При k > 0 линейная функция (1) возрастает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 1, 2 и 3.
Рис.1
Рис.2
Рис.3
При k = 0 линейная функция (1) принимает одно и тоже значение y = b при всех значениях x , а её график представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, и изображен на рис. 4, 5 и 6.
Рис.4
Рис.5
Рис.6
При k линейная функция (1) убывает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 7, 8 и 9.
ky = kx + b1 и y = kx + b2 ,
имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены, параллельны .
имеющие разные угловые коэффициенты, пересекаются при любых значениях свободных членов.
y = kx + b1 и
перпендикулярны при любых значениях свободных членов.
Угловой коэффициент прямой линии
y = kx
(2)
равен тангенсу угла φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).
Рис.10
Рис.11
Рис.12
Прямая (1) пересекает ось Oy в точке, ордината которой (рис. 11) равна b .
При прямая (1) пересекает ось Ox в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле
Видео:Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.Скачать
Прямые, параллельные оси ординат
Прямые, параллельные оси Oy , задаются формулой
x = c ,
(3)
где c – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.
Рис.13
Рис.14
Рис.15
Замечание 1 . Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента x = c соответствует бесконечное множество значений y .;
Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать
Уравнение вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые
px + qy = r ,
(4)
где p, q, r – произвольные числа.
В случае, когда уравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что оно задаёт прямую линию .
что и требовалось.
В случае, когда получаем:
откуда вытекает, что уравнение (4) задает прямую линию вида (3).
В случае, когда q = 0, p = 0, уравнение (4) имеет вид
0 = r ,
(5)
и при r = 0 его решением являются точки всей плоскости:
В случае, когда уравнение (5) решений вообще не имеет.
Замечание 2 . При любом значении r1 , не совпадающем с r прямая линия, заданная уравнением
px + qy = r1 ,
(6)
параллельна прямой, заданной уравнением (4) .
Замечание 3 . При любом значении r2 прямая линия, заданная уравнением
– qx + py = r2 ,
(7)
перпендикулярна прямой, заданной уравнением (4) .
Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (2; – 3) и
параллельной к прямой
4x + 5y = 7 ;
(8)
перпендикулярной к прямой (8).
В соответствии с формулой (6), будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде
4x + 5y = r1 ,
(9)
где r1 – некоторое число. Поскольку прямая (9) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство
Итак, уравнение прямой, параллельной к прямой
В соответствии с формулой (7), будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде
– 5x + 4y = r2 ,
(10)
где r2 – некоторое число. Поскольку прямая (10) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство
Видео:Построить график ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:Скачать
График уравнения две параллельные прямые
Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать
Условие параллельности прямых
Необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых, заданных уравнением:
служит равенство их угловых коэффициентов, то есть
Если прямые заданы уравнениями в общем виде, то есть
то условие параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны:
или в другом представлении Также это равенство можно записать в виде
Если свободные члены пропорциональны, то есть, то прямые не только параллельны, но и совпадают.
4x+2y-8=0 и 8x+4y-16=0
представляют одну и ту же прямую, то есть совпадают.
Пример 2 Прямые у=4x-3 ( на графике синего цвета ) и y=4x+7 ( прямая красного цвета ) параллельны, так как у них угловые коэффициенты равны k1=k2=4
Пример 3 Прямые у=5x+1 и y=3x-4 не параллельны, так как у них угловые коэффициенты не равны, т.е. k1=5, k2=3
Пример 4 Прямые 2x+4y+7=0 и 3x+6y-5=0 параллельны, так как выражение равно нулю
Пример 5 Прямые 2x-7y+7=0 и 3x+y-5=0 не параллельны, так как выражение не равно нулю
При k > 0 линейная функция (1) возрастает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 1, 2 и 3.
Рис.1
Рис.2
Рис.3
При k = 0 линейная функция (1) принимает одно и тоже значение y = b при всех значениях x , а её график представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, и изображен на рис. 4, 5 и 6.
Рис.4
Рис.5
Рис.6
При k линейная функция (1) убывает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 7, 8 и 9.
ky = kx + b1 и y = kx + b2 ,
имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены, параллельны .
имеющие разные угловые коэффициенты, пересекаются при любых значениях свободных членов.
y = kx + b1 и
перпендикулярны при любых значениях свободных членов.
Угловой коэффициент прямой линии
y = kx
(2)
равен тангенсу угла φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).
Рис.10
Рис.11
Рис.12
Прямая (1) пересекает ось Oy в точке, ордината которой (рис. 11) равна b .
При прямая (1) пересекает ось Ox в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле
Видео:6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать
Прямые, параллельные оси ординат
Прямые, параллельные оси Oy , задаются формулой
x = c ,
(3)
где c – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.
Рис.13
Рис.14
Рис.15
Замечание 1 . Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента x = c соответствует бесконечное множество значений y .;
Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ — наглядно.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.
Видео:Линейная функция и ее график. 7 класс.Скачать
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:
если х = 0, то у = -2;
если х = 2, то у = -1;
если х = 4, то у = 0;
и т. д.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
х
0
2
4
y
-2
-1
0
Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».
Функция
Коэффициент «k»
Коэффициент «b»
y = 2x + 8
k = 2
b = 8
y = −x + 3
k = −1
b = 3
y = 1/8x − 1
k = 1/8
b = −1
y = 0,2x
k = 0,2
b = 0
Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».
Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!
Видео:ГРАФИК ФУНКЦИЙ — Сдвиги Графика Функции, Как строить Графики Функции // Алгебра 8 классСкачать
Свойства линейной функции
Область определения функции — множество всех действительных чисел.
Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b: b ≠ 0, k = 0, значит y = b — четная; b = 0, k ≠ 0, значит y = kx — нечетная; b ≠ 0, k ≠ 0, значит y = kx + b — функция общего вида; b = 0, k = 0, значит y = 0 — как четная, так и нечетная функция.
Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
График функции пересекает оси координат: ось абсцисс ОХ — в точке (-b/k, 0); ось ординат OY — в точке (0; b).
x=-b/k — является нулем функции.
Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке (-∞, — b /k) и положительные значения на промежутке (- b /k, +∞) При k b /k, +∞) и положительные значения на промежутке (-∞, — b /k).
Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый, если k
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
если k > 0, то график наклонен вправо;
если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
если b 1 /2x + 3, y = x + 3.
Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.
В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).
Теперь рассмотрим графики функций y = -2x + 3, y = — 1 /2x + 3, y = -x + 3.
В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.
Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).
Рассмотрим графики функций y = 2x + 3, y = 2x, y = 2x — 2.
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.
При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);
график функции y = 2x — 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).
Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.
Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.
Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b. Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = — b /k. Координаты точки пересечения с осью OX: (- b /k; 0)
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.
В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции. Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b. Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство: 2 = -4(-3) + b b = -10
Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10 Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10). Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b. Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3. Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.
Линейная функция
, параллельны .
, пересекаются при любых значениях свободных членов.
прямая (1) пересекает ось Ox в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле
уравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что оно задаёт прямую линию .
получаем:
уравнение (5) решений вообще не имеет.
