Использование компьютерных технологий для реализации решений систем линейных уравнений (7 видео)

Привет студент

Содержание

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
тема: «ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»
Использование компьютерных технологий при решении систем линейных алгебраических уравнений
Решение систем линейных уравнений с помощью ЭВМ
📽️ Видео

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко

Кафедра программного обеспечения вычислительной техники

и автоматизированных систем

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Информатика и программирование»

Видео:Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМСкачать

тема: «ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»

студентка группы ИТ13ДР62ИС1

Арабаджи Федор Иванович

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу по дисциплине

«ПРОГРАММИРОВАНИЕ»

Студента группы ________ — ___________________

утверждена протоколом кафедры _________ № _____ от «____» ____________ 20___ г.

Цель курсовой работы:

Задачи курсовой работы:

Результаты курсовой работы:

График обязательных консультаций:

Дата сдачи записки на регистрацию «_____» __________20__ г.

Дата защиты курсовой работы «_____» __________20__ г.

Задание принял к исполнению «_____» __________20__ г. ___________/________________/

Руководитель работы ______________________ /________________/

СОДЕРЖАНИЕ

2 ОПИСАНИЕ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ………………………………….

2.3 Метод обратной матрицы…………………………………………….

3 РУКОВОДСТВО ПРОГРАММИСТА………………………………………..

3.1 Введение и общие сведения……………………………………………

3.2 Структура программного продукта………………………………….

3.4 Описание исходных текстов программного продукта…………….

3.5 Аппаратная и программная часть…………………………………….

3.6 Результаты тестирования и опытной эксплуатации………………….

4 РУКОВОДСТВО ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ……………………………………….

4.3 Установка программного продукта……………………………….…..

4.4 Запуск и работа с программным продуктом…………………….……

4.5 Удаление программного продукта…………………………………….

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………….

Введение

Последние десятилетия характеризуются бурным развитием вычислительной техники. Расширяются области применения вычислительных машин и совершенствуются методы их использования. Созданы универсальные языки программирования и разработаны мощные операционные системы.

Сейчас невозможно представить себе какую-либо область деятельности, обходящуюся без применения компьютерной техники.

Компьютеры используются при проведении различных инженерных расчётов, при решении экономических задач, в процессе управления производством, при получении оценок производственных ситуаций и во многих других случаях.

Решение систем линейных алгебраических уравнений является одной из основных задач линейной алгебры. Эта задача имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем. Кроме того, является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований.

Алгебраическое уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

Решение систем линейных алгебраических уравнений является одной из фундаментальных задач математики. В частности, она возникает при решении краевых задач для дифференциальных и интегральных уравнений, к которым сводятся реальные проблемы техники, физики, экономики, математики и др. Подобные программы довольно популярны, в особенности среди пользователей глобальной сети Интернет. Они могут быть широко применимы в среде образовательных учреждений. Например, преподавателю необходимо проверить десятки работ студентов в короткий срок или составить варианты контрольных работ, помочь студенту в решении систем линейных уравнений и в их объяснении, так как программа будет содержать краткую теоретическую справку.

Чтобы быстро справится с решением системы линейных уравнений, можно воспользоваться средствами вычислительной техники – написать программу на языке программирования.

Учитывая современные возможности, можно облегчить процесс решения систем линейных уравнений. Данную задачу можно выполнить программно для упрощения и автоматизации процесса решения систем линейных уравнений методом Гаусса, методом Крамера, а также методом обратной матрицы с помощью Windows-приложения, реализованного средствами языка высокого уровня С#.

Данный продукт найдёт своё применение в сфере образования. В частности, например, учащиеся с помощью данной программы смогут проверить правильность решения систем линейных уравнений.

1 постановка задачи

В данной курсовой работе необходимо создать программный продукт при помощи Windows Forms на языке C#, который представлял бы возможность:

ввода данных с клавиатуры или считывания их из файла с представлением права выбора пользователю;
решения системы линейных уравнений;
запись данных в файл;
доступа к файлу, куда записываются входные и выходные данные.

Программа должна выполнять решение систем линейных уравнений методом Гаусса, методом Крамера или методом обратной матрицы.

Окно программы должно содержать:

пункты меню: Файл, Правка, Примеры, Справка, О программе;
поле выбора метода решения системы линейных уравнений;
поле выбора количества уравнений в системе;
поля для входных и выходных данных;
кнопки операций.

Входными данными являются числа вещественного типа, введенные с клавиатуры или считанные из файла. Программа распознает входные данные и производит решение системы одним из выбранных методов.

Результатом работы программы служит отображение получившейся матрицы или определителя (в зависимости от выбранного способа) и корни системы уравнений, полученные в результате решения системы.

2 описание предметной области

Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из фундаментальных задач математики. Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛАУ) в линейной алгебре — это система уравнений вида (Рисунок 1)

Рисунок 1- Система уравнений

В системе уравнений (Рисунок 1) m является количеством уравнений, а n – количество неизвестных. x₁, x₂, … x_n – это неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, … a_mn – коэффициенты системы, а b₁, b₂, … b_m – свободные члены. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Существуют следующие способы решения систем линейных уравнений:

– метод обратной матрицы.

2.1 Метод Гаусса

Метод Гаусса – классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы. Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К.Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода приведено в китайском трактате «Математика в девяти книгах», составленном между первым веком до н. э. и вторым веком н. э.

Далее приведено более подробное описание метода. Пусть исходная система будет вида (Рисунок 2):

Рисунок 2 — Исходная система уравнений

На рисунке 2.1 указана матрица A, вектор x и вектор b. Матрицей А называется основная матрица системы, вектором x – столбец неизвестных, вектором – столбец свободных членов.

Рисунок 2.1 — Матрица A

Согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к треугольному (или ступенчатому) виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов), что показано на рисунке 2.2

Рисунок 2.2 — Матрица треугольного вида

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных x_j₁, … , x_jr.

Тогда переменные x_j₁, … , x_jr называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число β_i ≠ 0, где i > r, то рассматриваемая система несовместна, то есть у неё нет ни одного решения.

Пусть β_i ≠ 0 для любых i > r. Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом x (см. рисунок 2.3):

Рисунок 2.3- Несовместная система

Если свободным переменным системы (рисунок 2.3) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой системы линейных алгебраических уравнений. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой, то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (рисунок 2) и (рисунок 2.3) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

2.2 Метод Крамера

Метода Крамера – способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы, причём для таких уравнений решение существует и единственно. Назван по имени Габриэля Крамера, предложившего этот метод в 1750 г.

Рисунок 2.4 — Система линейных уравнений

Для системы n линейных уравнений (рисунок 2.4) с n неизвестными с определителем матрицы системы ≠ 0, решение записывается по формуле показанном на рисунке 2.5:

Рисунок 2.5 — Нахождение решения

i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов.

2.3 Метод обратной матрицы

Метод обратной матрицы – метод решения системы линейных алгебраических уравнений, использующий понятие обратной матрицы.

Обратная матрица – такая матрица A −1 , при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E (формула 2.6).

Обратная матрица находится по формуле 2.7.

В формуле 2.7 det обозначает определитель.

Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, где b – ненулевой вектор, в который входят свободные члены, x – искомый вектор. Если обратная матрица A -1 существует, то x = A -1 b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

3 ПРОграммная реализация решения задачи

3.1 Введение и общие сведения

Одна из основных задач линейной алгебры – решение систем линейных алгебраических уравнений. Эта задача имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем. Кроме того, является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований.

Программа «MATrix» предназначена для решения систем линейных алгебраических уравнений тремя методами:

методом Гаусса;
методом Крамера;
методом обратной матрицы.

Данный программный продукт значительно упрощает получение корней систем линейных уравнений.

3.2 Структура программного продукта

В процессе разработки программного продукта были реализованы следующие формы:

Formcs – форма приветсвия;
MATrix.cs – форма, обеспечивающая решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, методом Крамера или методом обратной матрицы по выбору пользователя;
About.cs – форма, содержащая информацию о программном продукте.

На рисунке 3.1 изображена функциональная схема.

Видео:Фундаментальная система решений для однородной системы линейных уравненийСкачать

Использование компьютерных технологий при решении систем линейных алгебраических уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Тема : Использование компьютерных технологий при решении систем линейных алгебраических уравнений

научиться решать системы линейных алгебраических уравнений с помощью MS Excel ;

закрепить умения работать с мастером «Функций»;

выработать пошаговый алгоритм создания необходимых формул;

выработать пошаговый алгоритм решения систем разными способами;

научиться пользоваться справочными материалами, используя справку « Excel » и сеть Интернет ;

развивать познавательный интерес, творческую активность учащихся;

формирование ответственного отношения к учению на основе мотивации к обучению и познанию;

соблюдение правил работы на компьютере;

уважение к мыслям и настроениям другого человека, доброжелательное отношение к людям.

принимать и сохранять учебную задачу;

оценивать совместно с учителем результат своих действий.

понимание смысла терминов: система линейных алгебраических уравнений и её решение, матрица, определитель, обратная матрица, создание макета решения системы линейных алгебраических уравнений, электронная таблица, создание формул с использованием функций,;

формирование навыков использования функций для создания формул и решения поставленных задач;

использовать новые слова и термины в речи.

развивать дружеское и деловое общение учащихся в совместной работе;

формирование умения формулировать мысль.

Технологии: игровые технологии, личностно-ориентированные,

Формы организации процесса обучения: индивидуальная, фронтальная.

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый, информационно-

Оборудование: ПК, программное обеспечение – MS Excel , Opera , тестирующая программа, мультимедийная доска, инструкции выполнения лабораторного задания, карточки проверочных заданий.

Целеполагание. Мотивация студентов

Постановка цели занятия.

Изучение нового материала:

Математические функции MS Excel$

Лабораторная работа за компьютером

Постановка домашнего задания.

Подведение итогов урока.

I. Организационный момент.

Проверка присутствующих, наличие тетрадей ручек.

II. Мотивация студентов.

В современном мире во все отрасли деятельности человека внедрились компьютерные технологии, которые помогают ускорить многие процессы решения поставленных целей. И не смотря на свою стабильность и точность, математики также требует к себе «компьютерного внимания». Для помощи решения многих математических задач существует множество математических программ и процессоров. Моей одной из любимых является программа Mathcad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования , ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы. Mathcad был задуман и первоначально написан Алленом Раздовом из Массачусетского технологического института (MIT), соучредителем компании Mathsoft , которая с 2006 года является частью корпорации PTC (Parametric Technology Corporation).

Mathcad имеет интуитивный и простой для использования интерфейс пользователя. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов.

Примеры из презентации.

Недостатком многих таких программ является отсутствие алгоритма решения, то есть подается просто конечный результат решения задачи. С помощью глобальной системы «Интернет» можно найти примеры решения систем линейных алгебраических уравнений с достаточно хорошим объяснением решения.

Примеры из презентации.

Но так как Вы изучаете табличный процессор MS Excel , то сегодня на занятии мы научимся решать системы с помощью математических функций табличного процессора.

Слайд презентации: тема и цели занятия.

Тема занятия: «Использование компьютерных технологий при решении систем линейных алгебраических уравнений».

I II. Актуализация знаний.

Перед тем как приступить к изучению нового материала, давайте повторим или даже вспомним основные елементы линейной алгебры.

I V . Изучение нового материала.

Записать в тетрадь

Рассмотрите внимательно алгоритмы решения систем уравнений матричным методом и методом Крамера.

Подведение промежуточного итога:

Комментарии к выполнению лабораторного задания, оформление отчета:

Правильность заполнения формулами ячеек матриц (массивов);

Использование контекстного меню для оформления листа «Отчет».

Переход в компьютерный класс.

V I . Лабораторная работа за компьютером

для проведения лабораторного занятия №

Тема: Использование компьютерных технологий при решении систем линейных алгебраических уравнений. Визуальная демонстрация обработки математической информации в Excel.

Цель: Научиться применять полученные знания для визуальной демонстрации выполнения различных условий.

Рабочее место: Лаборатория информатики и вычислительной техники.

Продолжительность занятия: 45 мин.

Материальное техническое оснащение рабочего места: персональный компьютер; операционная система Windows, табличный процессор.

Правила охраны труда

1. Трогать экран с тыльной стороны дисплея, проводов питания и устройств заземления.

2. Нарушать порядок включения / выключения аппаратурных блоков, стараться самостоятельно устранить выявленную неисправность в работе аппаратуры.

3. Класть на аппаратуру посторонние предметы.

4. Работать на компьютере во влажной одежде и с влажными руками.

Сведения из теоретической части работы

Excel – это пакет прикладных программ, ориентированный на обработку данных, представленных в табличной форме. Именно поэтому его часто называют табличным процессором, или электронной таблицей.

Этапами обработки таблицы является ее создание, расчет данных в строках и столбцах, построение графиков для иллюстрации данных таблицы.

Формула в Excel – это совокупность арифметических операций, адресов ячеек и функций. Введение формул начинается со знака «=».

Функция – это заранее определенная формула, выполняет вычисления по заданным величинам, которые называются аргументами. Функции позволяют выполнять простые и сложные вычисления.

Для работы с матрицами используют следующие функции:

Вычисление обратной матрицы

Помните, что после ввода формулы, следует выделить нужный диапазон ячеек, нажать клавишу F2, а затем — клавиши CTRL+SHIFT+ВВОД. Если формула не будет введена как формула массива, то отображаться будет единственное значение.

Последовательность выполнения заданий

В своей папке создать Книгу ЕТ под названием « Решение систем »

Первый лист книги переименовать на « Пример 1 ». Выполнить с помощью табличного процессора решение следующего примера.

№ 1.Найти решение системы матричным способом

Создадим матрицу A , вектор В и обратную матрицу А -1 .

Для нахождения корней системы или значений вектора X , применим функцию МУМНОЖ(матрица А -1 ; матрица В).

Сделать проверку АХ = В =МУМНОЖ( матрица А; вектор Х )

Второй лист книги переименовать на « Пример 2 ». Выполнить с помощью табличного процессора решение следующего примера.

№ 2 Найти решение системы методом Крамера

1. Создадим матрицы: главную A и дополнительные A ₁ , A ₂ , A _3.

2. Вычислим значения соответствующих детерминантов матриц с помощью функции МОПРЕД.

3. Найдем корни системы используя формулу

Создать в данной книге лист 3 с названием « Метод 1 », где самостоятельно продемонстрировать решение матричным способом следующую систему уравнений

Создать в данной книге лист 4 с названием « Метод 2 », где самостоятельно продемонстрировать решение методом Крамера систему уравнений пункта 3.

Результату решений пунктов 4 и 5 оформить на листе 6 « Отчет » по следующему образцу

С помощью справки Excel дополнить список функций которые позволяют работать с матрицами, определителями, системами линейных алгебраических уравнений. Этот список отобразить в листе Отчет .

С помощью глобальной сети Интернет дополнить свой Отчет учеными-математиками (фамилия, имя, даты жизни, страна), которые внесли свой вклад в развитие решений систем линейных алгебраических уравнений:

Критерии оценивания работы

В работе должны присутствовать:

Ссылки на ячейки и рабочие листы;

Соответствие названий всех элементов с инструкцией;

Форматирование всех листов;

Оформление листа «Отчет» по образцу.

Оценка «3» — выполнение 1и 2пункта работы;

Оценка «4» — выполнение пунктов 1-4;

Оценка «5» — выполнение всех пунктов инструкции.

Решить систему матричным способом и методом Крамера проверив правильность решения с помощью табличного процессора

Ответ: x =-1; y =0; z =1.

VII. Постановка домашнего задания.

Решить систему линейных алгебраических уравнений

VII I. Подведение итогов урока.

Выполнение компьютерного теста.

В конце учебного занятия обучающимся предлагается устно ответить на вопросы:

«На сегодняшнем уроке я понял, я узнал, я разобрался…»;

Видео:Решение систем линейных уравнений с помощью матрицСкачать

Решение систем линейных уравнений с помощью ЭВМ

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЭВМ

В практической деятельности человека, в различных областях наук широко применяются системы линейных уравнений. Без них не обходятся и в метеорологии, и в медицине, и в технике. Этим и обуславливается мой интерес к этой теме.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными в линейной алгебре — это система уравнений вида:

Здесь m — количество уравнений, а n — количество неизвестных. x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn – коэффициенты при неизвестных системы, b1, b2,… bm — свободные члены. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Решение системы m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными — это совокупность n чисел (c1; c2; …; cn ) таких, что подстановка каждого ci вместо xi в систему обращает все её уравнения в тождества.

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме:

Системы m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными решаются различными методами.

Прямые (или точные) методы позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Метод Гаусса — Жордана (метод полного исключения неизвестных) — это метод, который используется для решения систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана.

Алгоритм этого метода таков.

— Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.

— Если самое верхнее число в этом столбце есть ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.

— Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.

— Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.

— Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.

— После повторения этой процедуры раз получают верхнюю треугольную матрицу.

— Вычитают из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.

— Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

— Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.

Метод Крамера – это способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем основной матрицы системы, отличным от нуля, решение записывается в виде:

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В высшей алгебре описаны и другие методы решения систем линейных уравнений. Но все они имеют ограниченную сферу использования.

При решении практических задач приходится находить решения систем линейных уравнений с большой степенью точности, потому что целочисленные решения встречаются довольно редко. Кроме того, математические модели некоторых явлений, процессов приводят к системам линейных уравнений с большим числом уравнений и неизвестных (например, при составлении прогноза погоды специалисты получают системы, в которых до пятидесяти уравнений с таким же числом неизвестных). Это приводит к громоздким вычислениям или вообще к невозможности решить систему линейных уравнений точными методами.

Поэтому в таких случаях используют итерационные методы, которые позволяют для их реализации использовать компьютерную технику и информационные технологии.

Итерационные методы устанавливают процедуру уточнения определённого начального приближения к решению. При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций. Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений.

В численных методах разработаны целый ряд итерационных методов: метод Якоби, метод Зейделя, метод минимальных невязок и другие.

В моей исследовательской работе эти методы описаны подробно и подкреплены практическими задачами. Здесь же мы только называем эти методы.

В заключение можно сказать, что все итерационные методы были разработаны давно, однако период их бурного развития и внедрения в практику начался с проявлением и развитием электронно-вычислительной техники. И сейчас под итерационным методом понимается такая интерпретация математической модели, которая доступна для компьютерной реализации.

В настоящее время разработан целый ряд дополнительных программных обеспечений(ПО), используемых для реализации итерационных методов (в частности, Excel, MathCad, Derive, Maple, Mathlab, Mathematica). Эти дополнительные ПО доступны каждому, они значительно упрощают решение систем линейных уравнений различных видов и различных степеней сложности.

1. Л, Солодовников . М.”Просвещение”.1974г. – С.160

2. Кондрашов зачетных заданий. Часть1. Красноярск. РИО КГПУ. 2001г. – С.102

3. Кураш высшей алгебры. М.”Наука”. 1971г. – С.432

4. , , “Численные методы”. М.”Академия”. 2005г. – С.384

5. Ларин алгебра. Часть1. Красноярск. РИО КГПУ. 2005г. – С.115

6. Окунев алгебра. М.”Просвещение”. 1968г. – С.336

7. Степанова лекций по курсу ”Численные методы”. Красноярск. РИО КГПУ. 2010г. – С.161

8. Степанова по курсу “Численные методы”. Красноярск. РИО КГПУ. 2003г. – С.66