Графический способ решения уравнений с двумя переменными с модулем мо

Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули.

2.Понятия и определения………………………………………….4

4.Способы решение уравнений, содержащих модуль…………. 6

4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами…………………………………………………………12

4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений…………………………………………………………..14

4.3.Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины…………………………………………………………..15

4.4.Решение нестандартных уравнений, ………….16

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и. т.п.

Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

2. Понятия и определения

Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:

Уравнение-это равенство, содержащее переменные.

Уравнение с модулем — это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины(под знаком модуля).Например: |x|=1

Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно:

Модуль — абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой.

3. Доказательство теорем

Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна — a, если a меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа a,

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел a или –a

1. Если число a положительно, то — a отрицательно, т. е. — a 0 уравнение имеет 2 различных корня.

Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 11/3 и 6

Ответ: x1=6, x2=11/3

Пример 5. Решим уравнение (2x + 3)2= ( x – 1)2.

Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x – 1|, откуда по образцу предыдущего примера (и по соотношению (1)):

2х + 3=х – 1 или 2х + 3=-х + 1

2х – х=-1 – 3 2х+ х=1 – 3

Таким образом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6)

Пример 6. Решим уравнение |x – 6|=|x2 – 5x + 9|

Пользуясь соотношением (1), получим:

х – 6=х2 – 5х + 9 или х – 6 = -(х2 – 5х + 9)

-х2 + 5х + х – 6 – 9=0 |(-1) x – 6=-x2 + 5x — 9

x2 — 6x + 15=0 x2 – 4x + 3=0

D=36 – 4 * 15=36 – 60= -24 0

Проверка: |1 – 6|=|12 – 5 * 1 + 9| |3 – 6|=|32 – 5 * 3 + 9|

5 = 5(И) 3 = |9 – 15 + 9|

4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений.

Геометрический смысл модуля разности величин — это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x – a | — длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.

Пример 7. Решим уравнение |x – 1| + |x – 2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка — нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок [1; 2].

Пример8. Решим уравнение |x – 1| — |x – 2|=1 1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно, решением данного уравнения будет являться не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси ОХ.

Обобщением вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:

|x – a| + |x – b|=b – a, где b >a Û a a Û x

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Презентация «Графический способ решения уравнений, содержащих знак модуля» (9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Описание презентации по отдельным слайдам:

Графический способ решения уравнений, содержащих знак модуля 4 декабря 2013г.

Математический диктант Вариант 1 Может ли быть отрицательным значение суммы 2+|x|? Может ли равняться нулю значение разности 2|x| — |x|? 3. При каких значениях y верно равенство – y = |-y|? 4. Решите уравнение |x — 2| = 5 5. Схематично постройте график функции y = |x| 6. Схематично постройте график функции y = — |x| + 2 7. Схематично постройте график функции y = |x — 2| Вариант 2 Может ли быть отрицательным значение суммы |x| + 6? Может ли равняться нулю значение разности 3|x| — |x|? 3. При каких значениях y верно равенство – y = |y|? 4. Решите уравнение |x — 3| = 4 5. Схематично постройте график функции y = — |x| 6. Схематично постройте график функции y = |x| + 2 7. Схематично постройте график функции y = |x + 2|

Ответы Вариант 1 Нет При x = 0 При y ≤ 0 X = 7, X = -3 Вариант 2 Нет При x = 0 При y ≤ 0 X = 7, X = -1

Ответы 5) Вариант 1 y x 0 y = |x| y = — |x| Вариант 2 y x 0

Ответы 6) Вариант 1 y 2 x 0 y = -|x| + 2 y = |x| + 2 Вариант 2 y 2 x 0

Вариант 1 y x 0 2 Вариант 2 y x -2 0 Ответы 7) y = |x — 2| y = |x+2|

Прочитайте графики функций y 4 0 x y -2 0 x -2 y = |x| + 4 y = |x+2| — 2

Прочитайте графики функций y 1 1 0 x y x 0 -3 y = |x -1| y = -|x| -3

Алгоритмы построения графиков функций вида

Построение графика функции 1. Построить график функции 2.Часть графика, где т.е в верхней полуплоскости, оставить без изменения. 3.Часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, отобразить симметрично относительно оси абсцисс.

Построение графика функции 1.Построить график функции 2. Часть графика при , т.е в правой полуплоскости, оставить без изменения и отобразить симметрично относительно ОУ

Решить уравнение |x-1| = 4 1 способ (аналитический)

2 способ (графический) Решить уравнение |x-1| = 4

Решите графически уравнение: х+1=3х-1.

Решите графически уравнение: |x-2|=2x+1

Решите графически уравнение: |x+1|+ |x-5|=20

Решите графически уравнения: 1) x2- 3 =2|x|. 2) |3x-2|=x+2 Ответы: 1) х1=-3, х2= 3, 2) х1=0, х2= 2

Сколько корней имеет уравнение 2-|х-1|= а Каким должно быть а, чтобы уравнение не имело корней? имело1 корень? имело 2 корня? Если а›2, то корней нет, если а=2, то 1 корень, если а‹2, то 2 корня. у=-|х| у=-|х-1| у= а у=2-|х-1| ?

При каком значении параметра «а» уравнение имеет три корня? Уравнение не имеет корней если: а 2 3 корня ,если: а=2 4 корня, если : 0

Краткое описание документа:

Графический способ решения уравнений, содержащих знак модуля 4 декабря 2013г. Математический диктант Вариант 1 Может ли быть отрицательным значение суммы 2+|x|? Может ли равняться нулю значение разности 2|x| — |x|? 3. При каких значениях y верно равенство – y = |-y|? 4. Решите уравнение |x — 2| = 5 5. Схематично постройте график функции y = |x| 6. Схематично постройте график функции y = — |x| + 2 7. Схематично постройте график функции y = |x — 2| Вариант 2 Может ли быть отрицательным значение суммы |x| + 6? Может ли равняться нулю значение разности 3|x| — |x|? 3. При каких значениях y верно равенство – y = |y|? 4. Решите уравнение |x — 3| = 4 5. Схематично постройте график функции y = — |x| 6. Схематично постройте график функции y = |x| + 2 7. Схематично постройте график функции y = |x + 2| Ответы Вариант 1 Нет При x = 0 При y ≤ 0 X = 7, X = -3 Вариант 2 Нет При x = 0 При y ≤ 0 X = 7, X = -1 Ответы 5) Вариант 1 y x 0 y = |x| y = — |x| Вариант 2 y x 0 Ответы 6) Вариант 1 y 2 x 0 y = -|x| + 2 y = |x| + 2 Вариант 2 y 2 x 0 Вариант 1 y x 0 2 Вариант 2 y x -2 0 Ответы 7) y = |x — 2| y = |x+2| Прочитайте графики функций y 4 0 x y -2 0 x -2 y = |x| + 4 y = |x+2| — 2 Прочитайте графики функций y 1 1 0 x y x 0 -3 y = |x -1| y = -|x| -3 Алгоритмы построения графиков функций вида Построение графика функции 1. Построить график функции 2.Часть графика, где т.е в верхней полуплоскости, оставить без изменения. 3.Часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, отобразить симметрично относительно оси абсцисс. Построение графика функции 1.Построить график функции 2. Часть графика при , т.е в правой полуплоскости, оставить без изменения и отобразить симметрично относительно ОУ Решить уравнение |x-1| = 4 1 способ (аналитический) 2 способ (графический) Решить уравнение |x-1| = 4 Решите графически уравнение: х+1=3х-1. Решите графически уравнение: |x-2|=2x+1 Решите графически уравнение: |x+1|+ |x-5|=20 Решите графически уравнения: 1) x2- 3 =2|x|. 2) |3x-2|=x+2 Ответы: 1) х1=-3, х2= 3, 2) х1=0, х2= 2 Сколько корней имеет уравнение 2-|х-1|= а Каким должно быть а, чтобы уравнение не имело корней? имело1 корень? имело 2 корня? Если а›2, то корней нет, если а=2, то 1 корень, если а‹2, то 2 корня. у=-|х| у=-|х-1| у= а у=2-|х-1| ? При каком значении параметра «а» уравнение имеет три корня? Уравнение не имеет корней если: а 2 3 корня ,если: а=2 4 корня, если : 0

Видео:Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать

Графический способ решения уравнений с модулями
презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему

Данную разработку можно использовать для самостоятельного изучения учащимися.

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Скачать:

Предварительный просмотр:

Видео:Уравнения с модулемСкачать

Подписи к слайдам:

Графический способ решения линейных уравнений с модулями автор Борейко Алла Сергеевна учитель математики МБОУ СОШ №6 Ст. Каневской Краснодарского края

Теория Практика Задача 1 Задача 2 Задача 3 Литература

х y 0 1 1 Назад

х y 0 1 1 Назад

х y 0 1 1 l Назад

х y 0 1 1 3 2 3 . Найти точки пересечения графиков функций 5 1 Ответ: 1; 5. Назад

х y 0 1 1 Ответ: 1. -2 3 . Найти точки пересечения графиков функций 1 Назад

х y 0 1 1 -2 2 3 . Построить кусочно-заданную функцию 8 5 . Найти точки пересечения графиков функций -4 4 Ответ: -4; 4. Назад

Список используемой литературы: Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/под ред. А.Г. Мордковича, 2010. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений/под ред. А.Г. Мордковича, 2010. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса, 1997. Назад

Видео:Графический способ решения систем уравнений с двумя переменнымиСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Занятие «Графический способ решения уравнений и систем уравнений в среде Microsoft Excel «

Занятие в среде Microsoft Excel. Графическое решение уравнения и системы уравнений с помощью Мастера диаграмм.

Урок математики и ИКТ в 9 классе по теме: «Приближенное решение уравнений в электронных таблицах» (Графический способ решения уравнений)

Данный интегрированный урок может провести любой учитель математики, хорошо владеющий информационно-коммуникационными технологиями. Цель урока: научить учащихся решать уравнения графическим спос.

Графический способ решения уравнений с модулем

Конспект занятия элективного курса. Урок обобщения и систематизации знаний, с использованием интерактивной доски.

Графический способ решения уравнений с модулем

Конспект занятия по элективным курсам в 10 классе. Урок обобщения и систематизации знаний.

презентация открытого урока «графический способ решения уравнений с модулем»

презентация к занятию элективного курса.

Мастер -класс: «Функционально — графический способ решения уравнений и систем уравнений в электронных таблицах»

Вы узнаете, как можно использовать электронные таблицы на уроках алгебры при построении графиков функций, решении уравнений и систем уравнений функционально- графическим способом.

Мастер-класс «Графический способ решения уравнений и систем уравнений с помощью графического калькулятора CASIO”.

«Графический способ решения уравнений и систем уравнений с помощью графического калькулятора CASIO. Презентацию можно посмотреть в ВИДЕО «Участие в экспериментальной площадке «Применение малых средств.

🎦 Видео

Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать

Уравнение с двумя модулями: особенности решенияСкачать

Графический метод решения систем линейных уравнений 7 классСкачать

Графическое решение простейших неравенств с модулемСкачать

Задание 23 из ОГЭ Построение графиков функций с модулем | МатематикаСкачать

Алгебра 9 класс. Графическое решение систем уравненийСкачать

7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать

Уравнения с модулем. Часть 2 | Математика | TutorOnlineСкачать

Решение уравнения с модулем |x+8|+|x-3|+|x+2|=1.Скачать

Графический метод решения уравнений 8 классСкачать

Уравнение с модулемСкачать

Как решать систему уравнений графическим методом? | Математика | TutorOnlineСкачать

Как решать уравнение с модулем Уравнение с модулями как решать Как раскрыть модуль в уравненииСкачать

Неравенства с модулем | Математика | TutorOnlineСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать