Данный метод используется не только в задачах с параметром, но и для решения обыкновенных уравнений, систем уравнений или неравенств. Он входит в стандартный курс школьной программы и наверняка вы с ним сталкивались, но в несколько упрощенном варианте. Сначала я кратко напомню, в чем заключается этот метод. Затем разберем, как его применять для решения задач с параметром, и рассмотрим несколько типовых примеров.
Для начала рассмотрим уравнение с одной переменной (f(x)=0). Для того, чтобы решить его графическим методом, нужно построить график функции (y=f(x)). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ось (х)) и будут решениями нашего уравнения.
Или рассмотрим уравнение (f(x)=g(x)). Точно так же строим на одной координатной плоскости графики функций (y=f(x)) и (y=g(x)), абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.
Стоит отдельно отметить, что для решения графическим методом необходимо выполнять очень качественный и точный рисунок.
Решить графическим методом уравнение (x^2+3x=5x+3).
Решение: Построим на одной координатной плоскости графики функций (y=x^2+3x) и (y=5x+3). См. рис.1.
(y=5x+3) – красный график; (y=x^2+3x) – синий график.
Из Рис.1 видно, что графики пересекаются в точках ((-1;2)) и ((3;18)). Таким образом, решением нашего уравнения будут: (_=-1; _=3).
Теперь рассмотрим уравнение с двумя переменными (f(x,y)=0). Решением этого уравнения будет множество пар точек ((x,y)), которые можно изобразить в виде графика на координатной плоскости ((xOy)). Если решать это уравнение аналитически, то, как правило, мы выражаем одну переменную через другую ((x,y=f(x))) или ((x=f(y),y)).
В качестве примера рассмотрим обыкновенное линейное уравнение (2x-5y=10). (1) Выражаем (x=frac) – это называется общим решением уравнения. Изобразим его на координатной плоскости, построив график (Рис. 2):
Видео:Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Графический методСкачать
Графическое решение уравнений с параметрами
Разделы: Математика
- Дать учащимся начальное представление о графическом решении уравнений с параметрами.
- Учить учащихся с помощью графиков функций определять количество решений уравнений, содержащих параметр.
- Воспитывать интерес к предмету математики.
- мультимедийное оборудование
- материалы к уроку
- Посадка учащихся – традиционно.
- У каждого на столе индивидуальные рабочие тетради.
- Урок сопровождает презентация.
Учитель объявляет тему урока. Подчеркивается значимость темы. В контрольно-измерительных материалах единого государственного экзамена задачи С5 рассчитаны на учащихся, владеющих навыками работы с параметром.
Научить учащихся решать задачи с параметром за один год сложно, необходимо готовиться серьезно и поэтапно, начиная с простейших задач с параметрами.
В данный момент рассматриваются простейшие уравнения с параметром, их графические иллюстрации.
Что значит решить уравнение? (Найти такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное числовое равенство, иначе, когда числовое значение левой части равно числовому значению правой).
Например, 2х + 3 = 7. Какое число является его решением? ( х=2)
На экране графики двух функций (рисунок 1) у = х 2 + 1 и у = 2/х.
Есть ли у них общая точка? (У этих графиков есть одна общая точка (1; 2)).
Как ответить на вопрос: «Какое значение х является решением уравнения х 2 + 1 = 2/х?» (х = 1)
На экране рисунок 2.
Что является графиком функции у = х 2 + 1? (Парабола у = х 2 , смещенная вверх на одну единицу).
Что является графиком функции у = а? (Прямая, параллельная оси Ох)
Сколько решений, в зависимости от параметра а, имеет уравнение х 2 + 1 = а?
(Если а 2 + 1;
если 0 ≤ а 1 таких точек пересечения две).
Учитель: При решении задач с параметрами очень важно грамотно записать ответ.
при а 1 – два корня.
Запись ответа на доске.
Рассматривается уравнение |х 2 – 2| = а
Как построить график левой части уравнения? (Строим параболу у = х 2 , переносим вниз вдоль оси Оу на 2 единицы вниз. Верхнюю часть оставляем без изменений, а нижнюю часть симметрично отображаем относительно оси Ох).
Сколько решений имеет уравнение |х 2 – 2| = а в зависимости от параметра?
На экране рисунок 3.
(При а 2 – 2 решения).
Далее учащиеся работают письменно.
При каждом значении параметра а определить количество решений уравнения |х| + |х – 4| = а.
Строим график функции у = |х| + |х – 4|
Как выполняются построения? (Находим нули подмодульных выражений, отмечаем их на прямой, рассматриваем знаки переменной х на каждом из получившихся промежутков. Далее, в зависимости от знака х и х – 4, записываем какой вид имеет функция. Строим получившиеся линии).
Учащиеся строят график в тетрадях, на экране показывается рисунок 4.
Как записать ответ к данной задаче? (При а 4 – два решения).
Ответ записывается на доске и в тетрадях.
Построим график функции y = |х – 1| + |х – 3| – 2|х|.
Аналогично предыдущему заданию учащиеся расписывают поэтапно поведение функции на каждом из промежутков, строят график.
Теперь рассмотрим задачу: определить количество решений уравнения |х – 1| + |х – 3| – 2|х| = а в зависимости от параметра а.
Каждый учащийся самостоятельно записывает ответ к задаче.
(При а – 4 и а = -4 – решений бесчисленное множество;
при -4 4 – решений нет).
Далее рассматривается уравнение, где правая часть имеет иной вид |х| = х + а
Что является графиком функции у = х + а?
(у = х – прямая, которая является биссектрисой 1 и 3 координатных углов;
у = х + а – прямая, параллельная у = х при а ≠ 0.
При а > 0 – прямая двигается вверх;
при а 0 – единственное решение.
4 этап. Итог урока
Мы познакомились с простейшими уравнениями, содержащими параметр, научились определять количество решений в зависимости от параметра.
В дальнейшей работе мы будем усложнять задачи, содержащие параметр.
Видео:8 класс, 21 урок, Графическое решение уравненийСкачать
Графический метод решения задач с параметрами
Теперь вы узнали, что такое параметр, и увидели решение самых простых задач.
Но подождите — рано успокаиваться и говорить, что вы все знаете. Есть множество типов задач с параметрами и приемов их решения. Чтобы чувствовать себя уверенно, мало посмотреть решения трех незатейливых задач.
Вот список тем, которые стоит повторить:
1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».
Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому. Конечно, он не единственный. Но начинать лучше всего именно с него.
Мы разберем несколько самых простых задач, решаемых графическим методом. Больше задач — в видеокурсе «Графический метод решения задач с параметрами» (бесплатно).
1. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 различных решения?
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
В первом уравнении выделим полный квадрат:
Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным 2. Обратите внимание — графики будем строить в координатах х; а.
Уравнение задает прямую, проходящую через начало координат. Нам нужны ординаты точек, лежащих на окружности и не лежащих на этой прямой.
Для того чтобы точка лежала на окружности, ее ордината а должна быть не меньше 0 и не больше 4.
Кроме того, точка не должна лежать на прямой , которая пересекает окружность в точках и Координаты этих точек легко найти, подставим в уравнение окружности.
Точка С также не подходит нам, поскольку при мы получим единственную точку, лежащую на окружности, и единственное решение уравнения.
2. Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение.
Уравнение равносильно системе:
Мы возвели обе части уравнения в квадрат при условии, что (смотри тему «Иррациональные уравнения»).
Раскроем скобки в правой части уравнения, применяя формулу квадрата трехчлена. Получаем систему.
Приводим подобные слагаемые в уравнении.
Заметим, что при прибавлении к правой и левой части числа 49 можно выделить полные квадраты:
Решим систему графически:
Уравнение задает окружность с центром в точке , где радиус
Неравенство задает полуплоскость, которая расположена выше прямой , вместе с самой этой прямой.
Исходное уравнение имеет единственное решение, если окружность имеет единственную общую точку с полуплоскостью. Другими словами, окружность касается прямой, заданной уравнением
Пусть С — точка касания.
На координатной плоскости отметим точки и , в которых прямая пересекает оси Y и Х.
Рассмотрим треугольник ABP. Он прямоугольный, и радиус окружности PC является медианой этого треугольника. Значит по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.
Из треугольника ABP найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора.
Решая это уравнение, получаем, что
3. Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.
График уравнения — окружность с центром и радиусом равным 2.
График уравнения — две симметричные окружности и радиуса 2 c центрами в точках и
Второе уравнение при задает окружность с центром в точке и радиусом a.
Вот такая картинка, похожая на злую птицу. Или на хрюшку. Кому что нравится.
Система имеет единственное решение в случаях, когда окружность , задаваемая вторым уравнением, касается только левой окружности или только правой
Если a — радиус окружности , то это значит, что (только правая) или (только левая).
Пусть А — точка касания окружности и окружности
, (как гипотенуза прямоугольного треугольника МNР с катетами 3 и 4),
В — точка касания окружности и окружности
длину MQ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника KMQ с катетами 7 и 4; Тогда для точки В получим:
Есть еще точки С и D, в которых окружность касается окружности или окружности соответственно. Однако эти точки нам не подходят. В самом деле, для точки С:
, но и это значит, что окружность с центром в точке М, проходящая через точку С, будет пересекать левую окружность и система будет иметь не одно, а три решения.
Аналогично, для точки D:
и значит, окружность с центром М, проходящая через точку D, будет пересекать правую окружность и система будет иметь три решения.
4. При каких значениях a система уравнений имеет 4 решения?
Конечно же, решаем графически. Только непуганый безумец возьмется решать такую систему аналитически : -)
И в первом, и во втором уравнении системы уже можно разглядеть известные «базовые элементы» (ссылка) — в первом ромбик, во втором окружность. Видите их? Как, еще нет? — Сейчас увидите!
Просто выделили полный квадрат во втором уравнении.
Сделаем замену Система примет вид:
Вот теперь все видно! Рисовать будем в координатах
Графиком первого уравнения является ромб, проходящий через точки с координатами и
Графиком второго уравнения является окружность с радиусом и центром в начале координат.
Когда же система имеет ровно 4 решения?
1) В случае, когда окружность вписана в ромб, то есть касается всех сторон ромба.
Запишем площадь ромба двумя способами — как произведение диагоналей пополам и как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Диагонали нашего ромба равны 8 и 6. Значит, 
Сторону ромба найдем по теореме Пифагора. Видите на рисунке прямоугольный треугольник со катетами 3 и 4? Да, это египетский треугольник, и его гипотенуза, то есть сторона ромба, равна 5. Если h — высота ромба, то
При этом Мы помним, что если окружность вписана в ромб, то диаметр этой окружности равен высоте ромба. Отсюда
Мы получили ответ:
2) Есть второй случай, и мы его найдем.
Давайте посмотрим — если уменьшить радиус окружности, сделав , окружность будет лежать внутри ромба, не касаясь его сторон. Система не будет иметь решений, и нам это не подходит.
Пусть радиус окружности больше, чем , но меньше 3. Окружность дважды пересекает каждую из четырех сторон ромба, и система имеет целых 8 решений. Опять не то.
Пусть радиус окружности равен 3. Тогда система имеет 6 решений.
А что, если ? Окружность пересекает каждую сторону ромба ровно 1 раз, всего 4 решения. Подходит!
Значит, Объединим случаи и запишем ответ:
Больше задач и методов решения — на онлайн-курсе Анны Малковой. И на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве.
🔍 Видео
7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать
9 класс, 7 урок, Задачи с параметрамиСкачать
#9. КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ? ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД!Скачать
Алгебра 9 класс. Графическое решение систем уравненийСкачать
Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать
Уравнение с параметром. Графический метод решения (пример)Скачать
Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
Вебинар 2. Ч. 1 Решение уравнений с параметром графическим способом. Часть 1Скачать
Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)Скачать
ОГЭ Задание 23 Графический способ решения уравнения с параметромСкачать
Графическое решение уравнения с модулем и параметром. @vmestezno200Скачать
ЕГЭ по математике. Решение задачи 18. Графический способ решения уравнений и систем с параметромСкачать
#11. Как решать системы уравнений с параметром графически?Скачать
Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать
Графическое решение уравненийСкачать
Система уравнений с параметром | Графический и аналитический способ | Параметр№8 | ЕГЭ по математикеСкачать
№12 Решение задачи с параметром. Графический способ решения. a(x-1)=|x| ЕГЭ по математике.Скачать
8 класс, 39 урок, Задачи с параметрамиСкачать
