Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Решение СЛАУ методом Гаусса

Смысл метода: последовательно исключаем переменную за переменной, пока в одной из строк не будет однозначно определена переменная xi. Идею можно проиллюстрировать на простом примере:
x1 — x2 = 3
-x1 + 2x2 = 1
=========== (складываем строки)
-x2 + 2x2= 3 + 1 = 4 или x2 = 4
Откуда, x1 = 7

Суть метода можно понять, проанализировав пример решения.

Решение.
Запишем систему в виде расширенной матрицы:

2-10
-114
123
0
13
14

Далее умножаем 2-ую строку на (2) и добавляем к первой:

018
-114
123
26
13
14

Добавим 3-ую строку к 2-ой:

018
037
123
26
27
14

Умножим первую строчку на (3), 2-ую строку умножаем на (-1). Следующее действие: складываем первую и вторую строки:

0017
037
123
51
27
14

Теперь исходную систему можно записать как:
x3 = 51/17
x2 = [27 — 7x3]/3
x1 = [14 — (2x2 + 3x3)]
Из 1-ой строки выражаем x3 : 51/17 = 3
Из 2-ой строки выражаем x2 : (27 — 7*3)/3 = 2
Из 3-ой строки выражаем x1 : (14 — 2*2 — 3*3) = 1

Вывод: метод Гаусса является достаточно простым методом при небольшом количестве переменных и позволяет найти точное значение переменных. Процесс отыскания переменных можно упростить, если каждый раз сортировать столбцы по возрастанию.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса, вы сможете очень просто и быстро найти решение системы.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений методом Гаусса, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных уравнений, а также закрепить пройденный материал.

Видео:Решение системы линейных уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Изменить названия переменных в системе

Заполните систему линейных уравнений:

Видео:ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

ФСР.  Система однородных уравнений.  Общее решение

Ввод данных в калькулятор для решения систем линейных уравнений методом Гаусса

  • В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
  • Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа.
  • Если в уравнение отсутствует какая-то переменная, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите ноль.
  • Если в уравнение перед переменной отсутствуют числа, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите единицу.

Например, линейное уравнение x 1 — 7 x 2 — x 4 = 2

будет вводится в калькулятор следующим образом:

Видео:Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.Скачать

Решение систем линейных алгебраических уравнений  методом Крамера.

Дополнительные возможности калькулятора для решения систем линейных уравнений методом Гаусса

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево», «вправо», «вверх» и «вниз» на клавиатуре.
  • Вместо x 1, x 2, . вы можете ввести свои названия переменных.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Видео:Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать

Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4

Метод Гаусса онлайн

Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных и количество уравнений. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса

Метод Гаусса − это метод перехода от исходной системы линейных уравнений (при помощи эквивалентных преобразований) к системе, которая решается проще, чем исходная система.

Эквивалентными преобразованиями системы линейных уравнений являются:

  • перемена местами двух уравнений в системе,
  • умножение какого-либо уравнения в системе на ненулевое действительное число,
  • прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

Ax=b(2)
Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001(3)

A-называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x− вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A)=p.

Эквивалентные преобразования не меняют ранг матрицы коэффициентов и ранг расширеннной матрицы системы. Не меняется также множество решений системы при эквивалентных преобразованиях. Суть метода Гаусса заключается в приведении матрцы коэффициентов A к диагональному или ступенчатому.

Построим расшренную матрицу системы:

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001(4)

Предположим a11≠0. Если это не так, то можно поменять местами эту строку со строкой с ненулевым элементом в столбце 1 (если нет таких строк, то переходим к следующему столбцу). Обнуляем все элементы столбца 1 ниже ведущего элемента a11. Для этого сложим строки 2,3, . m со строкой 1, умноженной на −a21/a11, −a31/a11, . −am1/a11, соответственно. Тогда (4) примет следующий вид:

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001(5)

На следующем этапе обнуляем все элементы столбца 2, ниже элемента Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001. Если данный элемент нулевой, то эту строку меняем местами со строкой, лежащий ниже данной строки и имеющий ненулевой элемент во втором столбце. Далее обнуляем все элементы столбца 2 ниже ведущего элемента a22. Для этого сложим строки 3, . m со строкой 2, умноженной на −a32/a22, . −am2/a22, соответственно. Продолжая процедуру, получим матрицу диагонального или ступенчатого вида. Пусть полученная расширенная матрица имеет вид:

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001(6)

Обратим внимание на последние строки. Если Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001. Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001равны нулю, то система линейных уравнений имеет решение, если же хотя бы один из этих чисел отлично от нуля, то система несовместна. Иными словами, система (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A навен рангу расширенной матрицы (A|b).

Пусть Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001. Тогда

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001
Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001(7)
Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

Так как rangA=rang(A|b), то множество решений (7) есть (n−p)− многообразие. Следовательно n−p неизвестных Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001можно выбрать произвольно. Остальные неизвестные Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001из системы (7) вычисляются так. Из последнего уравнения выражаем xp через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения. Далее из предпоследнего уравнения выражаем xp−1 через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения и т.д. Рассмотрим метод Гаусса на конкретных примерах.

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

Примеры решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Пример 1. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

Матричный вид записи: Ax=b, где

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

Для решения системы, запишем расширенную матрицу:

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -2/3,-1/2 соответственно:

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 9/8:

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

Из вышеизложенной таблицы можно записать:

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001,Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001,Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001.

Пример 2. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

Матричный вид записи: Ax=b, где

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/5,-6/5 соответственно:

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -1:

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

Выразим переменные x1, x2 относительно остальных переменных.

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

где x3, x4− произвольные действительные числа.

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

где x3, x4− произвольные действительные числа.

Векторный вариант решения:

Запишем вышеизложенное решение, представив свободные переменные в виде тождеств:

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

Тогда векторное решение можно представить так:

Используя схему гаусса решить систему уравнений с точностью до 0 001

где x3, x4− произвольные действительные числа.

🎬 Видео

Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса ➜ 2 метода за 7 минутСкачать

Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса ➜ 2 метода за 7 минут

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2

Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Система линейных уравнений.  Общее решение. Метод Гаусса

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

решение системы уравнений методом Гаусса

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.

Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решенийСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решений

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Решение систем уравнений методом подстановки

Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.
Поделиться или сохранить к себе: