Интегрирование с переменным шагом в чем смысл такого подхода к решению дифференциальных уравнений (2 видео)

Выбор шага интегрирования

Для устойчивости самого метода проведем выбор шага интегрирования h исходя из условия:

где — собственное значение матрицы Якоби.

Для комплексного значения условие имеет вид:

Собственными значениями матрицы Якоби порядка n называют корни , где , ее характеристического уравнения, определяемого по формуле:

где А — матрица Якоби динамической модели;

Е — единичная матрица.

Произведем расчет матрицы Якоби по формуле (55), подставляя начальные значения фазовых координат:

Тогда характеристическое уравнение имеет вид:

Вычислим корни характеристического уравнения с помощью программы MathCad, тогда собственные значения матрицы Якоби имеют вид:

Корни характеристического уравнения имеют отрицательные и нулевые значения, что говорит об устойчивости системы.

Для гидравлической системы рекомендуемый шаг интегрирования h=0.5с. Выполним проверку устойчивости численного метода Эйлера при данном шаге.

Проверка условий выполняется, следовательно, шаг h=0.5 обеспечит устойчивость метода и приемлемую точность вычислений.

Содержание

Решение систем дифференциальных уравнений методом Эйлера
6. Интегрирование с переменным шагом. Автоматический выбор шага интегрирования.
Моделирование мехатронных систем (стр. 6 )
🎬 Видео

Видео:2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

Решение систем дифференциальных уравнений методом Эйлера

Формула численного интегрирования неявного метода Эйлера имеет вид:

Совместное преобразование двух последних выражений приводит к записи:

где — модифицированная матрица Якоби на k+1 шаге, которая формируется по следующему правилу:

Диагональные элементы матрицы Якоби на k-ом шаге пересчитываются по формуле:

Остальные элементы не изменяются. Для матрицы размерности 3х3 получаем:

— модифицированный вектор входных воздействий на k+1 шаге, определяемый по формуле:

Решение системы уравнений (66) дает значение фазовых координат на k+1 шаге, то есть в момент времени t_k+1.

Алгоритм неявного метода Эйлера с постоянным шагом интегрирования h:

1) задание шага интегрирования h;
2) задание начальных значений фазовых переменных при t₀=0;
3) вычисление времени t_k+1=t_k+h, где k=0,1,2… ;
4) вычисление модифицированных матриц и на k+1 шаге;
5) решение системы уравнений (66) с целью определения в момент времени t_k+1;
6) переход к этапу (3) до тех пор, пока в случае устойчивой системы фазовые координаты не достигнут состояния конечного значения .

Начальные значения вектора определяются на основании входных воздействий системы. В качестве начальных значений фазовых переменных берем вектор начальных значений .

Рисунок 7 — Графики фазовых координат M(n)0, M(n)1, M(n)2, M(n)3

Рисунок 8 — Переходный процесс гидросистемы

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

6. Интегрирование с переменным шагом. Автоматический выбор шага интегрирования.

До сих пор рассматривался такой процесс решения задачи (1), (2), когда формула Рунге-Кутта применялась с одной и той же величиной шага интегрирования во всей области вычисления решения вне всякой зависимости от характера поведения решения.

В этом случае говорят, что решение задачи получено с постоянным шагом интегрирования. Применение переменного шага интегрирования позволяет учитывать характер поведения решения и уменьшить общее число шагов, сохранив при этом требуемую точность приближенного решения. Тем самым могут быть снижены объем работы и машинное время и замедлен рост вычислительной погрешности.

Имея в распоряжении способы (53), (54), (71), (73) оценки погрешности метода, величину шага интегрирования можно выбирать автоматически в процессе счета.

6.1. Алгоритм выбора с помощью удвоения и деления шага пополам. Пусть r_n₊₁ —оценка локальной погрешности метода на шаге h, допущенной при вычислении приближенного значения решения y_n₊₁ в точке x_n + h. Если оценка превосходит некоторую наперед заданную границу e:

, (90)

то считается, что значение y_n₊₁ решения не удовлетворяет предписанной точности и шаг h объявляется неприемлемым. Полученная точка x_n + h и значение y_n₊₁ исключаются из рассмотрения. Выбирается новое значение шага

и вновь по той же формуле Рунге-Кутта вычисляется значение решения в точке y_n₊₁ в новой точке x_n + h (1) . Если опять выполняется условие (90), то шаг снова делится пополам, и вычисления повторяются. Так происходит до тех пор, пока при какой-то величине шага h_n оценка локальной погрешности не станет меньше e:

После этого считается, что решение дифференциального уравнения продолжено до точки x_n₊₁ = x_n + h_n. Дальнейшее интегрирование производится из точки x_n₊₁ с шагом h_n₊₁, который выбирается описанным ниже способом.

Если оценка локальной погрешности на шаге h_n = x_n₊₁ —x_n удовлетворяет неравенству

, (92)

где K —некоторая константа, то считается, что достигнута точность, значительно превышающая заданную, и шаг интегрирования удваиваются:

Если выполняется неравенство

, (93)

то считается, что полученное в точке x_n₊₁ решение удовлетворяет заданной точности и шаг интегрирования остается без изменения:

Таким образом, на тех участках изменения независимой переменной, где достигается высокая точность приближенного решения, шаг интегрирования возрастает, а там, где точность не достигается, шаг интегрирования сокращается до необходимых для ее достижения значений. Тем самым обеспечивается выбор величины шага в зависимости от характера поведения решения дифференциального уравнения. Константа K обычно полагается равной , где n —порядок используемой оценки локальной погрешности метода. Обычно n = s + 1, а s —порядок формулы численного интегрирования.

6.2. Выбор максимальной для заданной точности длины шага.

Так как оценка r_n₊₁ локальной погрешности метода равна с точностью до членов более высокого порядка малости главному члену локальной погрешности метода, то в силу (9)

Если оценка r_n₊₁ погрешности превосходит заданную границу e:

то считается, что значение y_n₊₁ решения не удовлетворяет предписанной точности и шаг h объявляется неприемлемым. Полученная точка x_n+h и значение y_n₊₁ исключаются из рассмотрения. В этом случае новый размер шага выбирается не последовательным делением пополам, а с помощью соотношения:

где a находится из условия выполнения равенства

. (96)

Из (94), (96) следует, что

. (97)

Здесь a 6 раз) точность по-прежнему не достигается, то, как правило, это свидетельствует о том, что явный метод типа Рунге-Кутта не подходит для решения данной задачи.

Указанный прием позволяет получить в процессе счета полезную информацию о характере решаемой задачи, обнаружить сильное измельчение шага интегрирования, избежать большого увеличения числа шагов и затрат машинного времени.

Для системы уравнений с проверкой на точность могут вычисляться либо все компоненты решения, либо некоторые из них, в частности одна компонента. При этом контроль точности может вестись поеомпонентно или по норме. Если контроль ведется покомпонентно, то для различных компонент могут использоваться как различные характеристики точности (абсолютная, относительная погрешности, мера погрешности), так и разные допустимые значения погрешности.

Контроль точности по норме означает, что контролируется некоторая норма оценки погрешности . Часто используются нормы:

Из вышеизложенного следует, что формулы Рунге-Кутта очень хорошо приспособлены для интегрирования с переменным шагом, т.к. они позволяют легко менять шаг интегрирования и при этом не требуют никаких дополнительных вычислений и преобразований.

Видео:Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Моделирование мехатронных систем (стр. 6 )

Интегрирование с переменным шагом в чем смысл такого подхода к решению дифференциальных уравнений

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9

Рис. 3.1. Механизмы продвижения модельного времени

Во многих случаях, при малых значениях временного шага, это не играет существенной роли. В других – может привести к ошибкам моделирования.

Метод целесообразно использовать в следующих случаях:

● если моделируется непрерывная система, процессы в которой представляют собой непрерывную цепь равнозначных событий;

● если в моделируемой системе моменты появления событий связаны выполнением некоторых условий, касающихся значений переменных системы, в результате чего эти моменты невозможно заранее определить.

Для мехатронных систем реализация принципа является основным способом продвижения модельного времени, т. к. основу мехатронных систем составляют механические устройства, обладающие непрерывной динамикой.

Принцип , называемый также принципом особых состояний, предполагает, что продвижение модельного времени обусловлено событиями, происходящими в моделируемой системе. Как и в первом случае, модельное время меняется дискретно на величину , однако эта величина не привязана к динамическим характеристикам объекта, а представляет собой временной интервал между последовательными событиями в системе. Величина может иметь произвольное значение, в т. ч. быть равной нулю, если интервал между событиями пренебрежимо мал.

Необходимым условием реализации моделирования по принципу является разработка специальной процедуры планирования событий – так называемого календаря событий [10].

Моделирование по особым состояниям целесообразно использовать, если моделируемая мехатронная система является принципиально дискретной, процессы в системе представляют собой цепь событий, которые распределены во времени неравномерно или интервалы между ними велики, между событиями не происходит изменений в системе.

Обычно зависимость между скоростью изменения модельного времени и скоростью изменения физического времени является переменной и определяется ресурсами компьютера. Однако эта связь может быть и постоянной, что часто весьма желательно, например, при анимации.

Для мехатронных систем достаточно характерным является режим, когда обработка модели должна быть связана с работой реального оборудования. В этом случае говорят, что имеет место моделирование в «режиме реального времени». Режим реального времени – режим обработки данных, при котором обеспечивается взаимодействие вычислительной системы с внешними по отношению к ней процессами в темпе, соизмеримом со скоростью протекания этих процессов. Этот режим обработки данных широко используется в информационно-поисковых системах [21]. Кроме того, моделирование в режиме реального времени актуально при полунатурном моделировании и особенно при использовании моделей в контуре управления реальными техническими системами.

Еще одна проблема в управлении модельным временем связана с тем, что многие технические системы имеют в своем составе компоненты, работающие одновременно, или, как обычно говорят, параллельно. Эти компоненты могут взаимодействовать между собой либо работать независимо друг от друга. Учитывая, что в большинстве случаев моделирование ведется на однопроцессорных ЭВМ, возникает задача не только смоделировать параллельные процессы, но и обеспечить их взаимодействие.

Обычно в таких случаях приходится организовывать квазипараллельные модельные процессы. Одновременные события обрабатываются одно за другим при остановленном модельном времени. Время остается фиксированным до тех пор, пока не будут обработаны все события, привязанные к текущему моменту. В результате два одновременных события выполняются на ЭВМ последовательно, но в один и тот же момент модельного времени, т. е. одновременно с точки зрения системы. После этого модельное время опять оживает и начинает двигаться дальше шагами фиксированной длины (принцип ) либо прыгая от события к событию (принцип ).

3.2. Алгоритмы численного моделирования
нелинейных динамических систем

Реальные мехатронные объекты и мехатронные системы описываются, как правило, системами нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений. Для большинства задач, представляющих практический интерес, решение их аналитическими методами невозможно. Результаты могут быть получены путем построения приближенных решений с помощью численных методов интегрирования, в частности конечно-разностных методов.

Общая идея численного интегрирования ОДУ

заключается в том, что производится дискретизация независимой переменной – времени на интервале – и замена ее рядом значений (принцип ). Расстояние между двумя соседними значениями называется шагом интегрирования. В частном случае он может быть постоянным на всем заданном интервале изменения переменной . В результате системе дифференциальных уравнений тем или иным способом ставится в соответствие система конечно-разностных уравнений

где – некоторая вектор-функция, определяемая способом построения метода;

– количество предыдущих точек, которые используются в методе интегрирования.

Процедура интегрирования предполагает решение полученной системы конечно-разностных уравнений для фиксированных моментов времени , начиная с момента , для которого определено начальное состояние исследуемой системы . Соответственно, решение получается в виде совокупности значений для заданных моментов времени.

В теории численных методов разработано большое количество различных методов интегрирования, каждому из которых соответствует своя система конечно-разностных уравнений.

Общее представление о них можно получить, разделив их, например, на следующие группы:

● методы явные и неявные;

● методы одношаговые и многошаговые;

● методы первого, второго и т. д. порядков;

● методы с постоянным шагом и методы с автоматическим выбором шага.

3.2.1. Свойства методов численного интегрирования

Основными требованиями, предъявляемыми к численным методам, являются достаточная точность и устойчивость. Дополнительными – универсальность, алгоритмическая надежность, умеренные затраты машинного времени и оперативной памяти ЭВМ [29]. При этом следует учитывать, что практически все эти характеристики имеют смысл только применительно к конкретному объекту моделирования. Поэтому выбор подходящего метода интегрирования может иметь очень большое значение с точки зрения эффективности исследования.

Анализ процесса функционирования технического объекта численными методами всегда сопровождается ошибками в определении характеристик и параметров моделируемого процесса. Эти ошибки обусловлены такими причинами, как неадекватность модели, приближенность исходных данных, свойства используемого метода интегрирования. Первые два фактора возникают на этапе получения исходной модели. Последний зависит от выбранного метода численного интегрирования.

Точность метода можно оценить, проанализировав полную ошибку на каждом шаге интегрирования, однако это достаточно сложная задача, т. к. она предполагает наличие точного решения.

Ошибка интегрирования на -ом шаге включает следующие составляющие:

● ошибка дискретизации , обусловленная заменой производных конечными разностями;

● ошибка вычислений , связанная с округлением чисел при вычислениях;

● ошибка накопления , возникающая вследствие ошибок на предыдущих шагах интегрирования.

Ошибка накопления на -ом шаге равна полной ошибке на предыдущем шаге. Ее оценка связана с исследованием устойчивости численного метода. Если метод устойчив, то существенно не возрастает и общую ошибку интегрирования можно связать в основном с .

Если даже при небольших погрешностях аппроксимации при каждом шаге интегрирования накопленная погрешность растет от шага к шагу, то метод неустойчив и результаты исследований неверны.

Основным источником неустойчивости процесса интегрирования является несогласованность выбора метода интегрирования и метода управления шагом интегрирования с характером решаемой задачи, с особенностями исследуемой системы дифференциальных уравнений. Один и тот же метод может быть достаточно эффективен при решении одной задачи и неприемлем для другой.

Анализ устойчивости метода численного интегрирования для конкретного объекта строится на том, что после дискретизации и алгебраизации его модель превращается в систему разностных уравнений. Устойчивость такой системы можно проверить тем же методом, что и устойчивость обычных дискретных систем. Она зависит от расположения корней характеристического уравнения, полученного для системы разностных уравнений, которое, в свою очередь, определяется выбором формулы интегрирования, шагом интегрирования и собственными значениями матрицы Якоби исходной системы дифференциальных уравнений.

Необходимо рассмотреть влияние ошибок округления, возникающих при реализации методов численного интегрирования на ЭВМ, ограничившись следующим интуитивным рассуждением [23]. Ошибка дискретизации любого устойчивого метода зависит от величины шага интегрирования и стремится к нулю при . Следовательно, за счет уменьшения шага мы можем сделать ее сколь угодно малой. Однако чем меньше шаг, тем больше потребуется шагов для решения конкретной задачи, тем больше скажутся на полученном решении ошибки округления. На практике, за счет ограниченной разрядности машинных слов, всегда существует величина шага , меньше которой вклад ошибок округления начинает доминировать в суммарной ошибке. Эта ситуация схематически изображена на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Зависимость ошибки интегрирования от величины
шага интегрирования

При малых значениях шага интегрирования велико влияние ошибок округления. В средней части диапазона ошибка растет примерно пропорционально шагу интегрирования, что соответствует методу первого порядка (см. раздел 3.2.5). Превышение шагом значения приводит к неустойчивости процедуры. Значения и могут быть найдены исходя из заданной точности интегрирования .

Экстремальную величину шага очень трудно установить заранее, но в задачах, где не требуется слишком высокая точность, необходимый шаг обычно будет значительно больше, чем этот минимум, и основной вклад в полную ошибку будет вносить ошибка дискретизации.

3.2.2. Методы явные и неявные

Процесс формирования математической модели для численного интегрирования обязательно включает этап алгебраизации, который состоит в преобразовании ОДУ в алгебраические уравнения. Он основан на использовании одного из методов численного интегрирования.

Если задано дифференциальное уравнение

(3.1)

и начальные условия , то очередное значение может быть получено интегрированием (3.1):

(3.2)

Определенный интеграл в (3.2) численно равен площади под кривой на интервале (рис. 3.2). Приближенно эта площадь может быть вычислена как площадь прямоугольника, высота которого равна значению функции на левой границе интервала или значению на правой границе интервала. Очевидно, площади обоих прямоугольников, ограниченных сверху отрезками 1 и 2 на рис. 3.3, будут тем ближе к точному значению интеграла, чем меньше шаг интегрирования .

Рис. 3.3. Иллюстрация шага интегрирования

Подставив в (3.2) приближенные значения интеграла, можно получить две формулы:

; (3.3)

. (3.4)

Выражение (3.3) представляет собой формулу явного метода Эйлера. Называется метод явным потому, что неизвестное значение может быть непосредственно вычислено по известному значению в предыдущей точке.

Формула (3.4) соответствует неявному методу Эйлера. Здесь в правой части выражения используется неизвестное значение , поэтому вычислить его непосредственно по этой формуле нельзя.

Более точное значение интеграла (3.2) дает метод трапеций, которому соответствует отрезок 3 на рис. 3.3. Тогда

. (3.5)

Эта формула относится, очевидно, тоже к неявным.

Для явных методов процедура формирования модели для численного интегрирования ограничивается алгебраизацией исходных дифференциальных уравнений. В частности, формула (3.3) не требует дальнейших преобразований и готова для применения.

Для неявных методов дальнейшие действия зависят от того, какой метод решения системы нелинейных уравнений реализован в данном пакете. Одним из вариантов может быть использование итерационного метода Ньютона [23], который, как известно, обладает наибольшей скоростью сходимости среди практически применяемых методов и в котором многократно решается система линеаризованных алгебраических уравнений.

В этом случае реализуется второй этап подготовки математических моделей для неявных методов, который состоит в линеаризации нелинейных алгебраических уравнений, т. е. в разложении нелинейных функций в ряд Тэйлора и сохранении в результате только линейных членов этого ряда.

Пусть задано нелинейное алгебраическое уравнение

(3.6)

где – вектор переменных.

Разложение (3.6) в ряд Тэйлора с сохранением только линейных членов дает приближенную замену

(3.7)

где – начальное приближение, в качестве которого берутся значения переменных на предыдущем шаге интегрирования;

;

– неизвестное значение переменной на шаге интегрирования.

Выражение (3.7) может быть записано как линейное алгебраическое уравнение

, (3.8)

где – вычисляется для известных значений переменных на предыдущем шаге интегрирования;

Таким образом, процесс численного моделирования в общем случае нелинейных систем неявными методами состоит в формировании и решении на каждом шаге интегрирования системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

(3.9)

которая включает компонентные и топологические уравнения моделируемой схемы. При этом процедурам алгебраизации и линеаризации подвергаются только компонентные уравнения, т. к. топологические уравнения всегда являются линейными алгебраическими.

Рассмотрим пример, связанный с подготовкой модели для численного решения нелинейного дифференциального уравнения второго порядка:

Первым шагом является сведение данного уравнения к задаче Коши, т. е. к системе уравнений первого порядка за счет введения новой переменной :

Явные формулы метода Эйлера имеют вид

Неявные формулы запишутся следующим образом:

Для перехода к матричной записи выполним ряд преобразований:

Здесь ,

Матричная запись имеет вид

Формулу (3.7), вообще говоря, необходимо применять итерационно. Решение этого уравнения, найденное для заданного начального приближения , следует использовать в качестве очередного приближения в (3.7) и повторять формирование и решение линейного алгебраического уравнения до тех пор, пока два последовательных приближения не станут близкими с заданной точностью. При численном моделировании можно ограничиться только одной итерацией, выбирая достаточно малый шаг интегрирования и учитывая, что при этом значения переменных на предыдущем шаге являются достаточно хорошим приближением.

3.2.3. Выбор между явными и неявными методами
в процедурах моделирования
мехатронных систем

Выбор между явными и неявными методами представляет серьезную проблему. Многие специалисты считают неявные методы более универсальным инструментом для решения задач моделирования технических систем [15, 23]. Следует, однако, заметить, что лишь недавно появились достаточно мощные и универсальные системы автоматизированного моделирования, такие, как, например, MATLAB или МВТУ [17], допускающие выбор явного или неявного метода решения задачи. Раньше использовались либо явные, либо неявные методы, т. к. это требовало разных компонентных моделей.

В современных перспективных системах автоматизированного моделирования, пригодных для моделирования мехатронных систем, применяются, как правило, неявные методы численного интегрирования. Неявные методы лучше приспособлены для решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений, к тому же, они более устойчивы. В результате, несмотря на большие затраты машинного времени на каждом шаге интегрирования, связанные с необходимостью решения СЛАУ, общие затраты могут быть значительно меньше за счет увеличения шага интегрирования и уменьшения общего количества шагов.

Рассмотрим эту особенность неявных методов на примере явного и неявного методов Эйлера [21], определяемых формулами (3.3) и (3.4), соответственно.

Применим указанные формулы для численного интегрирования простейшего линейного дифференциального уравнения

Характеристическое уравнение данной динамической системы имеет вид

где – постоянная времени системы.

Единственный полюс системы находится в левой полуплоскости, следовательно, исходная система устойчива. Соответственно, любое решение уравнения при стремится к нулю.

Разностное уравнение, соответствующее численному решению явным методом Эйлера, запишется как

Известно, что условием устойчивости полученного разностного уравнения является

или .

Это означает, что выбор может качественно изменить вид решения, превратив устойчивый процесс в неустойчивый.

Таким образом, на шаг интегрирования наложено очевидное ограничение: он ограничен постоянной времени системы, иначе дискретная аппроксимация станет неустойчивой. Если система имеет несколько постоянных времени, то подобное ограничение связывает шаг интегрирования с самой маленькой постоянной времени системы.

Переход к методам более высокого порядка мало меняет картину. Для метода Рунге–Кутты 4-го порядка требование устойчивости ограничивает шаг величиной

или, в более общем виде:

где – максимальное собственное значение матрицы Якоби [29].

Применение неявного метода Эйлера к той же системе дает

где ограничение на величину шага выглядит по-другому:

что позволяет выбрать шаг любой величины, ориентируясь только на требуемый уровень погрешности.

3.2.4. Многошаговые методы интегрирования

До сих пор мы имели дело с методами, зависящими только от и не использующими никаких иных предыдущих значений переменной. Такие методы называются одношаговыми и могут быть представлены в общем виде как

с соответствующей функцией . Представляется вполне вероятным, что можно добиться большей точности, если использовать информацию о нескольких предыдущих точках Именно так поступают в многошаговых методах.

Вернемся к задаче Коши

при этом рассмотрим лишь один большой и важный класс многошаговых методов, который возникает на основе следующего подхода. Если подставить в приведенное дифференциальное уравнение точное решение и проинтегрировать на отрезке , то получим

где в последнем выражении предполагается, что – полином, аппроксимирующий . Чтобы записать этот полином, предположим, как обычно, что – приближения к решению в точках и узлы расположены равномерно с шагом . Таким образом, – полином степени , удовлетворяющий условиям Этот полином можно явно проинтегрировать, что ведет к методу

Для полином есть константа, равная , и мы получаем обычный метод Эйлера. Если , то – линейная функция, проходящая через точки и , т. е.

Интегрируя ее от до , получаем следующее выражение:

, (3.10)

которое соответствует двухшаговому методу интегрирования, поскольку использует информацию в двух предыдущих точках. Аналогично, если , то является квадратичным полиномом, а соответствующий трехшаговый метод имеет вид

. (3.11)

Методы, соответствующие формулам (3.10) и (3.11), называются методами Адамса–Бишфорта.

Процесс можно продолжить, используя интерполяционный полином все более высокого порядка. При этом получаются все более громоздкие формулы, но принцип остается тот же.

Многошаговые методы порождают проблему, которая не возникала при использовании одношаговых методов. Интегрирование начинается с начального значения , но при для счета, например, по формуле (3.11) необходима информация о значении функции в точках , которая принципиально отсутствует. Обычный выход из положения состоит в использовании какого-либо одношагового метода того же порядка точности, пока не будет набрана необходимая информация.

Заметим также, что многошаговыми могут быть и неявные методы. В этом случае в формулы входят значения , которые могут быть определены только неявно и найдены в результате решения системы алгебраических уравнений. Методы этой группы обычно называются методами Адамса–Моултона.

На практике часто используют совместно явную и неявную формулы, что приводит к методам, известным как методы прогноза и коррекции [23].

3.2.5. Порядок метода интегрирования

Главный вопрос при использовании любого численного метода состоит в оценке точности приближенных вычислений . В разделе 3.2.1. уже отмечалось, что существуют два источника погрешности при выполнении шага интегрирования:

● ошибка дискретизации, возникающая в результате замены дифференциального уравнения (3.1) разностной аппроксимацией (3.2);

● ошибка округления, накопившаяся при выполнении арифметических операций.

При этом доминирующей является, как правило, ошибка дискретизации.

Будем считать, что все вычисления проводятся точно. Интуитивно ясно, что при ошибка дискретизации также должна стремиться к нулю, и это действительно имеет место для любого метода. Однако зависимость скорости уменьшения ошибки от скорости уменьшения для разных методов интегрирования различна.

называемую глобальной ошибкой дискретизации, где и – расчетное и точное значение переменной в момент , соответственно. Отметим, что зависит от величины шага, поскольку предполагается, что значения вычисляются при определенном . Воспользуемся также стандартным обозначением для величины, стремящейся к нулю при с той же скоростью, что и . В общем случае будем говорить, что функция равна , если при величина ограничена.

Проведя анализ, можно показать [23], что для метода Эйлера . Это обычно выражают утверждением, что метод Эйлера имеет первый порядок. Практическим следствием данного факта является то, что при уменьшении приближенное решение будет все более точным и при будет сходиться к точному решению с линейной скоростью по , т. е. при уменьшении шага вдвое ошибка дискретизации уменьшится примерно в два раза. Столь медленная сходимость служит препятствием для использования простых методов первого порядка.