Группы ли и дифференциальные уравнения (8 видео)

Группы ли и дифференциальные уравнения

Групповой анализ дифференциальных уравнений возник как научное направление в работах выдающегося математика XIX века Софуса Ли (18421899) и служил главной составной частью его важнейшего творения теории непрерывных групп. Первоначальная основная задача группового анализа вопрос о разрешимости в квадратурах дифференциальных уравнений была практически решена самим Ли, но не нашла широкого применения. Хотя подход Ли к дифференциальным уравнениям ещё использовался его ранними последователями, позже исследования в этом направлении прекратились, и надолго.

Интерес к групповому анализу возродил Л. В. Овсянников, показав в своих работах 19581962 гг., что главное орудие, которым пользовался Ли, описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп обнаруживает свою силу не только в вопросах о полной разрешимости, но и при построении отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики. Такое расширение области применений потребовало существенного углубления методов группового анализа, разработки новых понятий и алгоритмов. Возникшие в связи с этим проблемы и перспективы развития стимулировали большое число исследований (см. книги [7], [9] и обзор [10]). Стало ясно, каким действенным инструментом является групповой анализ при решении сложных задач. Он существенно расширяет и уточняет интуитивное понимание симметрии, вооружает конструктивными методами её использования, ведёт к правильной постановке задач, а во многих случаях позволяет увидеть возможные пути их решения.

К сожалению, приходится констатировать, что и сегодня практическое применение свойств симметрии основывается чаще всего не на знании методов группового анализа, а на случайных, более или менее удачных догадках. Странность положения усугубляется тем, что в настоящее время разработаны и ждут применения новые мощные методы группового анализа. Поэтому знакомство с классическими его основами и современными методами становится важным элементом математической культуры для тех, кто имеет дело с построением и изучением математических моделей задач естествознания. Для этого наряду с имеющимися монографиями по групповому анализу нужен учебник, рассчитанный на широкую аудиторию и пригодный для первоначального ознакомления с предметом.

Данная брошюра, по замыслу автора, и должна сыграть роль такого учебника. При её чтении рекомендуется тщательно разобрать примеры и прорешать предлагаемые упражнения, так как групповой анализ относится к одной из тех областей, которые необходимо изучать на примерах. Сюда в полной мере относятся слова И. Ньютона о том, что «при изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила». Недостаточно лишь формально знать теорию групп, ею надо овладевать творчески, решая многочисленные упражнения и нестандартные задачи.

При работе над этой брошюрой основным источником послужили работы С. Ли, в частности его книга [8]. Хорошее представление о работах Ли по обыкновенным дифференциальным уравнениям и о его манере мышления можно получить по статье [5] Л. Диксона одного из бывших слушателей

Поучительный пример. Разрешимые алгебры Ли. Интегрирование в квадратурах с помощью двухмерной алгебры. Пример реализации алгоритма. Cherchez le groupe. Пример уравнения, не допускающего группу, но интегрируемого в квадратурах

Уравнения, допускающие трехмерную алгебру Ли. Общая классификация. Один замечательный класс уравнений. Признаки линеаризуемости. Заключительные замечания

Определение и примеры. Оптимальная система инвариантных решений. Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих алгебру. Решение одной инвариантной краевой задачи. Сферические функции. Групповой штрих к методу Римана

ОПЫТ
Предисловие		3
Глава первая . Исходные понятия и алгоритмы		3
Группа точечных преобразований. Продолжение группы и инфинитезимального оператора. Дифференциальные уравнения, допускающие группу. Интегрирование и понижение порядка с помощью однопараметрической группы. Определяющее уравнение. Алгебра Ли
Глава вторая . Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих двухпараметрическую группу		12
Глава третья . Групповая классификация уравнений второго порядка		21
Глава четвертая . Инвариантные решения		28
Литература		42
Приложение		43

Эта брошюра является продолжением «Азбуки группового анализа» и связана с ней единством замысла дать общедоступное изложение теории Ли дифференциальных уравнений. Я стремился свести до минимума подготовительные теоретические построения и привести читателя к методам решения дифференциальных уравнений кратчайшим путём. Ибо как начинающему купальщику невозможно нырнуть вместе с надувным кругом, так отягощённое трактатностью и подчёркнутой строгостью изложение мало способствует погружению в необычный мир группового анализа.

Для первоначального ознакомления с предметом достаточно прочесть первые две главы. В первой главе собраны ключевые понятия группового анализа и сформулированы в виде теорем те факты, которые лежат в основе используемых алгоритмов. Этот раздел поможет читателю быстро научиться вычислять допускаемую группу и освоиться с другими простыми приёмами группового анализа. Во второй главе изложена основная схема Ли интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений методом теории групп. Ограничение уравнениями второго порядка вызвано не существом метода, а стремлением сосредоточиться на конкретном материале и привести к исчерпывающим результатам.

Остальные главы предназначены для желающих углубиться в предмет. Заинтересовавшийся читатель может перейти далее к изучению специальной литературы, указанной в библиографии.

которая поможет заинтересованному читателю более подробно ознакомиться с теоретическими вопросами группового анализа, многообразием приложений и современным развитием, а также с биографией Софуса Ли.

Э.Л.Айнс . Обыкновенные дифференциальные уравнения . Харьков: ОНТИ, 1939. Гл. IV. С. 127153.
В.А.Байков , Р.К.Газизов , Н.X.Ибрагимов . Приближённые симметрии // Матем. сб. 1988. Т. 136. Вып. 4. С. 435450.
В.А.Галактионов , В.А.Дородницын , Г.Г.Еленин , С.П.Курдюмов , А.А.Самарский . Квазилинейное уравнение с источником: обострение, локализация, симметрия, точные решения, асимптотики, структуры // Итоги науки и техники: Современные проблемы математики: Новейшие достижения. М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 28. С. 95205.
Э.Гурса . Курс математического анализа . М.Л.: ГТТИ, 1933. Т. II. Ч. II. гл. XIX. Разд. IV. С. 92104.
L.E.Dickson . Differential equations from the group standpoint // Annals of Math. 1924. V. 25. P. 287378. назад к тексту
В.А.Дородницын , Г.Г.Еленин . Симметрия в решениях уравнений математической физики . М.: Знание, 1984. 64 с. См. также сб.: Компьютеры и нелинейные явления. М.: Наука, 1988. С. 123191.
Н.X.Ибрагимов . Группы преобразований в математической физике . М.: Наука, 1983. 280 с. назад к тексту
S.Lie . Vorlesungen über continuierliche Gruppen . Leipzig: Teubner, 1893. 805 c. назад к тексту
Л.В.Овсянников .
1. Групповые свойства дифференциальных уравнений . Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. 240 с.
2. Групповой анализ дифференциальных уравнений . М.: Наука, 1978. 400 с. назад к тексту
Л.В.Овсянников , Н.X.Ибрагимов . Групповой анализ дифференциальных уравнений механики // Итоги науки и техники: Общая механика. М.: ВИНИТИ, 1975. Т. 2. С. 552. назад к тексту
Е.М.Полищук . Софус Ли . Л.: Наука, 1983. 214 с.
Н.Г.Чеботарев . Теория групп Ли . М.Л.: ГИТТЛ, 1940. 396 с.

Добавлю сюда ещё одну книгу П. Олвер. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям (М., Мир, 1989), которую, благодаря достаточно недавнему (по сравнению с другими книгами) году выпуска, объёму в 600 с лишним страниц и ясности изложения, можно поставить в начало этого списка.

Видео:Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

ЛИ ГРУПП ТЕО́РИЯ

В книжной версии

Том 17. Москва, 2010, стр. 370-371

Скопировать библиографическую ссылку:

ЛИ ГРУПП ТЕО́РИЯ, раздел алгебры, изучающий группы Ли. Группой Ли называется группа, являющаяся одновременно гладким (аналитическим) вещественным или комплексным многообразием, алгебраич. операции в которой выражаются в локальных координатах гладкими (аналитическими) функциями. Обычно термин «группа Ли» относят к вещественному случаю, а в комплексном случае говорят о комплексной группе Ли. Названы по имени С. Ли , который в своих работах 1876–93 заложил основы теории таких групп.

Видео:Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Группы ли и дифференциальные уравнения

в точности совпадают с решениями системы (48). Этот факт можно выразить условием:

Практически, решая уравнения характеристик для векторного поля мы будем иметь интеграл вида const описывающий семейство его интегральных кривых. В качестве новой координаты на плоскости и следует принять эту комбинацию: Проиллюстрируем описанную выше идею на конкретном примере.
Пример. Рассмотрим уравнение вида (48) с правой частью Непосредственной проверкой по формулам (45) убеждаемся, что где Следовательно — поле симметрий, при этом Интеграл уравнения характеристик

имеет вид const После введения новой переменной исходное дифференциальное уравнение преобразуется к виду:

для которого возможно разделение переменных:

Аналогичным образом можно рассмотреть случай обобщенно-однородных уравнений вида (48), у которых

где и — произвольные вещественные числа. Соответствующий интеграл уравнений характеристик векторного поля симметрии имеет вид:

Сделаем в конце этого раздела несколько замечаний.

Процедура отыскания симметрий оказывается далеко не всегда проще процедуры отыскания решения самого уравнения. Так, например, обстоит дело с общим уравнением Риккати: В этом смысле симметрийный подход не является универсальным. Однако всем случаям разделения переменных в дифференциальном уравнении соответствует существование поля (или полей) симметрии
В случае когда имеет место следующая теорема:

1-форма , ассоциированная с уравнением (48), допускает интегрирующий
множитель вида Другими словами, 1-форма является в
этом случае «полным дифференциалом» некоторой функции .

Справедливость этой теоремы можно проверить непосредственно, вычислив величину и убедившись, что она равна нулю в силу уравнений для поля симметрии Более компактное доказательство, не связанное с переходом к координатам, заключается в применении аппарата внешних дифференциальных форм и теоремы Фробениуса (см. [21]).

Обсуждаемые здесь идеи допускают непосредственное обобщение на дифференциальные уравнения высших порядков и уравнения в частных производных. Обобщением формы выступает в этих случаях распределение Картана в соответствующем расслоении джетов [21].

Если у дифференциального уравнения есть несколько симметрий, то они образуют алгебру симметрий относительно скобки Ли. Действительно, пусть и В силу свойства (40) имеет место следующая цепочки равенств:

откуда следует, что скобка Ли двух симметрий есть снова симметрия. В некоторых случаях получающаяся симметрия будет новой, т.е. независимой от и Знаменитая теорема Ли гласит: Для полного интегрирования дифференци- ального уравнения порядка достаточно существования полей симметрий ( — порядок уравнения), которые образуют разрешимую алгебру Ли [19,21].

След.: 11. Применения производной Ли Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 9. Координатные формулы для