Графическое решение системы уравнений в maple

Видео:Решение системы линейных уравнений в MapleСкачать

Графическое решение системы уравнений в maple

* Entering and Manipulating Equations: The lhs and rhs commands *

Напомним, что уравнению, точно так же как и выражению, можно присвоить имя. В следующей командной строке мы введём уравнение и присвоим ему имя » eq1 » :

Мы можем вывести на экран левую и правую части уравнения по-отдельности при помощи команд lhs и rhs :

Воспользуемся командами lhs и rhs для того, чтобы привести уравнение к стандартному виду, в котором все члены собраны слева, а справа остался только 0:

Видео:Графики, функции, решение системы линейных уравнений в MapleСкачать

04. 02 Нахождение точных корней. Команда solve

* Finding Exact Solutions: The solve command *

Рассмотрим вначале рациональные уравнения. Известно, что существуют алгоритмы определения точных корней рациональных корней вплоть до 4-го порядка включительно. В Maple-команду solve и заложены эти алгоритмы.

Воспользуемся командой solve для нахождения точных корней кубического уравнения :

Обратите внимание: в команде мы указываем, относительно какой переменной следует решать уравнение. Хотя в нашем конкретном случае это и не обязательно:

Maple нашел все 3 действительных корня и вывел их ( в неупорядоченном виде ).

Иногда очень важно выбрать конкретный корень, чтобы потом использовать в дальнейших преобразованиях именно его. Для этого заранее следует присвоить имя результату исполнения команды solve . Назовём его X . Тогда конструкция X[1] будет соответствовать первому корню из списка (подчеркнем: это не обязательно меньший корень! ), X[2] — второму корню, и т.д. ( Скобки — квадратные! ):

Посмотрите, однако, что будет выведено в результате выполнения похожей команды:

Ещё раз подчеркнём: практика показывает, что уравнению целесообразно присвоить имя. Традиционно в Maple такое имя начинается с букв eq :

(Не путать оператор присваивания » := » со знаком равенства » = » !)

Теперь решим уравнение при помощи команды solve . Множеству корней присвоим имя X :

Для убедительности проверим, нет ли среди найденных корней посторонних. Проверку выполним непосредственной подстановкой

Разумеется, частенько «точные» решения довольно громоздки, если не сказать иначе. Например, это касается уравнения :

Теперь Вам понятно, о чем речь? Для себя заметьте, что мнимая единица в Maple обозначается посредством прописной буквы I . Разумеется, в таких случаях не грех найти приближенные значения корней. Имея на руках точное решение, Вы и сами сообразите, как это сделать:

В подобных ситуациях хорошей альтернативой команде solve является fsolve , особенности которой будут рассмотрены в следующем параграфе.

Команда solve используется при отыскании точных решений не только рациональных уравнений. Ниже приведено несколько тому иллюстраций. Но для многих типов иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических и даже рациональных уравнений точное решение искать бесполезно. На помощь призывается команда fsolve .

Решим уравнение :

Иногда (а в тригонометрии — всегда ) Maple, по умолчанию , не выводит всё множество корней:

Но безвыходных ситуаций не бывает! Взяв за основу полученный результат, воспользуйтесь своими знаниями тригонометрических уравнений и запишите полное решение ( как ? ).

Видео:Алгебра 9 класс. Графическое решение систем уравненийСкачать

Упражнение 4.1

Решить уравнение Разберитесь, сколько различных корней имеет уравнение. Как Maple поступает при наличии равных корней?

Совет : разложите на множители левую часть уравнения.

Корень х = 7 является двукратным, а потому у кубического уравнения только два различных корня. Разложение на множители левой части уравнения — тому подтверждение.

Видео:7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать

04. 03 Поиск приближенных корней. Команда fsolve

* Finding Approximate Solutions: The fsolve command *

Для приближенного решения уравнений используется Maple-команда fsolve . В случае рационального уравнения, fsolve выводит весь список действительных корней (см. Пример 01). Для трансцендентных уравнений эта команда, по умолчанию, выводит только один корень (см. Примеры 02 и 03).

При помощи fsolve найдём приближенные значения сразу всех четырёх действительных корней рационального уравнения :

Эти четыре корня и составляют исчерпывающее решение исходного рационального уравнения ( хотя и приближенное ).

Используя команду fsolve , найти хотя бы один действительный корень уравнения :

Maple и вывел только один корень. На этот раз Maple не стал «живописать». Как теперь убедиться в том, что других действительных корней нет? Следующий пример даёт такой инструментарий.

Получить все действительные корни уравнения и убедиться в этом.

Шаг первый ( Основная идея ) : найдём графическое решение уравнения. Для этого построим график функции, стоящей в левой части уравнения. Абсциссы точек пересечения этого графика с осью Ох и будут искомыми корнями.

Т.к. мы умело подобрали диапазоны изменений абсцисс и ординат точек графика, то легко обнаружим 4 точки пересечения линии с осью Ох. Одна из них соответствует корню, найденному в Примере 02 ( какая именно? ).

Второй корень очевиден: х = 0. А как поточнее найти остальные?

Шаг второй ( Уточнение ) : применим команду fsolve более «зряче». В Maple предусмотрена возможность указания промежутка, на котором отыскиваются корни. В частности, для определения отрицательного корня нашего уравнения, укажем, что поиски следует вести в «районе» [-1;-0.2]. Об этом красноречиво свидетельствует графическое решение.

Оставшиеся корни явно принадлежат промежуткам [1;2] и [4;5] . Расскажем об этом команде fsolve :

Ну а что произойдёт, если мы подсунем Maple «пустой участок»? Например, отрезок [2;4] для нашего уравнения. Там графического решения явно нет:

Maple выдаёт название команды, само уравнение, имя аргумента и отрезок. Т.е. ничего нового. Мол: «Ищите корни сами, а я не нашел».

Шаг третий ( Дополнительный анализ ) : Как теперь удостовериться в том, что найдены все корни , а не только в видимой области графического решения? Для этого следует расширить интервал поисков:

Новых точек пересечения нет. В конце концов мы понимаем, что экспоненциальное слагаемое на границах промежутка вносит самый существенный вклад в величину функции из левой части уравнения. Значения функции в этой области стремятся к , а потому дополнительных корней нам не найти.

Попробуем в других местах: справа и слева от области найденных корней.

И здесь ни одного дополнительного корня! Поняв, что с влиянием показательной части уравнения всё ясно, делаем окончательные выводы.

Исчерпывающее решение уравнения состоит из четырёх корней: -.8251554597 , 0 , 1.545007279 , 4.567036837 .

Применим команду fsolve для приближенного решения трансцендентного уравнения .

Как и в предыдущем случае, найдём вначале качественное графическое решение. Для этого ещё нужно угадать, как разбросать по обеим частям уравнения его члены. Но графические возможности Maple настолько великолепны, что почти всегда можно собирать все члены уравнения с одной стороны.

Рассмотрим уравнение, равносильное данному: . Абсциссы точек пересечения графика функции, стоящей в левой части уравнения, с осью Ох и будут искомыми корнями.

График указывает область поисков корней: промежуток [1;2]. Настаёт черёд команды fsolve :

Корень найден. Но, очевидно, он — не единственный. Расширьте область поисков и ещё раз примените команду fsolve для отыскания второго корня.

Видео:Как решать систему уравнений графическим методом? | Математика | TutorOnlineСкачать

Упражнение 4.2

Найти все действительные корни уравнения , начав с графического решения.

Построим график левой части уравнения:

В результате находим корни уравнения в первом приближении: -2 ; -1.5 ; 0 . Применим теперь команду fsolve без указания диапазона поиска ( оценим возможности Maple ):

С удовлетворением отмечаем, что Maple выводит все три корня (Не будем забывать, что решали рациональное уравнение.)

Видео:Решение системы уравнений графическим методомСкачать

Упражнение 4.3

Найти все корни уравнения . Воспользуйтесь графическим решением. Проверьте каждый корень непосредственной подстановкой.

Приведём уравнение к стандартному (для этого раздела) виду:

Теперь построим график левой части уравнения:

По всей видимости, существует два корня. Один примерно равен -2, а другой, похоже, 2.

Применим команду fsolve , ограничив диапазон поиска:

Непосредственной подстановкой проверим корни:

Обратите внимание: в обоих случаях истинного равенства нет . С учётом ошибок при округлении, разумное расхождение вполне допустимо .

Убедитесь в отсутствии других корней. Ответ обоснуйте.

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Упражнение 4.4

Графики функций и дважды пересекаются на отрезке [-5;5].

а). Постройте в одной системе координат графики обеих функций и при помощи мыши найдите координаты точек пересечения.

b). Составьте уравнение, корнями которого являются абсциссы точек пересечения графиков.

c). Используйте команду fsolve для решения этого уравнения.

d). Используйте результаты из пункта с) для оценки ординат точек пересечения графиков.

e). У Вас не создалось впечатление, что линии могут пересекаться и в третьей точке с координатами (1;9)? Используйте fsolve и графические возможности Maple, чтобы убедиться в противном.

Видео:Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать

Решение уравнений

Методы нахождения корней полиномов, решения уравнений, содержащих элементарные и специальные функции и систем сложных уравнений

Видео:Графический способ решения систем уравнений | Алгебра 9 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Системы уравнений

Maple может решать системы линейных и нелинейных уравнений, но это хитрое дело, поскольку, чтобы разобраться в происходящем, надо рисовать уравнения, а это сложнее, так как пространство решений – многомерное.

Применяются команды solve и fsolve , но в этом случае им задаются наборы (в фигурных скобках) уравнений и переменных.

В первом примере используем solve для простой задачи линейной алгебры: John вдвое старше Kimberly. Возраст Kimberly плюс возраст John равен 27. Найти возраст каждого. Если использовать пакет LinearAlgebra, то придется рассматривать матрицу, но можно применить solve (и fsolve ), которые могут непосредственно работать с уравнениями:

Поскольку не надо беспокоиться о переводе в матричный вид, то получился иной метод решения систем линейных уравнений.

solve и fsolve можно применять для решения нелинейных систем, т. е. систем уравнений, в которых переменные – квадраты, кубы, синусы, экспоненты и т. п. Например, вот система двух нелинейных уравнений:

Вначале попробуем применить команду solve :

Maple сделал по-умному: чтобы получить уравнение для х , он исключил у из Е2 с помощью Е1 . Затем он факторизовал это квадратное уравнение, выдал ответ (x,y)=(3,4) и свел оставшуюся часть задачи к кубической. Если завершить задачу командой evalf , получим:

Но если нарисовать кубическую часть в RootOf (для оценки положения корней), то увидите, что есть еще два решения. Где же они? Примените fsolve и получите:

что еще хуже, так как дает один корень. Для поиска корней можно задавать примерно правильные числа в качестве подсказок для fsolve :

Простой способ заставить Maple дать все 4 корня: повторяйте процедуру, заменяя все целые числа на числа с плавающей точкой:

Будьте изобретательны
и пробуйте разные пути решения задачи,
возможно, один сработает.

В Maple есть другой полезный инструмент для случая двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными. Точно так же, как в задачах с одной переменной, полезно сначала строить график, чтобы увидеть, где есть решения. В данном случае двумерные графики помогут искать корни двух неизвестных величин. Примените команду построения графиков implicitplot , которая берет уравнение с двумя переменными, вроде x 2 – y = 5, и строит определяющую их кривую в плоскости xy (для добавления команды графики надо вначале загрузить пакет графики with(plots) ):

Для графического поиска решений постройте оба уравнения на одном графике и посмотрите, где две кривые пересекают друг друга.

Из картинки ясно, что две параболы пересекаются в четырех местах, поэтому должно быть четыре решения. Окно графика должно быть достаточным, чтобы увидеть всю картинку. А если оно мало, то получится вот что:

Если у вас есть три нелинейных уравнения с тремя переменными, implicitplot3d может сделать нечто подобное (см. Maple help).

Найдите все решения (Re и Im) системы уравнений

Чтобы определить количество искомых корней, сначала постройте график с помощью implicitplot .

Вот еще нелинейная система:

Вначале попробуем solve :

(Maple на мгновение задумается, но ничего не произойдет.) Теперь попробуем fsolve с диапазонами для каждой переменной:

Похоже, что (x, y, z) = (1, 1, 3) достаточно близко к решению. Предупреждение: в трех и более измерениях Maple может ошибиться и работать, несмотря на то, что:

(a) известно, что здесь есть решение и

(b) указано, где искать приближенное значение корня.

Для лучшего понимания, где следует искать решение, можно применить implicitplot3d :

Щелкните на рисунке и покрутите его, чтобы разглядеть подробнее. После этого перерисуйте график так, чтобы он был вблизи известного решения: [x, y, z]=[1, 1, 3]:

В середине графика все три поверхности – E1 , E2 и E3 – пересекаются в точке. Это и есть то, что искали с помощью implicitplot3d , но в целом рассматривать трехмерные задачи сложно.

Пусть гладкая функция y(x) представлена тремя точками (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ). Предположим, что эти точки определяют параболу вида y(x) = a + bx + cx 2 и что есть три аппроксимирующих уравнения для нахождения коэффициентов параболы a, b, c. Постройте эти три уравнения и используйте solve , чтобы найти формулы для a, b, c, а затем определите выражение Maple для параболы.

Задание выглядит вполне приемлемо для равноотстоящих точек. Пусть x 2 = x 1 + h и x 3 = x 1 + 2h . Упростим выражения для a, b, c. В результате получили приближенную форму функции, с которой можно работать:

(a) Оцените площадь под кривой между x 1 и x 3 путем интегрирования параболы между этими двумя пределами. Получится правило Симпсона. Чтобы посмотреть, хорош ли этот приближенный интеграл, задайте x 1 = 0, x 2 = 0.5, x 3 = 1.0 и y 1 = cos(x 1 ), y 2 = cos(x 2 ), y 3 = cos(x 3 ) , при этом приближенное значение площади будет близко к Дает ли формула приближенного интегрирования хороший результат?

(b) Оцените производную функции у(х) в средней точке х 2 путем дифференцирования параболы и вычисления значения производной в x = x 2 . Она называется формулой центральных разностей для первой производной. Проверьте ее точность при x 2 = 0.5, используя x 1 = 0.4 и x 3 = 0.6 с функцией

(c) Повторно дифференцируя формулу параболы, оцените вторую производную функции у(х) в x 2 . Это центральная вторая производная для равноотстоящих точек. Проверьте ее точность, как в части (b).

Эти формулы дифференцирования и интегрирования понадобятся в курсе физики.

Видео:Анимация в MapleСкачать

Графическое решение системы уравнений в maple

Системы уравнений решаются с помощью такой же команды solve(,), только теперь в параметрах команды следует указывать в первых фигурных скобках через запятую уравнения, а во вторых фигурных скобках перечисляются через запятую переменные, относительно которых требуется решить систему. Если вам будет необходимо для дальнейших вычислений использовать полученные решения уравнений, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name. Затем выполняется присвоения команда assign(name). После этого над решениями можно будет производить математические операции.

💥 Видео

ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ. Видеоурок | АЛГЕБРА 9 классСкачать

Графика в системе MapleСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

8 класс, 21 урок, Графическое решение уравненийСкачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Вычисления, константы и решение уравнений в MapleСкачать

Графический метод решения систем линейных уравнений 7 классСкачать

Графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП)Скачать

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Программируем простейший маплетСкачать