Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.

Урок по теме «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры»

Разделы: Математика

Если в задаче меньше трех переменных, это не задача; если больше восьми – она неразрешима. Энон.

Задачи с параметрами встречаются во всех вариантах ЕГЭ, поскольку при их решении наиболее ярко выявляется, насколько глубоки и неформальны знания выпускника. Трудности, возникающие у учащихся при выполнении подобных заданий, вызваны не только относительной их сложностью, но и тем, что в учебных пособиях им уделяется недостаточно внимания. В вариантах КИМов по математике встречается два типа заданий с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра решить уравнение, неравенство или систему». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых решения неравенства, уравнения или системы удовлетворяют заданным условиям». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В первом случае в ответе перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. Во втором – перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи. Запись ответа является существенным этапом решения, очень важно не забыть отразить все этапы решения в ответе. На это необходимо обращать внимание учащихся.
В приложении к уроку приведен дополнительный материал по теме «Решение систем линейных уравнений с параметрами», который поможет при подготовке учащихся к итоговой аттестации.

  • систематизация знаний учащихся;
  • выработка умений применять графические представления при решении систем уравнений;
  • формирование умения решать системы линейных уравнений, содержащих параметры;
  • осуществление оперативного контроля и самоконтроля учащихся;
  • развитие исследовательской и познавательной деятельности школьников, умения оценивать полученные результаты.

Урок рассчитан на два учебных часа.

Ход урока

  1. Организационный момент

Сообщение темы, целей и задач урока.

  1. Актуализация опорных знаний учащихся

Проверка домашней работы. В качестве домашнего задания учащимся было предложено решить каждую из трех систем линейных уравнений

а) Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийб) Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийв) Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

графически и аналитически; сделать вывод о количестве полученных решений для каждого случая

Ответы: Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Заслушиваются и анализируются выводы, сделанные учащимися. Результаты работы под руководством учителя в краткой форме оформляются в тетрадях.

В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно представить в виде: Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений.

Решить данную систему уравнений графически – значит найти координаты точек пересечения графиков данных уравнений или доказать, что таковых нет. Графиком каждого уравнения этой системы на плоскости является некоторая прямая.

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:

  1. если Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений(если хотя бы один из знаменателей равен нулю, последнее неравенство надо понимать как Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений), то прямые пересекаются в одной точке; в этом случае система имеет единственное решение

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

  1. если Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийто прямые не имеют общих точек, т.е. не пересекаются; а значит, система решений не имеет

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

  1. если Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийто прямые совпадают. В этом случае система имеет бесконечно много решений

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

К каждому случаю полезно выполнить рисунок.

Сегодня на уроке мы научимся решать системы линейных уравнений, содержащие параметры. Параметром будем называть независимую переменную, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству. Решить систему уравнений с параметром – значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество решений системы.

Решение задачи с параметром зависит от вопроса, поставленного в ней. Если нужно просто решить систему уравнений при различных значениях параметра или исследовать ее, то необходимо дать обоснованный ответ для любого значения параметра или для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному в задаче множеству. Если же необходимо найти значения параметра, удовлетворяющие определенным условиям, то полного исследования не требуется, и решение системы ограничивается нахождением именно этих конкретных значений параметра.

Пример 1. Для каждого значения параметра решим систему уравнений

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

  1. Система имеет единственное решение, если

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

В этом случае имеем

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

  1. Если а = 0, то система принимает вид

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Система несовместна, т.е. решений не имеет.

  1. Если то система запишется в виде

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Очевидно, что в этом случае система имеет бесконечно много решений вида x = t; Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийгде t-любое действительное число.

  • при Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийсистема имеет единственное решение Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений
  • при а = 0 — нет решений;
  • при а = 3 — бесконечно много решений вида Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийгде t Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийR

Пример 2. При каких значениях параметра a система уравнений

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

  • имеет единственное решение;
  • имеет множество решений;
  • не имеет решений?

  • система имеет единственное решение, если Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений
  • подставим в пропорцию Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийзначение а = 1, получим Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений, т.е. система имеет бесконечно много решений;
  • при а = -1 пропорция примет вид: Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений. В этом случае система не имеет решений.

  • при Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийсистема имеет единственное решение;
  • при Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийсистема имеет бесконечно много решений;
  • при Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийсистема не имеет решений.

Пример 3. Найдем сумму параметров a и b, при которых система

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

имеет бесчисленное множество решений.

Решение. Система имеет бесчисленное множество решений, если Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

То есть если a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

  1. Закрепление изученного в ходе решения задач
  1. № 15.24(а) [1]. Для каждого значения параметра решите систему уравнений

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

  1. № 15.25(а) Для каждого значения параметра решите систему уравнений

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

  1. При каких значениях параметра a система уравнений

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

а) не имеет решений; б) имеет бесконечно много решений.

Ответ: при а = 2 решений нет, при а = -2 бесконечное множество решений

  1. Практическая работа в группах

Класс разбивается на группы по 4-5 человек. В каждую группу входят учащиеся с разным уровнем математической подготовки. Каждая группа получает карточку с заданием. Можно предложить всем группам решить одну систему уравнений, а решение оформить. Группа, первой верно выполнившая задание, представляет свое решение; остальные сдают решение учителю.

Карточка. Решите систему линейных уравнений

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

при всех значениях параметра а.

Ответ: при Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийсистема имеет единственное решение Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений; при Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийнет решений; при а = -1бесконечно много решений вида , (t; 1- t) где t Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийR

Если класс сильный, группам могут быть предложены разные системы уравнений, перечень которых находится в Приложении1. Тогда каждая группа представляет классу свое решение.

Отчет группы, первой верно выполнившей задание

Участники озвучивают и поясняют свой вариант решения и отвечают на вопросы, возникшие у представителей остальных групп.

  1. При каком значении k система Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийимеет бесконечно много решений?
  2. При каком значении p система Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийне имеет решений?

  1. При каком значении k система Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийимеет бесконечно много решений?
  2. При каком значении p система Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийне имеет решений?
  1. Итоги урока

Решение систем линейных уравнений с параметрами можно сравнить с исследованием, которое включает в себя три основных условия. Учитель предлагает учащимся их сформулировать.

При решении следует помнить:

  1. для того, чтобы система имела единственное решение, нужно, чтобы прямые, отвечающие уравнению системы, пересекались, т.е. необходимо выполнение условия;
  2. чтобы не имела решений, нужно, чтобы прямые были параллельны, т.е. выполнялось условие,
  3. и, наконец, чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпадать, т.е. выполнялось условие.

Учитель оценивает работу на уроке класса в целом и выставляет отметки за урок отдельным учащимся. После проверки самостоятельной работы оценку за урок получит каждый ученик.

При каких значениях параметра b система уравнений Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

  • имеет бесконечно много решений;
  • не имеет решений?

Графики функций y = 4x + b и y = kx + 6 симметричны относительно оси ординат.

  • Найдите b и k,
  • найдите координаты точки пересечения этих графиков.

Решите систему уравнений Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийпри всех значениях m и n.

Решите систему линейных уравнений при всех значениях параметра а (любую на выбор).

  • Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений
  • Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений
  • Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений
  1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин – М. : Просвещение, 2008.
  2. Математика : 9 класс : Подготовка к государственной итоговой аттестации / М. Н. Корчагина, В. В. Корчагин – М. : Эксмо, 2008.
  3. Готовимся в вуз. Математика. Часть 2. Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ, участию в централизованном тестировании и сдаче вступительных испытаний в КубГТУ / Кубан. гос. технол. ун-т; Ин-т совр. технол. и экон.; Сост.: С. Н. Горшкова, Л. М. Данович, Н.А. Наумова, А.В. Мартыненко, И.А. Пальщикова. – Краснодар, 2006.
  4. Сборник задач по математике для подготовительных курсов ТУСУР: Учебное пособие / З. М. Гольдштейн, Г. А. Корниевская, Г. А. Коротченко, С.Н. Кудинова. – Томск: Томск. Гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 1998.
  5. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену/ О. Ю. Черкасов, А.Г.Якушев. – М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.

Видео:Система уравнений не имеет решений или имеет бесчисленное множество решенийСкачать

Система уравнений не имеет решений или имеет бесчисленное множество решений

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений, которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.

Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

  1. Система может иметь единственное решение.
  2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений. Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
  3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений, если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Рассмотрим матрицу системы Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийи матрицы столбцы неизвестных и свободных членов Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийили короче AX=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A: Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений. Поскольку A -1 A = E и EX = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B.

Примеры. Решить системы уравнений.

    Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Найдем матрицу обратную матрице A.

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений, Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Таким образом, x = 3, y = – 1.

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Решите матричное уравнение: XA+B=C, где Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Найдем матрицу А -1 .

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Решите матричное уравнение AX+B=C, где Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Из уравнения получаем Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений.

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Следовательно,Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Сложим эти уравнения:

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений.

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Аналогично можно показать, что и Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений.

Наконец несложно заметить, что Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Таким образом, получаем равенство: Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений.

Следовательно, Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений.

Аналогично выводятся равенства Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийи Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений, откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

    Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Решите систему уравнений при различных значениях параметра p: Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений. Поэтому Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений.

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

  1. При Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений
  2. При p = 30 получаем систему уравнений Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийкоторая не имеет решений.
  3. При p = –30 система принимает вид Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийи, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y,y Î R.

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений, умножим на Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решенийи сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

  1. перестановка строк или столбцов;
  2. умножение строки на число, отличное от нуля;
  3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

    Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Вернемся к системе уравнений. Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Видео:Алгебраическое определение количества решений системы линейных уравнений | Алгебра IСкачать

Алгебраическое определение количества решений системы линейных уравнений |  Алгебра I

Как решать систему уравнений

Графики уравнений не имеют общих точек значит система не имеет решений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать

Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 класс

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Видео:Алгебра 9 класс. Графическое решение систем уравненийСкачать

Алгебра 9 класс. Графическое решение систем уравнений

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Видео:МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэ

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Решим систему уравнений методом подстановки

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Видео:огэ математика. №14 Какая система не имеет решений. Сколько решений имеет система?Скачать

огэ математика. №14 Какая система не имеет решений. Сколько решений имеет система?

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Пример.

Домножим первое уравнение системы на -2, второе оставим без изменений. Система примет вид:

Сложим уравнения, получим

Отсюда y = -3, а, значит, x = 2

Ответ: (2; -3).

Видео:Способы решения систем нелинейных уравнений. 9 класс.Скачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. 9 класс.

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Решение систем уравнений методом подстановки

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

  1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
  1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
  1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
  1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

💡 Видео

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnline

Графический метод решения систем уравнения. Алгебра 7-9 классСкачать

Графический метод решения систем уравнения. Алгебра 7-9 класс

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.

Количество решений системы уравнений. УпражнениеСкачать

Количество решений системы уравнений. Упражнение

Система уравнений не имеет решений | Системы уравнений | Алгебра 1Скачать

Система уравнений не имеет решений | Системы уравнений | Алгебра 1

Решение систем уравнений графическим способом 2Скачать

Решение систем уравнений графическим способом 2

Задание 5 Графический способ решения систем линейных уравненийСкачать

Задание 5  Графический способ решения систем линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений графическим способом. 7 классСкачать

Решение системы линейных уравнений графическим способом. 7 класс

Графический метод решения систем беск множ реш; нет реш 7 классСкачать

Графический метод решения систем  беск множ реш; нет реш  7 класс

Решение систем с тремя переменнымиСкачать

Решение систем с тремя переменными
Поделиться или сохранить к себе: