Исследовать на устойчивость тривиальное решение уравнения

Метод функций Ляпунова состоит в непосредственном исследовании устойчивости положения равновесия системы

при помощи подходящим образом подобранной функции — функции Ляпунова , причем делается это без предварительного нахождения решений системы.

Ограничимся рассмотрением автономных систем

для которых , есть точка покоя.

Функция , определенная в некоторой окрестности начала координат, называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно-отрицательной), если она в области

где — достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного определенного знака и обращается в ноль лишь при . Так, в случае функции

будут определенно-положительными, причем здесь величина 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQBAMAAACigOGCAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAQSHbWqHAiDGxccHwESbMsvAAAADOSURBVBjTY2DACURTMcUkQITKSwxx51ILIMn4Cl2c6SHDmgsMDOwvINx2BZgEqwEDXwEDA5sBhMuYCpPhSWDgAwryhUwrgMhkCkAk7iUwcD9gYJA7xfgEIsARBpGRS2BgA0rULeB9DrM12AFJYg8DyxO4e4pBMnIbwEa9ZGB/BJPgBUvobWBgfgDyBrMBqlF8G0CuAnqjbwFEhikaYjkn0B8BIG/UqYDdyzgN6lzGFwx+CiA5ncgLYA82wKzyWW4C1A9kgL3cqoAILJcLDADGbCyGJ0mAtgAAAABJRU5ErkJggg==» /> может быть взята сколько угодно большой.

Функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области (2) может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в ноль и при . Например, функция

будет знакопостоянной (положительной). В самом деле, функцию можно записать так: откуда видно, что она обращается в ноль и при , а именно при и любых и таких, что .

Пусть есть дифференцируемая функция своих аргументов и пусть являются некоторыми функциями времени, удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений (1). Тогда для полной производной функции по времени будем иметь:

Величина , определяемая формулой (3), называется полной производной функции по времени , составленной в силу системы уравнений (1).

Теорема (1) Ляпунова об устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений (1) существует знакоопределенная функция (функция Ляпунова), полная производная которой по времени, составленная в силу системы (1), есть функция знакопостоянная, знака, противоположного с , или тождественно равная нулю, то точка покоя , системы (1) устойчива.

Теорема (2) Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений (I) существует знакоопределенная функция , полная производная которой по времени, составленная в силу системы (1), есть также функция знакоопределенная, знака противоположного с , то тонка покоя системы (1) асимптотически устойчива.

Пример 1. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

Решение. Выберем в качестве функции функцию . Эта функция определенно-положительная. Производная функции в силу системы (4) равна

Из теоремы 1 следует, что точка покоя системы (4) устойчива. Однако асимптотической устойчивости нет: траектории системы (4) — окружности и они не стремятся к точке при .

Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

Решение. Беря опять , найдем

Таким образом, есть определенно-отрицательная функция. В силу теоремы 2 точка покоя системы (5) устойчива асимптотически.

Общего метода построения функции Ляпунова нет. В простейших случаях функцию Ляпунова можно искать в виде

Пример 3. С помощью функции Ляпунова исследовать на устойчивость тривиальное решение системы

Решение. Будем искать функцию Ляпунова в виде , где 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> — произвольные параметры. Имеем

Полагая , получим, что . Таким образом, при всяком 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC8AAAAQCAMAAACx1dbmAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMA8FGBQWahAcAh4NARsTGRMv0AhAAAAM9JREFUKM+1kttyhiAMhDmEHAAl7/+0Tfg7VcSL9qLOOCNhE/dbCOGfHoKT/iBPcYx6/loumkIosb9snUP2Ika3pONtFjBuHZVdX9tEEOTc4d5xMCxwpGxrYvVqicXeuvrFpQN0zp96idm+9XgSYi206gOrJXSoeKHsmeSWnvpu1hwi655tv/T98gMzJI60+WmXH4qT1yFBv+03WnnTvfv45I/2K8dFzXIDBnzkaVMt7+KkIdXREjaW23nBBmOhl/rJhMRT/bkaJ8rrDSrJ61/kMgabS6WMegAAAABJRU5ErkJggg==» /> и функция будет определенно-положительной, а ее производная , составленная в силу данной системы, является определенно-отрицательной. Из теоремы 2 Ляпунова следует, что тривиальное решение данной системы устойчиво асимптотически .

Если бы в указанной выше форме функцию не удалось найти, то ее следовало бы поискать в форме

Теорема (3) Ляпунова о неустойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) существует дифференцируемая в окрестности начала координат функция такая, что . Если ее полная производная , составленная в силу системы (1), есть определенно-положительная функция и сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых функция принимает положи тельные значения, то точка покоя , неустойчива.

Теорема (4) Четаева о не устойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) существует непрерывно дифференцируемая в некоторой окрестности точки покоя , функция , удовлетворяющая в некоторой замкнутой окрестности точки покоя условиям:

1) в сколь угодно малой окрестности точки покоя существует область , в которой 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, причем в тех граничных точках , которые являются внутренними для (рис. 43);

2) точка покоя является граничной точкой области ;

3) в области производная , составленная в силу системы (1), определенно-положительная.

Тогда точка покоя , системы (1) неустойчива.

Пример 4. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

Решение. Возьмем функцию . Тогда

есть функция определенно-положительная. Так как сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQCAMAAABeF73YAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMA6TFBocDRAV8hesERQpGwdPIJPgAAAMxJREFUKM+1UtEShCAIBAUlteL/v/agusmsm+nletgKV9hdBfjLk+eQ37Mj0oLxLXtCARCcHlboobio69HlaS7TbSqyCc+Mho042KT1XAzE88VX1ur0qoY1EAIkjRdFVboNTXmnN5CSU7KOGgYL6dwQlf1VdYY4BS32rWOsrST5qtvpbHS3bVlMK/ymH9p5a5mSociQZ+nE5D2Z6slkJYPURuX9P+25k6M7LXIhD0Ga+OiGt/ACrlz6Y6rz7ewES8GjZe4v2+MlsLKI1z9OuAYuX8p8lQAAAABJRU5ErkJggg==» /> (например, 0″ png;base64,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» /> вдоль прямой ), то выполнены все условия теоремы 3 и точка покоя неустойчива (седло).

Пример 5. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы Четаева:

1) 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQCAMAAABeF73YAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMA6TFBocDRAV8hesERQpGwdPIJPgAAAMxJREFUKM+1UtEShCAIBAUlteL/v/agusmsm+nletgKV9hdBfjLk+eQ37Mj0oLxLXtCARCcHlboobio69HlaS7TbSqyCc+Mho042KT1XAzE88VX1ur0qoY1EAIkjRdFVboNTXmnN5CSU7KOGgYL6dwQlf1VdYY4BS32rWOsrST5qtvpbHS3bVlMK/ymH9p5a5mSociQZ+nE5D2Z6slkJYPURuX9P+25k6M7LXIhD0Ga+OiGt/ACrlz6Y6rz7ewES8GjZe4v2+MlsLKI1z9OuAYuX8p8lQAAAABJRU5ErkJggg==» style=»vertical-align: middle;» /> при |y|» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />;

2) — определенно-положительная в области |y|» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />.

Видео:Филиппов №881(г) — Исследование решения на устойчивостьСкачать

Теория устойчивости дифференциальных уравнений с примерами решения и образцами выполнения

Рассмотрим вопрос о зависимости решения задачи Коши от начальных данных. Пусть дана задача Коши

Если функция f(t, х) непрерывна по совокупности аргументов и имеет ограниченную производную в некоторой области изменения t, х, содержащей точку (tо, xo), то решение задачи Коши (1)-(2) существует и единственно. Если изменять значения t0 и хо, то будет меняться и решение. Возникает важный в приложениях вопрос: как оно будет меняться? Вопрос этот имеет и большое принципиальное значение. Действительно, если какая-либо физическая задача приводит к задаче Коши, то начальные значения находятся из опыта и за абсолютную точность измерения ручаться нельзя. И если сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменять решение, то математическая модель окажется малопригодной для описания реального процесса.

Справедлива следующая теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий.

Теорема:

Если правая часть f(t, х) дифференциального уравнения

непрерывна по совокупности переменных и имеет ограниченную частную производную в некоторой области G изменения t , х, то решение

удовлетворяющее начальному условию непрерывно зависит от начальных данных.

Иными словами, пусть через точку проходит решение x(t) уравнения (1), определенное на отрезке Тогда для любого найдется такое решение уравнения (1), проходящее через точку существует на отрезке и отличается там от x(t) меньше чем на

Аналогичная теорема справедлива и для системы дифференциальных уравнений

При выполнении условий теоремы (1) решение задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных. В этом случае говорят, что задача Коши поставлена корректно. Существенным является то обстоятельство, что отрезок [а, b] изменения t конечен. Однако во многих задачах нас интересует зависимость решения от начальных данных в бесконечном промежутке Переход от конечного промежутка, в котором рассматривается непрерывная зависимость решения от начальных значений, к бесконечному существенно меняет характер задачи и методы исследования. Эта проблема относится к теории устойчивости, созданной А.М. Ляпуновым.

Остановимся вкратце на понятии о продолжаемости решения. Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

где t — независимая переменная (время); искомые функции; функции, определенные для из некоторой области Если функции

в их области определения непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по то для системы (3) справедлива локальная теорема существования:

для каждой системы значений

существует единственное решение

системы (3), определенное в некотором интервале изменения t и удовлетворяющее начальным условиям

Введем следующее понятие. Пусть

— решение задачи Коши (3)-(4), определенное на некотором интервале I = (t1,t2). Это решение может бьггь продолжено, вообще говоря, на больший интервал времени. Решение

называется продолжением решения если оно определено на большем интервале и совпадает с при Решение называется неограниченно продолжаемым (неограниченно продолжаемым вправо или влево), если его можно продолжить на всю ось (на полуось или соответственно).

Для дальнейших рассмотрений важен вопрос о существовании решения хi(t), (глобальная теорема существования). Этим свойством обладает линейная система

где — непрерывные функции на Для нее каждое решение существует на (неограниченно продолжаемо вправо) и единственно.

Не все системы обладают таким свойством. Например, для скалярного уравнения

непрерывна и имеет производные всех порядков по х. Нетрудно проверить, что функция

является решением задачи

Однако это решение существует только в интервале зависящем от начального условия, и не-продолжаемо на полуинтервал

Уравнение (5) есть уравнение сверхбыстрого размножения, когда прирост пропорционален числу всевозможных пар. Его решение показывает, что при таком законе прироста населения количество населения становится бесконечным за конечное время (в то время как обычный закон прироста — экспоненциальный).

Задача:

Показать, что решения уравнения

нельзя продолжить неограниченно ни вправо, ни влево.

Видео:Устойчивость 5 Устойчивость по первому приближению Теорема ПримерыСкачать

Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия и определения

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

где функция f(t,x) определена и непрерывна для и х из некоторой области D и имеет ограниченную частную производную . Пусть функция

есть решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

Пусть, далее, функция

есть решение того же уравнения, удовлетворяющее другому начальному условию

Предполагается, что решения определены для всех неограниченно продолжаемы вправо.

Определение:

Решение уравнения (1) называется устойчивым по Ляпунову при если для любого такое, что для всякого решения х = x(t) этого уравнения из неравенства

для всех (всегда можно считать, что

Это значит, что решения, близкие по начальным значениям к решению остаются близкими и при всех Геометрически это означает следующее. Решение

уравнения (1) устойчиво, если, какой бы узкой ни была е-полоска, содержащая кривую , все достаточно близкие к ней в начальный момент интегральные кривые х = x(t) уравнения целиком содержатся в указанной е-полоске при всех (рис. 1).

Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения х = x(t) уравнения (1) неравенство (3) не выполняется, то решение этого уравнения называется неустойчивым. Неустойчивым следует считать и решение, не продолжаемое вправо при

Определение:

Решение уравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если

1) решение устойчиво;

2) существует такое, что для любого решения х = x(t) уравнения (1), удовлетворяющего условию имеем

Это означает, что все решения х = x(t), близкие по начальным условиям к асимптотически устойчивому решению , не только остаются близкими к нему при , но и неограниченно сближаются с ним при

Вот простая физическая модель. Пусть шарик лежит на дне полусферической лунки (находится в положении равновесия). Если малым возмущением вывести шарик из этого положения, то он будет колебаться около него. При отсутствии трения положение равновесия будет устойчивым, при наличии трения колебания шарика будут уменьшаться с возрастанием времени, т. е. положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

Пример:

Исследовать на устойчивость тривиальное решение

Решение , очевидно, удовлетворяет начальному условию

Решение уравнения (*), удовлетворяющее начальному условию

Легко видеть (рис. 2), что, какова бы ни была -полоска вокруг интегральной кривой х = 0, существует , например, такое, что любая интегральная кривая для которой целиком содержится в указанной полоске для всех Следовательно, решение устойчиво. Асимптотической устойчивости нет, поскольку решение при не стремится к прямой х = 0.

Пример:

Исследовать на устойчивость тривиальное решение уравнения

Решение уравнения (**), удовлетворяющее начальному условию

Возьмем любое > 0 и рассмотрим разность решений

Поскольку для всех , из выражения (***) следует, что существует например, такое, что при имеем

Согласно определению (1) это означает, что решение уравнения (**) устойчиво. Кроме того, имеем

поэтому решение асимптотически устойчиво (рис. 3).

Пример:

Показать, что решение

В самом деле, при сколь угодно малом решение

этого уравнения не удовлетворяет условию

при достаточно больших t > to. Более того, при любых имеем

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений

где функции fi определены для из некоторой области D изменения и удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Предположим, что все решения системы (4) неограниченно продолжаемы вправо при

Определение:

системы (4) называется устойчивым по Ляпунову при если для любого > 0 существует такое, что для всякого решения той же системы, начальные значения которого удовлетворяют условию

для всех т. е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех

Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения не все неравенства (5) выполняются, то решение называется неустойчивым.

Определение:

системы (4) называется асимптотически устойчивым, если:

1) решение это устойчиво;

2) существует такое, что всякое решение системы, для которого

Пример:

Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы

удовлетворяющее начальным условиям

устойчиво.

Решение системы (*), удовлетворяющее начальным условиям (**), есть

Решение этой системы, удовлетворяющее условиям имеет вид

Возьмем произвольное > 0 и покажем, что существует такое, что при выполняются неравенства

для всех Это и будет означать, согласно определению, что нулевое решение системы (*) устойчиво по Ляпунову. Очевидно, имеем:

то при будут иметь место неравенства

для всех т.е. действительно нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову, но эта устойчивость не асимптотическая.

Из устойчивости нетривиального решения дифференциального уравнения не следует ограниченности этого решения. Рассмотрим, например, уравнение

Решением этого уравнения, удовлетворяющим условию х(0) = 0, является функция

Решение, удовлетворяющее начальному условию имеет вид

Геометрически очевидно (рис.5), что для всякого существует например такое, что любое решение x(t) уравнения, для которого верно неравенство удовлетворяет условию Последнее означает, что решение устойчиво по Ляпунову, однако это решение является неограниченным при

Из ограниченности решений дифференциального уравнения не следует устойчивости решений.
Рассмотрим уравнение

Оно имеет очевидные решения

Интегрируя уравнение (6), находим

Все решения (7) и (8) ограничены на Однако решение неустойчиво при так как при любом имеем

Таким образом, ограниченность и устойчивость решений являются понятиями, независимыми друг от друга.

Замечание:

Исследуемое на устойчивость решение

системы (4) всегда можно преобразовать в тривиальное решение

другой системы заменой

В самом деле, пусть имеем (для простоты) одно дифференциальное уравнение

и пусть требуется исследовать на устойчивость какое-либо решение этого уравнения. Положим, что

(величину называют возмущением). Тогда

и подстановка в (*) приводит к равенству

Но — решение уравнения (*), поэтому

Обозначив здесь правую часть через F(t, у), получим

Это уравнение имеет решение так как при его левая и правая части тождественно по t равны нулю:

Таким образом, вопрос об устойчивости решения уравнения (*) приводится к вопросу об устойчивости тривиального решения уравнения (***), к которому сводится (*). Поэтому в дальнейшем мы будем, как правило, считать, что на устойчивость исследуется тривиальное решение.

Видео:Устойчивость 1 ОпределениеСкачать

Устойчивость автономных систем. Простейшие типы точек покоя

Нормальная система дифференциальных уравнений называется автономной, если ее правые части fi не зависят явно от t, т. е. если она имеет вид

Это значит, что закон изменения неизвестных функций, описываемый автономной системой, не меняется со временем, как это бывает с физическими законами. Пусть имеем автономную систему

и пусть (а1, a2, …, аn) — такая совокупность чисел, что

Тогда система функций

будет решением системы (1). Точку фазового пространства (x1, x2,…, хn) называют точкой покоя (положением равновесия) данной системы. Рассмотрим автономную систему (1) , для которой

есть точка покоя этой системы. Обозначим через S(R) шар

и будем считать, что для рассматриваемой системы в шаре S(R) выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Определение:

Будем говорить, что точка покоя

системы (1) устойчива, если для любого существует такое что любая траектория системы, начинающаяся в начальный момент все время затем остается в шаре Точка покоя асимптотически устойчива, если:

1) она устойчива;

2) существует такое что каждая траектория системы, начинающаяся в точке Mо области стремится к началу координат, когда время t неограниченно растет (рис. 7).

Поясним это определение примерами.

Пример:

Траектории здесь — концентрические окружности

с центром в начале координат — единственной точкой покоя системы. Если взять то любая траектория, начинающаяся в круге , остается все время внутри , а следовательно, и внутри , так что имеет место устойчивость. Однако траектории не приближаются к началу координат при и точка покоя не является асимптотически устойчивой.

Пример:

Пусть дана система

поэтому траекториями являются лучи, входящие в начало координат (рис.8). Можно снова выбрать Любая точка траектории, находившаяся в начальный момент внутри , остается все время в круге и, кроме того, неограниченно приближается к началу координат при Следовательно, наблюдается асимптотическая устойчивость.

Пример:

Возьмем, наконец, систему

и траекториями являются лучи, исходящие из начала координат, но в отличие от примера 2 движение по лучам происходит в направлении от центра. Точка покоя неустойчива.

Видео:ДУ Практика по устойчивостиСкачать

Простейшие типы точек покоя

Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х = 0, у = 0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:

Решение будем искать в виде

Для определения получаем характеристическое уравнение

Величины с точностью до постоянного множителя определяются из системы

Возможны следующие случаи.

А. Корни характеристического уравнения (3) — действительные и различные. Общее решение системы (2) имеет вид

1. Пусть Точка покоя (0,0) в этом случае асимптотически устойчива, так как из-за наличия множителей все точки каждой траектории, находившиеся в начальный момент в произвольной окрестности начала координат, при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой, окрестности начала координат, а при стремятся к этому началу. Такая точка покоя называется устойчивым узлом

При С2 = 0 из (4) получаем

и траекториями являются два луча, входящие в начало координат с угловым коэффициентом

Аналогично, при С1 = 0 получаем еще два луча, входящие в начало координат с угловым коэффициентом

Пусть теперь и (для определенности) Тогда в силу (4)

т. е. все траектории (исключая лучи в окрестности точки покоя О(0,0) имеют направление луча

2. Если то расположение траекторий такое же, как и в предыдущем случае, но точки движутся по траекториям в противоположном направлении. Точка покоя рассматриваемого типа называется неустойчивым узлом (рис. 10).

Пример:

Для нее точка О(0,0) — точка покоя. Характеристическое уравнение

имеет корни так что налицо неустойчивый узел. Перейдем от данной системы к одному уравнению

Оно имеет решения

так что траекториями системы будут лучи падающие с координатными полуосями, семейство парабол, касающихся оси Oх в начале координат (рис. 11)

3. Пусть теперь тогда точка покоя неустойчива.

При С2 = 0 получаем решение

С возрастанием t точка этой траектории движется по лучу

в направлении от начала неограниченно удаляясь от него. При С1 = 0 имеем:

Отсюда видно, что при возрастании t точка движется по лучу

в направлении к началу координат . Если так и при траектория покидает окрестность точки покоя. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом (рис. 12).

Пример:

Исследуем характер точки покоя О(0,0) системы

Характеристическое уравнение системы

имеет корни Перейдем к одному уравнению

интегрируя которое получаем

Уравнение (6) имеет также решения

Таким образом, интегральные кривые этого уравнения (траектории системы (5)) — равнобочные гиперболы и лучи, совпадающие с координатными полуосями.

Б. Корни характеристического уравнения — комплексные: Общее решение системы (2) можно представить в виде

где C1 и C2 — произвольные постоянные, а — некоторые линейные комбинации этих постоянных

1. Пусть в этом случае множитель стремится к нулю при а вторые множители в (7) — ограниченные периодические функции. Траектории — спирали, асимптотически приближающиеся к началу координат при Точка покоя х = 0, у = 0 асимптотически устойчива. Она называется устойчивым фокусом (рис. 13).,
2. Если то этот случай переходит в предыдущий при замене t на -t. Траектории не отличаются от траекторий предыдущего случая, но движение по ним при возрастании t происходит в противоположном направлении. Точка покоя неустойчива — неустойчивый фокус.
3. Если же то решения системы (2) — периодические функции. Траекториями являются замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя, называемую в этом случае центром (рис. 14). Центр является устойчивой точкой покоя, однако асимптотической устойчивости нет, так как решение

не стремится к нулю при

Пример. Рассмотрим систему уравнений

Характеристическое уравнение системы

имеет комплексные корни

Перейдем от системы к одному уравнению

и введем полярные координаты Тогда

Используя уравнение (9), находим, что

Эти интегральные кривые являются логарифмическими спиралями, навивающимися на начало координат, которое достигается в пределе при в зависимости от того, будет ли а 0. Налицо точка покоя типа фокуса. В частном случае, когда а = 0, уравнение (9) принимает вид

Интегральные кривые этого уравнения — окружности с центром в начале координат, которое при а = 0 является точкой покоя системы (8) типа центра.

В. Корни характеристического уравнения кратные: Случай этот — скорее исключение, а не правило, так как сколь угодно малое изменение коэффициентов системы разрушает его. Применяя метод исключения, находим, что общее решение системы уравнений (2) имеет вид

( — некоторые линейные комбинации С1, С2).

1. Если то из-за наличия множителя решения х(t), y(t) стремятся к нулю при Точка покоя х = 0, у = 0 асимптотически устойчива. Ее называют устойчивым вырожденным узлам (рис. 15). Он отличается от узла в случае А. 1 (там одна из траекторий имела касательную, отличную от всех остальных). Возможен также дикритический узел (см. рис. 8).
2. При замена t на -t приводит к предыдущему случаю, но движение по траекториям происходит в противоположном направлении. Точка покоя в этом случае называется неустойчивым вырожденным узлом.

Пример:

Для системы уравнений

имеет кратные корни Деля второе уравнение системы на первое, найдем

Поэтому все интегральные кривые проходят через начало координат, и все они имеют там ось Оу общей касательной.

Мы перебрали и исчерпали все возможности, поскольку случай исключен условием

Пример:

Исследовать уравнение малых колебаний маятника с учетом трения.

Уравнение малых колебаний маятника в этом случае имеет вид

где x — угол малого отклонения маятника от вертикали, к — коэффициент трения. Заменим уравнение (*) эквивалентной системой

Характеристическое уравнение для системы (**)

Если 0

— частота колебаний, а величины А, а определяются из начальных условий.

График решения и фазовая кривая при 0

Сформулируем результаты, касающиеся устойчивости решений системы п линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим для системы (10) характеристическое уравнение

Справедливы следующие предложения:

1) если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, то все решения системы (10) асимптотически устойчивы. Действительно, в этом случае все слагаемые общего решения содержат множители стремящиеся к нулю при

2) если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную действительную часть, то все решения системы неустойчивы;

3) если характеристическое уравнение имеет простые корни с нулевой действительной частью (т. е. чисто мнимые или равные нулю корни), а остальные корни, если они есть, имеют отрицательную действительную часть, та все решения устойчивы, но асимптотической устойчивости нет.

Эти результаты относятся и к одному линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.

Следует обратить внимание на то, что для линейной системы все решения либо устойчивы, либо неустойчивы одновременна

Теорема:

Решения Системы линейных дифференциальных уравнений

либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы.

Преобразуем произвольное частное решение

системы (11) в тривиальное с помощью замены

Система (11) преобразуется при этом в линейную однородную систему относительно yi(t):

Следовательно, все частные решения системы (11) в смысле устойчивости ведут себя одинаково, а именно как тривиальное решение однородной системы (12).

В самом деле, пусть тривиальное решение

системы (12) устойчиво. Это значит, что для любого такое, что для всякого другого решения системы из условия следует, что

Замечая, что получаем, что из условия

для всякого решения исходной системы (11). Согласно определению, это означает устойчивость решения этой системы.

Это предложение не имеет места для нелинейных систем, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие — неустойчивыми.

Пример:

Рассмотрим нелинейное уравнение

Оно имеет очевидные решения

Решение x(t) = -1 неустойчиво, а решение x(t) = 1 является асимптотически устойчивым. В самом деле, при все решения

стремятся к +1. Это означает, согласно определению, что решение x(t) = 1 асимптотически устойчиво.

Замечание:

Как и в случае n = 2, можно исследовать расположение траекторий в окрестности точки покоя О(0,0,0) системы (10). Для n = 3 возможны так называемые узлофокусы (рис. 17), седлофокусы (рис. 18) и т. д.

Видео:Устойчивость 6 Первое приближение Пример ДзСкачать

Метод функций Ляпунова

Метод функций Ляпунова состоит в исследовании устойчивости точки покоя системы дифференциальных уравнений с помощью подходящим образом выбранной функции — так называемой функции Ляпунова, причем делается это без предварительного построения решения системы; в этом неоценимое преимущество метода.

Ограничимся рассмотрением автономных систем

для которых Xi = 0, i = 1, 2,…, n, есть точка покоя.

Идея метода состоит в следующем. Предположим, что на устойчивость исследуется точка покоя системы (1). Если бы с возрастанием t точки всех траекторий приближались к началу координат или хотя бы не удалялись от него, то рассматриваемая точка покоя была бы устойчивой. Проверка выполнения этого условия не требует знания решений системы. Действительно, если р — расстояние от точки траектории до начала координат

(производная вдоль траектории): Правая часть в (2) есть известная функция от х1, х2,…, хn, и можно исследовать ее знак. Если окажется, что то точки на всех траекториях не удаляются от начала координат при возрастании t и точка покоя хi = 0, i = 1, 2,…, n, устойчива. Однако точка покоя может быть устойчивой и при немонотонном приближении к ней с возрастанием t точек траекторий (например, в случае, когда траектории — эллипсы). Поэтому А. М. Ляпунов вместо функции р рассматривал функции v (x1, x2, … , хn), являющиеся в некотором смысле «обобщенным расстоянием» от начала координат.

Определение:

Функция v(x1, х2, … xn), определенная в некоторой окрестности начала координат, называется знакоопределенной (знакоположительной или знакоотрицательной), если в области G

где h — достаточно малое положительное число, она может принимать значения только одного определенного знака и обращается в нуль лишь при

Так, в случае n = 3 функции

будут знакоположительными, причем здесь величина h > 0 может быть взята сколь угодно большой.

Определение:

Функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области G может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при

будет знакопостоянной (положительной). В самом деле, функцию v(x1, x2, x3) можно представить так:

отсюда видно, что она неотрицательна всюду, но обращается в нуль и при а именно при X3 = 0 и любых, x1, х2 таких, что х1 = -х2.

Пусть — дифференцируемая функция своих аргументов, и пусть

являются некоторыми функциями времени, удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений (1). Тогда для полной производной функции v повремени имеем

Определение:

Величина определяемая формулой (3), называется полной производной функции v по времени, составленной в силу системы уравнений (1).

Определение:

Функций обладающую свойствами:

1) дифференцируема в некоторой окрестности начала координат;

2) определенно-положительна в и

3) полная производная функции , составленная в силу системы (1),

всюду в , называют функцией Ляпунова.

Теорема:

Теорема Ляпунова об устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений

существует дифференцируемая знакоопределенная функция , полная производная которой по времени, составленная в силу системы (1), есть знакопостоянная функция (знака, противоположного с v) или тождественно обращается в ноль, то тонка покоя системы (1) устойчива.

Приведем идею доказательства. Пусть для определенности есть знакоположительная функция, для которой Так как

причем v = 0 лишь при то начало координат есть точка строгого минимума функции В окрестности начала координат поверхности уровня

функции v являются, Как можно показать, замкнутыми поверхностями, внутри которых находится начало координат. Чтобы картина стала нагляднее, остановимся на случае n = 2. Так как только для то поверхность

в общих чертах напоминает параболоид, вогнутый Вверх (рис. 19).

Линии уровня представляют собой семейство замкнутых кривых, окружающих начало координат. При этом если то линия уровня целиком лежит внутри области, ограниченной линией Зададим При достаточно малом С > 0 линия уровня v = С целиком лежит в е-окрестности начала координат, но не проходит через начало. Следовательно, можно выбрать такое, что окрестность начала координат целиком лежит внутри области, ограниченной линией v = С, причем в этой окрестности v

существует дифференцируемая знакоопределенная функция полная производная которой по времени, составленная в силу системы, есть также знакоопределенная функция знака, противоположного с v, то тонка покоя системы (1) асимптотически устойчива.

Пример:

Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Выберем в качестве функции v(x, y) функцию

Эта функция знакоположительная. В силу системы (*) найдем

Из теоремы 3 следует, что точка покоя О(0,0) системы (*) устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет, так как траектория системы (*) — окружности.

Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Таким образом, есть знакоотрицательная функция. В силу теоремы 4 точка покоя О(0,0) системы (**) устойчива асимптотически.

Теорема:

О неустойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений

существует дифференцируемая в окрестности начала координат функция такая, что v(0,0,…, 0) = 0. Если ее полная производная составленная в силу системы (4), есть знакоположительная функция и сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых функция принимает положительные значения, то точка покоя системы (4) неустойчива.

Пример:

Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Для нее функция

знакоположительная. Так как сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых v > 0 (например, вдоль прямой у = 0), то выполнены все условия теоремы 5 и точка покоя О(0,0) неустойчива (седло).

Метод функций Ляпунова оказывается универсальным и эффективным для широкого круга проблем теории устойчивости. Недостаток же метода в том, что достаточно общего конструктивного способа построения функций Ляпунова пока нет. В простейших случаях функцию Ляпунова можно искать в виде

Видео:Дифференциальные уравнения 7. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивостьСкачать

Устойчивость по первому (линейному) приближению

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

и пусть есть точка покоя системы, т. е.

Будем предполагать, что функции дифференцируемы в окрестности начала координат достаточное число раз. Применяя формулу Тейлора, разложим функции fi по х в окрестности качала координат

а слагаемые Ri содержат члены не ниже второго порядка малости относительно Система дифференциальных уравнений (1) примет вид

Так как понятие устойчивости точки покоя O(0,0,…, 0) связано с малой окрестностью начала координа’т в- фазовом пространстве, то естественно ожидать, что поведение решения (1) будет определяться главными линейными членами разложения функций fi по х. Поэтому наряду с системой (3) рассмотрим систему

называемую системой уравнений первого (линейного) приближения для системы (3).

Вообще говоря, строгой связи между системами (3) и (4) нет. Рассмотрим, например, уравнение

Здесь f(x) = 0; линеаризированное уравнение для уравнения (5) имеет вид

Решение уравнения (6) является устойчивым. Оно же, будучи решением исходного уравнения (5), не является для него устойчивым. В самом деле, каждое действительное решение уравнения (5), удовлетворяющее начальному условию имеет вид и перестает существовать при (решение не продолжаемо вправо).

Теорема:

Если все корни характеристического уравнения

имеют отрицательные действительные части, то точка покоя системы (4) и системы (3) асимптотически устойчива.

При выполнении условий теоремы возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

Теорема:

Если хотя бы один корень характеристического уравнения (7) имеет положительную действительную часть, то точка покоя Xi= 0 системы (4) и системы (3) неустойчива.

В этом случае также возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

Наметим идею доказательства теорем 6 и 7.

Пусть для простоты корни характеристического уравнения (7) — действительные и различные. В этом случае существует такая невырожденная матрица Т с постоянными элементами, что матрица будет диагональной:

где — матрица из коэффициентов системы (4). Положим

и система (4) преобразуется к виду

или, в силу выбора матрицы Т,

Система (3) при том же преобразовании перейдет в систему

причем в опять входят члены не ниже второго порядка малости относительно Yi при

Рассмотрим следующие возможности:

1. Все корни — отрицательные. Положим

тогда производная в силу системы (8) будет иметь вид

где малая более высокого порядка, чем квадратичная форма

Таким образом, в достаточно малой окрестности точки O(0, 0,…, 0) функция у(y1,y2, …, yn) знакоположительна, а производная знакоотрицательна, и, значит, точка покоя O (0,0,…, 0) асимптотически устойчива.

2. Некоторые из корней положительные, а остальные — отрицательные. Положим

Отсюда видно, что сколь угодно близко к началу координат найдутся точки (например, такие, у которых Что касается производной то, поскольку отрицательны, производная — знакоположительная функция. В силу теоремы 5 точка покоя O (0,0,…, 0) неустойчива.

В критическом случае, когда все действительные части корней характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю, на устойчивость тривиального решения системы (3) начинают влиять нелинейные члены Ri и исследование на устойчивость по первому приближению становится невозможным.

Пример:

Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 системы

Система первого приближения имеет вид

Нелинейные члены удовлетворяют нужным условиям: их порядок не меньше 2. Составляем характеристическое уравнение для системы (**):

Корни характеристического уравнения нулевое решение системы (*) неустойчиво.

Пример:

Исследуем на устойчивость точку покоя О(0, 0) системы

Точка покоя х = 0, у = 0 системы (*) асимптотически устойчива, так как для этой системы функция Ляпунова

удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В частности,

В то же время точка покоя х = 0, у = 0 системы

В самом деле, для функции в силу системы (**) имеем

т.е. — функция знакоположительная. Сколь угодно близко от начала координат 0(0,0) имеются точки, в которых

В силу теоремы 5 заключаем о неустойчивости точки покоя О(0,0) системы (**).

Для системы (*) и (**) система первого приближения одна и та же:

для системы (***) имеет чисто мнимые корни — критический случай (действительные части корней характеристического уравнения равны нулю). Для системы первого приближения (***) начало координат является устойчивой точкой покоя — центром. Системы (*) и (**) получаются малым возмущением правых частей (***) в окрестности начала координат. Однако эти малые возмущения приводят к тому, что для системы (*) точка покоя О(0,0) становится асимптотически устойчивой, а для системы (**) неустойчивой.

Этот пример показывает, что в критическом случае нелинейные члены могут влиять на устойчивость точки покоя.

Задача. Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

где функция f(х,у) разлагается в сходящийся отеленной ряд и f(0,0) = 0.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения. Часть 2 - Устойчивость по ЛяпуновуСкачать

Теория устойчивости систем

Министерство образования РФ

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра Автоматики и управления

по математическим основам теории систем

Теория устойчивости систем

Проверил: Разнополов О. А.

1. Устойчивость в смысле Ляпунова. 3

2. Свойства устойчивых систем. 4

3. Устойчивость тривиального решения. 4

4. Устойчивость линейных систем. 5

5. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами. 5

6. Критерии устойчивости линейных систем. 6

7. Второй метод Ляпунова. 8

8. Линеаризация систем дифференциальных уравнений. 10

9. Исследование устойчивости линейных систем с помощью второго метода Ляпунова. 12

10. Исследование устойчивости нелинейных систем с помощью второго метода Ляпунова. 12

11. Экспоненциальная устойчивость. 16

12. Главная обратная связь по состояниям. Метод модального управления 19

13. Асимптотический наблюдатель Люенбергера. 21

Список литературы. 23

Под устойчивостью системы обычно понимают свойство системы автоматического регулирования (САР) возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения действия внешнего возмущения. Полагая, что САР описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений , рассмотрим устойчивость решения дифференциальных уравнений. Пусть поведение САР описывается системой обыкновенных дифференциальны х уравнений

где xi – переменные, характеризующие состояние системы. Запишем систему в векторном виде:

Введем в рассмотрение (n+1)-мерное пространство En +1, координатами в котором будут являться переменные t, x 1, x2, …, xn. Будем рассматривать только такие системы, правые части которых непрерывны по всем аргументам и имеют непрерывные частные производные по зависимым переменным x1, x2, …, xn в некоторой выпуклой области G пространства En+1. В этом случае выполняются условия теоремы существования и единственности, то есть для любых начальных значений t 0, x10, x20, …, xn0 существует и при том единственное решение xi = si (t, xi0­), i =1, 2, …, n, удовлетворяющее начальным условиям si (t0, xi0­)=xi0, i=1, 2, …, n. Потребуем бесконечной продолжаемости данного решения, то есть будем считать функции si(t) определенными для t 0 ≤t≤¥ , причем t0 можно считать равным ¥ .

Рассмотрим некоторое решение xi=si(t) данной системы, определенное на интервале [t0,¥), причем si(t0)=xi0. Решение si (t), i=1, 2, …, n называется устойчивым по Ляпунову при t®¥, если для любого e >0 существует такое d >0, зависящее от e и t0, что любое решение xi=j i(t), для которого при t=t0 выполняется неравенство

| ji(t0)–si(t0)| 0 такое, что для любого d>0 найдется такой момент времени t=t1, что для некоторого значения i=k будет выполняться неравенство

несмотря на то, что

| j i(t0)–si(t0)| 0, что для любого решения ji(t), удовлетворяющего при t=t0 неравенству |ji(t0)–si(t0)| 0 существует такое d>0, зависящее от e и от t0, что для любого решения yi= j i(t), удовлетворяющее при t=t0 неравенству |ji(t0)| 0 все n определителей Гурвица D 1, D2, …, Dn, составленные по определенной схеме, были положительны.

Определители Гурвица составляются с помощью таблицы:

1) выписываются по диагонали все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с cn-1;

2) заполняются горизонтальные строки – справа от данного коэффициент а записываются коэффициенты с возрастающими индексами, а слева – с убывающими. В строках, где индекс коэффициентов меньше нуля или больше n, ставятся нули;

3) соответствующий определитель Di получится отчеркиванием i-ой строки и i-го столбца.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение условий:

и т. д.

Необходимым условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения, то есть ci>0, i=1,2,…,n.

Пример: исследовать устойчивость решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами:

Характеристическое уравнение этой системы:

Матрица Гурвица имеет вид:

.

D1=3>0, D2=9–(1– a2b), D3=D2×(1–a2b).

Таким образом, для положительных главных диагональных миноров матрицы Гурвица требуется, чтобы параметр b удовлетворял неравенствам:

Еще одним критерием, позволяющим исследовать устойчивость системы без непосредственного нахождения корней характеристического уравнения, является критерий Рауса – это алгебраический критерий, позволяющий судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения. Особенно удобен он в тех случаях, когда эти коэффициенты заданы численно, а степень характеристического уравнения высока и использование критерия Гурвица затруднительно.

Критерий Рауса заключается в следующем – для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первой графы таблицы Рауса были положительными.

Таблица Рауса для характеристического уравнения вида

составляется следующим образом:

1) в первой и второй строках таблицы выписываются соответственно коэффициенты cn,
cn-2,… и cn-1, cn-3,…;

2) для определения коэффициента aki таблицы нужно из (k+1)-го коэффициента (i-2)-ой строки (ak +1,i-2) вычесть произведение множителя ri -3 на (k+1)-й коэффициент (i-1)-ой строки (ak +1,i-1), то есть aki=ak+1,i-2–ri-3×ak+1,i-1. Множитель ri-3 есть отношение первого коэффициента (i-2)-й строки (a1,i-2) к первому коэффициенту (i-1)-й строки (a1,i-1). Он постоянен для каждой строки.

1231Коэффициентыcncn-2cn-42ricn-1cn-3cn-53 a13=cn-2–r0cn-3a23=cn-4–r0cn-5a33=cn-6–r0cn-74 a14=cn-3–r1a23a24=cn-5–r1a33a34=cn-7–r1a435 a15=a23–r2a24a25=a33–r2a34a35=a43–r2a44……………

Для устойчивости системы должно выполняться условие:

cn>0, cn-1>0, a13>0, a14>0, …, a1,n+1>0.

Пример: задано характеристическое уравнение

Определим устойчивость системы. Для этого построим таблицу Рауса:

Все коэффициенты первой графы положительны, следовательно, система устойчива

Второй, или прямой, метод Ляпунова позволяет исследовать устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравнений, не производя решения самих уравнений. Мы будем исследовать устойчивость тривиального решения автономных систем дифференциальных уравнений, то есть систем уравнений вида

(1)

При этом мы предполагаем, что функции fi(x1,…,xn) имеют непрерывные частные производные по всем аргументам в некоторой выпуклой области G : 0 фазовые траектории системы (1) пересекают поверхность в сторону возрастания , а при 0, то уравнение (9) может иметь несколько решений. Обозначим их e1, …, em; тогда система (4) имеет m решений, определяемых равенствами

xki=Akei (k=1,…,n), yi=Bei (i=1,…,m). (10)

Таким образом, в зависимости от вида нелинейной функции f(e) и значений a2 и B в САР возможны следующие виды состояния равновесия:

1) Единственное состояние равновесия (8);

2) Конечное число состояний равновесия (10).

Исследование устойчивости любого из состояний равновесия (10) может быть сведено к рассмотрению устойчивости тривиального решения (8).

Пусть a1=1, a2=0. Тогда

. (11)

Исследование устойчивости тривиального решения системы (11) удобно проводить, когда уравнения приведены к канонической форме. Канонической формой уравнений (11) назовем такой их вид, когда матрица A приведена к жордановой форме. Для любой числовой матрицы A существует такая невырожденная матрица T, что T­-1AT=J, где J – жорданова форма матрицы A.

Сделаем в системе (11) замену переменных:

или .

Пусть , тогда

. (12)

Эта система уравнений является канонической формой уравнений движения. Мы рассматриваем случай простых корней характеристического уравнения матрицы A, поэтому J=diagA.

Для того, чтобы состоянию равновесия xk=0, y=0 системы уравнений (11) соответствовало единственное состояние равновесия zk=0, e=0 последней системы уравнений, требуется, чтобы определитель системы (12) был отличен от нуля, то есть

.

Учитывая, что J-1=T-1A-1T, , получаем:

Исследуем устойчивость тривиального решения системы уравнений (12), приведенной к канонической форме. Для исследования построим функцию Ляпунову специального вида, предложенную А. И. Лурье, с помощью этой функции найдем условия, накладываемые на параметры регулятора, при выполнении которых тривиальное решение систем (12) и (11) асимптотически устойчиво.

Пусть все корни характеристического уравнения det(A–lE)=0 простые и лежат в левой полуплоскости, то есть Reli 0, то функция будет положительно определенной в пространстве .

Для того чтобы выражение в фигурных скобках представляло собой отрицательно определенную квадратичную форму, необходимо и достаточно , чтобы

Если b0c0 0 можно выбрать такие два положительные числа M и a, что для всех t>t0 справедливо неравенство:

. (2)

Кривая будет мажорантой для кривой .

Согласно теореме Красовского, если каждое решение системы (1) удовлетворяет условию (2) экспоненциальной устойчивости положения равновесия , то в области существует функция Ляпунова , такая, что ее полная производная по времени в силу уравнений движения имеет знак, противоположный знаку V. Функция V удовлетворяет оценкам:

, (3)

где с1, c2, c3, c4 – вещественные числа, .

Условия теоремы всегда выполняются для линейных стационарных асимптотически устойчивых систем, и в этом случае функция Ляпунова не зависит от t и представляет собой квадратичную форму

,

При t®¥ в устойчивой свободно движущейся системе с функцией Ляпунова вида и, следовательно, функция Ляпунова V также стремится к нулю. Из (3) следует, что

.

Заменим во втором неравенстве из (3) правую часть большой величиной . Неравенство усилится:

. (5)

Это линейное дифференциальное неравенство, на основе которого можно получить мажоранту и построить мажорирующую модель сравнения.

. (5a)

Это уравнение, соответствующее предыдущему неравенству или порожденное неравенством. Решение этого уравнения имеет вид:

. (6)

Представим полученное решение в виде равенства:

,

где d (t) – неизвестная функция времени, о которой можно сказать лишь то, что она неотрицательна для всех t³t0, для которых выполняется (5). Тогда решение:

.

Поскольку d(t) положительна, получим неравенство

. (7)

Если выбрать V0=z0, правая часть этого неравенств а становится равной решению (6), и мы получим:

.

Заменим в правой части (7) V0 на бόльшую величину , а в левой V(t) – на меньшую :

. (8)

Извлекая из обоих частей квадратный корень, получим линейное относительно неравенство

.

Таким образом решение z(t) уравнения (5a), определяемое (6), будет мажорировать:

а) функцию Ляпунова V(t), если V(t0)≤z0, что следует из (7) и (6);

б) функцию квадрата нормы переменной состояния , если , что вытекает из (8) и (6).

Поскольку матрица Hположительн о определенная , то все ее собственные значения вещественны и положительны, и мы можем выразить через них c1 и c2:

(9)

где l m(H) – наименьшее, а lM(H) – наибольшее из собственных значений матрицы H. Далее

.

Так как H – симметрична, то

,

, или (10)

При этом в (9)–(10) было использовано свойство симметрических вещественных матриц:

. (11)

Наибольшее l M(H) и наименьшее lm(H) собственные значения матрицы H, если H положительно определена, будут вещественными и положительными.

Таким образом для функции , независимо от вида (1) и (3) можно записать:

Коэффициент будет зависеть от вида уравнения.

Для линейной стационарной системы

.

Обозначим , где G – положительно определенная симметрическая матрица. Следовательно,

,

то есть в данном случае также является квадратичной формой, и на основании (11) можно записать

.

Таким образом, для квадратичных функций Ляпунова и для корней квадратных из них в случае стационарной системы все коэффициенты в неравенствах (3) Красовского выражены через собственные значения матриц H и G.

Пусть система S описывается уравнением:

.

Требуется найти такое управление u(t), что оно переводит систему из некоторой начальной точки в начало координат 0n, то есть .

Будем искать управление u(t) в виде

(1)

– это главная обратная связь по состояниям. Подставим эту функцию в исходное уравнение. Получим

.

Для оценки устойчивости этой линейной системы воспользуемся первым методом Ляпунова. Согласно первому методу Ляпунова, у матрицы все собственные числа должны быть отрицательны. Зададим некоторые собственные числа l1,…,ln <0 для этой матрицы и из ее характеристического полинома найдем числа k1,…,kn, составляющие вектор . Мы сможем найти вектор в случае, если система S полностью управляема.

Таким образом, введя модальное управление вида (1), можно обеспечить любое заданное распределение корней характеристического уравнения матрицы .

Методику нахождения модального управления лучше всего пояснить на примере.

Пример: требуется найти управление, переводящее систему

в состояние .

Управление будем искать в виде

;

Подставим это управление в исходное уравнение. Получим

.

.

Найдем характеристический полином этой матрицы:

. (2)

Зададим корни характеристического уравнения такими: . Теперь, если мы подставим их в характеристическое уравнение, мы получим одно уравнение с двумя неизвестными.

Поступим иначе: составим характеристический полином, корнями которого будут и :

.

Однако полином (2) имеет те же самые корни, что и последний полином, следовательно, мы записали одно и то же, то есть

.

Два полинома равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях независимой переменной (в данном случае l). Получим систему уравнений:

Отсюда находим, что . Следовательно, искомое управление будет иметь вид:

.

(1)

Если эта система полностью наблюдаема, то можно построить такое устройство, которое называется асимптотический наблюдатель Люенбергера, на выходе которого получим оценку вектора состояния:

, (2)

где – так называемая невязка между выходом и наблюдением; – полученная оценка состояния и выхода.

Назовем вектором ошибки разность между состоянием системы и его оценкой :

.

Вычтем из первого уравнения системы (1) первое уравнение системы (2). Получим

.

Если (A–LCT) – гурвицева матрица, то , и значит .

Матрица будет или не будет гурвицевой в зависимости от матрицы L. То есть, мы можем обеспечить любое заданное распределение корней характеристического уравнения матрицы , задавая матрицу L.

Пример: найти L для системы

для корней характеристического уравнения .

Решение: .

Составим характеристические полиномы:

Корни этих полиномов должны быть равны, поэтому приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях:

Отсюда получим, что .

Чтобы , необходимо, чтобы у гурвицевой матрицы главные диагональные миноры были положительными. Проверим это:

Значит, .

1. Математические основы теории автоматического регулирования, т. 1. Под ред. Б. К. Чемоданова. М., 1977

2. Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и управления. Под ред. Е. А. Санковского. Минск, 1973.

3. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем.

📸 Видео

Практика 19 Исследование на устойчивость по 1 му приближениюСкачать

Характер устойчивости по первому приближениюСкачать

Устойчивость 4 Линейные системы ПримерыСкачать

Дополнительные главы ИДУ: Устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений | Занятие 1Скачать

3 Устойчивость ТП АСОДУ 1Скачать

Семинар №1 Исследование решений на устойчивость по определениюСкачать

Дополнительные главы ИДУ: Теоремы Ляпунова для исследования устойчивости | Занятие 2Скачать

3 Второй метод ЛяпуноваСкачать

Волков В. Т. - Дифференциальные уравнения - УстойчивостьСкачать

Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения. Часть 2 - Фазовый портретСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 10Скачать