.
Вновь, как и в предыдущем примере, для того, чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $widetilde$. Чтобы исследовать систему на совместность и указать количество решений применим метод Крамера. Можно было бы решить и методом Гаусса, однако в предыдущем примере мы его уже использовали, поэтому для разнообразия решим задачу с помощью метода Крамера. Начнём с вычисления определителя матрицы системы. Этот определитель мы получим с помощью готовой формулы.
Значения переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$ будут такими:
Нам остаётся исследовать совместность системы при условии $Delta=0$. Это равенство возможно при $k=0$ или $k=1$.
Видео:Лекция 13. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера — Капелли.Скачать
Случай $k=0$
Нам остаётся рассмотреть последний случай: $k=1$.
Видео:13 Исследование систем линейных уравненийСкачать
Случай $k=1$
Для наглядности я запишу здесь матрицу системы $A$ и расширенную матрицу системы $widetilde$, подставив $k=1$:
Если $k=1$, то $Delta=0$. Это значит, что $rang≤2$. Рассмотрим миноры второго порядка матрицы $A$. Например, возьмём минор, образованный на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2: $M=left|begin2 & 1\ 1 & -1endright|=-3$. Так как $Mneq$, то ранг матрицы $A$ равен 2.
Задача решена, осталось лишь записать ответ.
Разберём ещё один пример, в котором рассмотрим СЛАУ с четырьмя уравнениями.
Исследовать СЛАУ $ left <begin& kx_1+x_2+x_3+x_4=1;\ & x_1+kx_2+x_3+x_4=1;\ & x_1+x_2+kx_3+x_4=1;\ & x_1+x_2+x_3+kx_4=1.endright.$ на совместность и найти решение системы в зависимости от значений параметра $k$.
Применим метод Гаусса. При записи расширенной матрицы системы поместим первую строку вниз, на место четвёртой строки. А дальше начнём стандартные операции метода Гаусса.
Здесь можно было бы остановиться и рассмотреть случаи $k=1$ и $kneq$ отдельно. Цель таких действий: разделить вторую, третью и четвёртую строки на $k-1$ при условии $k-1neq$. Однако пока что полученная нами матрица содержит не столь уж громоздкие элементы, поэтому сейчас отвлекаться на частности я не вижу смысла. Продолжим преобразования в общем виде:
Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. До черты расположена преобразованная матрица системы. Ранги матриц $A$ и $widetilde$ зависят от значения параметра $k$. Рассмотрим три случая: $k=1$, $k=-3$ и случай $kneq$, $kneq$.
Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать
Случай $k=1$
Если $k=1$, то преобразованная матрица станет такой: $left(begin 1 & 1 &1 &1&1\ 0 & 0 &0 &0&0\ 0 & 0 &0&0&0\ 0 & 0 &0&0&0endright)$. Ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой (и равны 1), но меньше, чем количество переменных, т.е. $rang=rang=1<4$. Вывод: система является неопределённой. Общее решение системы непосредственно получим из первой строки записанной матрицы:
Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать
Случай $kneq$ и $neq$
Продолжим решение методом Гаусса. Так как $kneq$ и $neq$, то $(1-k)(k+3)neq$. Следовательно, мы можем разделить вторую и третью строки на $1-k$, четвёртую строку – на выражение $(1-k)(k+3)$. С полученной после этого матрицей продолжим операции обратного хода метода Гаусса:
Видео:Исследовать систему уравнений на совместность и решить методом Гаусса и методом обратной матрицыСкачать
Калькулятор онлайн. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.
С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Ввод дробного числа в виде десятичной дроби. При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой : Ввод: -2.34 Результат: ( -234 )
Ввод: -1,15 Результат: ( -115 )
Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби. В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число. Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: / Ввод: -2/3 Результат: $$ -frac $$
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: & Ввод: 5&8/3 Результат: $$ 5frac $$ Помните, что на ноль делить нельзя!
RND CFracNum Fill RND int Fill Start MathJax Сюда ввести строку с GET параметрами :
Видео:Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать
Системы линейных алгебраических уравнений
Основные определения
Система (m) линейных алгебраических уравнений с (n) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида ( left< begin a_x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n = b_1 \ a_x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n = b_2 \ cdots \ a_x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n = b_m end right. tag )
Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от (n) переменных ( x_1 , ldots x_n ), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.
Числа (a_ in mathbb ) называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения (i) и номером неизвестного (j). Действительные числа ( b_1 , ldots b_m ) называют свободными членами уравнений.
СЛАУ называют однородной, если ( b_1 = b_2 = ldots = b_m = 0 ). Иначе её называют неоднородной.
Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных ( x_1^circ, ldots , x_n^circ ), при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.
Решить СЛАУ — значит решить две задачи: — выяснить, имеет ли СЛАУ решения; — найти все решения, если они существуют.
СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.
Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При (m=n), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.
Формы записи СЛАУ
Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.
Рассматривая коэффициенты (a_) СЛАУ при одном неизвестном (x_j) как элементы столбца, а (x_j) как коэффициент, на который умножается столбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ: ( begin a_ \ a_ \ vdots \ a_ end x_1 + begin a_ \ a_ \ vdots \ a_ end x_2 + ldots + begin a_ \ a_ \ vdots \ a_ end x_n = begin b_1 \ b_2 \ vdots \ b_m end ) или, обозначая столбцы соответственно ( a_1 , ldots , a_n , b ), ( x_1 a_1 + x_2 a_2 + ldots + x_n a_n = b tag )
Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца (b) в виде линейной комбинации столбцов ( a_1, ldots, a_n ). Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.
Поскольку (A ;,; X) и (B) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде (AX=B) называют матричной. Если (B=0), то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид (AX=0).
Приведенные рассуждения показывают, что задачи : а) решения СЛАУ (1) б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов в) решения матричных уравнений вида (AX=B) являются просто различной формой записи одной и той же задачи.
Критерий совместности СЛАУ
«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).
Матрицу ( A = begin a_ & a_ & cdots & a_ \ a_ & a_ & cdots & a_ \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_ & a_ & cdots & a_ end ) называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу ( (A|B) = left( begin a_ & a_ & cdots & a_ & b_1 \ a_ & a_ & cdots & a_ & b_2 \ vdots & vdots & ddots & vdots & vdots \ a_ & a_ & cdots & a_ & b_m end right) ) расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.
Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ (AX=B) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы (A) был равен рангу её расширенной матрицы ( (A|B) ).
Формулы Крамера
Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера : $$ x_i = frac ;,quad i=overline tag $$ где (Delta_i) — определитель матрицы, получающейся из матрицы (A) заменой (i)-го столбца на столбец свободных членов.
Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.
Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.
Однородные системы
Теорема. Если столбцы ( X^, X^, ldots , X^ ) — решения однородной СЛАУ (AX=0), то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.
Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.
Естественно попытаться найти такие решения ( X^, ldots , X^ ) системы (AX=0), чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.
Определение. Любой набор из (k=n-r) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ (AX=0), где (n) — количество неизвестных в системе, а (r) — ранг её матрицы (A), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.
При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице (A) однородной СЛАУ (AX=0) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.
Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ (AX=0) с (n) неизвестными и ( textA = r ). Тогда существует набор из (k=n-r) решений ( X^, ldots , X^ ) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.
Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.
Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой : $$ X = c_1X^ + ldots + c_kX^ $$ где постоянные ( c_i ;, quad i=overline ), принимают произвольные значения.
Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.
Неоднородные системы
Рассмотрим произвольную СЛАУ (AX=B). Заменив столбец (B) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ (AX=0), соответствующую неоднородной СЛАУ (AX=B). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.
Теорема. Пусть столбец (X^circ) — некоторое решение СЛАУ (AX=B). Произвольный столбец (X) является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление (X = X^circ + Y ), где (Y) — решение соответствующей однородной СЛАУ (AY=0).
Следствие. Пусть (X’) и (X») — решения неоднородной системы (AX=B). Тогда их разность ( Y = X’ — X» ) является решением соответствующей однородной системы (AY=0).
Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.
Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение (X^circ) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.
Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть (X^circ) — частное решение СЛАУ (AX=B) и известна фундаментальная система решений ( X^, ldots , X^ ) соответствующей однородной системы (AX=0). Тогда любое решение СЛАУ (AX=B) можно представить в виде $$ X = X^circ + c_1 X^ + c_2 X^ + ldots + c_k X^ $$ где ( c_i in mathbb ;, quad i=overline ). Эту формулу называют общим решением СЛАУ.
📺 Видео
ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать
Система уравнений Тема2 Исследование решений системных уравнений.Скачать
Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод ГауссаСкачать
