Искомая функция в дифференциальном уравнении зависит от одного независимого переменного

Видео:Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Содержание:

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Обыкновенные дифференциальные уравнения

При решении многих задач математики, техники, экономики и других отраслей науки бывает трудно установить закон, связывающий искомые и известные переменные величины. Но удается установить связь между производными или дифференциалами этих переменных, которая выражается уравнениями или системами уравнений. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Термин «дифференциальное уравнение» введен в 1676 году В. Лейбницом.

Мы рассмотрим только уравнения с функциями одной переменной и обычными производными, которые называют обычными дифференциальными уравнениями.

Основные понятия о дифференциальных уравнениях

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и еепроизводные или дифференциалы разных порядков, то есть уравнение
(7.1)

Важно понять, что искомая функция в дифференциальном уравнении входит под знак дифференциала или под знак производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение.

Так, уравнение y’ – 2 xy 2 + 5 = 0 является дифференциальным уравнением первого порядка, а уравнения y» + 2 y’ – y – sin x = 0 — дифференциальным уравнением второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения (7.1) называется такая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение (7.1) превращает его в тождество.

Например, для дифференциального уравнения
y’- 2 x = 0 (7.2)
решением является функция y = x 2 . Найдем производную y’= 2x и подставим в уравнение, получим: 2x – 2x = 0, 0 ≡ 0.

Следует заметить, что y = x 2 не единственное решение уравнения. Это уравнение имеет бесконечное множество решений, которые можно записать так: y = x 2 + C.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее первую производную:
F (x, y, y’) = 0. (7.3)

Поскольку производную можно записать в виде отношения дифференциалов, то в уравнение производная может не входить, а будут входить дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Если уравнение (7.2) решить относительно у’, то оно будет иметь вид:
y’= f (x, y) или . (7.4)

Простые примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Это мы видим на примере уравнения (7.2). Легко убедиться также, что дифференциальное уравнение имеет решениями функции y = Cx, а дифференциальное уравнение — функции где C — произвольное число.

Как видим, в решение указанных дифференциальных уравнений входит произвольное число C. Предоставляя постоянной C различные значения, будем получать различные решения дифференциального уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (7.3) называется функция
у = φ (х, С), (7.5)
которая зависит от одной произвольной постоянной и удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольном значении C.

Если функция (7.5) выражается неявно, то есть в виде
Ф (х, у, С) = 0, (7.6)
то (7.6) называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (7.3) называется такое решение, которое получается из общего решения (7.5) при некотором конкретном значении постоянной C.

Ф (х, у, С₀) называется частным интегралом дифференциального уравнения.

На практике при решении конкретных задач часто приходится находить не все решения, а решение, которое удовлетворяет определенным начальным условиям. Одной из таких задач является задача Коши, которая для дифференциального уравнения первого порядка формулируется так: среди всех решений дифференциального уравнения (7.3) найти такое решение y, которое при заданном значении независимой переменной x = x₀ равна заданному значению y₀ , то есть y (x₀) = y₀ или (7.7)

Условие (7.7) называется начальным условием решения.

Покажем на примере, как найти частное решение дифференциального уравнения, когда известно общее решение и задано начальное условие.

Мы видим, что дифференциальное уравнение имеет общее решение y = Cx. Зададим начальное условие . Подставим эти значения в общее решение, получим 6 = 2С, откуда С = 3. Следовательно, функция y = 3x удовлетворяет и дифференциальное уравнение, и начальное условие.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (7.4) имеет
решение, дает теорема Коши.

ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения). Если функция f (x, y) и ее частная производная определены и непрерывные в области G, которая содержит точку M0 (x0; y0) , то существует единственное решение y = φ (x) уравнения (7.4), которое удовлетворяет начальному условию: y (x₀) = y₀.

Теорема Коши дает достаточные условия существования единого решения дифференциального уравнения (7.4). Заметим, что в условии теоремы не требуется существования частной производной .

График произвольного частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению отвечает семья кривых. Так мы проверили, что уравнение имеет общее решение y = Cx, то ему соответствует семья прямых,
которые проходят через начало координат (рис. 1).

Уравнение имеет общее решение, ему соответствует семья равносторонних гипербол (рис. 2).

Если задано начальное условие то это означает, что задана точка M₀ (x₀;y₀), через которую должна проходить интегральная кривая, отвечающая искомому частному решению. Таким образом, отыскание частного решения дифференциального уравнения по заданному начальному условию геометрически означает, что из семьи
интегральных кривых мы выбираем проходящую через точку M₀ (x₀; y₀).

Надо заметить, что нахождение решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения. При этом операцию интегрирования функций называют квадратурой.

Общего метода решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует. Рассмотрим некоторые методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Определение. Уравнение вида
f₁ (y) dy = f₂ (x) dx, (7.8)
где f₁ (y) и f₂ (x) — заданные функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

В этом уравнении каждая из переменных находится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал. Уравнение dy = f (x) dx является частным случаем уравнения (7.8). Чтобы решить уравнение (7.8), надо проинтегрировать обе его части:
.

Понятно, что произвольную постоянную С можно записывать в любой части равенства.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:
, удовлетворяющее начальному условию

Решение. Проинтегрируем левую и правую части уравнения, причем для удобства потенцирования, произвольную постоянную запишем в виде ln |C| получим:


— это общее решение дифференциального уравнения.
Подставляя в общее решение начальное условие, найдем С: 2 = С.
Итак,
является частным решением данного уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Уравнение вида
f1 (x) f2 (y) + g1 (x) g2 (y) = 0 (7.9)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

В этом уравнении переменные еще не разделены, но, поделив обе части уравнения на произведение f₂ (y) g₁ (x), получим уравнение с разделенными переменными:

Интегрируя это уравнение, запишем
.

Получили общий интеграл данного уравнения.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
x (y + 1) dx – (x 2 + 1) ydy = 0.

Решение. Поделим обе части этого уравнения на (y + 1) (x 2 + 1), после чего получим
.

Интегрируя, получим

— общий интеграл дифференциального уравнения.

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения (1 + x 2 ) dy + ydx = 0, удовлетворяющее начальному условию y (0) = 1.

Решение. Отделим переменные, поделив уравнение на y ⋅ (1 + x 2 ), и проинтегрируем данное уравнение:

Получили общий интеграл дифференциального уравнения.

Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С:
ln 1 + arctg 0 = C, откуда C = 0.

Найденную постоянную подставим в общий интеграл и отыщем частное решение:
откуда

Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция двух переменных f (x, y) называется однородной n- го измерения, если выполняется условие

Например, f (x, y) = x 2 + y 2 , f (tx, ty) = t 2 f (x 2 + y 2 ) — однородная функция второго измерения.

Определение. Дифференциальное уравнение
y ‘= f (x, y) (7.10)
называется однородным, если функция f (x, y) однородная нулевого измерения.

Покажем, что это уравнение можно свести к уравнению с разделенными переменными.
Рассмотрим функцию f (tx, ty). Сделаем замену будем иметь:

Тогда уравнение (7.10) запишется в виде (7.11)
В общем случае переменные в однородном уравнение не разделяются сразу. Но, если ввести вспомогательную неизвестную функцию u = u (x) по формуле
или y = xu, (7.12)
то мы сможем превратить однородное уравнение в уравнение с разделенными переменными.

Из формулы (7.12) найдем y’ = u + xu’ и уравнение примет вид: u + xu’ = φ (u),
то есть , откуда .

После интегрирования получим
Отсюда находим выражение для функции u, возвращаемся к переменной y = xu и получим решение однородного уравнения.

Чаще всего не удается найти функцию u явно выраженной, тогда, после интегрирования, в левую часть следует подставить вместо u.
В результате получим решение уравнения в неявном виде.

Пример 1. Найти решение однородного уравнения

Решение. Заменой y = xu сведем заданное уравнение к уравнению
или .

Отделяя переменные, найдем
откуда или , то есть
.
Возвращаясь к переменной y, получим общее решение: .

Линейные дифференциальные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое содержит искомую функцию и ее производную в первой степени без их произведения:
y’ + P (x) y = Q (x). (7.13)

Здесь P (x), Q (x) — известные функции независимой переменной x. Например, y’ + 2 xy = x 2 .

Если Q (x) = 0, то уравнение (7.13) называется линейным однородным и является уравнением с разделяющимися переменными.

Если Q (x) ≠ 0, то уравнение (7.13) называется линейным неоднородным, которое можно решить несколькими способами.

Рассмотрим метод Бернулли, с помощью которого уравнение (7.13) можно свести к интегрированию двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Решение дифференциального уравнения (7.13) ищем в виде y = u (x) v (x) или y = uv, (7.14)
где u (x), v (x) — неизвестные функции. Одну из этих функций можно взять произвольную, а другая определяется из уравнения (7.13).

Из равенства y = uv найдем производную y’:
y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.

Подставим y и y’ в уравнение (7.13):
u’v + uv’ + P (x) ⋅ u⋅ v = Q (x) или u’v + u (v’ + P (x) ⋅ v) = Q (x).

Выберем функцию v такой, чтобы v’ + P (x) v = 0. (7.15)
Тогда для отыскания функции u получим уравнение:
u’v = Q (x). (7.16)

Сначала найдем v из уравнения (7.15).
Отделяя переменные, имеем , откуда

Под неопределенным интегралом здесь будем понимать какую-то одну первообразную от функции P (x), то есть v будет определенной функцией от x.

Зная v, находим u из уравнения (7.16):

откуда

Здесь мы уже берем для u все первообразные.

Найденные функции u и v подставляем в (7.14) и получаем общее решение линейного дифференциального уравнения:
(7.17)

При решении конкретных примеров проще выполнять эти выкладки, чем применять громоздкую формулу (7.17).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Решение ищем в виде y = uv, тогда y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.
Подставим y и y’ в уравнение: или
. (7.18)

Выражение, стоящее в скобках, приравниваем к нулю, имеем
или

Отделим переменные, домножив обе части уравнения на , тогда .
После интегрирования, получим ln |v| = ln |x| (здесь ограничимся одной первообразной), откуда v = x.
Подставим v = x в уравнение (7.18):

Общее решение запишется:
y = x (x + C) = x 2 + Cx.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения который удовлетворяет начальному условию y (0) = 0.

Решение. Заданное уравнение — это линейное неоднородное уравнение первого порядка, решение которого ищем в виде y = u⋅v.
Тогда

Подставим v в уравнение и найдем u:

Общее решение дифференциального уравнения будет:

Подставляем начальные условия в найденное решение и находим С:

Из общего решения получаем частное решение
.

Дифференциальное уравнение Бернулли

Определение. Уравнения вида
(или )
называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Данное уравнение отличается от уравнения (7.13) только множителем y» (или x») в правой части. Для того, чтобы права часть данного уравнения была такой, как в (7.13), разделим его левую и праву часть на y»:

Сделаем замену:
Домножим левую и правую части полученного уравнения на (n + 1) и, используя замену, получим:

Мы получили линейное дифференциальное уравнение относительно новой переменной

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения xy’ + y = y 2 ln x.

Решение. .
Сделаем замену Тогда

Данное уравнение решим, сделав замену z = u (x) ⋅ v (x).

Выбираем функцию v (x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, и эта функция была бы частным решением уравнения

Тогда .

Проинтегрировав правую часть этого уравнения по частям, получим , а при y -1 = z = uv, имеем

Видео:2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

Обыновенное дефференциальное уравнение

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется любое соотношение, связывающее независимую переменную искомую функцию и производные искомой функции до некоторого порядка включительно.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

Здесь — известная функция, заданная в некоторой области

Число т. е. наивысший из порядков производных, входящих в (1), называется порядком уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. уравнения, интегрируемые в квадратурах

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Основные понятия и определения

Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной. В соответствии со сказанным во введении, уравнение первого порядка имеет вид

В этой главе мы будем рассматривать уравнение, разрешенное относительно производной:

Наряду с этим уравнением мы всегда будем рассматривать перевернутое уравнение

используя последнее в окрестности тех точек, в которых обращается в бесконечность.

Во многих случаях оказывается целесообразным «место уравнении (2) и (2′) рассматривать одно равносильное им дифференциальное уравнение

Обе переменные и входят в это уравнение уже равноправно, и любую из них мы можем принять за независимую переменную.

Умножая обе части уравнения (3) на некоторую функцию получаем более симметричное уравнение:

где Обратно, всякое уравнение вида (4) можно переписать в виде уравнений (2) или (2′), разрешая его относительно или так что уравнение (4) равносильно следующим двум уравнениям:

Иногда уравнение записывают *з так называемой симметрической форме:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Решение уравнения. Предположим, что правая часть уравнения (2), определена на некотором подмножестве вещественной плоскости Функцию определенную в интервале мы будем называть решением уравнения (2) в этом интервале*, если:

1. Существует производная для всех значений из интервала (Отсюда следует, что решение представляет собою функцию, непрерывную ею всей области определения).
2. Функция обращает уравнение (2) в тождество:

справедливое для всех значений из интервала Это означает, что при любом из интервала точка принадлежит множеству и

Так как наряду с уравнением (2) рассматривается перевернутое уравнение (2′), то и решения этого перевернутого уравнения естественно присоединять к решениям уравнения (2).

В этом смысле в дальнейшем мы будем для краткости называть решения уравнения (2′) решениями уравнения (2).

Примеры с решением

Пример 1.

является решением уравнения

в интервале ибо она определена и дифференцируема в эгои интервале, и, подставляя се в уравнение (9), получаем тождество:

справедливое при всех значениях

Пример 2.

Функция есть решение равнения в интервале

Пример 3.

является решением уравнения

в интервале

Иногда функцию обращающую уравнение (2) в тождество (7), т. е. решение уравнения (2), называют интегралом этого уравнения. Мы будем употреблять термин интеграл только в смысле п. 16.

Видео:Дифференциальные уравнения, 2 урок, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменнымиСкачать

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих задач нужно найти функции y₁ = y₁ (x), y₂ = y₂ (x), . y_n = y_n (x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих независимую переменную x , искомые y₁ , y₂ , . y_n и их производные.

Пример. Пусть материальная точка массы m имеет криволинейную траекторию движения в пространстве. Определить положение точки в любой момент времени t, когда на нее действует сила .

Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z; следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекциями вектора скорости точки на оси координат будут производные x’ , y’ , z’.
Положим, что сила, а соответственно и ее проекции F_x, F_y, F_z зависят от времени t, от положения x, y, z точки и от скорости движения точки, то есть от . Искомыми неизвестными функциями в этой задаче будут три функции x = x (t), y = y (t), z = z (t). Эти
функции определяются из уравнений динамики:

Мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае движения, когда траектория является плоской кривой, лежит, например, в плоскости Оxy, получим систему двух уравнений для определения неизвестных функций x (t) и y (t):

Рассмотрим простейшие системы дифференциальных уравнений.

Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Система n уравнений первого порядка с n неизвестными функциями имеет вид:
(7.38)

где x — независимая переменная, y₁, y₂, . y_n — неизвестные функции.

Если в левой части уравнений системы стоят производные первого порядка, а правые части уравнений вовсе не содержат производных, то такая система уравнений называется нормальной.

Решением системы называется совокупность функций y₁, y₂, . y_n, которые превращают каждое уравнение системы в тождество относительно x.

Задача Коши для системы (7.38) состоит в нахождении функций y₁, y₂, . y_n , удовлетворяющих систему (7.38) и заданные начальные условия:
(7.39)

Интегрирование системы (7.38) делают следующим образом. Дифференцируем по x первое уравнение системы (7.38):

Заменим производные
их выражениями f₁, f₂, . f_n из уравнений системы (7.38), получим уравнение

Дифференцируем полученное уравнение и, подставив в это равенство значения производных из системы (7.38), найдем

Продолжая дальше таким образом, получим

В результате получаем следующую систему уравнений:
(7.40)

Из первых (n-1) уравнений определим y₂, y₃, . y_n:
(7.41)

и подставим их значения в последнее уравнение системы (7.40) для определения y₁:

Продифференцируем это выражение (n-1) раз, определим
как функции от x, C₁, C₂, . C_n. Подставим эти функции в (7.41), найдем
(7.43)

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям, остается только найти значение произвольных постоянных из уравнений (7.42) и (7.43) так, как мы это делали для одного дифференциального уравнения.

Пример 1. Проинтегрировать систему

когда заданы начальные условия
Решение. Дифференцируем по x первое уравнение, имеем:
. Подставляем сюда значение и из системы, получим

Из первого уравнения системы найдем и подставим в полученное нами уравнение:
или

Общим решением этого уравнения является
(*)
и тогда (**)

Подберем постоянные С₁ и С₂ так, чтобы выполнялись начальные условия. На основании (*) и (**) имеем:
1 = С₁ – 9; 0 = С₂ – 2С₁ + 14, откуда С₁ = 10, С₂ = 6.
Таким образом, решением системы, которое удовлетворяет заданным начальным условиям, будет:

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Система дифференциальных уравнений:
(7.44)
где коэффициенты a_ij — постоянные числа, t — независимая переменная, x₁ (t), . x_n (t) —
неизвестные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решать путем сведения к одному уравнению n-го порядка, как это было показано выше. Но эту систему можно решить и другим способом. Покажем, как это делается.

Будем искать решение системы (7.44) в виде:
(7.45)

Надо определить постоянные α₁, α₂, . α_n и k так, чтобы функции (7.45) удовлетворяли систему (7.44). Подставим функции (7.45) в систему (7.44):

Сократим на e kt и преобразуем систему, сведя ее к такой системе:
(7.46)

Это система линейных алгебраических уравнений относительно α₁, α₂, . α_n. Составим определитель системы:

Мы получим нетривиальные (ненулевые) решения (7.45) только при таких k, при которых определитель превратится в ноль. Получаем уравнение n-го порядка для определения k:

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (7.44).

Рассмотрим отдельные случаи на примерах:

1) Корни характеристического уравнения действительны и различны. Решение системы записывается в виде:

Пример 2. Найти общее решение системы уравнений:

Решение. Составим характеристическое уравнение:
или k 2 – 5k + 4 = 0, корни которого k₁ = 1, k₂ = 4.

Решение системы ищем в виде

Составим систему (7.46) для корня k₁ и найдем и :
или

Откуда Положив получим
Итак, мы получили решение системы:

Далее составляем систему (7.46) для k = 4:

Откуда
Получим второй решение системы:
Общее решение системы будет:

2) Корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные:

k₁ = α + iβ, k₂ = α – iβ. Этим корням будут отвечать решения:

(7.47)

(7.48)

Можно доказать также, что истинные и мнимые части комплексного решения также будут решениями. Таким образом, получим два частных решения:
(7.49)
где — действительные числа, которые определяются через .

Соответствующие комбинации функций (7.49) войдут в общий решение системы.

Пример 3. Найти общее решение системы

Решение. Составляем характеристическое уравнение:
или k 2 + 12k + 37 = 0, корни которого k₁ = –6 + i, k₂ = –6 – i .

Подставляем поочередно k₁, k₂ в систему (7.46), найдем

Запишем уравнение (7.47) и (7.48) для наших данных

Перепишем эти решения в таком виде:

За частные решения можно взять отдельно действительные и отдельно мнимые части:

Видео:ДУ высших порядков, не содержащие независимую переменную.Скачать

Основные понятия и определения дифференциальных уравнений

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные , т. е. уравнение вида

Если искомая функция есть функция одной независимой переменной , дифференциальное уравнение называется обыкновенным ; например,

Когда искомая функция есть функция двух и более независимых переменных, например, если , то уравнение вида

называется уравнением в частных производных. Здесь — неотрицательные целые числа, такие, что ; например

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение , где — известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение — уравнение 9-го порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале называется функция , определенная на интервале вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по на . Например, функция является решением уравнения на интервале . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь

Подставляя выражения и в дифференциальное уравнение, получим тождество

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Общий вид уравнения первого порядка

Если уравнение (1) удается разрешить относительно , то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Задачей Коши называют задачу нахождения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию (другая запись ).

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку плоскости (рис. 1).

Видео:Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. 11 класс.Скачать

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Пусть дано дифференциальное уравнение , где функция определена в некоторой области плоскости , содержащей точку . Если функция удовлетворяет условиям

а) есть непрерывная функция двух переменных и в области ;

б) имеет частную производную , ограниченную в области , то найдется интервал , на котором существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию .

Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения , но эти условия не являются необходимыми . Именно, может существовать единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию , хотя в точке не выполняются условия а) или б) или оба вместе.

1. . Здесь . В точках оси условия а) и б) не выполняются (функция и её частная производная разрывны на оси и неограниченны при ), но через каждую точку оси проходит единственная интегральная кривая (рис. 2).

2. . Правая часть уравнения и ее частная производная непрерывны по и во всех точках плоскости . В силу теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение
является вся плоскость .

3. . Правая часть уравнения определена и непрерывна во всех точках плоскости . Частная производная обращается в бесконечность при , т.е. на оси , так что при нарушается условие б) теоремы существования и единственности. Следовательно, в точках оси возможно нарушение единственности. Легко проверить, что функция есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравнение имеет очевидное решение . Таким образом, через каждую точку оси проходит по крайней мере две интегральные линии и, следовательно, действительно в точках этой оси нарушается единственность (рис. 3).

Интегральными линиями данного уравнения будут также линии, составленные из кусков кубических парабол и отрезков оси , например, и др., так что через каждую точку оси проходит бесконечное множество интегральных линий.

Видео:Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Условие Липшица

Замечание. Условие ограниченности производной , фигурирующее в теореме существования и единственности решения задачи Коши, может быть несколько ослаблено и заменено так называемым условием Липшица .

Говорят, что функция , определенная в некоторой области , удовлетворяет в условию Липшица по , если существует такая постоянная ( постоянная Липшица ), что для любых из и любого из справедливо неравенство

Существование в области ограниченной производной достаточно для того, чтобы функция удовлетворяла в условию Липшица. Напротив, из условия Липшица не вытекает условие ограниченности ; последняя может даже не существовать. Например, для уравнения функция не дифференцируема по в точке , но условие Липшица в окрестности этой точки выполняется. В самом деле,

поскольку а . Таким образом, условие Липшица выполняется с постоянной .

Теорема. Если функция непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по в области , то задача Коши

имеет единственное решение.

Условие Липшица является существенным для единственности решения задачи Коши. В качестве примера рассмотрим уравнение

Нетрудно видеть, что функция непрерывна; с другой стороны,

и условие Липшица не удовлетворяется ни в одной области, содержащей начало координат , так как множитель при оказывается неограниченным при .

Данное дифференциальное уравнение допускает решение где — произвольная постоянная. Отсюда видно, что существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальному условию

Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция

зависящая от одной произвольной постоянной , и такая, что

1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной ;

2) каково бы ни было начальное условие

можно подобрать такое значение постоянной , что решение будет удовлетворять заданному начальному условию (4). При этом предполагается, что точка принадлежит области, где выполняются условия существования и единственности решения.

Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения (3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной .

Пример 1. Проверить, что функция есть общее решение дифференциального уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Дать геометрическое истолкование результата.

Решение. Функция удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной . В самом деле,

Зададим произвольное начальное условие . Полагая и в равенстве , найдем, что . Подставив это значение в данную функцию, будем иметь . Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию: положив , получим . Итак, функция является общим решением данного уравнения.

В частности, полагая и , получим частное решение .

Общее решение данного уравнения, т.е. функция , определяет в плоскости семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом . Через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная линия . Частное решение определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую, проходящую через начало координат (рис.4).

Пример 2. Проверить, что функция есть общее решение уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Имеем . Подставляя в данное уравнение выражения и , получаем , т. е. функция удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянной .

Зададим произвольное начальное условие . Подставив и вместо и в функцию , будем иметь , откуда . Функция удовлетворяет начальному условию. Действительно, полагая , получим . Функция есть общее решение данного уравнения.

При и получим частное решение .

С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются графики показательных функций; частное решение есть интегральная кривая, проходящая через точку (рис.5).

Соотношение вида , неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной , называется частным интегралом дифференциального уравнения.

Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию.

Так как с геометрической точки зрения координаты и равноправны, то наряду с уравнением мы будем рассматривать уравнение .

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме «Дифференциальные уравнения»

Разделы: Математика

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y’ в уравнение, получим – тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y» — 5y’ +6y = 0. Функция – решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.

А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .

— общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x₀) = y₀, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y) при условии y(x₀) = y₀,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y) которая проходит через заданную точку M₀(x₀,y₀).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является функция .

Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых , уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

1. Производную функции переписать через её дифференциалы
2. Разделить переменные.
3. Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
4. Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’ заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Найти частное решение уравнения

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x₀ = 1, y₀ = 3 найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим:

Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Используя начальные условия, x = 2 и y = — 3 найдем C:

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’ = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) — некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y’ = f(x)y

Если то уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y’ = ky где k — некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида y’ = kx + b,

где k и b— некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’ = -2y — 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно, где С – произвольная постоянная.

Ответ:

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v — неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ = u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение: u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ + f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Найти частное решение уравнения y’ = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’ в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0:

Ответ:

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y») = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C₁ и C₂.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C₁ и C₂.

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y» + py’ +qy = 0, где pи q— постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y» + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y» через r 2 , y’ через r, yчерез 1: r 2 + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант D = p 2 -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде , где C₁ и C₂ — произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде

Общее решение

Дифференцируя общее решение, получим

Составим систему из двух уравнений

Подставим вместо ,и заданные начальные условия:

Таким образом, искомым частным решением является функция

.

2. Найти частное решение уравнения

1.

1.

2. а)

2. а)

б)

б)

в)

в)

г)

г)

Видео:Диффуры, не содержащие искомую функцию yСкачать

Дифференциальные уравнения, общие понятия

Дифференциальные уравнения — это отдельный вид функциональных уравнений. А значит для дифференциальных уравнений такие понятия, как функция, аргумент функции, область определения функции и т.п., также являются актуальными.

Главное отличие дифференциальных уравнений от фунцкциональных в том, что одна из переменных (как правило искомая неизвестная величина) является производной или дифференциалом функции, аргументом которой является вторая переменная, впрочем аргументов у функции может быть несколько.

В общем случае определение дифференциального уравнения может выглядеть так:

Дифференциальным уравнением называется равенство между функцией и ее производной или дифференциалом.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного аргумента. Например:

у’ = f(x) (539.1)

Напомню, функциональное уравнение может иметь следующий вид:

у = f(x) (538.1)

Дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных, если искомая функция зависит от нескольких аргументов. Например:

у’ = f(x₁,x₂) или у’ = f(x,u) (539.2)

где х₁, х₂ или х, u — возможные обозначения для различных аргументов функции.

Порядком дифференциального уравнения считается порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например уравнение (539.1) является уравнением первого порядка. Уравнение второго порядка может иметь вид:

y» = f(x) (539.3)

Решением дифференциального уравнения является функция, подставление которой вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество. Другими словами уравнение становится равенством.

А теперь эти общие математические понятия (кстати тут приведены далеко не все основные понятия) попробуем описать простым человеческим языком, но начать придется издалека.

Видео:7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

Производная функции

Мы живем в несовершенном, постоянно изменяющемся мире. Все течет, все изменяется, как подметил еще Гераклит. Однако в древности были и другие мыслители, которые в отличие от Гераклита пытались этот мир как-то понять и оценить. Так далеко в историю мы заглядывать не будем, хотя предпосылки к дифференциальному исчислению следует искать именно там, а ограничимся простыми и наглядными примерами:

Пример 1

Мы вышли из пункта А в пункт Б и находились в пути 4 часа, каждый час мы проходили по 2 километра. Вопрос: какое расстояние между пунктами А и Б?

Вообще это задачка для 3-4 класса начальной школы и решить ее вроде бы не сложно (потому я ее и выбрал): достаточно сложить все расстояния, пройденные за каждый час, а так как эти расстояния одинаковые, то можно еще больше упростить задачу, умножив на 4 расстояние, пройденное за один промежуток времени. Таким образом расстояние между пунктами А и Б составляет:

2 км · 4 = 8 км (539.4)

А между тем условия задачи можно рассматривать и по другому, т.е. как зависимость пройденного расстояния от времени. В этом случае у нас время -независимая переменная t или аргумент функции, а пройденное расстояние — значение функции в тот или иной момент времени или переменная s. Тогда условия задачи соответствуют следующему функциональному уравнению:

s = f(t) = 2t (539.5)

а также графику этой функции:

Рисунок 539.1. График функции f(t) = 2t.

Так если по оси t откладывать промежутки времени Δt (ч), которое мы были в пути, а по оси s — преодоленное за эти промежутки времени расстояние Δs (км), то график указанной функции будет иметь такой вид, как показано на рисунке 539.1. В общем случае используются более привычные оси х и у, соответственно рассматриваются функции вида y = f(x), но сути дела это никак не меняет.

Решая уравнение (539.5) мы можем определить не только общее расстояние, преодоленное за 4 часа пути, но и в любой интересующий нас момент времени. Например, нас интересует, какое расстояние мы прошли за 1.5 часа. Согласно уравнению (539.5) это расстояние составит 2·1.5 = 3 километра.

А если нас интересует не расстояние, преодоленное к тому или иному моменту времени, а скорость движения? Можем ли мы определить эту скорость на основе имеющихся данных?

Оказывается можем, потому что скорость — это тоже функция, которая в свою очередь также зависит от времени.

Так как каждый час мы преодолевали по 2 км, то отсюда можно сделать вывод, что скорость нашего движения была постоянной, тогда по давно известному нам уравнению, описывающему движение с постоянной скоростью:

v = s/t = 8/4 = 2 км/ч (539.6)

В данном случае, так как скорость постоянная, не имеет значения, на каком временном промежутке мы эту скорость определяем. Тем не менее рассмотрим данную ситуацию с точки зрения математики.

Временные промежутки, когда засекалось пройденное расстояние, мы обозначим как Δt = 1, соответственно t = ΣΔt = 1 + 1 + 1 + 1 = 4. Расстояния, пройденные за эти промежутки времени обозначим как Δs = 2. На графике функции это будет выглядеть так:

Рисунок 539.2

С точки зрения математики временные промежутки Δt — это приращение аргумента функции:

Δt = t — t₀ (539.7)

Соответственно расстояния, пройденные за рассматриваемый промежуток времени — это приращение функции:

Δs = Δf(t) = f(t) — f(t₀) (539.8)

А так как использовать греческую литеру Δ не всегда удобно (в частности мне для этого приходится заходить в отдельный редактор текста, а наборщикам в типографиях вставить эту литеру было еще сложнее), то часто приращение значения искомой функции и приращение аргумента функции обозначают как ds и dt.

Тогда формулу определения скорости можно записать так:

v = ds/dt (539.9)

Таким образом мы с одной стороны вроде бы просто разделили расстояние на время — задача для 3-4 класса, а с другой стороны мы определили производную функции s = f(t), соответствующим образом ее продифференцировав, а это уже задача курса алгебры, а то и высшей математики.

Возможно и не стоило это так подробно расписывать, но на мой взгляд это очень важно, чтобы показать, что в дифференциальном исчислении нет ничего трудного, если рассматривать его на соответствующих примерах.

Итак скорость v является производной функции s = f(t) = 2t. Дифференциальное уравнение в этом случае будет выглядеть так:

v = s’ = f'(t) (539.10.1)

v = (2t)’ = 2 (539.10.2)

Но и это еще не все, на основании имеющихся данных: времени в пути и расстояний, преодоленных за 1 час, мы можем определить ускорение нашего движения.

Так как скорость нашего движения оставалась постоянной, соответственно dv = 0, то само собой и ускорения никакого не было, ни положительного ни отрицательного. Другими словами ускорение нашего движения составляло а = 0 км/ч 2 .

На языке математики это будет выглядеть так:

а = v’ = dv/dt = s» = d 2 s/dt 2 (539.11.1)

a = 0/1 = (2t)» = (2)’ = 0 (539.11.2)

Т.е. в данном случае для определения ускорения нужно определить первую производную функции скорости (уравнения, выражающего зависимость скорости от времени) или вторую производную функции расстояния (уравнения, выражающего зависимость пройденного расстояния от времени).

На основании вышеизложенного мы можем дать следующее предварительное определение производной:

Производная — это скорость изменения функции

В рассмотренном выше примере скорость движения — это скорость изменения функции расстояния, а ускорение — это скорость изменения функции скорости. Если бы мы все 4 часа сидели на месте, то и расстояние, пройденное нами, было бы равно нулю, и скорость и ускорение, но даже для такого случая можно записать соответствующие дифференциальные уравнения:

Однако в жизни гораздо чаще встречаются функции, даже третьи производные которых не равны нулю.

Рассмотрим другой пример все с тем же движением, на этот раз чуть более сложный.

Пример 2

По ровной наклонной поверхности скатывается шар. Начальная скорость движения равна v_o = 0. Определить пройденное шаром за 4 секунды расстояние, скорость после 1, 2, 3 и 4 секунд движения и постоянное ускорение движения, если за первую секунду шар преодолел расстояние 3 м, за вторую — 9 м, за третью — 15 м, за четвертую — 21 м.

С определением пройденного расстояния по прежнему проблем нет: достаточно сложить расстояния, которые преодолел шар за каждую секунду s = ΣΔs = 3 + 9 + 15 + 21 = 48 метров. А вот скорость и ускорение в данном случае определить не так просто. Тем не менее попробуем.

Если воспользоваться полученными раннее знаниями, то вроде бы в первый промежуток времени скорость должна быть равна:

Вот только в данном случае у нас скорость — изменяющаяся величина, зависящая от времени, поэтому результат полученный при решении уравнения (539.12) можно рассматривать лишь как среднюю скорость движения на первом участке. Тогда более правильно уравнение скорости на первом участке записать так:

v_1ср = ds₁/dt₁ = 3/1 = 3 м/с (539.12.2)

Подобным образом мы достаточно легко можем определить среднюю скорость на всех участках пути, и она составит v_2ср = 9 м/с, v_3ср = 15 м/с, v_4ср = 21 м/с, но в данном случае нас интересует не среднее значение функции скорости на рассматриваемом участке, а значение функции скорости во вполне определенной точке, т.е. после 1, 2, 3 и 4 секунд движения. Как это сделать?

По условиям задачи ускорение — производная от скорости — является постоянной величиной, т.е. скорость изменения скорости будет постоянной. В этом случае значение средней скорости является средним арифметическим от начальной и конечной скорости на рассматриваемом участке:

тогда при v_o = 0

v₁ = 3·2 = 6 м/с (539.13.2)

Соответствующим образом мы можем определить значения скорости и в остальных точках, например (6 + v₂)/2 = 9, v₂ = 9·2 — 6 = 12 м/с; (12 + v₃)/2 = 15, v₃ = 15·2 — 12 = 18 и так далее, а теперь переведем полученные данные на язык высшей математики. Мы видим, что v₁ = 6·1, v₂ = 6·2 = 12, v₃ = 6·3 = 18, т.е. значение скорости явно зависит от времени, соответственно уравнение скорости мы можем записать следующим образом:

v = s’ = 6t (539.14)

Соответственно ускорение движения шара составит:

a = v’ = (6t)’ = 6 м/с 2 (539.15)

Между тем, если бы нам были заданы меньшие значения временных промежутков и соответственно меньшие значения пройденных расстояний за эти промежутки времени, например при dt₁ = 1 секунда, ds₁ = 3 м, dt₂ = 0.1 секунды и ds₂ = 0.63 м, то средняя скорость на рассматриваемом втором участке составила бы v_2ср = ds/dt = 0.63/0.1 = 6.3 м/с, а скорость в в точке t₂: v_2сp = (6 + v₂)/2 = 6.3, v₂ = 12.6 — 6 = 6.6 м/с. Т.е. закономерность изменения значения скорости никуда не девается, тем не менее, чем меньше рассматриваемый временной промежуток dt, тем меньше разница между значением средней скорости изменения функции и скоростью изменения функции в рассматриваемой точке. Из этого можно сделать еще один очень важный вывод:

Скорость изменения функции может быть разная. Чем меньше приращение аргумента функции dt, тем ближе значение среднего изменения скорости к изменению скорости функции в рассматриваемой точке.

На основании этого можно сформулировать более полное определение производной функции:

Производная функции в точке — это скорость изменения функции в рассматриваемой точке при стремлении приращения аргумента функции к нулю (Δt → 0)

Поэтому иногда производную называют мгновенной скоростью изменения функции. В нашем случае уравнение производной будет выглядеть так:

(539.16)

На данном этапе вид формулы (539.16) нас уже не пугает (во всяком случае мне так кажется). Совсем другое дело, когда подобная формула приводится в начале темы, посвященной рассмотрению производных функции.

Видео:4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)Скачать

Дифференциал (первообразная) функции

С задачей определения скорости и ускорения в примере 2 мы вроде бы справились и даже составили соответствующие уравнения (539.14) и (539.15). Но иногда требуется решить и обратную задачу — например определить исходное уравнение, описывающее зависимость перемещения от времени.

Если скорость является производной функции расстояния v = s’, то расстояние при этом является первообразной (дифференциалом) функции скорости s = ∫v. Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием. Так, чтобы получить уравнение зависимости пройденного расстояния от времени, нам нужно проинтегрировать уравнение скорости. При этом уравнение расстояния более правильно записывать так

s = ∫vdt (539.17)

В общем случае интегрирование может быть более сложной задачей, чем дифференцирование, потому что функции бывают не только степенными, как в данном примере, но и тригонометрическими, обратными тригонометрическими и т.п., но пока нас интересует, как проинтегрировать простую степенную функцию вида f(t) = 6t.

Вообще-то мы могли сразу построить график, отражающий зависимость пройденного расстояния от времени по данным примера 2, тем не менее сделаем это сейчас, а заодно построим график для уравнений скорости и ускорения и расположим их в такой последовательности:

Рисунок 539.3. Графики степенных функции а) а= 6, б) v = at, в) s = at 2 /2.

Как видим, график, отражающий зависимость ускорения от времени, у нас самый простой. Ускорение постоянное, а = 6 м/с 2 и от времени никак не зависит. Тем не менее, зная ускорение, мы можем определить скорость движения в любой точке времени. Так из уравнений (539.14) и (539.15) следует, что:

v = 6t = at (539.14.2)

Соответственно решая это уравнение, мы можем определить скорость в любой момент времени.

Но если рассматривать это действие с точки зрения геометрии, то мы, умножая ускорение на время, определяем площадь прямоугольника со сторонами а = 6 и t. При t = 4 площадь прямоугольника составит 6·4 = 24, точнее 24 м/с так как мы все-таки определяем скорость.

Если мы построим график, отражающий зависимость изменения скорости от времени, то увидим, что на этом графике значения скорости в той или иной момент времени соответствуют площадям прямоугольника со сторонами а = 6 и t.

Получается, что если определить площадь треугольника со сторонами v и t, то это и будет расстояние, преодоленное к тому или иному промежутку времени:

s = vt/2 = at 2 /2 = 6t 2 /2 = 3t 2 (539.18)

Уравнение (539.18) можно записать как дифференциальное:

s = ∫6tdt = 3t 2 (539.18.2)

Если график, показанный на рисунке 539.3.в) также является графиком для производной некоторой функции, то для определения первообразной этой функции нам также следовало бы найти площадь фигуры, ограниченной квадратной параболой.

Сделать это в принципе не сложно, так как площадь фигуры, очерченной квадратной параболой таким образом, как показано на рисунке 539.3.в) в 3 раза меньше площади прямоугольника со сторонами s и t, соответственно S = st/3 = 3t 2 t/3 = t 3 и эту процедуру можно повторять до бесконечности.

Почему площадь фигуры, ограниченной квадратной параболой именно в 3 раза меньше, чем площадь прямоугольника, а площадь фигуры ограниченной кубической параболой в 4 раза меньше площади прямоугольника, я здесь объяснять не буду, тем не менее такая закономерность существует и в математическом выражении выглядит так:

∫aх n dx = ax n+1 /n + C (539.19)

В данном случае С — это некоторая постоянная величина. Как мы выяснили, при дифференцировании постоянные величины обращаются в нуль, как пример — уравнение (539.11.2), соответственно решая обратную задачу, т.е. интегрируя функцию, мы допускаем, что некая постоянная величина в первообразной функции была.

Например в общем случае уравнение скорости (539.14.2) должно выглядеть так:

v = v_o + at (539.14.3)

где v_o — это и есть некая постоянная величина. В нашем случае по условиям задачи v_o = 0, поэтому мы использовали сокращенную форму записи.

Определенный интеграл

В общем случае график функции может выглядеть как угодно, например так:

Рисунок 539.4

В этом случае сразу определить площадь фигуры, ограниченной графиком функции, не получится. Но мы можем разбить эту фигуру на участки шириной Δх и определить среднее значение у для каждого участка. Теперь определить площади трех прямоугольников большого труда не составит, вот только суммарная площадь прямоугольников не будет равна площади фигуры, ограниченной графиком функции:

S ≈ ∑y_iΔx (539.20)

Но чем больше будет у нас прямоугольников с шириной Δх, т.е, чем меньше будет значение Δх, тем точнее будет значение у, а значит и суммарная площадь прямоугольников будет ближе к площади фигуры, ограниченной графиком функции.

При интегрировании, как и при дифференцировании для получения более точного результата приращение аргумента функции должно стремиться к нулю (maxΔx → 0) .

Из этого можно сделать следующий вывод:

Если существует предел суммы, определяемой по формуле (539.20) вне зависимости от количества прямоугольников и при стремлении ширины прямоугольников к нулю, то такой предел называется определенным интегралом, а суммы, определяемые по формуле (539.20) — интегральными суммами.

Так как на рисунке 539.4 показан график непрерывной функции, то такая функция является интегрируемой и для определения дифференциала функции используется определенный интеграл. При этом 0 и 3 — это пределы интегрирования.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Для Украины — номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630

Категории:	Расчет конструкций . Уравнения, основные понятия
Оценка пользователей:	10.0 (голосов: 1)
Переходов на сайт:	1701
Комментарии: Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта). 📸 Видео 1. Что такое дифференциальное уравнение?Скачать Дифференциальные уравнения с разделенными переменными. 11 класс.Скачать ДУ высших порядков, не содержащие независимую переменную. ПримерыСкачать ДУ высших порядков, не содержащие искомую функцию. Примеры.Скачать Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1Скачать 5. Однородные дифференциальные уравнения. Часть 2.Скачать 14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать ОДУ. 1 Понятие ОДУ. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравненияСкачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Сера — химические свойства, получение, соединения. Нитрат кальция: способы получения и химические свойства Кальций: способы получения и химические свойства Гидроксид натрия: способы получения и химические свойства Гидроксид кальция: способы получения и химические свойства Получение бензола Разница между глюкозой и сахарозой Гидроксид калия: способы получения и химические свойства