Иррациональные уравнения методом возведения в квадрат

План урока:

Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Видео:Возведение иррационального уравнения в квадратСкачать

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Видео:Решение иррациональных уравнений: возведение в степеньСкачать

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Видео:Иррациональное уравнение 634. Метод возведения обоих частей уравнения в одну и ту же степень.Скачать

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Видео:Уравнения с корнем. Иррациональные уравнения #shortsСкачать

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Видео:8 класс, 38 урок, Иррациональные уравненияСкачать

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

Видео:✓ Как возводить в иррациональную степень | Ботай со мной #017 | Борис ТрушинСкачать

Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Продолжаем разговор про решение иррациональных уравнений. В этой статье будем разбираться, как проводится решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Сначала кратко дадим необходимую теорию – скажем, для решения каких иррациональных уравнений применяется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, озвучим суть метода, приведем утверждение, на котором базируется метод, запишем алгоритмы решения иррациональных уравнений. А основное внимание сосредоточим на практике – разберем разнообразные примеры решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Видео:Иррациональные уравнения — часть 1Скачать

Необходимая теория

Для решения каких иррациональных уравнений применяется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень применяется для решения иррациональных уравнений в тех случаях, когда возведение в степень позволяет полностью избавиться от корней в записи иррационального уравнения или, по крайней мере, уменьшить их количество. Понятно, что речь идет о возведении в натуральную степень, большую единицы (в квадрат, куб и т.д.). Например, возведение обеих частей уравнения в степень n дает уравнение , которое в дальнейшем можно преобразовать в уравнение f(x)=g n (x) , не содержащее корня в левой части.

Добавим конкретики. Наиболее часто к использованию метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень прибегают при решении следующих иррациональных уравнений:

• , C≥0 . Такими иррациональными уравнениями являются, например, и . Избавиться от знака квадратного корня в первом уравнении позволяет возведение обеих частей уравнения в квадрат: , , x 2 −5=4 . Во втором случае от корня шестой степени освобождает возведение обеих частей иррационального уравнения в шестую степень: , , 4−5·x=0 .
• , например, , и др. В первом случае избавиться от корня позволяет возведение обеих частей иррационального уравнения в квадрат, а во втором случае – в куб.
• . В качестве примера приведем иррациональное уравнение . Очевидно, возведение обеих частей уравнения в квадрат позволит избавиться от обоих знаков корней.
• , таких как и подобных им. Оба корня в записи пропадут после возведения в шестую степень обеих частей приведенного в пример иррационального уравнения.
• иррациональных уравнений с двумя, тремя, редко – четырьмя и большим количеством радикалов в записи, например, и . Здесь к возведению частей уравнения в степень приходится прибегать неоднократно, причем делать это следует вместе с уединением радикала.
• уравнений с корнем под корнем. Вот пример такого иррационального уравнения . В таких случаях тоже требуется несколько раз прибегать к возведению частей иррационального уравнения в степень.

Суть метода

Суть метода возведения обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень: при помощи соответствующего преобразования получить более простое уравнение, не имеющее в своей записи радикалов, и через его решение получить решение исходного иррационального уравнения.

На чем базируется метод

В основе решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень лежит следующее утверждение:

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень дает уравнение-следствие, а возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение (при необходимости см. равносильные уравнения и уравнения-следствия).

Алгоритмы решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Запишем два алгоритма: первый относится к возведению в четную степень, второй – в нечетную, большую единицы.

Алгоритм решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень:

• Обе части иррационального уравнения возводятся в одну и ту же четную степень 2·k .
• Решается полученное уравнение.
  • Если полученное уравнение корней не имеет, то не имеет корней исходное иррациональное уравнение.
  • Если же полученное уравнение имеет корни, то проводится отсеивание посторонних корней любым методом, не базирующимся на использовании ОДЗ.

Здесь стоит пояснить, почему отсеивание посторонних корней нужно проводить не по ОДЗ или условиям ОДЗ, а, например, через проверку подстановкой. Дело в том, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может быть причиной появления посторонних корней в пределах ОДЗ, такие посторонние корни невозможно отсеять по ОДЗ.

Алгоритм решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень:

• Обе части иррационального уравнения возводятся в одну и ту же нечетную степень 2·k+1 .
• Решается полученное уравнение. Его решение есть решение исходного уравнения.

Обратите внимание: приведенный алгоритм, в отличие от алгоритма решения простейших иррациональных уравнений с четным показателем корня, не содержит пункта, касающегося отсеивания посторонних корней. Выше мы показали, что возведение обеих частей уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием уравнения, значит, такое преобразование не приводит к появлению посторонних корней, поэтому нет необходимости в их отсеивании.

Теперь можно рассмотреть, как записанные алгоритмы реализуются на практике.

Видео:Подготовка к ЕГЭ #56. Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в степеньСкачать

Примеры решения иррациональных уравнений

Начнем с решения несложного и довольно типичного иррационального уравнения, возведение обеих частей которого в квадрат приводит к квадратному уравнению, не имеющему корней.

Решить иррациональное уравнение

Вот пример, в котором все корни уравнения, полученного из исходного иррационального уравнения путем возведения его обеих частей в квадрат, оказываются посторонними для исходного уравнения. Вывод: оно не имеет корней.

Решите иррациональное уравнение

Следующий пример чуть сложнее. Его решение, в отличие от двух предыдущих, требует возведения обеих частей уже не в квадрат, а в шестую степень, и это приведет уже не к линейному или квадратному уравнению, а к кубическому уравнению. Здесь проверка нам покажет, что все три его корня будут корнями иррационального уравнения, заданного изначально.

Решить иррациональное уравнение

А здесь пойдем еще дальше. Для избавления от корня придется возводить обе части иррационального уравнения в четвертую степень, что в свою очередь приведет к уравнению четвертой степени. Проверка покажет, что лишь один из четырех потенциальных корней будет искомым корнем иррационального уравнения, а остальные будут посторонними.

Решить иррациональное уравнение

Три последних примера являются иллюстрацией следующего утверждения: если при возведении обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же четную степень получается уравнение, имеющее корни, то последующая их проверка может показать, что

• либо все они являются посторонними корнями для исходного уравнения, и оно не имеет корней,
• либо среди них вообще нет посторонних корней, и все они являются корнями исходного уравнения,
• либо посторонними являются лишь некоторые из них.

Пришло время перейти к решению простейших иррациональных уравнений с нечетным показателем корня, то есть, уравнений . Здесь напомним, что при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень не требуется проводить отсеивание посторонних корней.

Знание этого факта позволяет на законных основаниях не проводить отсеивание посторонних корней при решении иррационального уравнения . Тем более в данном случае проверка связана с «неприятными» вычислениями. Посторонних корней и так не будет, так как проводится возведение в нечетную степень, а именно в куб, что является равносильным преобразованием. Понятно, что проверку можно и выполнить, но больше для самоконтроля, чтобы дополнительно убедиться в правильности найденного решения.

Решить иррациональное уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень.

Теперь пришло время взглянуть на возведение в одну и ту же степень обеих частей уравнения с общих позиций. По сути, при решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень используется уже известный нам общий подход: исходное уравнение путем каких-либо преобразований преобразуется в более простое уравнение, оно преобразуется в еще более простое, и так далее, вплоть до уравнения, которое мы в состоянии решить. Понятно, что если в цепочке таких преобразований мы прибегаем к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же степень, то можно сказать, что мы действуем по одноименному методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Остается лишь разобраться, какие именно преобразования и в какой последовательности нужно проводить для решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Вот общий подход к решению иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень:

• Во-первых, нужно перейти от исходного иррационального уравнения к более простому уравнению, чего обычно позволяет добиться циклическое выполнение следующих трех действий:
  • Уединение радикала (или аналогичные приемы, например, уединение произведения радикалов, уединение дроби, числителем и/или знаменателем которой является корень, позволяющие при последующем возведении обеих частей уравнения в степень избавиться от корня).
  • Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
  • Упрощение вида уравнения.
• Во-вторых, нужно решить полученное уравнение.
• Наконец, если в процессе решения были переходы к уравнениям-следствиям (в частности, если проводилось возведение обеих частей уравнения в четную степень), то нужно отсеять посторонние корни.

Решим пример, в котором уединение радикала приводит иррациональное уравнение к простейшему виду, после чего остается выполнить возведение обеих частей в квадрат, решить полученное уравнение и отсеять посторонние корни при помощи проверки.

Решить иррациональное уравнение , пользуясь возведением обеих частей в одну и ту же степень.

Следующее иррациональное уравнение может быть решено путем уединения дроби с радикалом в знаменателе, избавиться от которого позволяет последующее возведение в квадрат обеих частей уравнения. А дальше все просто: решается полученное дробно-рациональное уравнение и делается проверка, исключающая попадание в ответ посторонних корней.

Решите уравнение

Довольно характерными являются иррациональные уравнения, в записи которых присутствуют два корня. Они обычно с успехом решаются методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Если корни имеют одинаковую степень, и кроме них нет других слагаемых, то для избавления от радикалов достаточно уединить радикал и выполнить возведение в степень один раз, как в следующем примере.

Решите уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень.

А вот пример, в котором также два корня, помимо них также нет никаких слагаемых, но степени корней различны. В этом случае после уединения радикала целесообразно возводить обе части уравнения в степень, освобождающую от обоих радикалов сразу. В качестве такой степени выступает, например, наименьшее общее кратное (НОК) показателей корней. В нашем случае степени корней равны 2 и 3 , НОК(2, 3)=6 , поэтому, мы будем возводить обе части в шестую степень. Заметим, что можно действовать и по стандартному пути, но в этом случае нам придется дважды прибегать к возведению обеих частей в степень: сначала во вторую, затем в третью. Покажем оба способа решения.

Решите иррациональное уравнение

В более сложных случаях, решая иррациональные уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, к возведению в степень приходится прибегать два раза, реже – три раза, еще реже — большее число раз. Первое иррациональное уравнение, иллюстрирующее сказанное, содержит в записи два радикала и еще одно слагаемое.

Решить уравнение

Решение следующего иррационального уравнения тоже требует двух последовательных возведений в степень. Если не забывать уединять радикалы, то двух возведений в степень достаточно, чтобы избавиться от трех присутствующих в его записи радикалов.

Решить иррациональное уравнение

Метод возведения обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень позволяет справляться и с иррациональными уравнениями, в которых под корнем, содержится еще один корень. Вот решение характерного примера.

Решите иррациональное уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень

Наконец, прежде чем переходить к разбору следующих методов решения иррациональных уравнений, нужно обязательно отметить тот факт, что возведение обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень может в результате дальнейших преобразований дать уравнение, имеющее бесконечное множество решений. Уравнение, имеющее бесконечно много корней, получается, например, в результате возведения в квадрат обеих частей иррационального уравнения и последующего упрощения вида полученного уравнения. При этом по понятным причинам мы не имеем возможности выполнить проверку подстановкой. В таких случаях приходится либо прибегать к другим способам проверки, либо отказаться от метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень в пользу другого метода решения, например, в пользу метода, предполагающего переход от иррационального уравнения к уравнению с модулем.

Мы рассмотрели решения наиболее характерных иррациональных уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Изученный общий подход позволяет справиться и с другими уравнениями, если для них вообще подходит этот метод решения.

Видео:Как решать иррациональные уравнения. Методы решения иррациональных уравнений. (часть 1).Скачать

Метод возведения в степень иррациональных уравнений

Метод возведения в степень

Метод возведения в степень является одним из наиболее распространённых методов решения задач с иррациональностями. Как уже отмечалось выше, при его использовании следует помнить, что любое уравнение и неравенство всегда можно возвести в нечётную степень, это преобразование является равносильным. Другое дело, если уравнение необходимо возвести в чётную степень. В общем случае это переход к следствию, чреватый появлением посторонних корней. Это допустимо, если возможно сделать проверку корней. Если же проверка по какой-либо причине затруднена или невозможна (например, когда при решении неравенств и некоторых уравнений получается бесконечно много решений), то следует сохранять равносильность выполняемых преобразований. Для этого перед очередным возведением в чётную степень следует не забывать выписывать условие неотрицательности обеих частей уравнения.

Если уравнение содержит несколько радикалов, то для последовательного избавления от них уравнение приходится возводить в степень несколько раз. В этом случае перед очередным возведением в степень часто используют приём уединения корня.

Пример №220.

Решение:

ОДЗ :

Далее метод возведения в степень (в данном случае в квадрат, так как в уравнение входят квадратные корни) можно применить двумя способами.

1-й способ. Приведём уравнение к виду

Обе части уравнения неотрицательны, поэтому, возведя его в квадрат, получим равносильное (на ОДЗ) уравнение:

2-й способ. Сразу возведём уравнение в квадрат

(переход к следствию) и, упростив, запишем в виде

Разложим полученное уравнение на множители

и сведём к совокупности

Так как в процессе решения задачи был переход к следствию, то необходимо сделать проверку полученных значений x подстановкой в ОДЗ или исходное уравнение (или в любое уравнение, равносильное исходному). Число (посторонний корень, образовавшийся из-за возведения в квадрат без учёта совпадения знаков обеих частей уравнения). Получаем тот же ответ. Ответ:

Пример №221.

Решение:

1-й способ. Возведём неравенство в куб, используя формулу

Заменяя, в силу исходного уравнения, выражение единицей и упрощая, получаем, как следствие, уравнение

Проверка показывает, что оба значения удовлетворяют исходному уравнению.

2-й способ. Приведём уравнение к виду

и после этого возведём его в куб:

Решая это уравнение как квадратное относительно , находим:

откуда получаем те же значения x .

Следует отметить, что второй способ в данном случае предпочтительней, так как полученное в конце квадратное уравнение имеет более простые коэффициенты (и не надо делать проверку). Ответ:

Пример №222.

Решение:

Возведём обе части уравнения в куб (равносильное преобразование):

Заменяя выражение выражением , получим уравнение, являющееся следствием исходного:

Это уравнение сводится к совокупности двух уравнений:

Решения первого уравнения есть . Второе уравнение имеет одно решение . Проверка показывает, что все четыре значения являются корнями исходного уравнения. Ответ:

Пример №223.

Решение:

Выпишем ОДЗ: но не будем сразу решать эту систему. Приступим к решению неравенства, переписав его в виде

добившись того, чтобы обе части неравенства стали неотрицательны (иначе неравенство возводить в квадрат нельзя). Только после этого возведём в квадрат, перейдя к равносильному (на ОДЗ) неравенству

После упрощения получим

Пример №224.

Решение:

Проверка подстановкой в исходное уравнение показывает, что все три числа являются решениями уравнения.

Замечание. Иногда при решении этой задачи записывают ОДЗ так:

Хочется предостеречь читателя от таких попыток, поскольку первые два условия в системе неверны, что подтверждается наличием среди корней уравнения числа На самом деле ОДЗ выглядит следующим образом:

Пример №225.

Решение:

Заметим, что x = -2 и x = 0 являются решениями уравнения (а числа x = — 4 и x = -3 — не являются). Найдём корни этого уравнения, отличные от x = -2 и x = 0 . Для них, согласно ОДЗ,

Возведём уравнение в квадрат, получив равносильное (на ОДЗ) уравнение:

Обе части последнего равенства положительны при — 2

Сократив на x+ 2(> 0) и х(

обе части которого отрицательны при -2

корни которого

Ответ:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

🌟 Видео

Иррациональные уравнения и их системы. 11 класс.Скачать

Иррациональные уравнения. Возведение в квадратСкачать

Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в степень. ГВЭ11 + ЕГЭ 2021 #56Скачать

Иррациональное уравнениеСкачать

Алгебра 10 класс (Урок№20 - Иррациональные уравнения и неравенства.)Скачать

Математика. Иррациональные уравненияСкачать

Иррациональные уравнения. 10 классСкачать

Математика ЕГЭ 2019. Решение иррациональных уравненийСкачать

Иррациональные уравнения | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать