Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

График линейной функции, его свойства и формулы

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

О чем эта статья:

Видео:Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Видео:Уравнение прямой по графику. ПримерыСкачать

Уравнение прямой по графику. Примеры

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

х024
y-2-10

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

ФункцияКоэффициент kКоэффициент b
y = 2x + 8k = 2b = 8
y = −x + 3k = −1b = 3
y = 1/8x − 1k = 1/8b = −1
y = 0,2xk = 0,2b = 0

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k1x + b1 параллелен графику функции y = k2x + b2, если k1 = k2.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k1x + b1 перпендикулярен графику функции y = k2x + b2, если k1k2 = −1 или k1 = −1/k2.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

Видео:Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.

Линейная функция — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

где Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему—заданные числа. Этому уравнению удовлетворяет бесконечное множество пар чисел Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

удовлетворяют следующие пары:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Для того чтобы найти пару чисел, удовлетворяющих уравнению Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, нужно придать Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системупроизвольное числовое значение и подставить в уравнение Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, тогда Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуполучит определенное числовое значение. Например, если Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуГрафика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Очевидно, что пара чисел Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуудовлетворяет уравнениюГрафика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Так же и в случае уравнения (1) можно придать Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системупроизвольное числовое значение и получить для Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системусоответствующее числовое значение.

Так как в данном уравнении Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуможет принимать любое числовое значение, то его называют переменной величиной. Поскольку выбор этого числового значения ничем не ограничен, то Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуназывают независимой переменной величиной или аргументом.

Для Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуполучаются также различные значения, но уже в зависимости от выбранного значения Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему; поэтому Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуназывают зависимым переменным или функцией.

Функцию Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, определяемую уравнением (1), называют линейной функцией.

Пример:

Вычислить значения линейной функции, определяемой уравнением Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, при следующих значениях независимого переменного: Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Решение:

Если Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему; если Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему; если Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Покажем, что если принять пару чисел Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, удовлетворяющих уравнению (1), за абсциссу и ординату точки, то геометрическим местом этих точек будет прямая линия (рис. 14).

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

В самом деле, рассмотрим точку Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи точки Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), т. е. Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Обозначим проекции точек Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, и Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуна ось Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системучерез Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, и Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, тогда Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуПроведем из точки Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системупрямую, параллельную оси Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. При этом получим Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Предположим, что точки Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, не лежат на родной прямой. Соединяя точку Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системус точками Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, и Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, получим два прямоугольных треугольника Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, из которых имеем:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Но так как Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуудовлетворяют уравнению (1), то

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Выражения Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуявляются отношениями противоположных катетов к прилежащим для углов Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Следовательно, Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему— а поэтому и Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системутак как углы острые. Это значит, что точки Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системулежат на одной прямой. Но мы предположили, что эти точки не лежат на одной прямой. Таким образом, мы пришли к противоречию, а это и доказывает, что точки Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системулежат на одной прямой. Обозначим угол Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системучерез Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Этот угол образован прямой Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системус положительным направлением оси Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Так как Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему— произвольные точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), то можно сделать следующее заключение: любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (1), лежит на прямой, отсекающей на оси Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему отрезок Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему и образующей с положительным направлением оси Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему угол Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему такой, что Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Число Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуназывается начальной ординатой, число Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему— угловым коэффициентом прямой.

Предыдущие рассуждения позволяют сделать вывод: линейная функция Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуопределяет на плоскости прямую, у которой начальная ордината равна Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, а угловой коэффициент Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Например, линейная функция Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуопределяет на координатной плоскости прямую, отсекающую на оси Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуотрезок —4 и наклоненную к оси Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системупод углом в 60°, так как Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Если имеем определенную прямую, отсекающую на оси Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуотрезок Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи наклоненную к оси Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системупод углом Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системутангенс которого равен Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, то, взяв произвольную абсциссу, найдем на указанной прямой только одну точку, имеющую эту абсциссу, т. е. по заданному Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системунайдется только одна точка, а следовательно, и одно значение Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Очевидно, имеет место и такое предложение: Всякой прямой, отсекающей на оси Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему отрезок Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему и наклоненной к оси Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему под углом, тангенс которого равен числу Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, соответствует линейная функция Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Координаты любой, точки, лежащей на указанной прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому уравнение Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему называют уравнением прямой.

Таким образом, всякая линейная функция является уравнением некоторой прямой.

Отметим частные случаи.

1. Пусть Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, т. е. линейная функция определяется уравнением

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат. Здесь Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системупропорционален Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, т. е. если Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуувеличить (уменьшить) в несколько раз, то и Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуувеличится (уменьшится) во столько же раз.

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

2. Пусть Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, т. е. Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, откуда Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Линейная функция определяется уравнением

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Этому уравнению соответствует прямая, параллельная оси Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи отстоящая от нее на расстояние Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

На основании всего сказанного в этом параграфе легко решаются следующие задачи.

Пример:

Даны точки Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Нужно узнать, лежат ли эти точки на прямой, уравнение которой имеет вид

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Решение:

Если точка лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Поэтому для решения задачи подставим координаты точки Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системув уравнениеГрафика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, получим Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Это тождество, следовательно, точка Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системулежит на прямой. Подставляя координаты точки Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, получаем Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Отсюда видно, что точка Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуне лежит на прямой.

Пример:

Построить прямую, уравнение которой

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Решение:

Чтобы построить прямую, надо знать, например, две ее точки. Поэтому дадим Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системупроизвольное значение, например Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, и найдем из уравнения Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системузначение Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Значит, точка Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системулежит на прямой. Это первая точка. Теперь дадим Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системукакое-нибудь другое значение, например Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, и вычислим у из уравнения Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. ПолучимГрафика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Точка Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системулежит на прямой. Это вторая точка. Строим точки Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему(рис. 15) и проводим через них прямую, это и есть искомая прямая.

Видео:Занятие 1. График линейной функции y=kx+bСкачать

Занятие 1. График линейной функции y=kx+b

Основное свойство линейной функции

Рассмотрим линейную функцию Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Найдем значение этой функции при Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Здесь первое и второе значения Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуразличны, они отличаются друг от друга на величину Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуВеличину разности Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, на которую изменяется Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системупри переходе от Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системук Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, назовем приращением независимого переменного Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Эту величину часто будем обозначать через Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, так что Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Найдем, насколько изменилось значение Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системупри изменении Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, на Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Для этого вычтем из Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системузначение Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

т. е. приращение линейной функции пропорционально приращению независимого переменного.

Это и есть основное свойство линейной функции.

Заметим, что Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, может быть больше, а может быть и меньше, чем Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Поэтому Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуможет быть как положительным, так и отрицательным числом, иначе говоря, приращение Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системунезависимого переменного может быть любого знака. То же самое относится и к приращению функции, т. е. к величинеГрафика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Пример:

Найдем приращение функции Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, если приращение независимого переменного Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Решение:

По основному свойству Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Приращение этой же функции Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, если Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, будет равно Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. В этом случае приращения независимого переменного и функции отрицательны, т. е. в этом случае и независимое переменное и функция не увеличиваются, а уменьшаются.

Пример:

Найдем приращение функции Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системупри изменении Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуна Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Решение:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Задачи на прямую

Пример:

Найти угол Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системумежду двумя прямыми, заданными уравнениями

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Решение:

При пересечении прямых образуются четыре попарно равных угла. Найдя один из них, легко найти и другие. На рис. 16 прямые обозначены соответственно (1) и (2).

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Угол Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуявляется внешним по отношению к треугольнику Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, поэтому он равен сумме двух внутренних углов треугольника, с ним не смежных, т. е. Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуоткуда Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуНо углы Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, непосредственно неизвестны, а известны их тангенсыГрафика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Поэтому напишем

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Пример:

Найти угол между прямыми, заданными уравнениями Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Здесь Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему;

Решение:

Применяя формулу (1), получим:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Если же будем считать, что Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуто

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Получены два ответа: сначала найден острый угол между заданными прямыми, а затем — тупой.

Если заданы две параллельные прямые, то углы Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, равны, как соответственные, следовательно, тангенсы их тоже равны

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Таким образом, мы приходим к выводу: если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.

Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен 90°, т. е. Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Но тангенс прямого угла не существует, поэтому формула (1) не должна давать ответа, а это может быть только в том случае, когда знаменатель равен нулю (на нуль делить нельзя):

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Это и есть условие перпендикулярности двух прямых. Это условие удобно запомнить в следующей формулировке: если две прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Пример:

Найдем угол между прямыми, заданными уравнениями Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуЗдесь угловые коэффициенты (первый равен 3, а второй Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему) обратны по величине и противоположны по знаку.

Решение:

Следовательно, рассматриваемые прямые перпендикулярны.

Пример:

Даны две точки: Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, где Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, (т. е. эти точки не лежат на одной прямой, параллельной оси Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему). Написать уравнение прямой, проходящей через точки Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Решение:

Искомая прямая не параллельна оси Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, поэтому ее уравнение можно написать в виде Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Значит, для решения задачи надо определить числа Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Так как прямая проходит через точки Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, и Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, т. е.

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

В уравнениях Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системувсе числа, кроме Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, известны, поэтому эти уравнения можно рассматривать как систему уравнений относительно Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Решая систему, находим:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Подставляя найденные выражения в уравнение Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, получим

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки, не расположенные на прямой, параллельной оси Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Полученному уравнению можно придать форму, удобную для запоминания, а именно:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через данную точку Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи образующей с осью Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуугол Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Решение:

Прежде всего найдем угловой коэффициент искомой прямой: он равен тангенсу угла Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Обозначим Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Значит, уравнение прямой можно написать в виде Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, где пока число Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системунеизвестно.

Так как прямая должна проходить через точку Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, то координаты точки Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуудовлетворяют этому уравнению, т. е.

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Находим отсюда неизвестное Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, получим Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Подставляя найденное в уравнение Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, будем иметь

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему в заданном направлении.

Если в уравнении (4) менять направление, не меняя точку Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, то получим уравнение всех прямых, проходящих через заданную точку. Уравнение Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, в котором Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системупеременное, а Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуне меняются, называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Пример:

Напишем уравнение прямой, проходящей через точку Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи образующей с осью Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуугол 45°.

Решение:

Так как Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, то угловой коэффициент равен 1; Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Уравнение прямой запишется в виде

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Общее уравнение прямой. Неявная линейная функция

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Решим его относительно Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

т. е. мы получили линейную функцию, где Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Уравнения (1) и (2) равносильны, поэтому пара чисел Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, удовлетворяющих уравнению (2), будет удовлетворять и уравнению (1). Так как уравнению (2) соответствует некоторая прямая, то эта же прямая будет соответствовать и уравнению (1).

Координаты любой точки, лежащей на этой прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому будем называть его также уравнением прямой. Рассмотрим особо случай, когда Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, так как на нуль делить нельзя. Уравнение (1) примет вид Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуили Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, откуда Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Поэтому, каков бы ни был Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системувсегда равен Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Это имеет место для прямой, параллельной оси Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему; в самом деле, на ней можно найти точку с любой ординатой, но все точки этой прямой имеют одну и ту же абсциссу. Таким образом, любому уравнению первой степени соответствует некоторая прямая. Придавая в уравнении (1) коэффициентам А, В и С различные значения, можно получить любое уравнение первой степени. Поэтому уравнение (1) называют общим уравнением прямой.

Из уравнения (1) (если Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему) можно определить Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, т. е. получить линейную функцию; поэтому говорят, что уравнение (1) определяет неявно линейную функцию или что уравнение (1) есть неявная линейная функция.

Система двух уравнений первой степени

Напомним, что две прямые, расположенные на плоскости, могут или пересекаться, или быть параллельными (т. е. не пересекаться), или сливаться (в этом случае можно сказать, что они пересекаются в каждой своей точке). Рассмотрим систему двух уравнений

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Каждое из этих уравнений является уравнением прямой. Решить систему — это значит найти значения Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, которые удовлетворяют и первому и второму уравнениям. Но так как Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуопределяют точку, то следовательно, решить систему—это значит найти точку, лежащую и на первой и на второй прямых, т. е. найти точку пересечения прямых.

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Решение:

Решая эту систему, получим: Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системут. е. прямые пересекаются в точке (1, 2) (рис. 17).

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Решение:

Решая эту систему, получим: Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуПоследнее равенство нелепо, значит, прямые не пересекаются, т. е. они параллельны.

Пример:

Найдем точку пересечения данных прямых

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Решение:

Решая эту систему, получим:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Полученное равенство всегда справедливо, т. е. справедливо при любом значении Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Это значит, что две прямые пересекаются в каждой своей точке, что может быть только тогда, когда они сливаются.

Заметим, что два уравнения, рассматриваемые в этом примере, являются равносильными, поэтому они и представляют одну и ту же прямую.

Примеры применения линейной функции

Линейная функция встречается в формулировках многих физических законов и технических задач. Приведем примеры.

Пример:

Если точка движется равномерно по прямой, то ее расстояние от выбранной точки (от начала координат) выражается при помощи уравнения Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, где Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему— начальное расстояние, Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему—скорость, Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему— время; это, как мы уже знаем, есть линейная функция.

Пример:

Закон Ома записывается в виде Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, где Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему— напряжение, Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему— сопротивление и Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему—ток. Если Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуне изменяется, то Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуявляется линейной функцией тока Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Пример:

Если стоимость провоза единицы товара по железной дороге равна Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуруб. за километр, то стоимость Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системупровоза Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуединиц товара на Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системукм равна Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Если же стоимость товара на месте равна Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуруб., то после перевозки за него надо заплатить

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Здесь Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему— линейная функция Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Линейная функция встречается в различных областях, но, где бы она ни встречалась, ее всегда можно рассматривать как уравнение прямой. Этим обстоятельством часто пользуются при решении задач.

Пример:

Два города А и В, расстояние между которыми равно 300 км, находятся на одной железнодорожной магистрали. На этой же магистрали между городами А к В надо выбрать пункт С, в котором предполагается устроить склад нефти для снабжения указанных городов. Надо выбрать пункт С так, чтобы общая стоимость перевозок нефти для снабжения города А и города В была наименьшей. Известно, что город А потребляет 400 т нефти, а город В —200 т. Перевозка одной тонны нефти на один километр обходится в Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуруб.

Решение:

Обозначим расстояние от А до предполагаемого пункта С через Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Тогда расстояние от города В до С равно 300 — Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Стоимость перевозки одной тонны нефти из С в А равна Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуруб., а перевозки 400 т—400 Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуруб. Аналогично перевозка нефти из С в В будет стоить Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуруб. Стоимость всех перевозок, которую обозначим через Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, будет выражаться так:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Это линейная функция. Если примем Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуза абсциссу, а Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуза ординату точки, то полученная линейная функция опредеяет уравнение некоторой прямой. Угловой коэффициент ее равен Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, т. е. положителен, следовательно, эта прямая образует с осью Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуострый угол и поэтому с увеличением независимого переменного поднимается вверх. По смыслу задачи величина Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системузаключена между 0 и 300, т. е. Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. При Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системувеличина у принимает значение 60000а, а при Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему— значение 120000а. Ясно, что 60 000а есть наименьшее из возможных значений, 120 000а— наибольшее.

Так как пункт С надо выбрать так, чтобы стоимость была наименьшей, то его следует расположить в городе А; если же этого сделать нельзя по каким-либо соображениям, то, чем ближе расположить его к А, тем выгодней.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Квадратичная функция
  • Тригонометрические функции
  • Производные тригонометрических функции
  • Производная сложной функции
  • Функции нескольких переменных
  • Комплексные числ
  • Координаты на прямой
  • Координаты на плоскости

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.

Линейная функция в математике с примерами решения и образцами выполнения

Линейная функция — функция вида y=kx+b (для функций одной переменной).

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Видео:Видеоурок "Уравнение прямой, проходящей через две точки"Скачать

Видеоурок "Уравнение прямой, проходящей через две точки"

Определение и геометрический смысл

Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными х и у:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

где Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи b — заданные числа. Этому уравнению удовлетворяет бесконечное множество пар чисел х и у.

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

удовлетворяют следующие пары:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Для того чтобы найти пару чисел, удовлетворяющих уравнению ( * ), нужно придать х произвольное числовое значение и подставить в уравнение ( * ), тогда у получит определенное числовое значение. Например, если х = 27, то у = 2 x 27 — 6 = 48. Очевидно, что пара чисел х =27 и у =48 удовлетворяет уравнению (*). Так же и в случае уравнения (1) можно придать х произвольное числовое значение и получить для у соответствующее числовое значение.

Так как в данном уравнении х может принимать любое числовое значение, то его называют переменной величиной. Поскольку выбор этого числового значения ничем не ограничен, то х называют независимой переменной величиной или аргументом.

Для у получаются также различные значения, но уже в зависимости от выбранного значения х; поэтому у называют зависимым переменным или функцией.

Функцию у, определяемую уравнением (1), называют линейной функцией.

Пример:

Вычислить значения линейной функции, определяемой уравнением у = 0,5х + 3,7, при следующих значениях независимого переменного: х1 = 0, х2 = —0,5, х3 = —7,6.

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Покажем, что если принять пару чисел х и у, удовлетворяющих уравнению (1), за абсциссу и ординату точки, то геометрическим местом этих точек будет прямая линия (рис. 14).

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

В самом деле, рассмотрим точку В(0, b) и точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2), координаты которых удовлетворяют уравнению (1), т. е.

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Обозначим проекции точек М1 и М2 на ось Ох через А1 и A2, тогда ОА1 = х1, ОА2 = х2, А1М1= у1, А2М2 = у2. Проведем из точки В прямую, параллельную оси Ох. При этом получим b = ОВ = А1Р1 = А2Р2.

Предположим, что точки BМ1 и М2 не лежат народной прямой. Соединяя точку В с точками М1 и М2, получим два прямоугольных треугольника ВР1М1 и ВР2М2, из которых имеем:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Но так как х1, у1 и х2, у2 удовлетворяют уравнению (1), то

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Выражения Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуявляются отношениями противоположных катетов к прилежащим для уг лов Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуР1ВМ1 и Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуР2ВМ2. Следовательно, tg Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуР1ВМ1 = Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи tg Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуР2ВМ2 = Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, а поэтому и Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуР1ВМ1 = Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуP2BM2 так как углы острые. Это значит, что точки М2 и В лежат на одной прямой. Но мы предположили, что эти точки не лежат на одной прямой. Таким образом, мы пришли к противоречию, а это и доказывает, что точки M1, М2 и В лежат на одной прямой. Обозначим угол Р1ВМ1 через а. Этот угол образован прямой ВМ1 с положительным направлением оси Ох.

Так как М1 и М2 — произвольные точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), то можно сделать следующее заключение: любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (1), лежит на прямой, отсекающей на оси Оу отрезок ОВ = b и образующей с положительным направлением оси Ох угол а такой, что tg a = Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Число b называется начальной ординатой, число Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему— угловым коэффициентом прямой.

Предыдущие рассуждения позволяют сделать вывод: линейная функция y = Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуx + b определяет на плоскости прямую, у которой начальная ордината равна Ъ, а угловой коэффициент Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Например, линейная функция Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуопределяет на координатной плоскости прямую, отсекающую на оси Оу отрезок —4 и наклоненную к оси Ох под углом в 60°, так как tg60° = Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему.

Если имеем определенную прямую, отсекающую на оси Оу отрезок b и наклоненную к оси Ох под углом Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, тангенс которого равен то, взяв произвольную абсциссу, найдем на указанной прямой только одну точку, имеющую эту абсциссу, т. е. по заданному х найдется только одна точка, а следовательно, и одно значение у.

Очевидно, имеет место и такое предложение:

Всякой прямой, отсекающей на оси Оу отрезок b и наклоненной к оси Ох под углом, тангенс которого равен числу Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системусоответствует линейная функция y = Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуx + b.

Координаты любой тонки, лежащей на указанной прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому уравнение у = Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системух + b называют уравнением прямой. Таким образом, всякая линейная функция является уравнением некоторой прямой.

Отметим частные случаи.

1.Пусть b = 0, т. е. линейная функция определяется уравнением

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат. Здесь у пропорционален х, т. е. если х увеличить (уменьшить) в несколько раз, то и у увеличится (уменьшится) во столько же раз.

2.Пусть Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему= 0, т. е. tgа = 0, откуда а = 0. Линейная функция определяется уравнением

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Этому уравнению соответствует прямая, параллельная оси Ох и отстоящая от нее на расстояние b.

На основании всего сказанного в этом параграфе легко решаются следующие задачи.

Задача:

Даны точки А (3, 5) и В(— 1, 4). Нужно узнать, лежат ли эти точки на прямой, уравнение которой имеет вид

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Решение:

Если точка лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Поэтому для решения задачи подставим координаты точки А в уравнение (*), получим 5 = 2 x 3 — 1. Это тождество, следовательно, точка А лежит на прямой. Подставляя координаты точки В, получаем 4 = 2(— 1)—1 = —3. Отсюда видно, что точка В не лежит на прямой.

Задача:

Построить прямую, уравнение которой

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Решение:

Чтобы построить прямую, надо знать, например, две ее точки. Поэтому дадим х произвольное значение, например х = 2, и найдем из уравнения (**) значение

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Значит, точка A (2, 4) лежит на прямой.

Это первая точка. Теперь дадим х какое-нибудь другое значение, например х = —2, и вычислим у из уравнения (**).

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Точка B ( — 2, 2) лежит на прямой. Это вторая точка. Строим точки A и B (рис. 15) и проводим через них прямую, это и есть искомая прямая.

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Основное свойство линейной функции

Рассмотрим линейную функцию у = Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системух + b. Найдем значение этой функции при

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Здесь первое и второе значения х различны, они отличаются друг от друга на величину х2 — х1. Величину разности х2 — х1, на которую изменяется x при переходе от x1 к х2, назовем приращением независимого переменного х. Эту величину часто будем обозначать через h, так что h = x2 — x1. Найдем, насколько изменилось значение у при изменении х1 на h . Для этого вычтем из у2 значение у1

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

т. е. приращение линейной функции пропорционально приращению независимого переменного.

Это и есть основное свойство линейной функции. Заметим, что х2 может быть больше, а может быть и меньше, чем х1. Поэтому h = x2 — x1 может быть как положительным, так и отрицательным числом, иначе говоря, приращение h независимого переменного может быть любого знака. То же самое относится и к приращению функции, т. е. к величине у2—у1.

Пример:

Найдем приращение функции y = 0,6x—3, если приращение независимого переменного h = 0,1.

По основному свойству у2—у1 = 0,6 x 0,1 = 0,06.

Приращение этой же функции y = 0,6x—3 , если h = —3, будет равно у2—у1 = 0,6 x (— 3) = —1,8. В этом случае приращения независимого переменного и функции отрицательны, т. е. в этом случае и независимое переменное и функция не увеличиваются, а уменьшаются.

Пример:

Найдем приращение функции у = —2x+10 при изменении х на h = —0,5. Будем иметь

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Видео:Линейная функция и ее график. 7 класс.Скачать

Линейная функция и ее график. 7 класс.

Задачи на прямую

Задача:

Найти угол y между двумя прямыми, заданными уравнениями

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Решение:

При пересечении прямых образуются четыре попарно равных угла. Найдя один из них, легко найти и другие. На рис. 16 прямые обозначены соответственно (1) и (2).

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Угол хАВ является внешним по отношению к треугольнику ABC, поэтому он равен сумме двух внутренних углов треугольника, с ним не смежных, т. е.

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Но углы а1 и а2 непосредственно неизвестны, а известны их тангенсы

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Пример:

Найти угол между прямыми, заданными уравнениями

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

применяя формулу (1), получим;

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Если же будем считать, что

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Получены два ответа: сначала найден острый угол между заданными прямыми, а затем — тупой.

Если заданы две параллельные прямые, то углы а1 и а2 равны, как соответственные, следовательно, тангенсы их тоже равны

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Таким образом, мы приходим к выводу: если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.

Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен 90°, т. е. Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Но тангенс прямого угла не существует, поэтому формула (1) не должна давать ответа, а это может быть только в том случае, когда знаменатель равен нулю (на нуль делить нельзя):

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Это и есть условие перпендикулярности двух прямых. Это условие удобно запомнить в следующей формулировке: если две прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Пример:

Найдем угол между прямыми, заданными уравнениями

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Здесь угловые коэффициенты (первый равен 3, а второй Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуобратны по величине и противоположны по знаку, следовательно, рассматриваемые прямые перпендикулярны.

Задача:

Даны две точки: M1(x1, у1) и М2(х2, у2), где Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему(т. е. эти точки не лежат на одной прямой, параллельной оси Оу). Написать уравнение прямой, проходящей через точки M1 и М2.

Решение:

Искомая прямая не параллельна оси Оу, поэтому ее уравнение можно написать в виде Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуЗначит, для решения задачи надо определить числа Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи b.

Так как прямая проходит через точки М1 и М2, то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению ( * ), т. е.

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

В уравнениях ( ** ) и (*** ) все числа, кроме Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи b, известны, поэтому эти уравнения можно рассматривать как систему уравнений относительно Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуи b. Решая систему, находим:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Подставляя найденные выражения в уравнение (*), получим

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки, не расположенные на прямой, параллельной оси Оу.

Полученному уравнению можно придать форму, удобную для запоминания, а именно:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Задача:

Написать уравнение прямой, проходящей через данную точку М(х1,у1) и образующей с осью Ох угол а.

Решение:

Прежде всего найдем угловой коэффициент искомой прямой: он равен тангенсу угла а. Обозначим Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуЗначит, уравнение прямой можно написать в виде Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системугде пока число b неизвестно. Так как прямая должна проходить через точку M, то координаты точки М удовлетворяют этому уравнению, т. е.

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Находим отсюда неизвестное b, получим Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему. Подставляя найденное в уравнение (*), будем иметь

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку М в заданном направлении.

Если в уравнении (4) менять направление, не меняя точку M, то получим уравнение всех прямых, проходящих через заданную точку. Уравнение Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему, в котором Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системупеременное, а х1 и у1 не меняются, называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку М(х1, у1).

Пример:

Напишем уравнение прямой, проходящей через точку М( — 2, 3) и образующей с осью Ох угол 45°.

Так как tg 45° = 1, то угловой коэффициент равен 1; х1 = —2; у1 = 3. Уравнение прямой запишется в виде

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Видео:УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ на плоскости 8 и 9 классСкачать

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ на плоскости 8 и 9 класс

Общее уравнение прямой. Неявная линейная функция

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Решим его относительно у:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

т. е. мы получили линейную функцию, где Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему,Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуУравнения (1) и (2) равносильны, поэтому пара чисел х и у, удовлетворяющих уравнению (2), будет удовлетворять и уравнению (1). Так как уравнению (2) соответствует некоторая прямая, то эта же прямая будет соответствовать и уравнению (1).

Координаты любой точки, лежащей на этой прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому будем называть его также уравнением прямой.

Рассмотрим особо случай, когда B = 0, так как на нуль делить нельзя.

Уравнение (1) примет вид

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Поэтому, каков бы ни был у, х всегда равен Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуЭто имеет место для прямой, параллельной оси Оу; в самом деле, на ней можно найти точку с любой ординатой, но все точки этой прямой имеют одну и ту же абсциссу.

Таким образом, любому уравнению первой степени соответствует некоторая прямая. Придавая в уравнении (1) коэффициентам А, В и С различные значения, можно получить любое уравнение первой степени. Поэтому уравнение (1) называют общим уравнением прямой.

Из уравнения (1) (если Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему) можно определить у, т. е. получить линейную функцию; поэтому говорят, что уравнение (1) определяет неявно линейную функцию или что уравнение (1) есть неявная линейная функция.

Видео:Линейная функция. Нахождение формулы линейной функцииСкачать

Линейная функция. Нахождение формулы линейной функции

Система двух уравнений первой степени

Напомним, что две прямые, расположенные на плоскости, могут или пересекаться, или быть параллельными (т. е. не пересекаться), или сливаться (в этом случае можно сказать, что они пересекаются в каждой своей точке).

Рассмотрим систему двух уравнений

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Каждое из этих уравнений является уравнением прямой. Решить систему — это значит найти значения х и у, которые удовлетворяют и первому и второму уравнениям. Но так как х и у определяют точку, то следовательно, решить систему—это значит найти точку, лежащую и на первой и на второй прямых, т. е. найти точку пересечения прямых.

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Решая эту систему, получим: х = 1, у = 2, т. е. прямые пересекаются в точке (1,2) (рис. 17).

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Решая эту систему, получим:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Последнее равенство нелепо, значит, прямые не пересекаются, Рис. 17. т. е. они параллельны.

Пример:

Найдем точку пересечения данных прямых

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Решая эту систему, получим:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Полученное равенство всегда справедливо, т. е. справедливо при любом значении x. Это значит, что две прямые пересекаются в каждой своей точке, что может быть только тогда, когда они сливаются.

Заметим, что два уравнения, рассматриваемые в этом примере, являются равносильными, поэтому они и представляют одну и ту же прямую.

Видео:Уравнение параллельной прямойСкачать

Уравнение параллельной прямой

Примеры решения линейной функции

Линейная функция встречается в формулировках многих физических законов и технических задач. Приведем примеры.

Пример:

Если точка движется равномерно по прямой, то ее расстояние от выбранной точки (от начала координат) выражается при помощи уравнения Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

где — начальное расстояние, v0 — скорость, t — время; это, как мы уже знаем, есть линейная функция.

Пример:

Закон Ома записывается в виде Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

где v — напряжение, R — сопротивление и I — ток. Если не изменяется, то v является линейной функцией тока I .

Пример:

Если стоимость провоза единицы товара по железной дороге равна а руб. за километр, то стоимость v провоза N единиц товара на l км равна Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Если же стоимость товара на месте равна М руб., то после перевозки за него надо заплатить

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Здесь v—линейная функция l.

Линейная функция встречается в различных областях, но, где бы она ни встречалась, ее всегда можно рассматривать как уравнение прямой. Этим обстоятельством часто пользуются при решении задач.

Задача:

Два города А и В, расстояние между которыми равно 300 км, находятся на одной железнодорожной магистрали. На этой же магистрали между городами А и В надо выбрать пункт С, в котором предполагается устроить склад нефти для снабжения указанных городов. Надо выбрать пункт С так, чтобы общая стоимость перевозок нефти для снабжения города А и города В была наименьшей. Известно, что город А потребляет 400 т нефти, а город В—200 т. Перевозка одной тонны нефти на один километр обходится в а руб.

Решение:

Обозначим расстояние от А до предполагаемого пункта С через х. Тогда расстояние от города В до С равно 300 — х. Стоимость перевозки одной тонны нефти из С в A равна ах руб., а перевозки 400 т—400аx руб. Аналогично перевозка нефти из С в В будет стоить 200а (300 — х) руб. Стоимость всех перевозок, которую обозначим через у, будет выражаться так:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Это линейная функция. Если примем х за абсциссу, а у за ординату точки, то полученная линейная функция определяет уравнение некоторой прямой. Угловой коэффициент ее равен 200а, т. е. положителен, следовательно, эта прямая образует с осью Ох острый угол и поэтому с увеличением независимого переменного поднимается вверх. По смыслу задачи величина х заключена между 0 и 300, т. е. Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим системуПри х = 0 величина у принимает значение 60 000а, а при x = 300— значение 120 000а. Ясно, что 60 000а есть наименьшее из возможных значений, 120 000а— наибольшее.

Так как пункт С надо выбрать так, чтобы стоимость была наименьшей, то его следует расположить в городе A, если же этого сделать нельзя по каким-либо соображениям, то, чем ближе расположить его к A, тем выгодней.

Видео:Прямая пропорциональность и её график. Алгебра, 7 классСкачать

Прямая пропорциональность и её график. Алгебра, 7 класс

Примеры применения линейной функции

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему Графика видно что прямая проходит через точки и уравнение прямой имеет вид решим систему

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

📽️ Видео

Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Канонические уравнения прямой"

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnline

Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"Скачать

Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.
Поделиться или сохранить к себе: