Интервальный прогноз для значения x xmax для линейного уравнения регрессии (7 видео)

Содержание

Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии
Интервальный прогноз на основе линейного уравнения регрессии
Прогноз по модели парной регрессии
Точечный прогноз по уравнению регрессии
Интервальный прогноз по уравнению регрессии
Вопросы и задачи
📹 Видео

Видео:Точечный прогноз. Интервальный прогноз. Построение уравнения регрессии с помощью анализа данныхСкачать

Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии

Прогнозирование по уравнению регрессии представляет собой подстановку в уравнение регрессии соответственного значения х. Такой прогноз у_х называется точечным. Он не является точным, поэтому дополняется расчетом его стандартной ошибки, в результате чего получается интервальная оценка прогнозного значения:

Преобразуем уравнение регрессии:

Ошибка т. зависит от ошибки у и ошибки коэффициента ре-

грессии Ь, т.е.

Из теории выборки известно, что

Используя в качестве оценки а 2 остаточную дисперсию на одну степень свободы S 2 , получаем:

Ошибка коэффициента регрессии из формулы (1.20):

Таким образом, при х = х_р получаем:

Как видно из формулы (1.31), величина т- достигает минимума при х_р = х и возрастает по мере удаления х_р от х в любом направлении (рис. 1.3). Для нашего примера эта величина составит:

Рис. 1.3. Доверительные границы прогноза при парной линейной регрессии При При х_р = 4.

Для прогнозируемого значения у 95 %-ные доверительные интервалы при заданном х_р определены выражением

т.е. прил:_р = 4 у + 2,57х3,34 или у±8,58. Прих_р = 4 прогнозное значение составит у* = —5,79 + 36,84 х 4 = 141,57. Это точечный прогноз.

Прогноз линии регрессии (1.32) лежит в интервале

Видео:Эконометрика. Точечный и интервальный прогнозы.Скачать

Интервальный прогноз на основе линейного уравнения регрессии

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое у_г значение как точечный прогноз у_х при х_р = Xk. т.е. путем подстановки в линейное уравнение регрессии у_х = a + b • х соответствующего значения х. Однако точечный прогноз явно нереален, поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки у_х, т.е. т

и соответственно мы получаем интервальную оценку прогнозного значения у*:

Из теории выборки известно, чтош 2 = сг 2 /п. Используя в качестве оценки 2 -=^— (2.24)

Ошибка коэффициента регрессии, как уже было показано, определяется формулой

Считая, что прогнозное значение фактора х_р = Хк, получим следующую формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения, т.е. т- :

Соответственно т-, имеет выражение:

Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения у при заданном значении Хк характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки т- достигает минимума при Хк = х и возрастает по мере того, как «удаляется» от х в любом направлении. Иными словами, чем больше разность между Хк и х, тем больше ошибка т- , с которой предсказывается среднее значение у для заданного значения Хк. Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак-фактор х находится в центре области наблюдения х и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении Хк от х. Если же значение Хк оказывается за пределами наблюдаемых значений, используемых при построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколько Хк отклоняется от области наблюдаемых значений фактора х.

Для примера 2.1 т- составит:

Соответственно ш- составит эту же величины и при Хк = 2,286. Для прогнозируемого значения у_х 95%-ные доверительные интервалы при заданном Хк определяются выражением

т.е. у ±2,57 • 3,32 или у ±8,56, где Л)05-5 = 2,57 — значение J х к 7 J х к ’ ’ ’

критерия Стьюдента при уровне значимости а = 0,05 и числе степеней свободы 7-2 = 5.

При Хк = 4 прогнозное значение составит:

которое представляет собой точечный прогноз.

Прогноз регрессии в интервале составит:

Все вычисления в упорядоченном виде сведем в следующую таблицу:

На графике, приведенном на рис.2.3, доверительные границы для у_х представляют собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии. Рис.2.3 показывает, как изменяются пределы в зависимости от изменения Хк’. две гиперболы по обе стороны от линии регрессии определяют 95%-е доверительные интервалы для среднего значения у при заданном значении х.

Рис.2.3. Доверительный интервал линии регрессии: а — верхняя доверительная граница (у_тахУ, б — линия регрессии (у_х); в — нижняя доверительная граница (y_min)

Однако фактические значения у варьируют около среднего значения у_х. Индивидуальные значения у могут отклоняться от у_х на величину случайной ошибки Е, дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы с^ост-Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения у должна включать не только стандартную ошибку т — , но и случайную ошибку (Тост-

Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения у составит:

По данным примера 2.1 получим:

Доверительные интервалы прогноза индивидуальных значений у при Хк = 4 с вероятностью 0,95 составят: 141,58 ± 2,57 • 7,98, или 141,58 ±20,52, это означает, что 121,06 ЗД43 Н =13,21 у 7 10,857 )

Сравним ее с величиной предполагаемого снижения издержек производства, т. е. 38,95.

Поскольку оценивается значимость только уменьшения затрат, то используется односторонний z-критерий Стьюдента. При ошибке в 5% с пятью степенями свободы /_табл = 2,015. Следовательно, предполагаемое уменьшение затрат значимо отличается от прогнозируемого по модели при 95%-ном уровне доверия. Однако если увеличить вероятность до 99%, при ошибке в 1% фактическое значение /-критерия оказывается ниже табличного 3,365, и рассматриваемое различие в величине затрат статистически незначимо.

Видео:Эконометрика. Линейная парная регрессияСкачать

Прогноз по модели парной регрессии

Видео:Множественная регрессия в ExcelСкачать

Точечный прогноз по уравнению регрессии

Если известно значение независимой переменной х, то прогноз зависимой переменной осуществляется подстановкой этого значения в оценку детерминированной составляющей:

Вследствие несмещенности оценок параметров регрессии этот прогноз также является несмещенным

Показателем точности прогноза служит его дисперсия (чем она меньше, тем точнее прогноз):

Из формулы (1.2.3) видно, что чем больше объем выборки, тем точнее прогноз. При фиксированном объеме выборки прогноз тем точнее, чем больше «разнесены» выборочные данные и чем ближе значение независимой переменной к среднему выборочному значению.

Видео:Уравнение линейной регрессии. Интерпретация стандартной табличкиСкачать

Интервальный прогноз по уравнению регрессии

Поскольку согласно (1.2.3) у(х)

N^y(x), а дисперсия а 2

в (1.2.3) заменяется ее несмещенной оценкой по формуле (1.1.15), то за середину доверительного интервала для детерминированной составляющей выбирается точечный прогноз зависимой переменной, а ширина доверительного интервала — пропорциональной стандартному отклонению точечного прогноза:

где t_a — двусторонняя критическая граница распределения Стью- дента с (п — 2) степенями свободы.

О Пример 1.1. Зависимость розничного товарооборота от числа занятых

Исследуем зависимость розничного товарооборота (млн руб.) магазинов от среднесписочного числа работников. Товарооборот как результирующий признак обозначим через у, а среднесписочное число работников как независимую переменную (фактор) — через х.

На объем товарооборота влияют также такие факторы, как объем основных фондов, их структура, площадь торговых залов и подсобных помещений, расположение магазинов по отношению к потокам покупателей и т. п. Предположим, что в исследуемой группе магазинов значения этих других факторов примерно одинаковы, поэтому различие их значений на изменении объема товарооборота сказывается незначительно.

В табл. 1.1 в столбцах 2 и 3 приведены значения соответственно среднесписочного числа работников и объема розничного товарооборота, а в следующих столбцах — значения расчетных величин, необходимых для определения оценок коэффициентов регрессии и дисперсии случайной составляющей (Zj=Xj-x, Ayj=yj-y,

Фактические и выравненные значения товарооборота (млн руб.) в зависимости от числа занятых

Найдя по итогам столбцов 2 и 3 средние х = 904/8 = 113, у = 9,6/8 = 1,2, последовательно заполняем столбцы 4—8 и подводим итоги по этим столбцам. Теперь можно определять эмпирические коэффициенты регрессии. По формулам (1.1.6) находим следующие точечные оценки коэффициентов регрессии:

Значение нулевого коэффициента &° представляет собой ординату эмпирической линии регрессии в точке х = х = 113, а коэффициент регрессии dj = 0,01924 — угловой коэффициент этой прямой линии.

На рис. 1.2 изображены система соединенных штриховой линией точек наблюдений и прямая эмпирической регрессии.

Если не учитывать, что мы имеем не теоретическую, а эмпирическую линию регрессии (которая действительно является приближением теоретической линии регрессии), то коэффициент

а, = 0,01924 показывает, что увеличение среднесписочной численности на одного человека приводит к увеличению товарооборота в среднем на 19,24 тыс. руб. Это своего рода эмпирический норматив приростной эффективности использования работников для данной группы магазинов. Если увеличение численности на одного работника приводит к меньшему росту товарооборота, то прием его на работу необоснован.

Теперь можно вычислить выравненные значения (значения ординат эмпирической линии регрессии):

и использовать столбцы 9—11 табл. 1.1. Итог столбца 11, в свою очередь, позволяет получить оценку дисперсии случайной составляющей:

Зная дисперсию случайной составляющей, можно проверить статистические гипотезы о параметрах регрессии и уравнении

Рис. 1.2. Фактические (штриховая ломаная линия) и выравненные (сплошная прямая линия) значения товарооборота

в целом, а также построить интервальные оценки параметров регрессии и прогнозного значения детерминированной составляющей.

Для проверки гипотезы о том, значимо ли отличается от нуля выборочный коэффициент ос,, находим согласно равенству (1.1.18) его эмпирическую значимость

которую теперь надо сравнить с теоретическим значением t_a(n — 2), найденным по таблице распределения Стьюдента (см. табл. П.5.2).

Выбираем уровень значимости ос равным 5% (т. е. с вероятностью 0,05 мы допускаем, что гипотеза Н₀: ос, = 0 будет отвергнута в том случае, когда она на самом деле верна). По табл. П.5.2 находим /₀₀₅(6) = 2,45. Эмпирическая значимость (14,198) существенно

больше теоретической (2,45), поэтому d₁ значимо отличается от нуля, т. е. принимаем гипотезу Н <.ос, *0.

Этот вывод подтверждается и высоким значением коэффициента детерминации:

который показывает, что в исследуемой ситуации 97,1% общей вариабельности розничного товарооборота объясняется изменением числа работников, в то время как на все остальные факторы приходится лишь 2,9% вариабельности.

Этот статистический вывод не абсолютен. Допустим, что в магазинах исследуемой группы стало больше работников, при этом предельная эффективность работника падает и на первый план выходит влияние других факторов. По-видимому, это прежде всего доля дефицитных товаров в ассортименте, комплекс факторов, характеризующих культуру обслуживания, и расположение магазинов.

Построим интервальные оценки параметров регрессии а 0 , а,

в форме d° ± /_а(Ьо, 6с, ± /„6^. Здесь середины интервалов являются точечными оценками коэффициентов регрессии, которые уже рассчитаны: &°=у = 1,2; а, =0,01924. При выборе уровня значимости 5% получаем /0,05(6) = 2,45. Остается только найти стандартные ошибки коэффициентов регрессии. Согласно формулам (1.1.8), (1.1.7)

заменяя а на 6, получаем

Отсюда окончательно получаем, что с вероятностью 0,95 истинные значения параметров лежат в следующих пределах:

Найденные отклонения фактических значений от выравненных (столбец 10) позволяют провести сравнительный анализ работы различных магазинов рассматриваемой группы. Прежде всего необходимо обратить внимание на магазины с отрицательным отклонением (3, 4 и 6-й). Особенно велико отклонение у 4-го магазина. В реальной ситуации необходимо внимательно обследовать эти магазины и установить причины отклонения фактического значения товарооборота от выравненного («нормативного») значения. Это может быть расположение магазина в стороне от основных потоков покупателей, плохое снабжение товарами повышенного спроса, устаревшее оборудование, неудовлетворительный кадровый состав и т. п. При статистическом анализе с учетом сделанных ранее предположений и на основе имеющихся данных приходим к выводу, что в этих магазинах, по-видимому, имеются резервы в организации труда работников. Напротив, в 1, 2, 5, 7 и 8-м магазинах эффективность использования работников выше статистического норматива, но может оказаться, что эти магазины объективно находятся в лучших условиях.

Полученное уравнение регрессии может быть использовано для прогноза. В частности, пусть намечается открытие магазина такого же типа с численностью работников х = 140, тогда достаточно обоснованный объем товарооборота следует установить по уравнению регрессии

С точки зрения принятой теоретической схемы полученный прогноз у(х) является лишь точечной оценкой истинной детерминированной составляющей у (х), а сама составляющая лежит внутри доверительного интервала у (x) ± , в котором согласно формуле (1.2.4)