Характеристическое уравнение цепи и ее постоянная времени

где τ представляет собой экспоненциальную константу затухания, а V является функцией времени t

V знак равно V ( т ) .

Правая часть — это вынуждающая функция
f
(
t
), описывающая внешнюю движущую функцию времени, которую можно рассматривать как
вход
системы , на который
V
(
t
) является
ответом
или выходом системы. Классические примеры для
f
(
t
) :

Функция Хевисайда , часто обозначается U

это начальное значение V . Таким образом, отклик представляет собой экспоненциальный спад с постоянной времени τ .

Обсуждение [ править ]

Такое поведение называется «убывающей» экспоненциальной функцией. Время τ (тау) называется «постоянной времени» и может использоваться (как в этом случае), чтобы указать, насколько быстро экспоненциальная функция затухает.

t = время (обычно
t
> 0 в технике управления)
V
0 = начальное значение (см. «Особые случаи» ниже).

Конкретные случаи [ править ]

1) Пусть ; тогда и так t = 0 V = V 0 e 0 <displaystyle V=V_e^> V = V 0 <displaystyle V=V_> 2) Пусть ; тогда t = τ V = V 0 e − 1 ≈ 0.37 V 0 <displaystyle V=V_e^approx 0.37V_> 3) Пусть , и так V = f ( t ) = V 0 e − t / τ <displaystyle V=f(t)=V_e^> lim t → ∞ f ( t ) = 0 <displaystyle lim _f(t)=0> 4) Пусть ; тогда t = 5 τ V = V 0 e − 5 ≈ 0.0067 V 0 <displaystyle V=V_e^approx 0.0067V_>
После периода в одну постоянную времени функция достигает e

−1 = примерно 37% от своего начального значения. В случае 4 после пяти постоянных времени функция достигает значения менее 1% от исходного. В большинстве случаев этот порог в 1% считается достаточным, чтобы предположить, что функция упала до нуля — как показывает опыт, в технике управления стабильной системой является система, которая демонстрирует такое общее затухающее поведение.

Видео:Лекция 091-5. Расчет переходных процессов классическим методом. Корни характеристического уравненияСкачать

Определение постоянной времени. Переходные процессы в R-L-C-цепи.

Переходные процессы в цепи с одним накопителем энергии и произвольным числом резисторов

Как отмечалось в предыдущей лекции, линейная цепь охвачена единым переходным процессом. Поэтому в рассматриваемых цепях с одним накопителем энергии (катушкой индуктивности или конденсатором) – цепях первого порядка – постоянная времени будет одной и той же для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение.

Общий подход к расчету переходных процессов в таких цепях основан на применении теоремы об активном двухполюснике: ветвь, содержащую накопитель, выделяют из цепи, а оставшуюся часть схемы рассматривают как активный двухполюсник А (эквивалентный генератор) (см. рис.1, а) со схемой замещения на рис. 1,б.

Совершенно очевидно, что постоянная времени здесь для цепей с индуктивным элементом определяется, как:

и с емкостным, как:

где — входное сопротивление цепи по отношению к зажимам 1-2 подключения ветви, содержащей накопитель энергии.

Например, для напряжения на конденсаторе в цепи на рис. 2 можно записать

где в соответствии с вышесказанным

Переходные процессы при подключении последовательной R-L-C-цепи к источнику напряжения

Рассмотрим два случая:

Согласно изложенной в предыдущей лекции методике расчета переходных процессов классическим методом для напряжения на конденсаторе в цепи на рис. 3 можно записать

Тогда для первого случая принужденная составляющая этого напряжения

Характеристическое уравнение цепи

решая которое, получаем

В зависимости от соотношения параметров цепи возможны три типа корней и соответственно три варианта выражения для свободной составляющей:

1. или , где — критическое сопротивление контура, меньше которого свободный процесс носит колебательный характер.

2. — предельный случай апериодического режима.

В этом случае и

3. — периодический (колебательный) характер переходного процесса.

В этом случае и

где — коэффициент затухания; — угловая частота собственных колебаний; — период собственных колебаний.

Для апериодического характера переходного процесса после подстановки (2) и (3) в соотношение (1) можно записать

Для нахождения постоянных интегрирования, учитывая, что в общем случае и в соответствии с первым законом коммутации , запишем для t=0 два уравнения:

решая которые, получим

Тогда ток в цепи

и напряжение на катушке индуктивности

На рис. 4 представлены качественные кривые , и , соответствующие апериодическому переходному процессу при .

Для критического режима на основании (2) и (4) можно записать

Для колебательного переходного процесса в соответствии с (2) и (5) имеем

Для нахождения постоянных интегрирования запишем

На рис. 5представлены качественные кривые и , соответствующие колебательному переходному процессу при .

При подключении R-L-C-цепи к источнику синусоидального напряжения для нахождения принужденных составляющих тока в цепи и напряжения на конденсаторе следует воспользоваться символическим методом расчета, в соответствии с которым

Здесь также возможны три режима:

Наибольший интерес представляет третий режим, связанный с появлением во время переходного процесса собственных колебаний с частотой . При этом возможны, в зависимости от соотношения частот собственных колебаний и напряжения источника, три характерные варианта: 1 — ; 2 — ; 3 — , — которые представлены на рис. 6,а…6,в соответственно.

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

1. Как можно определить постоянную времени в цепи с одним накопителем энергии по осциллограмме тока или напряжения в какой-либо ветви?
2. Определить, какой процесс: заряд или разряд конденсатора в цепи на рис. 2 – будет происходить быстрее?

• Влияет ли на постоянную времени цепи тип питающего устройства: источник напряжения или источник тока?
• В цепи на рис. 2 , С=10 мкФ. Чему должна быть равна индуктивность L катушки, устанавливаемой на место конденсатора, чтобы постоянная времени не изменилась?
• Как влияет на характер переходного процесса в R-L-C-контуре величина сопротивления R и почему?
• Определить ток через катушку индуктивности в цепи на рис. 7, если ; ; ; ; .
  Определить ток в ветви с конденсатором в цепи на рис. 8, если ; ; ; .

  

  Видео:Пример 7 | Классический метод расчета цепи 1-го порядка с конденсаторомСкачать

  

  RC-цепи, 5 самых ходовых схем фильтров и их простой рассчет

  RC-цепь, такое частое явление радиоэлектроники. Такие фильтры стоят повсюду. Понимание того, как какой фильтр влияет на форму АЧХ сигнала во многом определяет правильность чтения всей электронной схемы. В статье собраны 5 основных RC-фильтров, приведены их АЧХ и упрощенные формулы расчета.

  В ранние годы развития радиоэлектроники для воздействие на Амплитудно — Частотную Характеристику (АЧХ) сигнала в основном применялись LC — фильтры, т.е. фильтры состоящие из катушки индуктивности и конденсатора. Со временем им на смену пришла RC-цепь, которая была плотно взята в оборот радиоэлектроникой ввиду меньшей стоимости и габаритов.

  Конечно, фильтры на RC-цепях не могут полностью вытеснить LC собратьев. Например в фильтрах для АС предпочтительнее использование LC-фильтров. Но практически во всей маломощной электронике главенствуют именно RC-цепи. Например двойная RC-цепь в фильтре RIAA-корректора.

  Интересным вариантом избавления от катушек являются фильтры на гираторах, где посредством конденсатора и операционного усилителя эмитируется работа катушки.

  Видео:Урок 4. Расчет цепей постоянного тока. Законы КирхгофаСкачать

  

  Постоянная времени RC — RC time constant

  Постоянная времени RC

  , также называемая тау, постоянная времени (в секундах ) RC-цепи , равна произведению сопротивления цепи (в омах ) на емкость цепи (в фарадах ), т. Е.

  τ знак равно р C [секунды]

  Это время, необходимое для зарядки конденсатора через резистор от начального напряжения заряда, равного нулю, до примерно 63,2% от значения приложенного напряжения постоянного тока или для разряда конденсатора через тот же резистор примерно до 36,8% от его начального значения. напряжение заряда. (Эти значения получены из математической константы e

  : и .) Следующие формулы используют ее, принимая постоянное напряжение, приложенное последовательно к конденсатору и резистору, для определения напряжения на конденсаторе в зависимости от времени: 63,2 % знак равно 1 — е — 1 >

  Видео:ТОЭ79 Переходные процессы. Второй способ создания характеристического уравнения электрической цепи.Скачать

  

  Постоянная времени электрической цепи — что это такое и где используется

  Природе свойственны периодические процессы: день сменяет ночь, теплое время года сменяется холодным и т. д. Период этих событий почти постоянен и поэтому может быть строго определен. Кроме того, мы вправе утверждать, что приведенные в качестве примера периодические природные процессы не являются затухающими, по крайней мере по отношению к продолжительности жизни одного человека.

  Однако в технике, а в электротехнике и в электронике — особенно, далеко не все процессы являются периодическими и незатухающими. Обычно какой-нибудь электромагнитный процесс сначала возрастает, а затем убывает. Часто дело ограничивается лишь фазой начала колебания, которое так и не успевает толком набрать размах.

  

  Сплошь и рядом в электротехнике можно встретить так называемые экспоненциальные переходные процессы, суть которых заключается в том, что система просто стремится придти к какому-то равновесному состоянию, которое в конце концов выглядит как состояние покоя. Такой переходный процесс может быть как нарастающим, так и спадающим.

  Внешняя сила сначала выводят динамическую систему из состояния равновесия, а затем не препятствует естественному возврату данной системы к ее исходному состоянию. Эта последняя фаза и есть так называемый переходный процесс, которому свойственна определенная длительность. Кроме того процесс выведения системы из равновесия также является переходным процессом с характерной длительностью.

  Так или иначе, постоянной времени переходного процесса мы называем его временную характеристику, определяющую время, через которое некоторый параметр данного процесса изменится в «е» раз, то есть увеличится или уменьшится примерно в 2,718 раз по сравнению с состоянием, принятым за исходное.

  Рассмотрим для примера электрическую цепь, состоящую из источника постоянного напряжения, конденсатора и резистора. Подобного рода цепь, где резистор включен последовательно с конденсатором, называется интегрирующей RC-цепью.

  Если в начальный момент времени подать на такую цепь питание, то есть установить на входе некоторое постоянное напряжение Uвх, то Uвых — напряжение на конденсаторе, начнет по экспоненте нарастать.

  Через время t1 напряжение на конденсаторе достигнет 63,2% от напряжения на входе. Так вот, промежуток времени от начального момента до t1 – это и будет постоянная времени данной RC-цепи.

  Данную константу цепи называют «тау», она измеряется в секундах, а обозначают ее соответствующей греческой буквой. Численно для RC-цепи она равна R*C, где R выражается в омах, а С — в фарадах.

  Видео:ТОЭ 78. Переходные процессы в электрических цепях, составление характеристических уравнений 1 способСкачать

  

  Портал ТОЭ

  6.2 Классический метод расчёта переходных процессов

  Анализ переходного процесса в линейной цепи с сосредоточенными параметрами R , L , C (рис. 6.2 ) сводится к решению линейных неоднородных уравнений, выражающих законы Кирхгофа.

  где i ( t ) – переходный ток.

  Дифференцированием приводим это уравнение к неоднородному дифференциальному уравнению 2-го порядка:

  Порядок дифференциального уравнения определяется числом накопителей энергии в цепи.

  Решение дифференциального уравнения:

  где i _пр ( t ) – частное решение неоднородного уравнения, принуждённая составляющая, ток в установившемся режиме, когда переходный процесс закончен (при t = ∞ );
  i _св ( t ) – общее решение однородного уравнения, свободная составляющая, ток во время переходного процесса, возникающий вследствие изменения электрических и магнитных полей.

  Таким образом здесь используется метод наложения. Физически существует только i ( t ) , а разложение его на i _пр и i _св является математическим приёмом, облегчающим расчёт переходного процесса.

  Расчёт принуждённой составляющей сводится к расчёту по известным методам установившегося значения искомой величины в схеме после коммутации.

  Для расчёта свободной составляющей следует найти корни характеристического уравнения p _k и n постоянных интегрирования A _k .

  Если характеристическое уравнение

  имеет n различных корней p _k ( k = 1 , 2 , … ,n ) , то

  Корню p _k кратности m _k ≥ 1 соответствует слагаемое свободной составляющей вида

  Чтобы определить постоянные интегрирования A _k , необходимо знать значения искомой величины и всех её производных до ( n − 1) порядка включительно в момент времени t = 0+ . Для их определения используются законы коммутации.

  Составление характеристического уравнения

  Составляем уравнение электрического состояния цепи для свободного режима (т.е. при устранении вынужденной (принуждающей) силы). Это соответствует схеме с исключёнными источниками – источники ЭДС закорачиваются, ветви с источниками тока размыкаются.

  Например для рис. 6.3 :

• Характеристическое уравнение получается приравниванием нулю определителя контурной ℤ (K) ( p ) или узловой Y (У) ( p ) матрицы. При составлении этих матриц сопротивление индуктивности (ёмкости) считают равным pL _m (1 ∕pC _m ) :
• Характеристическое уравнение получается при Z _вх ( p ) = 0 ,Y _вх ( p ) = 0 ,
  где Z _вх ( p ) – входное сопротивление схемы относительно двух зажимов, получающихся в результате размыкания любой ветви схемы;
  Y _вх ( p ) – входная проводимость схемы относительно произвольной пары узлов схемы.

Корни характеристического уравнения – собственные частоты цепи, т.к. они определяют характер свободных процессов.

Степень характеристического уравнения может быть определена по электрической схеме без составления уравнения: она равна числу основных независимых начальных условий в послекоммутационной схеме после максимального её упрощения и не зависит от числа ЭДС в схеме.

Упрощение заключается в том, что последовательно и параллельно соединённые реактивные элементы должны быть заменены эквивалентными.

Рассмотрим схему на рис. 6.4 . Три реактивных элемента в упрощённой схеме определяют три независимых начальных условия, т.е. порядок характеристического уравнения равен трём.

Свободный процесс происходит в цепи, освобождённой от источников энергии, поэтому свободные токи не могут протекать сколь угодно долго в цепи, где есть активные элементы. Свободные токи должны затухать, в связи с этим действительные части корней p _k характеристического уравнения должны быть отрицательными.

Так, при наличии одного корня p = − a

Видео:ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать



Корни характеристического уравнения. Постоянная времени

Выражение свободной составляющей общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).

Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения

Вид корней характеристического уравнения	Выражение свободной составляющей
Корни вещественные и различные
Корни вещественные и
Пары комплексно-сопряженных корней

Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

При вещественных корнях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс.Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).

Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением

,

которое называетсядекрементом колебания,или натуральным логарифмом этого отношения

,

называемым логарифмическим декрементом колебания, где .

Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t, определяемая для цепей первого порядка, как:

,

где р – корень характеристического уравнения.

Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при

Литература

1. Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретическиеосновы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

1. Чем обусловлены переходные процессы?
2. Как определяется порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс?
3. Для каких цепей применим классический метод расчета переходных процессов?
4. Доказать законы коммутации: и — с энергетических позиций.
5. В каких цепях и почему возможен колебательный процесс?
6. Определить величину токов и напряжений на конденсаторе и на катушке индуктивности в момент коммутации в цепи на рис. 4, если .

Ответ: ;

Дата добавления: 2015-04-19 ; просмотров: 916 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

💥 Видео

Расчет переходного процесса через ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ уравнение по законам Кирхгофа│Классический методСкачать



Пример 6 | Классический метод расчета цепи первого порядка с конденсаторомСкачать



Расчет цепи при t(0+)│Зависимые начальные условия │КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОДСкачать



Электротехника. Переходные процессы в электрических цепях. Классический метод часть 1"Скачать



Пример 5 | Классический метод расчета цепи первого порядка с катушкойСкачать



Что такое "уравнение времени"?Скачать



Лекция 091-6. Расчет переходных процессов классическим методом. Нахождение постоянных интегрированияСкачать



ТОЭ Ч2 классический метод расчета ПП лк №10 часть2Скачать



1 6 2 Общий подход к анализу переходных процессовСкачать



Расчет переходных процессов классическим методомСкачать



Электротехника. Переходные процессы часть 4Скачать



Переходные процессы. Расчет RL цепи с Двойной коммутацией. График переходного процессаСкачать