Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

Видео:Метод ЭйлераСкачать

Метод Эйлера

Используя метод Эйлера составить таблицу десяти приближенных значений интеграла дифференциального уравнения y f (x,у)

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

  • Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения
  • Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения
  • Реферат.Справочник
  • Решенные задачи по высшей математике
  • Используя метод Эйлера составить таблицу десяти приближенных значений интеграла дифференциального уравнения y f (x,у)

Условие

Используя метод Эйлера, составить таблицу десяти приближенных значений интеграла дифференциального уравнения y f (x, y), удовлетворяющего начальным условиям y(x0) y0; шаг h = 0,1; результаты вычислений в таблицу записать с точностью 0,0001. y’=cosyx+2-0,3y2; y0=0

Решение

Значениями аргумента являются
x0=0, x1=x0+h=0+0,1=0,1;… x10=x9+h=0,9+0,1=1,0.
Согласно условию, при этом y0=y0=0
Из заданного уравнения y’=cosyx+2-0,3y2 вычислим значение производной y’ в точке x0=0, y0=0:
y’0;0=cos00+2-0,3∙02=12+0=0,5
Далее вычисляем
y1=y0+hy0’=0+0,1∙0,5=0,05
Результаты сводим в таблицу.
i x_i
y_i
y’_i
hy’_i
0 0,0 0,0 0,5 0,05
1 0,1 0,0500 0,19116 0,01912
2 0,2 0,0691 0,32585 0,03259
3 0,3 0,1017 0,48462 0,04846
4 0,4 0,1502 0,67074 0,06707
5 0,5 0,2172 0,8863 0,08863
6 0,6 0,3059 1,12986 0,11299
7 0,7 0,4189 1,39233 0,13923
8 0,8 0,5581 1,65154 0,16515
9 0,9 0,7232 1,86883 0,18688
10 1,0 0,9101
Результат следующий:
i x_i
y_i
0 0,0 0,0
1 0,1 0,0500
2 0,2 0,0691
3 0,3 0,1017
4 0,4 0,1502
5 0,5 0,2172
6 0,6 0,3059
7 0,7 0,4189
8 0,8 0,5581
9 0,9 0,7232
10 1,0 0,9101

Видео:Дифференциальное уравнение. Формула ЭйлераСкачать

Дифференциальное уравнение. Формула Эйлера

Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера

Практическое занятие №25

«Численное интегрирование с помощью формул прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью формул Эйлера»

1. Цель: Выработать навыки и умения по применению методов приближённого

интегрирования – формул прямоугольников, трапеций и Симпсона, в решении

приближенными методами дифференциальных уравнений

Пояснения к работе

2.1 Краткие теоретические сведения:

Формула прямоугольников

Известно, что не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. Кроме того, на практике сталкиваются с необходимостью вычислять интегралы от функций, заданных табличным или графическим способами, а так же интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные очень сложно, что требует большой вычислительной работы и с практической точки зрения нерационально. В этих случаях вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница затруднительно, поэтому прибегают к различным методам приближенного интегрирования. Наиболее простым методом приближенного вычисления определенного интеграла является метод прямоугольников, основанный на непосредственном определении интеграла:

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения,

где Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияесть интегральная сумма, соответствующая некоторому разбиению отрезка Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияи некоторому набору точек Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияотрезка разбиения.

Вычисление определенного интеграла Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнениягеометрически сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f(x), осью абсцисс и прямыми Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияи Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения.

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

Для точности численного интегрирования нужно отрезок Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияразбить на несколько частей и для каждой из них вычислить приближенное значение площади криволинейной трапеции, основанием которой является отрезок Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, а высотой — число Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, т.е. значение функции в точке

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, выбранное из условия минимума ошибки интегрирования. Тогда за приближенное значение

интеграла на отрезке Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияпринимают интегральную сумму:

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

Практически удобно делить отрезок Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияна равные части Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, а точки Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнениясовмещать с

левыми Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияили правыми Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияконцами отрезков разбиения. Если точку Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнениясовместить с левым концом отрезка Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, то приближенное значение интеграла геометрически равно площади заштрихованной нижней ступенчатой фигуры и может быть представлено формулой левых прямоугольников:

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(1)

где Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения шаг разбиения. Если же в качестве точки Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения. выбрать правый конец отрезка Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, приближенное значение интеграла графически равно площади верхней ступенчатой фигуры, и вычисляется по формуле правых прямоугольников:

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(2)

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, где Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения— максимум Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияна Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(3)

Пример 1. Используя формулу прямоугольников при Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, вычислить с тремя десятичными знаками Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения. Оценить допущенную погрешность.

Решение: разделим отрезок Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияна 10 равных частей точками Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияи найдём значения функции Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияв этих точках:

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения11.11.21.31.41.51.61.71.81.92
Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения1.0000.9090.8330.7690.7140.6670.6250.5880.5560.5260.5

Тогда получим Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияи по формуле (1) находим

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения.

Оценим погрешность. Имеем Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения; функция Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнениямонотонно убывает на отрезке Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, поэтому Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияи Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения.

Так как допущенная погрешность влияет уже на второй знак после запятой, то третий знак следует округлить. Значит, Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения. Если вычислить этот интеграл по формуле Ньютона –

Лейбница, то получим Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения. Таким образом, ответ Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияявляется приближённым значением Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения. Но Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения; следовательно, при вычислении допущена погрешность, меньшая Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения.

Формула трапеций

Приближенное значение определенного интеграла можно вычислить и иным способом.

Заменим на отрезке Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнениядугу АВ графика подынтегральной функции у = f(x) стягивающей ее хордой (рис.2) и вычислим площадь трапеции АВbа. Примем значение определенного

интеграла численно равным площади этой трапеции.

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(4)

Это и есть формула трапеций для приближенного вычисления интеграла. Погрешность вычисления Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

для формулы трапеций оценивается так:

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, (5)

где точка Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения. В случае, если Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, вычисление по формуле (4) даёт значение интеграла с избытком; если Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, то интеграл вычисляется с недостатком. Точность вычислений возрастает, если отрезок Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияразделить на несколько частей и применить формулу трапеций к каждому отрезку Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(рис. 3). Тогда

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

Для простоты вычислений удобно делить отрезок Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияна равные части, в этом случае длина каждого из отрезков разбиения есть Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения. Тогда, численное значение интеграла на всем отрезке Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияравно

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

Эта формула называется общей формулой трапеций. Общую формулу трапеций можно переписать в более удобном виде:

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, где шаг Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(6)

Пример 2.Вычислить интеграл Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияс помощью формулы трапеций при Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения.

Решение: составим таблицу значений подынтегральной функции при Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияи Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения:

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения
0,2 0,4 0,60,02 0,16 0,360,0000 0,0400 0,1593 0,35230, 1,0 1,2 1,4 1,60,64 1,0 1,44 1,96 2,560,5972 0,8415 0,9915 0,9249 0,5487

Используя формулу Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения,

Находим: Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

Примечание. Если данный интеграл вычислить при Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, то получим Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения. Следовательно, точность вычислений увеличивается с возрастанием Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения.

Формула Симпсона

Точность приближенного интегрирования заметно возрастает, если подынтегральную функцию Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияна отрезке Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнениязаменить квадратичной функцией (рис.5), принимающей в узлах х0 = а, х1, х2 = b значения Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияи Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения. В качестве интерполяционного многочлена используется многочлен Ньютона 2 степени. Тогда

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(7)

Соотношение (7) называется формулой Симпсона. Формула Симпсона обладает повышенной точностью и является точной не только для многочленов второй степени, но и третьей. Погрешность формулы Симпсона оценивается следующим образом:

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения,где точка Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(8)

Для увеличения точности вычислений отрезок Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияразбивают на п пар участков Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(рис. 4) и к каждому из них применяют формулу (7). Тогда численное значение определенного интеграла на всем отрезке Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнениябудет равно

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, где Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(9)

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

Соотношение (9) называется общей формулой Симпсона.
Пример 3. Вычислить по формуле Симпсона Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияпри Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения.

По формуле (9) имеем Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения. Подставляя в подынтегральную функцию Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнениязначения Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, получим

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения.

Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера

Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением является уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(10)

Основная задача, связанная с этим уравнением, известна как задана Коши:найти решение уравнения (10) в виде функции у(х), удовлетворяющей начальному условию

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(11)

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

Геометрически это означает, что требуется найти ин­тегральную кривую у = у(х), проходящую через

заданную точку M0(x0, .y0), при выполнении равенства (11) (см. рис.6). С численной точки зрения задача Коши выглядит следующим образом: требуется построить таблицу значений функции у=у(х), удовлетворяющей уравнению (10) и начальному условию (11) на отрезке [a;b]с некоторым шагом h. Обычно считается, что х0 = а, т.е. начальное условие задано в левом конце отрезка.

Простейшим из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера.В основе метода Эйлера лежит идея графического постро­ения решения дифференциально­го уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ на­хождения искомой функции в численной (табличной) форме.

Пусть дано уравнение (10) с начальным условием (11) (т.е. поставлена задача Коши). Решим вначале следующую задачу: най­ти простейшим способом прибли­женное значение решения в не­которой точке x1 = х0 + h, где h — достаточно малый шаг.

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

Заметим, что уравнение (10) совместно с началь­ным условием (11) задают направ­ление касательной к искомой ин­тегральной кривой в точке М00, у0). Уравнение касательной имеет вид

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(12)

Двигаясь вдоль этой касательной (рис. 7), учитывая соотношения (10) и (12), получим приближенное значение решения в точке х1:

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(13)

Располагая приближенным ре­шением в точке М11,y1), можно повторить описанную ранее процедуру: построить прямую, про­ходящую через эту точку с угловым коэффициентом f (х1, y1) и по ней найти приближенное значение решения в точке х2 = х1 + h. Заметим, что в отличие от ситуации, изображенной на рис. 7, эта прямая не есть касательная к реальной интегральной кривой, поскольку точка M1, нам недоступна. Однако представляется инту­итивно ясным, что если h достаточно мало, то получаемые при­ближения будут близки к точным значениям решения.

Продолжая эту идею, построим систему равноотстоящих точек

Получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, (15)

Геометрическая иллюстрация метода Эйлера приведена на рис. 8. Вместо интегральной кривой в реальности получается сово­купность прямых (так называемая ломаная Эйлера).

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

Рис.8 Ломаная Эйлера

Методы численного интегрирования дифференциальных урав­нений, в которых решение получается от одного узла к другому, называются пошаговыми. Метод Эйлера — простейший представи­тель семейства пошаговых методов.

Отметим, что оценка погрешности метода при таком эле­ментарном рассмотрении невозможна даже на первом шаге. Кроме того, особенностью любого пошагового метода является то, что, начиная со второго шага исходное значение у, в формуле (13) само является приближенным, т.е. погрешность на каж­дом следующем шаге систематически возрастает.

Наиболее используемым эмпирическим методом оценки то­чности как метода Эйлера, так и других пошаговых методов при­ближенного численного интегрирования обыкновенных диффе­ренциальных уравнений является способ двойного прохождения заданного отрезка — с шагом h и с шагом h/2. Совпадение соот­ветствующих десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает эмпирические основание считать их верными (хотя полной уверенности в этом быть не может).

Одна из принципиальных трудностей всех пошаговых методов численного решения дифференциальных уравнений состоит в воз­можности столкнуться с неустойчивостью метода. Оценка погреш­ности неявно предполагает, что ломаная приближенного реше­ния (см. рис. 8) хотя и не совпадает с интегральной кривой, но качественно на нее похожа. Чаще всего это именно так, но иногда (например, при неудачном выборе шага h) приближенное реше­ние может быть качественно непохожим на точное (например, точное монотонно убывает, а приближенное монотонно возрас­тает).

Для эмпирического контроля того, не имеет ли места неустой­чивость, следует численно интегрировать уравнение с нескольки­ми, значительно отличающимися, значениями шага h, сравнивая качественно поведение решений.

Пример 4.Применяя метод Эйлера, составить таблицу значений решения дифференциального уравнения Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, с начальным условием Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияна отрезке Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, приняв h=0,25. Вычисления проводить с 4-мя знаками после запятой.

Для удобства вычислений составим таблицу.

1-й шаг: по начальным условиям заполним первую строку во 2-м и 3-м столбцах ;

2-й шаг: из уравнения Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнениявычисляем Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения( i = 0, 1, 2, 3, 4, 5) в столбце (4);

3-й шаг: содержимое столбца (4) умножаем на h (вычисляем Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения) и

записываем результат в столбец (5) этой же строки;

4-й шаг: к содержимом столбца (3) прибавляем содержимое столбца (5) этой же строки

(вычисляемИспользуя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияи результат записывает столбец (3)следующей

строки. Определяем хi+1 = xi + h и затем шаги 2-4 повторяем до тех пор, пока не будет пройден

весь отрезок Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения.

ixiyi Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения
(1)(2)(3)(4)(5)
1,50001,50000,3750
0,251,87501,62500,4062
0,502,28121,78120,4453
0,752,72651,97650,4951
1,003,22062,22060,5552
1,253,77582,52580,6314
1,504,4072

Пример 5. Решить методом Эйлера дифференциальное урав­нение Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияс начальным значением у(0) = 1,3 на отрез­ке [0; 1], приняв шаг h = 0,2.

Решение: результаты вычислений с двумя знаками после запятой приве­дены в таблице:

ixiyi Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения
(1)(2)(3)(4)(5)
0,01,30,270,05
0,21,350,820,16
0,41,511,250,25
0,61,761,610,32
0,82,081,910,38
1,02,46

Задание

Вариант 1

1.По формуле левых прямоугольников для n=12 вычислить значение интеграла: Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения.

2. По формуле трапеций n=10 вычислить значение интеграла с тремя десятичными

знаками: Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения.

3. По формуле Симпсона для n=6 вычислить значение интеграла с тремя десятичными

знаками: Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения.

4. Применяя методом Эйлера, составить таблицу значений решения дифференциального урав­нения

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияс начальным условием у(2) = 1, 2 на отрез­ке [2; 3], приняв шаг h = 0,1.

Сделайте ручную прикидку графика интегральной кривой на бумаге.

Вариант 2

1.По формуле левых прямоугольников для n=12 вычислить значение интеграла: Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения.

2.По формуле трапеций n=8 вычислить значение интеграла с тремя десятичными

знаками: Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения.

3.По формуле Симпсона для n=6 вычислить значение интеграла с тремя десятичными

знаками: Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения.

4. Применяя методом Эйлера, составить таблицу значений решения дифференциального урав­нения

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияс начальным условием у(2,6) = 1, 8 на отрез­ке [2,6; 4,6], приняв шаг h = 0,2.

Сделайте ручную прикидку графика интегральной кривой на бумаге.

Вариант 3

1.По формуле правых прямоугольников для n=12 вычислить значение интеграла:

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

2.По формуле трапеций для n=10 вычислить значение интеграла с тремя десятичными

знаками: Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

3. По формуле Симпсона для n=6 вычислить значение интеграла с тремя десятичными

знаками: Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

4. Применяя методом Эйлера, составить таблицу значений решения дифференциального урав­нения

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияс начальным условием у(0,6) = 3,4 на отрез­ке [0,6; 2,6], приняв шаг h = 0,2.

Сделайте ручную прикидку графика интегральной кривой на бумаге.

Вариант 4

1.По формуле правых прямоугольников для n=12 вычислить значение интеграла:

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

2. По формуле трапеций для n=10 вычислить значение интеграла с тремя десятичными знаками: Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

3. По формуле Симпсона для n=6 вычислить значение интеграла с тремя десятичными

знаками: Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

4. Применяя методом Эйлера, составить таблицу значений решения дифференциального урав­нения

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравненияс начальным условием у(3) = 1,7 на отрез­ке [3; 5], приняв шаг h = 0,2.

Сделайте ручную прикидку графика интегральной кривой на бумаге.

4. Контрольные вопросы:

1. Какие методы приближенного вычисления определенных интегралов вы знаете? Назовите

формулы для вычислений. Какой из них дает наиболее точный результат?

2. На чем основан метод Эйлера приближенно решения дифференциальных уравнений?

5. Содержание отчёта:

5.1 Наименование работы

5.4 Формулы для расчета

5.5 Необходимые расчеты. Анализ результатов расчетов

5.6 Выводы по работе

5.7 Ответы на контрольные вопросы

1. Колягин Ю.М. , Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика в 2-х томах Учебное пособие — М.

Новая волна, 2005, ч.1, с.565-571;

2. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике» — Учебное пособие – М.:Высш. школа,

3. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Элементы численных методов: учебник для студ. сред.

проф. образования -М.: Издательский центр «Академия», 2007, с.152-184

Видео:Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать

Линейное дифференциальное уравнение Коши-Эйлера

Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Методические указания к выполнению лабораторной работы № 11

Страницы работы

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения

Содержание работы

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера

Лабораторная работа № 11

Видео:5. Метод последовательных приближенийСкачать

5. Метод последовательных приближений

Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Цель работы: Получить практические навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта.

Содержание отчета

1. Постановка задачи. Исходные данные.

2. Анализ решения задачи. Алгоритм решения (блок – схема алгоритма).

3. Текст программы.

4. Результат выполнения программы.

5. Выводы по работе.

Постановка задачи

1. Используя метод Эйлера и метод Рунге-Кутта, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения y`=f(x, y), удовлетворяющего начальным условиям y(x0)=y0 на отрезке [a; b]; шаг h=0,1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками. Исходные данные для расчетов взять из таблицы 11.1.

2. Вывести полученные данные на экран в следующем виде:

, где Y1 – решение, полученное методом Эйлера;

Y2 – решение, полученное методом Рунге-Кутта;

E – погрешность расчета методом Эйлера.

3. Анализируя полученные значения сделать выводы о точности численного метода расчета методом Эйлера в зависимости от номера шага интегрирования.

Краткие теоретические сведения

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции y=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xkxk1 называется шагом интегрирования.

Рассмотрим некоторые из численных методов.

Данный метод является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(1)

с начальным условием

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения. (2)

Требуется найти решение уравнения (1) на участке [a, b].

Выберем k-й участок [xk, xk+1] и проинтегрируем уравнение (1):

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения,

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения. (3)

Если в последнем участке подынтегральную функцию на участке [xk, xk+1] принять постоянной и равной начальному значению в точке x=xk, то получим

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения.

Тогда формула (3) примет вид

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(3’)

Обозначив Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, т.е. Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, получим

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения. (4)

Продолжая этот процесс и каждый раз принимая подынтегральную функцию на соответствующем участке постоянной и равной ее значению в начале участка, получим таблицу решений дифференциального уравнения на заданном участке [a, b].

Для оценки погрешности на практике , как правило, используют метод «дойного просчета». Сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. погрешность более точного значения y * n оценивается формулой

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения. (5)

Метод Рунге-Кутта является одним из методов повышенной точности. Он имеет много общего с методом Эйлера.

Пусть на отрезке [a, b] требуется найти численное решение уравнения (1) с начальным условием (2).

h=(ba)/n – шаг интегрирования. В методе Рунге-Кутта, так же и в методе Эйлера, последовательные значения yi искомой функции y определяют по формуле (4).

Если разложить функцию y в ряд Тейлора и ограничиться членами до h 4 включительно, то приращение функции Δy можно представить в виде:

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, (6)

Вместо непосредственных вычислений по формуле (6) в методе Рунге-Кутта определяются четыре числа:

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(7)

При этом, значение Δy, вычесленное по формуле (6), с точностью до четвертых степеней будет равно:

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(8)

Таким образом, для каждой пары текущих значений xi, yi по формуле (7) определяются значения:

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения(9)

по формуле (8) находится Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, а затем Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения.

Данный метод имеет порядок точности h 4 на всем отрезке [a, b]. Оценка точности метода очень затруднительна. Грубую оценку погрешности можно получить с помощью «двойного просчета» по формуле

Используя метод эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, (10)

📸 Видео

6.1 Численные методы решения задачи Коши для ОДУСкачать

6.1 Численные методы решения задачи Коши для ОДУ

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.Скачать

Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.

Метод Эйлера. Решение систем ДУСкачать

Метод Эйлера. Решение систем ДУ

Видеоурок "Системы диф. уравнений. Метод Эйлера"Скачать

Видеоурок "Системы диф. уравнений. Метод Эйлера"

Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать

Численное решение задачи Коши методом Эйлера

Пример решения задачи Коши методом Эйлера. Метод Эйлера с пересчетом.Скачать

Пример решения задачи Коши методом Эйлера. Метод Эйлера с пересчетом.

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение Эйлера - bezbotvyСкачать

Уравнение Эйлера - bezbotvy

12. Интегрирующий множитель. Уравнения в полных дифференциалахСкачать

12. Интегрирующий множитель. Уравнения в полных дифференциалах

5 Численное решение дифференциальных уравнений Part 1Скачать

5  Численное решение дифференциальных уравнений Part 1

06. Формула ЭйлераСкачать

06. Формула Эйлера
Поделиться или сохранить к себе: