График функции как решать уравнения 7 класс по алгебре

О чем эта статья:

Видео:Графики функций. Алгебра, 7 классСкачать

Понятие функции

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

Видео:Алгебра 7 класс. 3 октября. Строим график линейной функцииСкачать

Понятие линейной функции

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Видео:Алгебра 7 класс с нуля | Математика | УмскулСкачать

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Видео:Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

Видео:Функция у=х² и у=х³ и их графики. Алгебра, 7 классСкачать

Графическое решение уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом видеоуроке к изучению предлагается тема «Функция y=x 2 . Графическое решение уравнений». В ходе этого занятия учащиеся смогут познакомиться с новым способом решения уравнений – графическим, который основан на знании свойств графиков функций. Учитель покажет, как можно решить графическим способом функцию y=x 2 .

Видео:Урок ГРАФИК ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ 7 КЛАСССкачать

Учим алгебра 7 класс. Как решать уравнения алгебра 7 класс, примеры, дроби, функции, степени, модули

В 7 классе ученикам предстоит научиться решать уравнения, дроби, строить функции, разбираться в модулях. Для этого следует познакомиться с основными понятиями в темах, рассмотреть алгоритм решения и пошагово учиться находить ответы. Главное правило — начать с простых примеров, постепенно переходя на более сложные. Большинство задач можно решать несколькими методами (это касается и примеров), следует выбрать самый простой и удобный для себя.

Видео:7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать

Как решать уравнения алгебра 7 класс

Начнем с решения линейных уравнений (на рисунке показано, по какому принципу они устроены). Чтобы найти ответ в таких уравнениях, нужно совершать действия: раскрытие скобок, поиск подобных слагаемых, умножение/деление частей на одно и тоже число, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую. Всё зависит от конкретного примера.

Рассмотрим несколько примеров пошагового решения линейных уравнений.

Пример 1.
6x + 24 = 0

Поскольку части уравнения (левая и правая) равны, то можно отнять из каждой одинаковое число. Равенство не изменится, а пример станет значительно проще. В представленном уравнении отняли 24 и слева, и справа. В левой части 24 сократилось, а в правой (0 — 24) получилось -24 (не забываем ставить знак минуса).

Получилось: 6x = -24. Теперь можем сократить 6 и -24 на число 6 (или рассуждаем так: чтобы найти множитель, нужно произведение разделить на другой множитель). В ответе будет -4. Не забудьте в самом конце подставить полученное число вместо х. Совпал ответ — значит, все правильно.

Можно рассуждать проще: чтобы упростить уравнение, нужно из левой части отправить в правую число 24, поменяв его знак. Равенство сохранится (на рисунке ниже).

Пример 2.
9 + 16x = 41 + 14x

Это уравнение более сложное. Здесь важно запомнить несколько моментов:

• числа без х переносятся в левую часть, а с х — в правую;
• при переносе знаки меняют.

Пример 3.
7(10 — 4x) + 5x = 12 — 3(5x + 2)

1. Раскрыть скобки, выполнив умножение: 7 умножаем на каждое число в скобках (в правой части -3 на каждое). При выполнении действия не забывайте сохранять знаки.
2. Записываем уравнение, получившееся после раскрытия скобок. Ещё раз сверяем знаки.
3. Числа с х отправляются в левую часть, без х — в правую. Знаки чисел, которые переходят в другую часть, меняем.
4. Подсчитываем результат с обеих сторон.
5. Делим -64 на -8 и получаем ответ. Не забываем, что минус на минус при делении и умножении дают плюс.

В рассмотренных уравнениях корень точно определён. Так получается не всегда.

Пример 4.

Обратите внимание, в ответе получилось 0x = 0. Это значит, что x может быть любым числом, потому что при умножение хоть какого числа на 0 получится 0.

В этом примере корней нет, так как любое число, которое умножают на 0, будет равно 0 (21 никак не получится).

Видео:Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Как решать систему уравнений алгебра 7 класс

Системой называют несколько уравнений, в которых нужно найти такие значения неизвестных, чтобы равенство сохранилось. Разберемся на примерах, как выглядят системы и какие методы их решения существуют.

метод подстановки

Из самого названия следует, что алгоритм требует что-то подставлять. Ниже представлена система, где нужно найти значения x и y.

Суть метода подстановки: переменную в одном из уравнений выражают через другую переменную. Затем подставляют полученное выражение в другое уравнение.

Смотрим на систему. Видим, что удобнее будет выразить x во втором уравнении (так как он один). Выражаем путем переноса за знак «равно» 12y. Получилось: x = 11 — 12y (не забываем менять знак при переносе числа).

В первое уравнение вместо «x» записываем получившееся выражение. Меняем только x, остальное сохраняется в прежнем виде.

Далее преобразуем уравнение, в которое поместили выражение. Раскрываем скобки (перемножаем 5 на каждое значение). y оставляем в левой части, числа переносим в правую, знаки меняем. Таким образом нашли значение y (y = 1).

Теперь подставляем полученную единицу во второе уравнение (x = 11 — 12y).

Убедиться в правильном решение можно так: подставьте полученные значения в систему. Если равенства сохранятся, значит, решено верно.

метод сложения

Чтобы решить систему методом сложения, нужно из двух уравнений сделать одно. Просто складываем первое и второе. Здесь «y» просто сократились, и получилось простое уравнение. Как только нашли значение «х», нужно подставить его в любой пример (здесь поставили во второе уравнение). В ответе пишется так: (4; 3) — первым всегда пишется х, затем у.

графический метод

У нас есть система, где y = 5x и y = -2x + 7. Рассмотрим алгоритм решения системы уравнений:

1. Подбираем 2 числа для х. Мы взяли 0 и 1, подставляем в первое уравнение: y = 5 * 0 = 0; у = 5 * 1 = 5. Значит первая прямая имеет координаты: (0; 0) и (1; 5).
2. Для второго уравнения подбираем значения х. Взяли 3 и 2, подставляем и находим у: -2 * 3 + 7 = 1; -2 * 2 + 7 = 3. Значит прямая имеет координаты (3; 1) и (2; 3).
3. Отмечаем на графике соответствующие прямые, подписываем их название.
4. на месте пересечения получившихся прямых ставим точку — это будет решение.
5. Точка имеет координаты (1; 5).

На заметку! Старайтесь подбирать такие значения х, чтобы у был небольшим. Так отмечать будет проще.

Выбирайте самый удобный способ решения. Третий метод — графический, считают самым неточным.

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Как решать дроби 7 класс

Дроби можно разделить на 2 основных вида:

Они различаются в способе написания (смотрите рисунок ниже). В свою очередь и те, и другие делятся еще на несколько видов.

Для начала рассмотрим решение примеров с десятичными дробями.

Особое внимание при решении стоит уделить запятым. При сложении и вычитании запятые стоят строго друг под другом, при умножении это не имеет значения.

Примеры решения обыкновенных дробей.

• при сложении и вычитании нужно привести дроби к общему знаменателю, найти дополнительные множители. Так, для чисел 6 и 4 общим знаменателем стало число 24. Дополнительные множители считали так: 24 : 6 = 4 (для первой дроби) и 24 : 4 = 6 (для второй). Потом умножили доп. множители на числители и полученные числа сложили. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделяем целую часть, при необходимости сокращаем дроби.
• при умножении пишем дроби под одной чертой, сокращаем.
• при делении нужно вторую дробь перевернуть, поставить знак умножения и сократить дроби.

Если пример состоит из простой и десятичной дроби, то следует привести их к одному виду (к которому проще или удобнее считать).

Видео:Построить график ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:Скачать

Примеры 7 класс как решать

Теперь закрепим решение дробей на примерах.

Решение примера, представленного ниже:

1. Видим, что присутствует как обыкновенная дробь, так и десятичные. Нужно привести к одному виду. Так как десятичных больше, и превратить 1/4 в этот вид проще, то делим 1 на 4, а целую часть сохраняем. Вышло 5,25.
2. Далее умножаем — 3 на каждое число в скобках, внимательно следим за знаками.
3. Остается от 10,4 отнять 9,3. В итоге вышло 1,1.

Но можно было решить проще. Первое действие всегда в скобках. Поэтому от 5,25 отнимаем 2,15. Получится 3,1. Умножаем ее на 3 — вышло 9,3. И отнимаем: 10,4 — 9,3 = 1,1. Этот способ даже проще, потому что не нужно следить за знаками при раскрытии скобок.

Чтобы верно решить следующий пример, нужно:

• точно проставить порядок действий (умножение и деление делаем в первую очередь, затем складываем);
• Умножить десятичные дроби столбиком, не забыть поставить запятую;
• деление здесь простое: переставили запятую на один знак вправо, поделили, получили -2.
• сложили числа.

Видео:Линейная функция и её график. Алгебра, 7 классСкачать

Как решать задачи алгебра 7 класс

Задачи решаются путем составления уравнений.

Другие примеры задач с подробными решениями в видео-материалах.

Видео:Линейная функция и ее график. 7 класс.Скачать

Как решать функции алгебра 7 клас с

Функцией принято считать зависимость y от x. При этом x является переменной (или аргументом), а у — это значение функции (зависимая переменная).

• y(x) = 8x
• y(x) = −3x — 62
• y(x) = x−1 + 18

Чтобы найти значение у, которое бы соответствовало определенному значению х, нужно просто это значение х подставить в функцию.

Видео:Вся алгебра за 7 класс! | Математика ОГЭ – Дядя АртемСкачать

Как решать степени алгебра 7 класс

Если требуется взять какое-либо число несколько раз, то проще записать его в степени. Например, нужно двойку взять три раза, т. е.: 2 * 2 * 2. Получается длинная запись. Поэтому придумали писать так: 2³ (читается: два в третьей степени).

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Чтобы число возвести в степень (она указывается справа от числа вверху), нужно его умножать на самого себя столько раз, какая цифра указана. Рассмотрим подробнее на примерах.

Не всегда получается возвести число в степень «в уме». Иногда посчитать сложно. Например, возвести 6 в 5 степень, быстро получится не у каждого. Чтобы всякий раз не считать столбиком, лучше выучить основные степени. Они представлены в таблице.

При возведении любого числа в степень 1, получится это же число. Если возводить число в нулевую степень, в ответе будет 1.

Рассмотрим несколько примеров со степенями.

Отдельное внимание обращаем на возведение в степень отрицательного числа. Если такое число возводить в четную степень (2; 4; 6 и т.д.), то получится положительный ответ, если в нечетную, то ответ со знаком минус.

Видео:ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать

Алгебра модули как решать

Модулем числа называют это же число, только без знака минус. Например: | − 9 | = 9. При этом если число изначально неотрицательное, то оно остается прежним.

Перейдем к простым примерам.

Логично предположить, что под модулем будет число 4. Также подойдет число -4, ведь из-под модуля все равно выйдет положительное. Так, корнями уравнения будут: x = 4 и x = − 4.

Из-под модуля не может выйти отрицательное число. Поэтому, если видим что-то похожее: Ι-8 + хΙ = -8, значит, корней не будет, так как уравнение заведомо нерешаемо.

Другие примеры описаны в видео.

Об Авторе

Смотрите также

Видео:Урок по теме ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 7 КЛАСССкачать

Сочинение рассуждение на тему патриотизм, патриотизм сочинение ЕГЭ: ложный и истинный патриотизм, народный патриотизм роман Война и мир, примеры сочинений

Видео:Алгебра 7 Линейное уравнение с двумя переменными и его графикСкачать

Урок патриотизма в школе. Тема урока патриотизм: урок литературы патриотизм, патриотическое воспитание на уроках истории, урок мужества патриотизм. Дети герои Великой Отечественной войны Валя Котик, Валерий Волков, Марат Казей, Надя Богданова, Люся Герасименко, Вашкевич Лида, Валя Зенкина, Костя Кравчук, Вася Коробко, Витя Хоменко, Саша Ковалёв: краткая биография

Видео:ГРАФИК ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 7 КЛАСС видеоурокСкачать

Современный сценарий выпускного в школе: сценарий выпускного современный прикольный веселый, красивые платья на выпускной 11 класс, современные песни текст на выпускной

2 комментария

Спасибо большое очень помогли.

Огромное спасибо!А то учитель неможет нормально тему объяснить

🌟 Видео

Как запомнить графики функцийСкачать