Данный метод используется не только в задачах с параметром, но и для решения обыкновенных уравнений, систем уравнений или неравенств. Он входит в стандартный курс школьной программы и наверняка вы с ним сталкивались, но в несколько упрощенном варианте. Сначала я кратко напомню, в чем заключается этот метод. Затем разберем, как его применять для решения задач с параметром, и рассмотрим несколько типовых примеров.
Для начала рассмотрим уравнение с одной переменной (f(x)=0). Для того, чтобы решить его графическим методом, нужно построить график функции (y=f(x)). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ось (х)) и будут решениями нашего уравнения.
Или рассмотрим уравнение (f(x)=g(x)). Точно так же строим на одной координатной плоскости графики функций (y=f(x)) и (y=g(x)), абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.
Стоит отдельно отметить, что для решения графическим методом необходимо выполнять очень качественный и точный рисунок.
Решить графическим методом уравнение (x^2+3x=5x+3).
Решение: Построим на одной координатной плоскости графики функций (y=x^2+3x) и (y=5x+3). См. рис.1.
(y=5x+3) – красный график; (y=x^2+3x) – синий график.
Из Рис.1 видно, что графики пересекаются в точках ((-1;2)) и ((3;18)). Таким образом, решением нашего уравнения будут: (_=-1; _=3).
Теперь рассмотрим уравнение с двумя переменными (f(x,y)=0). Решением этого уравнения будет множество пар точек ((x,y)), которые можно изобразить в виде графика на координатной плоскости ((xOy)). Если решать это уравнение аналитически, то, как правило, мы выражаем одну переменную через другую ((x,y=f(x))) или ((x=f(y),y)).
В качестве примера рассмотрим обыкновенное линейное уравнение (2x-5y=10). (1) Выражаем (x=frac) – это называется общим решением уравнения. Изобразим его на координатной плоскости, построив график (Рис. 2):
Видео:Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Графический методСкачать
Графический метод решения задач с параметрами
Теперь вы узнали, что такое параметр, и увидели решение самых простых задач.
Но подождите — рано успокаиваться и говорить, что вы все знаете. Есть множество типов задач с параметрами и приемов их решения. Чтобы чувствовать себя уверенно, мало посмотреть решения трех незатейливых задач.
Вот список тем, которые стоит повторить:
1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».
Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому. Конечно, он не единственный. Но начинать лучше всего именно с него.
Мы разберем несколько самых простых задач, решаемых графическим методом. Больше задач — в видеокурсе «Графический метод решения задач с параметрами» (бесплатно).
1. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 различных решения?
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
В первом уравнении выделим полный квадрат:
Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным 2. Обратите внимание — графики будем строить в координатах х; а.
Уравнение задает прямую, проходящую через начало координат. Нам нужны ординаты точек, лежащих на окружности и не лежащих на этой прямой.
Для того чтобы точка лежала на окружности, ее ордината а должна быть не меньше 0 и не больше 4.
Кроме того, точка не должна лежать на прямой , которая пересекает окружность в точках и Координаты этих точек легко найти, подставим в уравнение окружности.
Точка С также не подходит нам, поскольку при мы получим единственную точку, лежащую на окружности, и единственное решение уравнения.
2. Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение.
Уравнение равносильно системе:
Мы возвели обе части уравнения в квадрат при условии, что (смотри тему «Иррациональные уравнения»).
Раскроем скобки в правой части уравнения, применяя формулу квадрата трехчлена. Получаем систему.
Приводим подобные слагаемые в уравнении.
Заметим, что при прибавлении к правой и левой части числа 49 можно выделить полные квадраты:
Решим систему графически:
Уравнение задает окружность с центром в точке , где радиус
Неравенство задает полуплоскость, которая расположена выше прямой , вместе с самой этой прямой.
Исходное уравнение имеет единственное решение, если окружность имеет единственную общую точку с полуплоскостью. Другими словами, окружность касается прямой, заданной уравнением
Пусть С — точка касания.
На координатной плоскости отметим точки и , в которых прямая пересекает оси Y и Х.
Рассмотрим треугольник ABP. Он прямоугольный, и радиус окружности PC является медианой этого треугольника. Значит по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.
Из треугольника ABP найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора.
Решая это уравнение, получаем, что
3. Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.
График уравнения — окружность с центром и радиусом равным 2.
График уравнения — две симметричные окружности и радиуса 2 c центрами в точках и
Второе уравнение при задает окружность с центром в точке и радиусом a.
Вот такая картинка, похожая на злую птицу. Или на хрюшку. Кому что нравится.
Система имеет единственное решение в случаях, когда окружность , задаваемая вторым уравнением, касается только левой окружности или только правой
Если a — радиус окружности , то это значит, что (только правая) или (только левая).
Пусть А — точка касания окружности и окружности
, (как гипотенуза прямоугольного треугольника МNР с катетами 3 и 4),
В — точка касания окружности и окружности
длину MQ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника KMQ с катетами 7 и 4; Тогда для точки В получим:
Есть еще точки С и D, в которых окружность касается окружности или окружности соответственно. Однако эти точки нам не подходят. В самом деле, для точки С:
, но и это значит, что окружность с центром в точке М, проходящая через точку С, будет пересекать левую окружность и система будет иметь не одно, а три решения.
Аналогично, для точки D:
и значит, окружность с центром М, проходящая через точку D, будет пересекать правую окружность и система будет иметь три решения.
4. При каких значениях a система уравнений имеет 4 решения?
Конечно же, решаем графически. Только непуганый безумец возьмется решать такую систему аналитически : -)
И в первом, и во втором уравнении системы уже можно разглядеть известные «базовые элементы» (ссылка) — в первом ромбик, во втором окружность. Видите их? Как, еще нет? — Сейчас увидите!
Просто выделили полный квадрат во втором уравнении.
Сделаем замену Система примет вид:
Вот теперь все видно! Рисовать будем в координатах
Графиком первого уравнения является ромб, проходящий через точки с координатами и
Графиком второго уравнения является окружность с радиусом и центром в начале координат.
Когда же система имеет ровно 4 решения?
1) В случае, когда окружность вписана в ромб, то есть касается всех сторон ромба.
Запишем площадь ромба двумя способами — как произведение диагоналей пополам и как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Диагонали нашего ромба равны 8 и 6. Значит, 
Сторону ромба найдем по теореме Пифагора. Видите на рисунке прямоугольный треугольник со катетами 3 и 4? Да, это египетский треугольник, и его гипотенуза, то есть сторона ромба, равна 5. Если h — высота ромба, то
При этом Мы помним, что если окружность вписана в ромб, то диаметр этой окружности равен высоте ромба. Отсюда
Мы получили ответ:
2) Есть второй случай, и мы его найдем.
Давайте посмотрим — если уменьшить радиус окружности, сделав , окружность будет лежать внутри ромба, не касаясь его сторон. Система не будет иметь решений, и нам это не подходит.
Пусть радиус окружности больше, чем , но меньше 3. Окружность дважды пересекает каждую из четырех сторон ромба, и система имеет целых 8 решений. Опять не то.
Пусть радиус окружности равен 3. Тогда система имеет 6 решений.
А что, если ? Окружность пересекает каждую сторону ромба ровно 1 раз, всего 4 решения. Подходит!
Значит, Объединим случаи и запишем ответ:
Больше задач и методов решения — на онлайн-курсе Анны Малковой. И на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве.
Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Проект для НПК учащихся 10 кл «Графический способ решения заданий с параметром»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Копьёвская средняя общеобразовательная школа
с углублённым изучением отдельных предметов»
(графический способ решения заданий с параметром)
Гришкевич Максим Игоревич,
Козлов Андрей Алексеевич,
учащиеся 10 класса
Загородних Ольга Иосифовна,
п. Копьёво, 2018 г.
2. Методы решения уравнений с параметром.……………………………. …4
3. Графический способ решения задач с параметром
3.1. Метод «движущейся» прямой….………………………………………..4
3.2. Метод «вращающейся» прямой………………………………………. 6
3.3. Другие «живые» графики
4. Тренировочные задания. ……………………………………………………13
Задачи с параметром играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры, но их решение вызывает значительные затруднения у школьников. Трудности решения такого рода задач вызваны прежде всего тем, что в любом случае, даже при решении простейших уравнений и неравенств, содержащих параметры, приходится производить ветвление всех значений параметров на отдельные классы, при каждом из которых задача имеет решение. При этом следует четко и последовательно следить за сохранением равносильности решаемых уравнений или неравенств с учетом области определения выражений, входящих в уравнение или неравенство, а также учитывать выполнимость производимых операций.
В материалах ЕГЭ предлагаются задания, содержащих параметр. Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления и математической культуры.
Мы попросили выпускников 11 класса ответить на вопрос: «Какое задание ЕГЭ по математике профильного уровня для вас является самым сложным?» Большинство из них указали на задание №18, задание с параметром. Сложность этого задания ещё и в том, что нет единого алгоритма решения, подходящего для каждого случая. Но есть способы решения, которые могут помочь при решении некоторых из них.
Часто графическое решение является наиболее приемлемым при решении заданий с параметром, так как графическая иллюстрация позволяет сократить перебор различных случаев, который пришлось бы выполнить при аналитическом решении. Чтобы овладеть графическим способом, нужно уметь строить графики функций и уравнений, а также знать все преобразования графиков.
Объект исследования: задания с параметром.
Предмет исследования: графический способ решения заданий с параметром.
Цель исследования: изучение графического способа решения заданий с параметром.
Задачи исследования: рассмотреть графический способ решения уравнений и систем уравнений с параметром; показать применение этого способа при решении заданий №18 ЕГЭ по математике профильного уровня; подобрать тренировочные задания для отработки графического метода решения заданий с параметром.
Гипотеза исследования: графический способ облегчает решение некоторых заданий с параметром.
Параметр – независимая переменная, значение которой считается фиксированным или произвольным числом, или числом, принадлежащим заданному условием задачи промежутку.
Уравнение с параметром – математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.
Решить уравнение с параметром означает для каждого значения параметра найти значения х , удовлетворяющие этому уравнению, а также:
1) исследовать, при каких значениях параметра уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметра;
2) найти все выражения для корней и указать для каждого их них те значения параметра, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.
Методы решения уравнений с параметром
Аналитический – способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в уравнении без параметра.
Графический – способ, при котором в зависимости от условия задачи рассматривается положение графика соответствующей функции или соответствующего уравнения в системе координат.
Графический способ определения числа корней или нахождения корней уравнения или системы уравнений в зависимости от параметра является более удобным, чем аналитический.
Графический способ решения заданий с параметром
1) Метод «движущейся» прямой
Данный метод заключается в том, что мы мысленно двигаем прямую у = а вдоль оси ОУ и смотрим, в каких точках она пересекает построенный график.
При каких значениях параметра а уравнение | х 2 – 2 х — 3| = а уравнение имеет три корня?
Построим графики функций:
а ) у = | х 2 – 2 х — 3|, график – отображение параболы у = х 2 – 2 х – 3 симметрично относительно оси ОХ;
б ) графиком функции у = а является прямая, параллельная оси ОХ , проходящая через точку (0; а ).
С изменением параметра а прямая перемещается по прямой х = 0. Уравнение имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики. Графики могут не иметь общих точек, иметь две, три или четыре общие точки.
📺 Видео
Как решать систему уравнений графическим методом? | Математика | TutorOnlineСкачать
7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать
Графический метод решения уравнений 8 классСкачать
Графический метод решения уравнений | Математика легко | ЦТ, ЦЭ, ЕГЭ | Решение задач по математикеСкачать
Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать
Графический метод решения уравнений / самое простое объяснениеСкачать
Графический метод решения показательных уравнений и неравенств Алгебра 10 (база)Скачать
Параметры 4. Графический метод.ЕГЭ №18Скачать
ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать
Параметры, Легко Решаемые Графически | ЕГЭ 2024 по математикеСкачать
Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Аналитический методСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Решение показательного уравнения функционально-графическим методом. Подготовка к ЕГЭ по математикеСкачать
Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)Скачать
Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать
✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive #041 | Борис ТрушинСкачать
ПАРАМЕТРЫ ИЗ РЕАЛЬНОГО ЕГЭ | аналитический и графический метод решенияСкачать
Уравнение с параметром. Графический метод решения (пример)Скачать
