Индивидуальный проект по математике на тему графическое решение уравнений и неравенств

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение ГАПОУ «НАТ»

“Графическое решение уравнений и неравенств”

Работу выполнила студентка 405 группы:

Руководитель : преподаватель математике

Цель: Выяснить преимущества графического способа решения уравнений и неравенств.

Задачи:

• Сравнить аналитический и графический способ решения уравнений и неравенств.
• Ознакомиться в каких случаях графический способ имеет преимущества.
• Рассмотреть решение уравнений с модулем и параметром.

Актуальность исследования: Анализ материала, посвящённого графическому решению уравнений и неравенств в учебных пособиях «Алгебра и начала математического анализа» разных авторов, учёт целей изучения данной темы. Атак же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой.

1. Уравнения с параметрами

1.2. Алгоритм решения

2. Неравенства с параметрами

2.2. Алгоритм решения

3. Применение графиков в решении уравнений

3.1. Графическое решение квадратного уравнения

3.2. Системы уравнений

3.3. Тригонометрические уравнения

4. Применение графиков в решении неравенств

6. Список литературы

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые

Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём проекте рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем.

1. Уравнения с параметрами

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

I. Решить уравнение
(1)

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

или

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а  (-;-1](1;+) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .
Если а  , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем

и .

Если а  , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Если а  (-;-1](1;+) , то ;

Если а  , то , ;

Если а  , то решений нет.
II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня.
Решение.

Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .

В системе координат хОу построим график функции ). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

Поскольку график функции – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную

.
Ответ:

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” — правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

Множеством точек плоскости , удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

и

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то .

Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования единственного решения системы

В этом случае уравнение

имеет один корень, откуда находим :

Следовательно, исходная система не имеет решений при , а при или имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а  (-;-3] ( ;+).
IV. Решить уравнение

Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде

Это уравнение равносильно системе

Уравнение перепишем в виде

. (*)

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций и Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если , то при графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*).

При графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой . Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение — .

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям

Пусть , тогда . Система примет вид

Её решением будет промежуток х (1;5). Учитывая, что , можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).

Рассмотрим случай, когда . Система неравенств примет вид

Решив эту систему, найдем а (-1;7). Но , поэтому при а (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .

если а (-;3), то решений нет;

если а=3, то х [3;5);

если a (3;7), то ;

если a [7;), то решений нет.
V. Решить уравнение

, где а — параметр. (5)
Решение.

1. При любом а :
2. Если , то ;

если , то .

1. Строим график функции , выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции , которая соответствует .
2. По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет решения.

если , то

если , то ;

если , то решений нет;

если , то , .

VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров и , при которых системы

(1)

(2)

имеют одинаковое число решений ?
Решение.

С учетом того, что имеет смысл только при , получаем после преобразований систему

(3)

равносильную системе (1).

Система (2) равносильна системе

(4)

Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом

Поскольку , а , то , и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При окружность касается прямой и система (4) имеет пять решений.

Таким образом, если , то система (4) имеет четыре решения, если , то таких решений будет больше, чем четыре.

Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда , и больше четырех решений, если .

Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.
При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением , иметь общие точки с гиперболой при (прямая всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции ).

Для решения этого рассмотрим уравнение

,

которое удобнее переписать в виде

Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:

1. если , т.е. если , то система (3) имеет два решения;
2. если , то система (3) имеет три решения;
3. если , то система (3) имеет четыре решения.

Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда .

Ответ:

Видео:Решение квадратных неравенств графическим методом. 8 класс.Скачать

Индивидуальный проект на тему : “Графическое решение уравнений и неравенств”

Полезно? Поделись с другими:

Просмотров: 1057 Скачиваний: 909

Если Вы являетесь автором этой работы и хотите отредактировать, либо удалить ее с сайта — свяжитесь, пожалуйста, с нами.

Видео:8 класс, 21 урок, Графическое решение уравненийСкачать

Посмотрите также:

Учебно-методические пособия и материалы для учителей, 2015-2022
Все материалы взяты из открытых источников сети Интернет. Все права принадлежат авторам материалов.
По вопросам работы сайта обращайтесь на почту [email protected]

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Проект на тему: «Графическое решение уравнений, неравенств с параметрами»

Просмотр содержимого документа
«Проект на тему: «Графическое решение уравнений, неравенств с параметрами»»

Я, Бахмудова Марзи Магомедовна выполнила проектную работу по теме: «Графическое решение уравнений, неравенств с параметрами»

Первый – это подготовительный ( поисковый ).

Второй – это основной (аналитический ).

Графический способ, График, уравнение кривой, линейные функции, координаты.

Третий – заключительный ( презентационный ) защита.

В подготовительный этап входят актуальность темы (нужность и важность).

В основной этап входят графический способ решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моем проекте рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств. И, я надеюсь, что знания полученные мной в процессе работы, помогут мне в моей работе.

Вид проекта – поисковый

Тип проекта – краткосрочный

Участники проекта –учитель, учащиеся.

Очень важно пробудить интерес у детей к поиску решения этой проблемы. Для этого необходимо заинтересовать учащихся, столкнуть их с проблемой.

Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами, сводящихся к иследованию линейных и квадратных уравнений, неравенств для подготовки к ЕГЭ и к обучению в вузе.

Задачи проекта для учителя: изучить современные подходы к обучению. Задачи проекта для учащихся:

1. Развитие математических способностей учащихся. 2. Формировать у учащихся устойчивого интереса к предмету: 3. Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ и к обучению в вузе.

Графический способ; графики, уравнения, кривые, линейные функции. В моем проекте рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств с параметрами.

И, я надеюсь, что знание полученные мной в процессе работы, помогут мне в моей работе.

3-й этап: Заключительный.

Решение уравнений и неравенств с параметрами алгебраическим, аналитическим и графическими способами заключается в том, что при одном способе решение может быть громоздким, а при другом – более простым и наглядным. А это говорит о том, что нужно перед началом решения задания оценить его и выбрать тот путь, который проще. Думаю, этим проектом можно найти ответ на главный проблемный вопрос проекта «Графическое решение уравнений и неравенств с параметрами»

Видео:Алгебра 9 класс. Графическое решение систем уравненийСкачать

Исследовательская работа на тему: «Алгебраическое и графическое решение уравнений и неравенств, содержащих модуль»

Уравнения с модулями ученики начинают изучать уже с 6-го класса, они изучают стандартный метод решения с помощью раскрытия модулей на промежутках знакопостоянства подмодульных выражений. Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования, задачи с модулем вызывают большие трудности у учащихся. В школьной программе встречаются задания, содержащие модуль как задания повышенной сложности и на экзаменах, следовательно, мы должны быть готовы к встречи с таким заданием.

Видео:Графическое решение уравнений | МатематикаСкачать

Скачать:

Видео:Система уравнений VS Система неравенств. ОГЭ по математике №9, 13| Математика TutorOnlineСкачать

Предварительный просмотр:

Муниципальное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №5

Исследовательская работа на тему:

« Алгебраическое и графическое решение уравнений и неравенств, содержащих модуль »

учащийся 10 класса

2.Понятия и определения………………………………………….5

4.Способы решение уравнений, содержащих модуль…………. 7

4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами…………………………………………………………12

4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений…………………………………………………………..14

4.3.Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины.

4.4.Решение нестандартных уравнения, содержащие модуль….16

6.Список использованной литературы……………………………18

Цель работы: уравнения с модулями ученики начинают изучать уже с 6-го класса, они изучают стандартный метод решения с помощью раскрытия модулей на промежутках знакопостоянства подмодульных выражений. Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования, задачи с модулем вызывают большие трудности у учащихся. В школьной программе встречаются задания, содержащие модуль как задания повышенной сложности и на экзаменах, следовательно, мы должны быть готовы к встречи с таким заданием.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре -это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике -это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного сжатия ( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

2. Понятия и определения

Модуль – абсолютное значение – действительного числа А обозначается |A|.

Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:

Уравнение-это равенство, содержащее переменные.

Уравнение с модулем -это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины(под знаком модуля).

Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел a или -a.

1. Если число a положительно, то -a отрицательно, т. е. -a

Например, число 5 положительно, тогда -5 — отрицательно и -5

В этом случае |a| = a, т. е. |a| совпадает с большим из двух чисел a и — a.

2. Если a отрицательно, тогда -a положительно и a

Следствие . Из теоремы следует, что |-a| = |a|.

В самом деле, как , так и равны большему из чисел -a и a, а значит равны между собой.

Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из А 2 .

В самом деле, если то, по определению модуля числа, будем иметь lАl>0 С другой стороны, при А>0 значит |a| = √A 2

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.

Если то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0

4.Способы решения уравнений, содержащих модуль.

Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основывается на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров разными способами и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль.

Пример 1. Решим аналитически и графически уравнение |x + 2| = 1.

Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т. е. x + 2 ≥0 , тогда оно «выйдет» из под знака модуля со знаком «плюс» и уравнение примет вид: x + 2 = 1. Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно: или x + 2=-1

Таким образом, получаем, либо x + 2 = 1, либо x + 2 = -1. Решая полученные уравнения, находим: Х+2=1 или Х+2+-1

Теперь можно сделать вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному положительному числу a, тогда выражение под модулем равно либо a, либо -а .

Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут является корнями нашего уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

Другой способ решения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней(удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.

Установим, при каких значениях x, модуль равен нулю: |Х+2|=0 , Х=2

Получим два промежутка, на каждом из которых решим уравнение:

Получим две смешанных системы:

(1) Х+2 0

Х

-Х-2=1 Х+2=1

Решим каждую систему:

Х

X=-3 X=-1

Ответ: -3;-1.

Графическое решение

y= |X+2|, y= 1.

Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций и

Для построения графика функции , построим график функции — это функция, пересекающая ось OX и ось OY в точках.

Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения.

Прямая графика функции y=1 пересеклась с графиком функции y=|x + 2| в точках с координатами (-3; 1) и (-1; 1), следовательно решениями уравнения будут абсциссы точек:

Пример 2. Решить аналитически и графически уравнение 1 + |x| = 0.5.

Преобразуем уравнение: 1 + |x| = 0.5

Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен.

Ответ: решений нет.

Преобразуем уравнение: : 1 + |x| = 0.5

Графиком функции являются лучи — биссектрисы 1-го и 2-го координатных углов. Графиком функции является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку -0,5 на оси OY.

Графики не пересекаются, значит уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 3. Решите аналитически и графически уравнение |-x + 2| = 2x + 1.

Прежде следует установить область допустимых значений переменной. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости делать этого, а сейчас она возникла.

Дело в том, что в этом примере в левой части уравнения модуль некоторого выражения, а в правой части не число, а выражение с переменной, — именно это важное обстоятельство отличает данный пример от предыдущих.

Поскольку в левой части — модуль, а в правой части, выражение, содержащее переменную, необходимо потребовать, чтобы это выражение было неотрицательным, т. е. Таким образом, область допустимых

Теперь можно рассуждать также, как и в примере 1, когда в правой части равенства находилось положительной число. Получим две смешанных системы:

Решим каждую систему:

(1) входит в промежуток и является корнем уравнения.

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

x = -3 не входит в промежуток и не является корнем уравнения.

4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами этих чисел.

Помимо приведенных мною выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел:

Отсюда в свою очередь получим, что

Пример 4. Решим уравнение |x + 1|=|2x — 5| двумя различными способами.

1.Учитывая соотношение (1), получим:

x + 1=2x — 5 или x + 1=-2x + 5

x — 2x=-5 — 1 x + 2x=5 — 1

Корень первого уравнения x=6, корень второго уравнения x=11/3

Таким образом корни исходного уравнения x 1 =6, x 2 =11/3

2. В силу соотношения (2), получим

(x + 1)2=(2x — 5)2, или x2 + 2x + 1=4×2 — 20x + 25

x2 — 4×2 +2x+1 + 20x — 25=0

D/4=121-3 24=121 — 72=49>0 ==>уравнение имеет 2 различных корня.

Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 11/3 и 6

Ответ: x 1 =6, x 2 =11/3

Пример 5. Решим уравнение (2x + 3) 2 =(x — 1) 2 .

Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x — 1|, откуда по образцу предыдущего примера(и по соотношению (1)):

2х + 3=х — 1 или 2х + 3=-х + 1

2х — х=-1 — 3 2х+ х=1 — 3

Таким образом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6)

📸 Видео

7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать

Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать

Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)Скачать

Решение системы уравнений графическим методомСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Графическое решение уравненийСкачать

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ графический способ 8 9 классСкачать

СИСТЕМА НЕРАВЕНСТВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

Урок по теме ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 7 КЛАСССкачать

Удалили с экзамена ОГЭ Устное Собеседование shorts #shortsСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Графическое решение уравнений и неравенств с двумя переменнымиСкачать

Графический метод решения уравнений 8 классСкачать

Как решить неравенства с модулем?Скачать