Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Видео:Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать

Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnline

Алгебра. 9 класс

Впишите пропущенное слово.

Вычеркните слово так, чтобы получилось верное утверждение.

Укажите правильный ответ.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Сколько решений будет иметь система, если графики уравнений этой системы изображены на иллюстрации?

Укажите правильный ответ.

Графиком уравнений системы
Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая
является…

парабола и окружность

окружность и прямая

Укажите правильный ответ.

Выберите пару чисел, которая является решением системы уравнений
Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Видео:ВСЁ ПРО ГРАФИКИ ЕГЭ 2024 (Прямая, Парабола, Окружность, Модуль, Гипербола, Корень, Области, Сдвиги)Скачать

ВСЁ ПРО ГРАФИКИ ЕГЭ 2024 (Прямая, Парабола, Окружность, Модуль, Гипербола, Корень, Области, Сдвиги)

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Прямая, окружность, парабола и гипербола.
Некоторые приемы построения графиков функций

называется общим уравнением прямой. Мы уже знаем, что каждая прямая записывается таким уравнением и, обратно, каждое такое уравнение определяет прямую. Если уравнение прямой записано в виде у = kx + b, то число k называется ее угловым коэффициентом. При этом

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

т.е. совпадает с тангенсом угла наклона прямой L к оси Ох

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Признаком параллельности двух прямых L и L1 является равенство их угловых коэффициентов: k = k1.

Признаком перпендикулярности прямых L и L2 является соотношение kk2 = -1.

y — y0 = k(x — x0)

является уравнением прямой, проходящей через точку А(х0; у0) и имеющей угловой коэффициент k, а уравнание

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

— уравнением прямой, проходящей через две данные точки А(х0; у0) и В(х1; y1).

Задание 1.

Определите точки пересечения прямой 2х — Зу — 6 = 0 с координатными осями и постройте эту прямую.

Ответ:

Задание 2.

Запишите уравнение прямой, проходящей через данную точку А(х0; у0) и образующей с осью Ох угол

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая
если:

а)
Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая
б)

в) Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

в)
Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 3.

Запишите уравнение прямой, параллельной прямой у = 2х + 3 и проходящей через точку А(-3; 2).

Ответ:

Задание 4.

Запишите уравнение прямой, перпендикуляр,ной прямой у = -5х + 3 и проходящей через точку А(5;4)

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 5.

Запишите уравнение сторон треугольника, если известны его вершины А(5; -4), В(-1; 3) и С(-3; -2).

Используя общее уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, для прямой (АВ) имеем

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

т. е. 7х + 6у — 11 = 0.

Аналогично получаем: (АС) х — 4у + 11 = 0, (ВС) 5х — 2у + 11 = 0.

Задание 6.

Запишите уравнение прямой, проходящей через точку М1(2, 1) перпендикулярно прямой, проходящей через точки М2(5; 3) и М3(3; -4).

• Пусть А(х0; у0), B(х1у1) — две данные точки; тогда точка С

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

лежит на прямой, проходящей через точки А и В, и делит отрезок АВ пополам. Используйте этот факт при решении задний 7, 8.

Решение:

Уравнение прямой (М2М3) имеет вид 7х — 2у — 29 = 0. Ее угловой коэффициент равен

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Поэтому уравнения прямых, перпендикулярных данной прямой, имеют вид

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Подставляя в это равенство координаты точки М1 (2; 1), находим

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Отсюда следует нужное нам уравнение.

Ответ:

Задание 7.

Найдите координаты точки О, симметричной тс)чке Р(-5; 13) относительно прямой 2х — Зу — 3 = 0.

Решение:

Проведем через точку Р (-5; 13) прямую, перпендикулярную прямой 2х -Зу — 5 = 0. Ее уравнение есть Зх + 2у — 11 = 0.

Найдем координаты точки пересечения этих прямых, для чего решим систему уравнений

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

откуда х = 3, у = 1. Точка С(3; 1) является серединой отрезка PQ, где Р (-5; 13), a Q(x0; у0) — искомая точка. Поэтому

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Задание 8.

Составьте уравнение прямой, параллельной прямым 2х + Зу -6 = 0 и 4х + 6у+ 17 = 0 и проходящей посередине между ними.

определяет окружность радиуса R с центром в точке С(х0; у0).

Решение:

Прямая 2х + Зу — 6 = 0 проходит через точку А(0; 2), а прямая 4х + 6у + 17 = 0 — через точку В

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Следовательно, прямая, параллельная данным и проходящая посередине между ними, имеет уравнение 2х + Зу + 6 = 0 и проходит через точку C

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

где С — середина отрезка АВ. Отсюда находим

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

а тогда уравнение искомой прямой можно записать в виде:

Заметим, что это уравнение есть полусумма уравнений 8х + 12у — 24 = 0 и 8х + 12у + 34 = 0, задающих известные нам прямые.

Ответ:

Задание 9.

Запишите уравнение окружности, если:

а) центр окружности совпадает с точкой С(2; -3), а ее радиус R = 7;

б) окружность проходит через точку А(2; 6), а ее центр совпадает с точкой С(-1; 2);

в) точки А(3; 2) и В(-1; 6) являются концами одного из диаметров этой окружности.

Ответ:

а) (х — 2) 2 + (у + З) 2 = 49;

б) (х + 1) 2 + (у — 2) 2 = 25;

в) (х — 1) 2 + (у — 4) 2 = 8

Задание 10.

Запишите уравнение окружности, если ее центр совпадает с началом координат, а прямая Зх — 4у + 25 = 0 является касательной к этой окружности.

Решение:

Через начало координат О (0; 0), т. е. через центр окружности, проведем прямую, перпендикулярную прямой Зх — 4у + 25 = 0. Ее уравнение имеет вид 4х + Зу = 0. Найдем точку пересечения этих прямых, т. е. точку касания прямой Зх — 4у + 25 = 0 и искомой окружности. Решаем систему

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

откуда х = 3, у = -4. Таким образом, С(3; -4) — точка касания, а

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

— радиус искомой окружности.

Ответ:

Задание 11.

Запишите уравнение окружности, проходящей через точки А(3; 1) и Б(-1; 3), если ее центр лежит на прямой Зх — у -2 = 0.

Решение:

Центр искомой окружности О (х0; у0) — точка пересечения прямой Зх — у — 2 = 0 и прямой, проходящей через точку С(1;2) (середину отрезка АВ), перпендикулярно прямой (АВ)

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ее уравнение имеет вид у — 2х = 0 (см. решение задачи 6).

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

откуда О (2; 4). Радиус искомой окружности равен длине отрезка ОВ, т. е.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

(х — 2) 2 + (у — 4) 2 = 10

Задание 12.

Запишите уравнение прямой, проходящей через центры двух данных окружностей:

а) (х — З) 2 + у 2 = 9, (х + 2) 2 + (у -1)2 = 1;

б) х 2 + у 2 — 4х + 6у = 0, х 2 + у 2 — 6х = 0.

Ответ:

Задание 13.

Запишите уравнения касательных к окружности х 2 + у 2 + + 2х — 19 = 0, проведенных из точки А (1; 6).

Указание:

Запишите уравнения искомых прямых в виде у = а(х — 1) + 6, подставьте у = а(х — 1) + 6 в уравнение окружности и приравняйте нулю дискриминант полученного квадратного уравнения.

Ответ:

у + 2х — 8 = 0, х — 2у + 11 =0.

Задание 14.

Установите, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, найдите координаты ее вершины А и координаты точек пересечения с осями координат:

а)
у = 4х 2 — 8х + 7;

б)
Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

в)
у = -х 2 + 2х + 3.

Ответ:

а) А(1; 3); с осью Ох не пересекается; С (0; 7);

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 15.

Найдите квадратный трехчлен, наибольшее значение которого, равное 3, достигается при х = 2, если известно, что его график проходит через точку О(0; 0).

Решение:

Из условия следует, что квадратный трехчлен имеет вид у = а(х — 2) 2 + 3, где а

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 16.

График квадратного трехчлена, свободный член которого равен 1, симметричен относительно прямой х + 2 = 0 и проходит через точку А(2; 7). Запишите этот квадратный трехчлен.

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 17.

Найдите квадратный трехчлен, график которого симметричен относительно прямой х = -1 и проходит через точки М1(-2; 2) и М2(2; 26).

Решение:

Из условия следует, что квадратный трехчлен имеет вид у = а(х + 1) 2 + b. Подставляя в это равенство координаты точек М1(-2; 2) и М2(2; 26), получаем систему

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

откуда а = 3, b = -1. Итак, у= 3(х + 1) 2 — 1 = Зх 2 + 6х + 2.

Ответ:

у = = 3х 2 + 6х + 2

Задание 18.

Найдите квадратный трехчлен, график которого симметричен относительно прямой х = 1 и проходит через точки M1(2; -1) и М2(-4; 47).

Ответ:

Задание 19.

Парабола у = х 2 — 4х + 2 пересекается с прямой у = х + 8 в точках А и В. Запишите уравнение параболы, проходящей через А, В и точку О(0; 0).

Находим координаты точек А и В. Решаем уравнение

х 2 — 4х + 2 = х + 8, т. е. х 2 — 5х — 6 = 0 и получаем: А (-1; 7), В (6; 14).

Уравнение искомой параболы имеет вид у = ах 2 + bх. Подставляя в это равенство координаты точек А и В, приходим к системе:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая
Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 20.

График квадратного трехчлена, наименьшее значение которого, равное нулю, достигается при х — 1, проходит через точку А(-1; 4). Составьте уравнения касательных к этому графику, проходящих через начало координат.

Решение:

Из условия следует, что квадратный трехчлен имеет вид у = а(х — 1) 2 , где а > 0. Подставляя в это равенство координаты точки А (-1; 4), находим а = 1, откуда у = (х — 1) 2 = х 2 — 2х + 1. Уравнения всех прямых, проходящих через точку О (0; 0), имеют вид у = ах. Приравнивая нулю дискриминант квадратного уравнения х 2 — 2х + 1 = = ах, т. е. х 2 — (2 + а)х + 1 = 0, имеем D = (а + 2) 2 — 4 = а 2 + 4а = О, откуда a1= 0, а2 = -4. Таким образом, получаем искомые уравнения касательных: у = 0 и у = -4х.

Ответ:

Задание 21.

Запишите уравнение параболы, проходящей через данные точки А, В и С, если:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

a, b, d — действительные числа и

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

называется дробно-линейной функцией. Кривая, которая служит графиком этой функции, называется гиперболой. Ниже мы установим, что график дробно-линейной функции можно получить из графика простейшей дробно-линейной функции

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

(графика обратной пропорциональной зависимости) с помощью параллельного переноса,
отражения и растяжения (сжатия) вдоль координатных осей. График функции

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая
изображен на рис.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Отметим, что прямые у =0 и х=0 (координатные оси) являются асимптотами гиперболы

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

а точка О(0; 0) — ее центром симметрии.

Указание:

Запишите уравнение искомой параболы в виде у = ах 2 + bх + с и подставьте в это равенство координаты данных в условии точек.

Ответ:

а) у = 2х 2 — х — 1;

б) у = -х 2 + 2х + 3

Постройте графики следующих функций и уравнений. Штриховкой укажите области, координаты точек которых удовлетворяют указанным неравенствам (22—26):

Задание 22.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 23.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Почему в заданиях 22 и 23 получаются различные заштрихованные области?

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 24.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 25.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 26.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

(эта кривая также является гиперболой).

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 27.

Составьте уравнения касательных к гиперболе

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

параллельных прямой у = -4х + 1.

Напомним некоторые приемы, которые часто используются при построении графиков функций. При этом предполагается, что график функции у = f(x) (или уравнения f(x, у) = 0) известен.

• Сдвиги (параллельные переносы) вдоль координатных осей.

Пусть построен график функции у = f(x). Тогда:

1) график функции у = f(x + а) получается из графика функции у — f(x) переносом вдоль оси Ох на а единиц
влево, если а > 0, или на |а| = -а единиц вправо, если а

2) график функции у = f(x) + b получается из графика функции у = f(x) переносом на b единиц вверх, если b > О, или на |b| = -b единиц вниз, если b

3) график уравнения f(x -а, у) = О получается из графика уравнения f(x, у) = О переносом на |а| вправо, если а > 0, и влево, если а 0, и вниз, если b

Решение:

Уравнение касательной должно иметь вид у = -4х+ b.

Приравнивая нулю дискриминант квадратного уравнения

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

т. е. 4х 2 — bх + 1 = 0, имеем D = b 2 — 16 = 0, т.е. b1 = -4; b2 = 4. Итак, получаем искомые уравнения касательных: у = -4х — 4 и у = -4х + 4.

Ответ:

у = -4х — 4; у = -4x + 4

Постройте графики следующих функций и уравнений (28—34):

Задание 28.

у = х 2 ; у = (х — 2) 2 ; у = (х -2) 2 — 3

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 29.

х 2 + у 2 = 4; (х + 1) 2 + у 2 = 4; (х + 1) 2 + (у — З) 2 = 4

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 30..

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 31.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 32.

х 2 — 6х + у 2 + 2у — 6 = 0

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 33.

(jc — 1)(у + 2) = 2х — 3

Указание:

Преобразуйте уравнение к виду

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 34.

Указание:

Преобразуйте уравнение к виду

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 35.

а) (х — 1) 2 + (у + 1) 2 = 4;

б) х 2 — 4х + у 2 + 6у = 0

Запишите уравнение образа каждой из них при параллельном переносе, если ее центр смещается в точку С(-1; 2).

Решение б):

Запишем уравнение данной окружности в виде (х — 2) 2 + (у + З) 2 = 13. При параллельном переносе радиус окружности не меняется. Уравнение окружности радиуса

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

с центром в точке С(-1;2) имеет вид (х + 1) 2 + (у — 2) 2 = 13.

Ответ:

а) (х + 1) 2 + (у — 2) 2 = 4

б) (х + 1) 2 + (у — 2) 2 = 13

Задание 36.

Запишите уравнение образа параболы у = х 2 + + 2х + 2 при параллельном переносе, если ее вершина смещается в точку A(x0; у0), где

Решение б).

Парабола у = х 2 + 2х + 2 = (х + 1) 2 + 1 получается из параболы у = х 2 переносом вершины в точку А (-1; 1). Если вершина этой параболы при параллельном переносе сместится в точку А (-3; 4), то ее уравнение примет вид у = (х + З) 2 + 4.

б) у = х 2 + 6х + 13

в) у = х 2 + 2х + 2

Ответ:

Задание 37.

Запишите уравнение образа гиперболы

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

при параллельном переносе, если ее центр симметрии смещается вточку А(-3; 1).

• Зеркальное отражение относительно координатных осей.

Пусть задан график функции у = f(x) (или уравнения f(x, у) = 0). Тогда:

1) графики функций у = f(x) и у = f(-x) (уравнений f(x, у) = 0 и f(-x, у) = 0) симметричны относительно оси Оу,

2) графики функций у = f(x) и у = -f(x) (уравнений f(x, у) = 0 и f(x; -у) = 0) симметричны относительно оси Ох.

Постройте графики следующих функций и уравнений (38—42).

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 38.

у = 2 + х; у = 2 — х; у = -(2 + х)

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 39.

у = х 2 + 2х; у = х 2 — 2х; у = -(х 2 + 2х)

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 40.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 41.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 42.

(х — I) 2 + у 2 =1;(х + 1) 2 + у 2 =1

• Растяжение (сжатие) графика вдоль координатных осей.

Пусть задан график функции у = f(x) и число k > 0. Тогда:

1) график функции у = f(kx) получается из графика функции у = f(x) сжатием вдоль оси Ох в k раз, если

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

2) график функции у = kf(x) получается из графика функции у = f(x) растяжением вдоль оси Оу в k раз, если

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Отметим также, что графики уравнений f(kx, у) = 0, f(x, ky) = 0 получаются из графика уравнения f(x, у) = 0 сжатием вдоль соответствующей координатной оси в k раз, если k > 1 (при k

Постройте графики следующих функций и уравнений (43—50). Отметьте штриховкой области, координаты точек которых удовлетворяют указанным неравенствам.

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 43.

у = х 2 ; у = (2х) 2 ; 2у = х 2

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 44.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 45.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

(кривая, которая получается при сжатии окружности вдоль координатных осей, называется эллипсом).

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 46.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 47.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 48.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 49.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 50.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

• При построении эскизов графиков элементарных функций часто используются и такие приемы, как сложение (вычитание) и деление (умножение) графиков.

Постройте графики следующих функций (51—57):

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 51.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 52.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 53.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 54.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 55.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 56.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Указание:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 57.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Указание:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Используя различные приемы, постройте графики следующих функций и уравнений (58—71):

Задание 58.

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 59.

Указание:

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 60.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Указание:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 61.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 62.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 63.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 64.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Указание:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 65.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Указание:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 66.

3(х — 1) 2 — 4(у + 1) 2 = 0

Указание:

Постройте две пересекающиеся прямые Зх 2 = 4у 2 , затем выполните параллельный перенос, при котором точка их пересечения сместится в точку А(1; -1).

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 67.

2х 2 — у 2 + 8х + 2у + 7 = 0

Указание:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 68.

(х + 2) 2 + 4(у — З) 2 = 16

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 69.

Зх 2 + 2у 2 — 12х + 4у + 2= 0

Указание:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 70.

Указание:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 71.

ху + х — 2у — 4 = 0

Указание:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Найдите число различных решений уравнений в зависимости от а (72—80):

Задание 72.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 73.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

два решения, при

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

одно решение; при

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 74.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Решение:

Положим х 2 = t. Тогда

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Построим при t > 0 график функции

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

при t > 0, причем наименьшее значение у = 2 достигается при t = 1, то получаем: при
а уравнение

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

не имеет положительных решений, при а = 2 => одно решение; а > 2 => два решения. Теперь находим число решений исходного уравнения.

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

нет решений, при а = 2 => два решения; при

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 75.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Решение:

Построим график функции

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

то х = -1 — точки минимума функции у(х) и у(-1) = 3

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Поэтому получаем следующий ответ.

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

одно решение; при а = 3 => два решения; при

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 76.

Указание:

Запишите уравнение в виде

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Далее см. решение задачи 75.

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

одно решение; при а = 3 => два решения; при

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 77.

х 3 — ах 2 + 1 = 0

Запишите уравнение в виде

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

одно решение; при

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

два решения; при

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 78.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Решение:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Запишем уравнение в виде

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

График этой функции — гипербола, принимающая все значения, кроме у = 3, по одному разу. Поскольку

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

нужно также исключить значение

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

одно решение; при

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 79.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Решение:

Запишем уравнение в виде

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Сначала найдем число решений уравнения

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая
не меньших

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Построим график функции

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

а наименьшее значение y(t) равно 2. Поэтому уравнение

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

не имеет решении, при

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

— имеет одно решение, а при

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

— два решения, удовлетворяющих условию

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Отдельно рассмотрим случай

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

имеет одно решение (мы находим число различных решений). При всех остальных

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

уравнение х 2 + х + 1 = 3t будет иметь два различных решения. Теперь легко записываем ответ.

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

нет решений; при

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

два решения; при

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

четыре решения; при

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 80.

(х 2 + 1)(х 2 + 2ах + а 2 + 1) = 2х

Указание:

Запищите уравнение в виде

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

и постройте графики функций

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

одно решение х = 1, при других а решений нет.

Решите системы неравенств и уравнений (81—87):

Задание 81.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 82.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Решение:

На координатной плоскости (х, а) штриховкой отметим точки, координаты которых удовлетворяют нашей системе неравенств

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 83.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая
при

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 84.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Решение:

Перепишем неравенства в виде

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

и штриховкой на координатной плоскости (х; а) отметим точки, координаты которых удовлетворяют этой системе неравенств

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Записываем решение данной системы.

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 85.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Указание:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

и (х + 1) 2 + (у + 1) 2 =1

Ответ:

Задание 86.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Указание:

Постройте графики функций

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

и у = 2х 2 — 4х + 3

Ответ:

Задание 87.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Решение:

Запишем второе уравнение в виде

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Это окружность радиуса

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

с центром (а; -а), лежащим на прямой у = -х

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Пересечение с гиперболой

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

возможно только в том случае, если а = 0. При а = 0 получаем решения х1 = 1, у1 = 1 и х2 = -1, у2 = -1.

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

при других а решений нет.

Задание 88.

Прямая проходит через точку А(2; 1) и пересекает параболу у = х 2 — 4х в точках, сумма квадратов абсцисс которых наименьшая. Запишите уравнение этой прямой.

Решение:

Запишем уравнение прямой в виде у = а(х — 2) + 1. Тогда точки пересечения этой прямой и параболы у = х 2 — 4х

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

имеют абсциссы x1и х2, являющиеся корнями квадратного уравнения

а(х — 2) + 1 = х 2 — 4х, т. е. х 2 — (а + 4)х + 2а — 1 = 0. Так как

х1 2 + х2 2 = (x1 + х2) 2 — 2х1х2 = (а + 4) 2 — 2х1х2 = (а + 4) 2 — 2(2а — 1) = а 2 + 4а + 18 = (а + 2) 2 + 14, то наименьшее значение сумма квадратов абсцисс принимает при а = -2.

Ответ:

Задание 89.

Прямая проходит через точку А(1; 5) и пересекает параболу у = х 2 + х+1 в точках, сумма ординат которых наименьшая. Запишите уравнение этой прямой.

Решение:

Запишем уравнение прямой в виде у = а(х — 1) + 5. Тогда точки В и С пересечения этой прямой с параболой у = х 2 + х + 1

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

имеют абсциссы x1 и х2, являющиеся корнями квадратного уравнения

а(х — 1) + 5 = х 2 + х + 1, т. е. х 2 — (а — 1)х + а — 4 = 0.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

а сумма ординат точек пересечения равна

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Следовательно, сумма ординат наименьшая при

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Искомое уравнение имеет вид

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 90.

Прямая проходит через точку Б(1; -3) и пересекает параболу у — 2х — х 2 в точках, сумма ординат которых наибольшая. Запишите уравнение этой прямой.

Ответ:

Задание 91.

Найдите длину перпендикуляра, опущенного из точки А(3; -1) на прямую, пересекающую линию

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

и проходящую через точки этой линии с ординатами у = 1 и

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Решение:

Находим точки В и С пересечения прямой с кривой

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

откуда х= 1, т.е. В (1; 1);

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

откуда х = 0, т. е.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Записываем уравнение прямой, проходящей через точки В и С:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

т. е. х — Зу + 2 = 0. Уравнение перпендикуляра к этой прямой, проходящего через точку А (3; -1), имеет вид у = -Зх + 8. Теперь найдем координаты точки пересечения этих прямых, для чего решим систему уравнении:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Вычисляем расстояние между точками А(3;-1) и D

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 92.

Найдите длину перпендикуляра, опущенного из точки А(5; 0) на касательную к параболе у = х 2 + 3, проведенную из точки В(0; 1).

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 93.

На оси ординат найдите точку, через которую проходят две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции

Решение:

Уравнение касательной имеет вид у = ах + b

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Приравнивая нулю дискриминант квадратного уравнения

х 2 — 2х + 3 = ах + b, т. е. х 2 — (а + 2)х + 3 — b = 0,

получим D = (а + 2) 2 — 4(3 — b) = 0, т. е. а 2 + 4а + 4b — 8 = 0.

Это уравнение должно иметь корни a1 и а2 такие, что а1а2 = -1 (а1 и а2 — угловые коэффициенты искомых касательных; записано условие перпендикулярности этих прямых).

Но а1а2= 4b — 8, т. е. 4b -8 = -1, откуда

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 94.

На прямой 2х — Зу = 6 найдите точку, через которую проходят две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Указание:

Запишите уравнения касательных в виде

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Далее см. решение задачи 93.

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 95.

На координатной плоскости даны точки А(1; 3) и В(5; 2). На прямой, проходящей через точки М(-3; 1) и
N (4; -6), найдите такую точку С, чтобы сумма длин отрезков АС и СВ была наименьшей.

Решение:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

— это точка пересечения прямых (MN) и (А’В), где А’ — точка, симметричная A относительно прямой (MN) (см. задачу 7). Подумайте, почему это так? Теперь последовательно находим:

1) уравнение прямой (MN):

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

2) уравнение прямой (АА’):

3) координаты точки К, т. е. точки пересечения прямых (MN) и (АА):

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

4) координаты точки А (х0, у0); имеем

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

5) уравнение прямой (А’В):

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

т. е. 2у — х + 1 = 0;

6) координаты искомой точки С:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

откуда х = -1, у = -1

Ответ:

Задание 96.

Даны точка А(5; 7) и угол, уравнения сторон которого имеют вид у = 0 и у = х+5. Точки В и С лежат на разных сторонах угла. Найдите наименьшее значение периметра треугольника ABC.

Указание:

Наименьший периметр треугольника ABC равен длине отрезка PQ, где Р — точка, симметричная А относительно прямой у = 0, a Q — точка, симметричная А относительно прямой у = х + 5.

Ответ:

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Задание 97.

Числа х, у и а удовлетворяют системе уравнений

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

При каком значении а произведение ху принимает наименьшее возможное значение?

Указание:

Сначала выясните, при каких а данная система имеет решение. Эти значения

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Далее из системы выразите произведение ху через а и найдите минимум полученной функции на отрезке

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Ответ
Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Видео:ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать

ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график Парабола

Алгебра. Урок 5. Графики функций

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Декартова система координат
  • Функция

Видео:Графики функций. Задание №11 | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Графики функций. Задание №11 | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

Декартова система координат

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Видео:График функции y=x² (y=аx).Скачать

График функции y=x² (y=аx).

Функция

Функция – это отображение элементов множества X на множество Y . При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y .

Видео:Как получить легкий балл на ОГЭ? / Подробный разбор заданий с графиками функций по математикеСкачать

Как получить легкий балл на ОГЭ? / Подробный разбор заданий с графиками функций по математике

Прямая

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :

Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Графиком уравнений системы является две прямых окружность и прямая две параболы парабола и прямая

Если a = 0 , функция принимает вид y = b .

Отдельно выделим график уравнения x = a .

Важно : это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции ( функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y ). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y . Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

Видео:Графики в ОГЭ по математике за 10 секунд #умскул #огэматематика #огэСкачать

Графики в ОГЭ по математике за 10 секунд #умскул #огэматематика #огэ

Парабола

Графиком функции y = a x 2 + b x + c является парабола .

Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a , b , c :

  1. Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.
  • Если a > 0 , ветки параболы направлены вверх.
  • Если a 0 , ветки параболы направлены вниз.
  1. Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y .
  2. Коэффициент b помогает найти x в – координату вершины параболы.
  1. Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .
  • Если D > 0 – две точки пересечения.
  • Если D = 0 – одна точка пересечения.
  • Если D 0 – нет точек пересечения.

Видео:Как запомнить графики функцийСкачать

Как запомнить графики функций

Гипербола

Графиком функции y = k x является гипербола .

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

0″ height=»346″ width=»346″ sizes=»(max-width: 346px) 100vw, 346px» data-srcset=»/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png 346w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-150×150.png 150w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-300×300.png 300w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-176×176.png 176w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-60×60.png 60w, https://epmat.ru/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png»>

Если k 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .

Видео:ДВЕ ПАРАБОЛЫ / функции тип 9 / ЕГЭ #профиль #509253Скачать

ДВЕ ПАРАБОЛЫ / функции тип 9 / ЕГЭ #профиль #509253

Квадратный корень

Функция y = x имеет следующий график:

Видео:Графики сложных функций. Подготовка к ОГЭ. Задание № 22. Вебинар | МатематикаСкачать

Графики сложных функций. Подготовка к ОГЭ. Задание № 22. Вебинар | Математика

Возрастающие/убывающие функции

Функция y = f ( x ) возрастает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

Функция y = f ( x ) убывает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции , находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции , находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.

Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

Задание №11 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

🔥 Видео

Квадратичная функция и ее график. 8 класс.Скачать

Квадратичная функция и ее график. 8 класс.

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnline

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

10 задание. Все графики ЕГЭ по математике 2023Скачать

10 задание. Все графики ЕГЭ по математике 2023

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Алгебра 7 класс. 3 октября. Строим график линейной функцииСкачать

Алгебра 7 класс. 3 октября. Строим график линейной функции

Алгебра 9 класс. Графическое решение систем уравненийСкачать

Алгебра 9 класс. Графическое решение систем уравнений

Построить график ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:Скачать

Построить график  ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:
Поделиться или сохранить к себе: