Горюнов а ф уравнения математической физики

Видео:Горицкий А. Ю. - Уравнения математической физики. Часть 2. Семинары - Семинар 11Скачать

Методы математической физики в примерах и задачах, в 2 томах, Том I, Горюнов А.Ф., 2015

Методы математической физики в примерах и задачах, в 2 томах, Том I, Горюнов А.Ф., 2015.

Учебное пособие ориентировано на специальности «Прикладная математика и информатика», «Физика», «Механика», «Физика атомного ядра и частиц» и др. Пособие представляет собой сборник задач и примеров по уравнениям математической физики. Темы первого тома: построение математических моделей различных физических процессов, решение задач методом Фурье и методом интегральных преобразований, интегральные уравнения. При решении задач используется аппарат обобщенных функций.
Пособие адресовано студентам, изучающим математическую и теоретическую физику; некоторые разделы могут быть полезны аспирантам, инженерно-техническим и научным работникам, интересующимся данной областью знаний.
Допущено Учебно-методическим объединением вузов направления подготовки 140300 «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Ядерные физика и технологии».

МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.

Предметом математической физики является разработка методов решения задач, возникающих при изучении явлений природы. Реальные процессы характеризуются величинами, зависящими (в общем случае) от координат и времени. Соотношения между этими величинам, записанные в математических терминах, составляют математическую модель данного процесса. Указанные соотношения являются следствием законов природы и представляют собой дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные уравнения, а также набор дополнительных условий (граничных, начальных), учитывающих специфические свойства системы. Математическая модель лишь приближенно отражает эволюцию системы, так как невозможно учесть все факторы, определяющие ее поведение. С другой стороны, построение более точных моделей приводит к достаточно сложным задачам, аналитическое решение которых получить не удается. Поэтому на первом этапе изучения какого-либо процесса используется сравнительно простая модель, в которой не учитываются факторы, мало влияющие на его развитие. В ряде случаев это определяется ограничениями, которые накладываются на систему: малость отклонения величин от их равновесных значений, пренебрежение некоторыми из внешних воздействий и т.п. Как правило, при достаточно жестких ограничениях можно получить линейную модель, для изучения которой существуют различные эффективные методы. Таким образом, формирование математической модели (или постановка задачи) зависит от того, какие аспекты конкретного явления считаются главными, а какие второстепенными. Упрощенная модель является стартовой: после решения соответствующей задачи, анализа развития изучаемого явления и т. п. можно переходить к более сложным моделям.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Предисловие
Предисловие к первому тому
Обозначения
Глава I. Модели математической физики
Литература к главе 1
1.1. Модели механики
1.2. Модели теплопроводности и диффузии
1.3. Модели газо- и гидродинамики
1.4. Модели электродинамики
1.5. Ответы
Глава 2. Метод разделения переменных
Литература к главе 2
2.1. Задачи для однородного уравнения с однородными граничными условиями
2.2. Задачи для неоднородного уравнения
2.3. Задачи, в которых применяются специальные функции и ортогональные полиномы
2.4. Ответы
Глава 3. Метод интегральных преобразований
Литература к главе 3
3.1. Преобразование Фурье
3.2. Преобразование Лапласа
3.3. Преобразование Меллина
3.4. Преобразование Ганкеля
3.5. Ответы
Глава 4. Методы решения интегральных уравнений
Литература к главе 4
4.1. Вывод интегральных уравнений
4.2. Решение интегральных уравнений
4.3. Ответы
Основные формулы
Литература

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Методы математической физики в примерах и задачах, в 2 томах, Том I, Горюнов А.Ф., 2015 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Уравнения математической физики в примерах и задачах. Часть 2

Уравнения математической физики: Пособие по практическим занятиям. Часть I
Данное пособие представляет собой первую часть практического курса по уравнениям математической физики. В 2008 году вышла первая часть — А. Б. Костин.

Уравнения математической физики в примерах и задачах. Часть 1
Учебное пособие состоит из двух частей одинаковой структуры. Пособие ориентировано на специальности «Прикладная математика и информатика», «Физика», «.

Практическое решение уравнений математической физики
Пособие предназначено для студентов, начинающих изучать уравнения с частными производными и уравнения математической физики. Оно может быть использова.

Уравнения математической физики: Пособие по практическим занятиям. Часть II
Во второй части рассматриваются: метод интегральных преобразований, формула Пуассона для уравнения теплопроводности, фундаментальное решение уравнения.

Уравнения математической физики
Пособие является руководством для выполнения типового расчета «Уравнения математической физики», предлагаемого «Сборником заданий по специальным курса.

«А.Ф. Горюнов УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Часть II Рекомендовано УМО „Ядерные физика и технологии” в качестве учебного пособия для студентов . »

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Рекомендовано УМО „Ядерные физика и технологии”

в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений Москва 2008 УДК 517.958(075) ББК 22.161.1я7 Г41 Горюнов А.Ф Уравнения математической физики в примерах и задачах. Часть 2.: Учебное пособие. М.: МИФИ, 2008. 528 с.

Учебное пособие состоит из двух частей одинаковой структуры.

Пособие ориентировано на специальности «Прикладная математика и информатика», «Физика», «Механика», «Физика атомного ядра и частиц» и др. и представляет собой сборник задач по уравнениям математической физики с примерами, демонстрирующими методику решения задач. Основой формирования сборника послужили модернизированные курсы уравнений математической физики, читаемые преподавателями кафедры «Прикладная математика»МИФИ. Во второй части сборника демонстрируется метод потенциалов, метод функции Грина, метод характеристик и др. В отличие от аналогичных сборников в данном пособии заново разработан или существенно расширен ряд тем: применение конформных отображений, построение решений нелинейный уравнений и др.; значительную часть сборника составляют задачи с физическим содержанием. При решении задач используется аппарат обобщенных функций.

Пособие адресовано студентам, изучающим математическую и теоретическую физику; некоторые главы могут привлечь внимание аспирантов, инженерно-технических и научных работников, интересующихся данной областью знаний.

Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы.

Рецензент проф., д-р физ.-мат. наук Д.Б. Рогозкин c Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2008 ISBN 978-5-7262-1048-3 (ч. 2) ISBN 978-5-7262-1047-6 Оглавление Предисловие. 5 Глава 5. ПОТЕНЦИАЛЫ

5.1. Вычисление потенциалов. 9

5.2. Решение задач методом потенциала. 32

5.3. Ответы. 42 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА

6.1. Задачи для волнового уравнения. 59

6.2. Задачи для уравнения теплопроводности. 72

6.3. Функция Грина задачи Дирихле. 97

6.4. Функция Грина одномерной краевой задачи. 117

6.5. Ответы. 133 Глава 7. МЕТОД

Вторая часть учебного пособия конструктивно устроена так же, как и предыдущая, является ее непосредственным продолжением и содержит главы с пятой по десятую.

Пятая глава знакомит с методом потенциалов. С физической точки зрения имеются в виду потенциалы электростатических (гравитационных) полей. Задачи этой главы разбиты на две части. Сначала проводится вычисление и изучение свойств потенциалов различных систем зарядов (объемные потенциалы, потенциалы простого и двойного слоя), затем потенциалы применяются для решения краевых задач. В главе используются системы криволинейных ортогональных координат.

На задачах шестой главы демонстрируется метод функции Грина. Здесь собраны задачи для уравнений гиперболического, параболического, эллиптического типов, а также одномерные краевые задачи.

Эффективным средством изучения плоских стационарных полей является метод конформных отображений. Он применим к задачам электро- и магнитостатики, гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости, теплопроводности, фильтрации и др. Метод основан на построении аналитической функции комплексного потенциала соответствующего векторного поля.

Упражнения на эту тему помещены в седьмой главе.

Для решения задач восьмой главы применяется метод характеристик. В сферу его действия входят задачи Коши и Гурса для 6 Предисловие линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа, задачи для гиперболических систем линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. На ряде задач демонстрируется метод Римана. Предлагаются задачи газо- и гидродинамики, в которых исследуются ударные волны.

В последние десятилетия происходит интенсивное развитие теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. В девятой главе рассмотрены методы построения решения задачи Коши, а также солитонных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Приведены некоторые методы построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений математической физики.

При решениив задач используется аппарат обобщенных функций, которым отведена десятая глава. Этот раздел математики не является частью математической физики, поэтому данную главу следует считать дополнением, сохраняющим (в какой-то мере) автономность пособия. Являясь дополнительной, глава не носит, тем не менее, справочного характера: основные свойства обобщенных функций излагаются в форме примеров и задач. Для чтения этой главы желательно владеть элементами функционального анализа. В крайнем случае можно ограничиться лишь функцией (именно она главным образом используется при решении задач), основываясь на ее физическом определении.

Значительная часть задач данного сборника доступна студентам, имеющим физико-математическую подготовку по учебным программам вузов РФ. Для решения ряда задач требуется более высокий уровень знаний физики и математики: здесь автор руководствовался программой подготовки специалистов, которую реализует Московский инженерно-физический институт (государственный университет).

ПОТЕНЦИАЛЫ

Здесь S поверхность Ляпунова, (P ) и (P ) непрерывные на S функции, P M угол между внешней нормалью к S в точке P и вектором rP M. Физический смысл потенциалов: u(M ) представляет собой электростатический потенциал зарядов, распределенных по области с плотностью (P ) ; v(M ) потенциал зарядов, распределенных на поверхности S с плотностью (P ) ; w(M ) является потенциалом поля диполей, распределенных на поверхности S и направленных по внешней нормали, (P ) плотность дипольного момента. Потенциалы обладают следующими свойствами.

8 Глава 5. ПОТЕНЦИАЛЫ Объемный потенциал u(M ) C 1 (R3 ) ; если C 1 (), то u(M ) удовлетворяет уравнению

Потенциал простого слоя v(M ) C(R3 ) вне S удовлетворяет уравнению Лапласа u=0, нормальные производные имеют разрыв 1-го рода при переходе через поверхность S

Потенциал двойного слоя w(M ) определен всюду, непрерывен на S, вне S удовлетворяет уравнению Лапласа w=0, имеет разрыв 1-го рода при переходе через поверхность S

Аналогично определяются потенциалы, называемые логарифмическими, в пространстве R2 (логарифмический потенциал области, логарифмические потенциалы простого и двойного слоя).

Они и их свойства получаются из вышеприведенных выражений и свойств заменами 1/rM P на ln(1/rM P ), rM P на rM P, 2 на, при этом плоская область, S= плоская кривая. Логарифмические потенциалы с множителем 2 представляют собой потенциалы электростатического поля зарядов, заполняющих бесконечный цилиндр с осью 0z, поперечным сечением которого является область, либо зарядов или диполей, расположенных на поверхности цилиндра, с плотностями (P ), (P ), (P ), не зависящими от z.

Потенциалы применяются для решения краевых задач математической физики.

Литература к главе: [72], [60], [50].

5.1. Вычисление потенциалов

5.2. Два равномерно заряженных шара, радиусы которых r0, могут проникать друг в друга, при этом плотность заряда каждого шара не меняется. Найти силу взаимодействия шаров, если их заряды Q1 и Q2.

Решить задачи 5.3 – 5.7 для объемных тел, плотность заряда которых постоянна и равна 0.

5.3. Найти потенциал полушара (x2 +y 2 +z 2 r0, z0) на оси 0z.

5.4. Вычислить потенциал на оси цилиндра (x2 +y 2 r0, |z| l).

5.5. Найти потенциал на оси конуса, боковая поверхность которого получена вращением отрезка прямой z=ctg, 0zh, 0/2 около оси 0z.

5.1. Вычисление потенциалов

5.6. Найти потенциал на оси параболоида, боковая поверхность которого получена вращением части параболы x2 =2pz, 0zh около оси 0z.

5.7. Найти потенциал на оси гиперболоида, боковая поверхность которого получена вращением части гиперболы z 2 x2 =a2, azb около оси 0z.

5.8. Найти потенциал на оси цилиндра (r=r0, 02, |z|h), плотность заряда боковой поверхности которого 0.

5.9. Найти потенциал на оси сферического сегмента, полученного вращением части окружности z 2 +x2 =r0, r0 ctg zr0 около оси 0z, если плотность заряда поверхности сегмента 0.

5.10. Найти потенциал на оси конуса, поверхность которого получена вращением отрезка прямой z=ctg x, 0zh, 0/2 около оси 0z, если плотность заряда боковой поверхности 0.

5.11. Найти потенциал простого слоя, распределенного на сфере, радиус которой r0, с плотностью:

1) 0 ; 2) 0 cos ; 3) 0 sin3 cos 3; 4) 0 (0 ).

5.12. Найти потенциал равномерно заряженного тонкого диска, радиус которого r0, заряд Q.

5.13. Решить задачу 2.504, исходя из выражения для потенциала в виде интеграла.

5.14. Если плотность токов в области R3 равна j(P ), то векторный потенциал магнитного поля

Представить векторный потенциал кругового тока J, радиус которого r0, в виде ряда по присоединенным функциям Лежандра.

12 Глава 5. ПОТЕНЦИАЛЫ

5.15. Найти потенциал электростатического поля зарядов, расположенных с постоянной плотностью q 1) на отрезке [l, l ] оси 0z; 2) на положительной части оси 0z; 3) на оси 0z.

5.16. Найти потенциал двойного слоя, распределенного на сфере, радиус которой r0, с плотностью:

1) 0 ; 2) 0 cos ; 3) 0 sin 2 cos ; 4) 0 (0 ).

5.17. Определить потенциал двойного слоя, распределенного на диске, радиус которого r0, с постоянной плотностью момента 0.

5.18. Дипольный момент единицы длины отрезка [l, l ] оси 0x пространства R3 равен 0 ez. Найти потенциал.

5.20. Найти потенциал электрического поля бесконечно длинной трубы (r1 rr2 ), объемная плотность заряда которой 0

5.21. Найти логарифмический потенциал простого слоя, распределенного на окружности, радиус которой r0, с плотностью:

1) 0 ; 2) 0 cos ; 3) 0 cos2 ; 4) 0 sin ; 5) 0 (0 ||).

5.22. Найти потенциал электрического поля зарядов, расположенных с плотностью 0 на 1) полосе (lxl, y=0, x);

2) полуплоскости (0x, y=0, z); 3. плоскости y=0.

5.23. Найти логарифмический потенциал двойного слоя, распределенного на окружности, радиус которой r0, с плотностью:

1) 0 2) 0 sin ; 3) 0 cos m; 4) 0 (0 ||).

5.24. Двойной слой, плотность момента которого постоянна и равна 0 ez, расположен 1) на полосе (|x|l, y=0, z) 2) на полуплоскости (0x, y=0, z) ; 3) на плоскости y=0.

Найти потенциал электростатического поля этих систем зарядов.

5.1. Вычисление потенциалов

5.25. Равномерно заряженный цилиндрический слой ограничен двумя подобными эллиптическими цилиндрами с общей осью.

Доказать, что потенциал электростатического поля во внутренней полости постоянен.

5.26. Найти плотность заряда на поверхности проводящего эллиптического цилиндра

Пример 5.2.

Внутри полого проводящего заземленного цилиндра, поперечным сечением которого является эллипс (5.4), параллельно его оси расположена бесконечная нить, координаты которой (т.е. координаты ее следа P на плоскости x0y) x=d, y=0, 0dc, c= a2 b2. Определить потенциал внутри цилиндра, если линейная плотность заряда нити q (рис. 5.1).

Потенциал u(x, y) является решением задачи Дирихле u = 4q(x d) · (y), (x, y), (5.5) u|S = 0, для уравнения Пуассона в области, ограниченной эллипсом S=. Геометрия задачи обусловливает применение эллиптических координат, которые вводятся с помощью функции

5.1. Вычисление потенциалов 2 y x F (r, s) = a2 +s + b2 +s 1, 0ba, r = x ex + y ey.

При фиксированном r эта функция зависит от одного аргумента s; ее график пересекает ось 0x в двух точках s= и s= (рис.5.2).

Числа, называются эллиптическими координатами точки r.

После подстановки v=X() Y () в уравнение (5.12) и определения собственных функций Yn () для Xn () получается уравнение Xn n2 Xn =0, общее решение которого

5.31. Определить потенциал вне проводящего эллиптического цилиндра (5.4), заряд единицы длины которого q, и получить для плотности заряда формулу (5.35).

5.32. Проводящий эллиптический цилиндр (5.4) внесен в однородное электрическое поле E0, перпендикулярное оси цилиндра и направленное под углом к оси 0x. Определить потенциал результирующего поля и плотность заряда на цилиндре.

5.33. Эллиптический цилиндр (5.4), диэлектрическая проницаемость которого, помещен в однородное электрическое поле E0, перпендикулярное оси цилиндра и направленное под углом к оси 0x. Определить поле внутри цилиндра.

5.34. Найти потенциал эллиптического цилиндра (5.4), объемная плотность заряда которого 0, и определить нормальную En и тангенциальную E компоненты поля на поверхности цилиндра.

5.35. Эллиптическая пластинка (полуоси эллипса a и b), толщина которой d, изготовлена из материала с проводимостью. Постоянный ток J втекает и вытекает через образующие x=a, y=0 и x=a, y=0 соответственно, вдоль которых плотность тока постоянна. Определить потенциал электрического поля и объемную плотность тока в пластинке.

5.36. Получить решение предыдущей задачи, если ток втекает через образующую x=0, y= b и вытекает через образующую x=0, y=b.

5.38. Внутри проводящего заземленного цилиндра (5.4) параллельно оси расположена нить с зарядом q на единицу длины.

Определить плотность заряда на цилиндре, если координаты нити x0 =d, y0 =0, 0dc (см. рис.5.1).

5.39. Найти силу, действующую на единицу длины нити при условиях предыдущей задачи.

5.40. Найти силу, действующую на единицу длины нити (см. задачу 5.38), если ее координаты x0 =0, y0 =d, 0db.

5.41. Нить, заряд единицы длины которой q, расположена вне проводящего заземленного цилиндра (5.4) параллельно его оси.

Найти потенциал вне цилиндра, плотность заряда на поверхности цилиндра, а также силу, действующую на единицу длины нити, если ее координаты x0 =da, y0 =0.

5.42. Решить предыдущую задачу для нити, расположенной вне цилиндра, координаты нити x0 =0, y0 =db.

5.43. Нить, координаты которой x0 =d0, y0 =0, заряд единицы длины q, расположена вне проводящего незаземленного незаряженного цилиндра (5.4) параллельно его оси. Найти потенциал электрического поля вне цилиндра, плотность заряда на поверхности цилиндра, и силу, действующую на единицу длины нити.

5.44. Решить предыдущую задачу для нити, координаты которой x0 =0, y0 =db.

5.45. Нить расположена параллельно проводящей заземленной полосе (|x|a, y=0, z). Найти плотность заряда на полосе, и силу, действующую на единицу длины нити, если линейная плотность заряда нити q, а ее координаты x0 =da, y0 =0.

5.46. Решить предыдущую задачу для бесконечной нити, координаты которой x0 =0, y0 =d0.

5.1. Вычисление потенциалов

5.56. Найти плотность заряда на тонком проводящем эллиптическом диске (5.4), заряд которого Q.

Пример 5.3.

Для решения задач, связанных с эллипсоидом, используются эллипсоидальные координаты. Они вводятся с помощью дробно-рациональной функции

При каждом фиксированном r=r(x, y, z), где xyz = 0, функция F (r, s) имеет три вещественных нуля,, (рис.5.3).

5.1. Вычисление потенциалов

Числа,, называются эллипсоидальными координатами точки r. Уравнения (r)=C1, (r)=C2, (r)=C3 описывают семейства эллипсоидов, однополостных и двухполостных гиперболоидов, софокусных базисному эллипсоиду

уравнение которого в эллипсоидальных координатах (r)=0. Через каждую точку пространства проходит по одной поверхности из каждого семейства и эти поверхности взаимно ортогональны (см задачу 5.59). Результатом совместного решения уравнений

F (r, )=0, F (r, )=0, F (r, )=0 являются формулы, связывающие декартовы и эллипсоидальные координаты:

В частности, через M0 (0)=M0 выражается потенциал u(r) в центре r=0 равномерно заряженного эллипсоида (5.22). В сферических координатах потенциал в центре

5.58. Определить потенциал во внутренней полости равномерно заряженного 1) гомеоида, ограниченного эллипсоидами с полуосями a, b, c и ka, kb, kc, k0, заряд которого Q; 2) бесконечно тонкого гомеоида, заряд которого dQ.

5.1. Вычисление потенциалов

5.63. Вычислить внешние потенциальные факторы Mlmn (), определенные в (5.25), при l+m+n 1, если 1) ab=c; 2) a=bc.

5.64. Решить задачу 5.60 для вытянутого эллипсоида вращения с полуосями ab=c.

5.65. Найти потенциал и плотность заряда металлической иглы, заряд которой Q. Игла занимает отрезок [a, a ] оси 0z.

5.66. Решить задачу 5.60 для сплюснутого эллипсоида вращения с полуосями a=bc.

5.67. Найти потенциал металлического диска, радиус которого r0, заряд Q. Диск расположен на плоскости z=0, его центр находится в начале координат.

5.68. Проводящий эллипсоид (5.18) помещен в однородное электрическое поле E0 ex. Определить потенциал вне эллипсоида.

5.69. Определить плотность заряда, индуцированного на поверхности проводящего эллипсоида (5.18), помещенного в однородное электростатическое поле E0 = E0x ex + E0y ey + E0z ez.

5.70. Тонкий проводящий эллиптический диск (полуоси эллипса a и b, ab) находится в однородном электрическом поле E0, направленном 1) по большой оси; 2) по малой оси диска. Найти плотность заряда на диске.

5.71. Круглый тонкий проводящий диск, радиус которого r0, находится в продольном электрическом поле E. Определить плотность заряда на диске.

5.1. Вычисление потенциалов

5.78. Пусть (S, dp) и (S, dp ) софокусные гомеоиды (см. задачу 5.54), объемы которых dV и dV, плотности заряда (r) и (r), потенциалы du(r) и du (r) соответственно. Доказать следующее свойство потенциалов (теорема взаимности): если dV =dV, (r)= (r ), где r и r взаимные точки, то

5.79. 1. Найти потенциал внешнего поля равномерно заряженного гомеоида (S, dp) (см. задачу 5.54), полный заряд которого dQ. 2. Получить формулу (5.38). 3. Показать, что эквипотенциальными поверхностями внешнего поля равномерно заряженного гомеоида (S, dp) являются софокусные с S эллипсоиды. 4. Доказать, что внешние поля двух равномерно заряженных софокусных гомеоидов (S1, dp1 ) и (S2, dp2 ) с одинаковыми зарядами равны.

5.80. Найти потенциал и напряженность электростатического поля вне и внутри равномерно заряженного эллипсоида с полуосями a, b, c (abc), объемная плотность заряда которого 0.

5.81. Найти квадрупольный момент равномерно заряженного эллипсоида с полуосями a, b, c, заряд которого Q.

5.82. Если базисный эллипсоид (5.22) представляет собой тело вращения относительно оси 0z (a=bc), то координата (пример 5.3) вырождается в константу a2. Вместо вводят полярный угол в плоскости x0y, полагая

(так как a2 b2, то 0+a2 a2 b2 ). Значения cos при ba определяются характером стремления величины к a2.

Числа (,, ) называются сплюснутыми сфероидальными координатами точки r.

Связь между декартовыми координатами (x, y, z) и сфероидальными координатами (,, ) устанавливается формулами (5.23):

5.83. Потенциал поверхности сплюснутого эллипсоида вращения является аксиально симметричной функцией относительно оси вращения. Найти потенциал внутри и вне эллипсоида.

5.84. Решить предыдущую задачу, если потенциал поверхности равен u1 при z0, u2 при z 0.

5.85. Решить задачу 5.83 для проводящего эллипсоида, потенциал которого u0 ; определить плотность заряда на поверхности эллипсоида и его емкость.

5.86. Тонкий металлический диск, радиус которого r0, заряжен до потенциала u0. Определить плотность заряда и емкость диска.

5.87. Постоянный ток J втекает в полупространство z0, проводимость которого, через проводник в форме сплюснутого полуy 2 2 эллипсоида вращения ( x a2 + z2 = 1, z 0, a c). Определить c потенциал электрического поля в полупространстве, плотность тока на поверхности S проводника, сопротивление проводника.

5.88. Если ab=c, то эллипсоидальные координаты (,, ) (см.

пример 5.3) вырождаются.

1) можно ввести так называемые вытянутые сфероидальные координаты (,, ), которые связаны с декартовыми координатами (x, y, z) соотношениями (см. задачу 5.82)

5.89. Потенциал поверхности сплюснутого эллипсоида вращения аксиально симметричная функция относительно оси вращения.

Найти потенциал внутри и вне эллипсоида.

5.90. Решить предыдущую задачу для проводящего эллипсоида, потенциал которого u0. Каковы плотность заряда и емкость эллипсоида?

32 Глава 5. ПОТЕНЦИАЛЫ

5.2. Решение задач методом потенциала.

Пример 5.4.

Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в шаре B радиуса r0, если u(r0,, )=f (, ), где f (, )=u0 cos.

Потенциал двойного слоя

где S=B, является гармонической функцией в шаре и может служить решением задачи Дирихле. При стремлении M к точке на S непрерывная в B функция uf ; соотношение (5.3) приводит к интегральному уравнению

5.100. Найти стационарную температуру внутри двугранного угла (0), грань =0 которого поддерживается при температуре u0 (l r), а грань = при нулевой температуре.

5.101. Решить задачу Дирихле в полупространстве z0, если на границе решение равно f (x, y). Рассмотреть случаи:

1) f (x, y) = u0 (x) (y); 3) f (x, y) = u0 (y k x);

2) f (x, y) = u0 (xy); 4) f (x, y) = u0 cos(x + y).

5.102. Найти стационарное распределение температуры внутри двугранного угла (0x, 0y, z), грань x=0 которого имеет нулевую температуру, а грань y=0 температуру u0 sign z.

5.103. Грань z=0 октанта (0x, 0y, 0z) имеет температуру u2, а грани x=0 и y=0 температуру u1. Найти стационарную температуру октанта.

Пример 5.5.

Через круглую пластинку (rr0, 02, |z|h), проводимость которой, протекает постоянный ток J. Ток втекает через образующую A(r=r0, =, |z|h), вытекает через образующую B(r=r0, =0, |z|h), вдоль которых он распределен равномерно. Найти объемную плотность тока в пластинке.

Плотность тока не зависит от z. Действительно, пластинку можно считать частью бесконечного цилиндра, в котором течет ток, распределенный равномерно вдоль образующих A и B.

Плотность тока j и потенциал связаны соотношением j= u;

так как divj=0, то u решение задачи для уравнения Лапласа в круге B(r0 ):

к краевой задаче для уравнения Лапласа, если принадлежит пространству 1) R2 ; 2) R3.

38 Глава 5. ПОТЕНЦИАЛЫ

5.115. На оси полого проводящего цилиндра, радиус которого r0, находится нить, несущая диполи, линейная плотность момента которых p, где p постоянный вектор, перпендикулярный нити.

Определить потенциал внутри цилиндра и плотность заряда на его поверхности.

5.116. В центре проводящей сферы, радиус которой r0, расположен точечный диполь с моментом p. Определить потенциал внутри сферы и плотность заряда на ней.

5.117. На поверхности шара, радиус которого r0, происходит теплообмен по закону Ньютона с внешней средой, температура которой f (, ). Найти стационарное распределение температуры в m шаре. Рассмотреть частный случай: f (, )=u0 Yn (, ).

5.118. В неограниченной среде имеется сферическая полость радиусом r0, температура которой f (, ). Определить стационарную температуру среды, если на границе с полостью происходит теплообмен по закону Ньютона. Рассмотреть частный слуm чай: f (, )=u0 Yn (, ).

Пример 5.6.

Проводник, занимающий область R3 с гладкой границей S, внесен в электростатическое поле E с потенциалом vE. Определить плотность заряда на проводнике.

Заряд на поверхности проводника создает поле с потенциалом

Поле в проводнике равно нулю; с другой стороны, оно является суперпозицией внешнего поля E и поля E= v зарядов на

5.2. Решение задач методом потенциала.

которое получается интегрированием соотношения (5.34) по сфере (интегрирование первого слагаемого в правой части дает нуль в силу теоремы Гаусса). В обоих случаях формула (5.34) является решением поставленной задачи для сферы.

5.119. Отрезок M1 M2 с зарядом q на единицу длины расположен над проводящей плоскостью z=0. Найти плотность заряда на плоскости, если

1) M1 =(0, 0, l1 ), M2 =(0, 0, l2 ), 0l1 l2 ;

2) M1 =(l1, 0, l2 ), M2 =(l1, 0, l2 ), 0l2.

40 Глава 5. ПОТЕНЦИАЛЫ

5.120. На расстоянии h от проводящей заземленной плоскости расположен точечный диполь с моментом p, параллельным плоскости. Определить плотность заряда на плоскости.

5.121. Определить плотность заряда на проводящей заземленной сфере, помещенной в однородное электрическое поле E0.

5.122. Проводящая незаземленная сфера, радиус коьорой r0, заряд Q, помещена в однородное поле E0. Какова плотность заряда на сфере?

5.123. Найти плотность заряда на проводящей заземленной сфере, радиус которой r0, на расстоянии d от центра которой находится точечный заряд q. Рассмотреть случаи 1) dr0 ; 2) dr0.

5.124. Точечный заряд q расположен на расстоянии d от центра незаземленной проводящей сферы, радиус которой r0, заряд Q.

Найти плотность заряда на сфере в случаях 1) dr0 ; 2) dr0.

5.125. Незаземленная проводящая сфера, радиус которой r0, заряд Q, находится в поле бесконечной нити, заряд единицы длины которой q. Определить плотность заряда на сфере, если ее центр отстоит от нити на расстоянии dr0.

5.126. Вне проводящей сферы, радиус которой r0, на расстоянии d от центра расположен точечный диполь с моментом p=p d. d Найти плотность заряда на сфере, если она 1) заземлена; 2) незаземлена и имеет заряд Q.

5.127. Вне проводящей сферы, радиус которой r0, на расстоянии d от ее центра O в точке M расположен диполь с моментом p, перпендикулярным вектору OM. Найти плотность заряда на сфере, если она 1) заземлена; 2) незаземлена и имеет заряд Q.

5.128. Проводящая цилиндрическая поверхность, поперечным сечением которой является односвязная область, ограниченная замкнутым контуром, параллельна оси 0z. Показать, что плотность заряда, индуцированного на поверхности электрическим

5.2. Решение задач методом потенциала.

5.129. Проводник, заполняющий полупространство z0, находится в электрическом поле, напряженность которого в отсутствии проводника E(x, y). Определить плотность заряда на плоскости z=0.

5.130. Определить плотность заряда на поверхности проводящего незаземленного цилиндра, внесенного в плоское поле E, перпендикулярное оси цилиндра.

5.131. Проводящий цилиндр, радиус которого r0, и заряд q на единицу длины, внесен в однородное поле E0, перпендикулярное оси цилиндра. Найти плотность заряда на поверхности цилиндра.

5.132. Параллельно оси полого проводящего цилиндра, радиус которого r0, на расстоянии dr0 от оси расположена нить с зарядом q на единицу длины. Найти плотность заряда на поверхности цилиндра, если его собственный заряд на единицу длины q0.

5.133. Параллельно проводящей заземленной плоскости на расстоянии h от нее расположена нить, плотность дипольного момента которой p. Найти плотность заряда на плоскости, если вектор p перпендикулярен плоскости и направлен к ней.

5.134. Нить, дипольный момент единицы длины которой p=p e, расположена параллельно проводящему цилиндру радиуса r0 на расстоянии dr0 от его оси. Найти плотность заряда на поверхности цилиндра,если цилиндр 1) заземлен; 2) изолирован и имеет заряд q на единицу длины.

5.135. Между проводящими плоскостями y= ± h на одинаковом расстоянии от них расположена нить с линейной плотностью заряда q. Найти плотность заряда на плоскостях.

42 Глава 5. ПОТЕНЦИАЛЫ

5.136. Нить с зарядом q на единицу длины расположена параллельно ребру двугранного угла (r) 03/2, z), образованного двумя проводящими полуплоскостями (рис. ); координаты нити r=r0, =4/4.) Найти плотность заряда на гранях угла.

5.137. Параллельно краю проводящей полуплоскости (x0, y=0, z) помещена нить, координаты которой x = d, d0, y=0, заряд единицу длины q. Найти плотность заряда на полуплоскости.

поверхностями Sk и S. Потенциал u(r) равен сумме потенциалов u1 (r) эллипсоида k и u2 (r) гомеоида в точке r поверхности Sk. Потенциал u1 (r) получается из (5.44) при =0 и преобразуется заменой t = k2 s к виду

в области при тех же дополнительных условиях. Если функцию F (x) трактовать как плотность источников, то G(x, ) характеризует влияние единичного источника, помещенного в точку x=.

58 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА Так как F (x) может быть представлена в форме суперпозиции точечных источников

Таким образом, решение линейных задач методом функции Грина основано на следующем принципе: результат действия суммы источников равен сумме их действий.

В случае ненулевых дополнительных условий следует осуществить необходимую редукцию, т.е. перейти к задаче с нулевыми условиями.

Проведенные эвристические рассуждения не являются доказательством того, что найденное решение действительно является таковым, т.е. удовлетворяет всем условиям, определяющим задачу: необходимо математическое обоснование этого факта.

Решение широкого класса задач (задачи Коши, смешанных и краевых задач) для линейных уравнений различного типа проводится по единой схеме. 1) Определение функции Грина, т.е.

формулировка условий, которым она удовлетворяет; если задача состоит в решении уравнения (6.1) в области при заданных дополнительных условиях (необязательно нулевых), то соответствующая функция Грина является решением уравнения (6.2) в той же области при нулевых дополнительных условиях. 2) Построение функции Грина. 3) Построение решения основной задачи с помощью функции Грина.

Аппарат функции Грина является также эффективным средством преобразования задачи для дифференциального уравнения в эквивалентное интегральное уравнение.

Литература к главе: [72], [14], [10], [60].

6.1. Задачи для волнового уравнения

6.1. Решение задач для волнового уравнения Пример 6.1. Построение функции Грина задачи Коши для волнового уравнения. Задаче Коши

Постановки (6.4) и (6.7) эквивалентны: одна из другой получаются с помощью формулы (10.15).

6.1. Построить функцию Грина задачи Коши для уравнения, описывающего потенциал бесконечной линии (x) без искажения (RC=LG).

6.2. Бесконечная трубка (x) заполнена идеальным газом, давление и плотность которого P0 и 0 соответственно. В момент времени t=0 в сечении x=0 выделилось равномерно по сечению количество Q того же газа. Определить в акустическом приближении потенциал скоростей газа.

6.3. Построить функцию Грина задачи Коши для волнового уравнения utt = a2 u 1) в R2 ; 2) в R3.

6.4. На оси 0z расположены мгновенные источники идеального газа, в результате действия которых с каждой единицы длины оси в момент времени t=0 выделилось количество q0 газа. Найти в акустическом приближении потенциал скоростей газа, если его равновесные давление и плотность P0 и 0 соответственно.

6.1. Задачи для волнового уравнения

6.5. Определить в акустическом приближении потенциал скоростей идеального газа в результате действия точечного источника, выделившего в момент времени t=0 количество Q того же газа;

равновесные давление и плотность P0 и 0 соответственно.

6.6. Неограниченная струна (x) получает импульс I в результате поперечного удара в точку x=0. Решить задачу о движении струны, если сопротивление внешней среды пропорционально скорости движения струны (коэффициент пропорциональности задан).

6.7. Построить функцию Грина задачи Коши для уравнения, описывающего потенциал бесконечной линии с пренебрежимо малой утечкой на единицу длины.

6.8. Построить функцию Грина задачи Коши для уравнения, описывающего потенциал бесконечной линии (x) с параметрами R, L, C, G.

6.9. Неограниченная струна (x) получает импульс I в результате поперечного удара в точку x=0. Решить задачу о движении струны, если на нее действуют упругие силы, пропорциональные отклонению точек струны от положения равновесия (коэффициент пропорциональности k, отнесенный к единице длины струны, задан).

6.10. Построить функцию Грина задачи Коши для уравнения

где первая строка соответствует положительным значениям x а вторая отрицательным. Если 0, то функция Грина получается из (6.8) заменами: 1 2, 2 1,, x x.

6.14. Построить функцию Грина задачи Коши для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня c характеристиками 1, E1, S0 при x0, 2, E3, S0 при x0.

6.15. Неограниченная струна (x) с шариком массой m в точке x=0 получает импульс I в результате поперечного удара в точку x=. Найти отклонение точек струны от положения равновесия.

6.16. В момент времени t=0 в точку x==0 неограниченной линии (x) помещен заряд Q. Определить потенциал линии, если ее параметры R=G=0,

Начальные ток и потенциал равны нулю.

Пример 6.3.

Решение задачи Коши для неоднородного волнового уравнения. На бесконечную струну (x) с момента t=0 64 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА

6.17. На струну (x) с момента t=0 действует поперечная сила F0 et, 0, приложенная в точке x=0. Решить задачу о движении струны при нулевых начальных условиях. Начертить профиль струны в момент времени t0 0. Найти закон движения точки с координатой x0 и построить соответствующий график.

6.18. На струну (x) с момента t=0 действует поперечная сила F0 sin t, приложенная в точке x=0. Решить задачу о движении струны при нулевых начальных условиях.

6.19. В точке x=0 неограниченной струны (x) приложена сила F0 eu, действующая в течение времени от t=0 до t=t0 0.

Решить задачу о движении струны при нулевых начальных условиях.

6.20. В идеальном газе, равновесные давление и плотность которого P0 и 0 соответственно, с момента времени t=0 действуют источники того же газа. Определить в акустическом приближении потенциал скоростей газа, если мощность источников в единице объема q(x, y, t).

6.21. Решить предыдущую задачу, если источники газа распределены на прямой 1) с плотностью q(t); 2) с постоянной плотностью q0.

6.22. Решить задачу 6.20, если источники распределены с плотностью q(t) на прямой, движущейся в направлении ей перпендикулярном по закону r = v0 t, 0v0 a.

66 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА

6.25. Решить задачу 6.23 для источников, равномерно распределенных на сфере, радиус которой r0, мгновенно выделивших количество Q газа.

6.26. Решить задачу 6.23, если источники распределены на сфере, радиус которой r0, и выделяют в единицу времени с единицы площади количество газа 1) q(t); 2) q0.

6.27. Решить задачу 6.23, если в газе действует точечный источник мощности Q(t).

6.28. Решить задачу 6.23, если в газе действует точечный источник мощности Q(t), движущийся по закону r = v0 t (t), где |v0 | a.

6.29. Решить задачу

6.30. К точке x=0 неограниченной струны (x) с момента времени t=0 приложена сила F0 (t) eu. Решить задачу о движении струны при нулевых начальных условиях, если на нее действуют упругие силы, пропорциональные отклонению точек струны от положения равновесия (коэффициент пропорциональности k, отнесенный к единице длины струны, задан).

6.1. Задачи для волнового уравнения

6.36. Начальная скорость идеального газа равна нулю, а его плотность (r, 0) = 0 [1 + s0 (r0 r)], где r = x2 + y 2 + z 2.

Определить в акустическом приближении плотность газа (r, t), если равновесные давление и плотность P0 и 0 соответственно.

т.е. неоднородность в уравнении имеет вид -функции, а все остальные условия (граничное и начальные) нулевые. Изображение G = L[ G ] удовлетворяет условиям

6.42. Вдоль линии (0x) с параметрами L, C (R=G=0), конец которой заземлен через конденсатор C0, распространяется волна u(x, t) = f (x + at). Определить зависимость заряда конденсатора от времени, если f (x) = u0 sin x · (x).

6.43. По полуограниченному упругому стержню (0x) распространяется продольная волна u(x, t)=f (x + at). Найти отраженную волну, если торец стержня 1) жестко закреплен; 2) свободен.

6.44. Вдоль полуограниченного упругого стержня (0x), на торец которого действует сила сопротивления, пропорциональная скорости (коэффициент пропорциональности задан), распространяется продольная волна u(x, t) = f (x + at). Найти отраженную волну.

6.45. В точке x=x0 0 полуограниченной струны (0x) с закрепленным концом действует с момента времени t=0 поперечная сила F0 sin t eu. Решить задачу о колебаниях струны.

6.46. Построить функцию Грина смешанной задачи для уравнения, описывающего потенциал полуограниченной линии (0x) без искажения (RC=LG) с заземленным концом.

6.47. Построить функцию Грина смешанной задачи для уравнения, описывающего ток в полуограниченной линии (0x) без утечки с заземленным концом.

6.48. Решить задачу о движении полубесконечной струны (0x), конец которой движется по закону µ(t).

6.49. К концу полуограниченного стержня (0x) прикреплена пружинка с коэффициентом жесткости k. С момента t=0 свободный конец пружинки движется вдоль оси 0x по закону µ(t).

Решить задачу о движении стержня.

6.50. Конец полуограниченной линии (0x) без утечки подключен к батарее с ЭДС E0 (t). Найти ток в линии при нулевых начальных условиях.

72 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА

6.2. Решение задач для уравнения теплопроводности

Пример 6.6. функция Грина задачи Коши для уравнения теплопроводности определяется следующим образом:

Как следует из определения, функция Грина представляет собой температуру пространства, обусловленную выделением количества тепла Q=C в точке x=0 в момент времени t=0, если при t0 температура пространства была равна нулю. Таким образом, в результате выделения тепла температура пространства при t=0 становится равной (x), т.е.

Gt = a2 G, x Rn, t 0, G(x, 0) = (x).

6.51. Через поверхность тонкого неограниченного стержня происходит теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. Построить функцию Грина соответствующей задачи Коши.

6.52. Найти потенциал бесконечной линии (x) с параметрами R, C (L=G=0), в точку x= которой в момент времени t= помещен заряд Q.

6.53. Решить предыдущую задачу для линии с пренебрежимо малой индуктивностью на единицу длины.

6.54. В сечении x=0 тонкой трубки (x) в момент времени t=0 выделилось количество q на единицу площади неустойчивого газа (распад пропорционален концентрации). Определить концентрацию газа в процессе диффузии, если начальная концентрация равна нулю.

6.55. В однородной изотропной среде с коэффициентом диффузии D находится точечный источник, который в момент t=0 выделяет количество Q неустойчивого газа (распад пропорционален концентрации). Определить концентрацию газа в процессе диффузии, если его начальная концентрация равна нулю.

6.56. Построить функцию Грина задачи Коши для уравнения диффузии в среде, движущейся со скоростью v0 вдоль оси 0x, если концентрация диффундирующего вещества зависит только от x и t.

74 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА

6.57. В сечении x= бесконечного стержня (x) с характеристиками 1, C1, S0 при x0, 2, C2, S0 при x0 в момент времени t=0 выделилось (равномерно по сечению) Q единиц тепла. Найти температуру стержня, если его начальная температура равна нулю; поверхность стержня теплоизолирована.

6.58. В момент времени t=0 в точку x==0 неограниченной линии (x) помещен заряд Q. Определить потенциал линии, если ее параметры L=G=0,

Начальный потенциал равен нулю.

6.59. В сечении x=0 бесконечного стержня (x) с теплоизолированной поверхностью имеется сосредоточенная теплоемкость C0. В момент t=0 в сечении x= выделилось (равномерно по сечению) 1, E1, S0 при x0, Q единиц тепла. Определить температуру u(x t) стержня при t0, если u(x, 0)=0.

6.60. В сечении x=0 неограниченной трубки (x) в момент времени t=0 выделилось (равномерно по сечению) количество Q газа. Решить задачу диффузии, если сечение x=0 представляет собой полупроницаемую перегородку; при t0 газа в трубке не было.

6.61. В момент времени t=0 на цилиндрической поверхности, радиус которой r, равномерно по поверхности выделилось Q единиц тепла на единицу длины вдоль оси. Найти температуру пространства, если начальная температура равна нулю.

6.62. Определить температуру пространства, обусловленную выделением в момент времени t=0 количества тепла Q, равномерно распределенного по окружности, радиус которой r ; до момента t=0 температура пространства была равна нулю.

6.2. Задачи для уравнения теплопроводности

6.63. Определить температуру пространства, обусловленную выделением в момент времени t=0 количества тепла Q, равномерно распределенного по кругу, радиус которого r ; до момента t=0 температура пространства была равна нулю.

6.64. В однородной бесконечной среде с поглощением (c s ) имеется изотропный плоский источник (плоскость x=0), с единицы площади которого мгновенно (в момент времени t=0) выделилось Q0 моноэнергетических (тепловых) нейтронов. Найти в диффузионном приближении плотность n(x, t) нейтронов, если их скорость v (по абсолютной величине) не меняется в процессе диффузии; начальная концентрация нейтронов равна нулю.

6.65. Решить предыдущую задачу для линейного изотропного источника, расположенного на оси 0z, с единицы длины которого мгновенно выделилось Q0 моноэнергетических нейтронов.

6.66. Решить задачу 6.64 для точечного изотропного источника, мгновенно испустившего Q0 моноэнергетических нейтронов.

6.67. В бесконечной однородной среде с поглощением (c s ) действует плоский изотропный источник (плоскость x=0), испускающий в единицу времени с единицы площади Q0 быстрых нейтронов с летаргией u=0. Найти в диффузионно-возрастном приближении плотность замедления нейтронов.

6.68. Решить предыдущую задачу для линейного изотропного источника, расположенного на оси 0z, с единицы длины которого в единицу времени испускается Q0 быстрых нейтронов с летаргией u=0.

6.69. Решить задачу 6.67 для точечного изотропного источника, испускающего в единицу времени Q0 быстрых нейтронов с летаргией u=0. Найти также средний квадрат расстояния r 2 между точками, в которых летаргия нейтрона u=0 и u0.

76 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА

6.71. В сечении x= стержня (x) с теплоизолированной поверхностью с момента t=0 до t=t0 0 действует источник тепла мощности Q. Найти температуру стержня, если его начальная температура равна нулю.

6.72. Определить температуру прямой (x), на части (l, l) которой в момент времени t=0 выделилось Q равномерно распределенных единиц тепла. Начальная температура прямой равна нулю.

6.73. На участке (l, l) прямой (x) с момента t=0 действуют источники, линейная плотность которых постоянна и равна q0. Определить температуру прямой, если ее начальная температура равна нулю.

6.74. Найти температуру u(x, t) прямой (x), на которой с момента времени t=0 действуют источники тепла плотности q0 exp(x2 ), где 0, если u(x, 0) = 0.

6.75. В пространстве с момента t=0 до t=t0 0 действует точечный источник тепла постоянной мощности Q. Найти температуру u(r, t) пространства при t 0, если u(r, 0) = 0.

6.76. В сечении x= трубки (x) с момента t=0 действует источник неустойчивого газа (распад пропорционален концентрации) постоянной мощности Q. Найти концентрацию газа в процессе диффузии, если начальная концентрация равна нулю.

6.77. В сечении x=0 неограниченного стержня (x) действует в течение времени от t=0 до t=t0 0 источник тепла, мощность которого Q0 et, где 0. Решить задачу теплопроводности, если начальная температура стержня равна нулю, а через его поверхность происходит теплообмен по закону Ньютона со средой нулевой температуры.

6.78. В сечении x=0 неограниченного стержня (x) действует в течение времени от t=0 до t=t0 0 источник тепла, мощность которого Q0 t/t0. Решить задачу теплопроводности, если 78 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА начальная температура стержня равна нулю, а через его поверхность происходит теплообмен по закону Ньютона со средой нулевой температуры.

6.79. В однородной бесконечной среде с поглощением (c s ) действует изотропный точечный источник, испускающий в единицу времени с единицы площади плоскости x = 0 количество Q0 моноэнергитеческих (тепловых) нейтронов. Найти в диффузионном приближении плотность n(x, t) нейтронов, если их скорость v (по абсолютной величине) не меняется в процессе диффузии;

начальная концентрация нейтронов равна нулю.

6.80. Точечный источник тепла мощности Q0 движется вдоль прямой (x) по закону x = v0 t. Найти температуру u(x, t) прямой, если u(x, 0) = 0.

6.81. Определить температуру газа, в котором в результате разряда выделилось количество тепла Q, равномерно распределенного по цилиндру, радиус которого r0 высота 2l; начальная температура газа равна нулю.

6.82. В однородной бесконечной среде с поглощением (c s ) действует изотропный плоский источник (плоскость x=0), испускающий с единицы площади в единицу времени Q0 быстрых нейтронов с летаргией u=0. Найти в диффузионно-возрастном приближении плотность потока тепловых нейтронов.

6.83. Решить предыдущую задачу для точечного изотропного источника, испускающего в единицу времени Q0 быстрых нейтронов с летаргией u=0.

Пример 6.8.

Задача Коши с ненулевым начальным условием

6.85. Начальная температура стержня (x) с теплоизолированной поверхностью равна u0x2 +l2. Найти плотность теплоlsignx вого потока через сечение x=0.

6.86. Определить температуру u(x, t) прямой (x), если u(x, 0) = u0 (l |x|). Построить график зависимости температуры от времени в точках x1 (0, l), x2 l.

80 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА

6.88. Определить температуру u(x, t) прямой (x) при t0, если u(x, 0) = u0 exp(|x|), 0. Получить асимптотическое представление зависимости температуры от времени в фиксированной точке при t.

6.89. Неограниченный стержень (x) с теплоизолированной поверхностью нагрет до температуры u0 exp(x2 ), где

0. Как будет изменяться температура стержня со временем?

6.90. Найти температуру стержня (x) с теплоизолированной поверхностью, если его начальная температура равна Ax exp(x2 ), 0. Получить асимптотическое представление зависимости температуры в сечении x от времени при t.

6.91. Определить температуру u(x, t) прямой (x0), если начальная температура u(x, 0) = u0 sin x.

6.92. Определить температуру u(x, t) прямой (x0), если начальная температура u(x, 0) = u0 cos x exp(x2 ), 0.

6.93. Найти температуру бесконечного стержня (x), через поверхность которого происходит теплообмен по закону Ньютона со средой нулевой температуры, если начальная температура равна u1 при x0, u2 при x0.

6.94. Через поверхность тонкого стержня (x) происходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой постоянна и равна u0. Найти температуру u(x, t) стержня при t0, если u(x, 0) = u1 sign x.

6.95. Через поверхность тонкого стержня (x) происходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой u0 (x). Решить задачу теплопроводности для стержня, если его начальная температура равна нулю.

6.2. Задачи для уравнения теплопроводности

6.96. Через поверхность тонкого стержня (x) происходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой u0 e|x|, 0. Решить задачу теплопроводности для стержня, если его начальная температура равна нулю.

6.97. Решить задачу Коши для уравнения теплопроводности:

6.98. Найти температуру стержня (x), характеристики которого 1, C1, S0 при x0, 2, C2, S0 при x0, если начальная температура u0 (x); поверхность стержня теплоизолирована.

6.99. Определить концентрацию вещества, диффундирующего в среде, которая движется со скоростью v0 вдоль оси 0x, если начальная концентрация u0 (1 (x)).

6.100. Тонкая трубка (x), в которой диффундирует газ, движется вдоль оси 0x со скоростью v0. Найти концентрацию газа u(x, t) в трубке при t0, если начальная концентрация u(x, 0) = u0 exp(x2 ), 0.

6.101. Начальная температура стержня (x) с характеристиками 1, k1, C1, S0 при x0, 2, k2, C2, S0 при x0 равна u0 exp(|x|), 0. Найти температуру в сечении x=0. Получить асимптотическое представление зависимости температуры от времени при t в этом сечении.

6.102. В сечении x=0 бесконечного стержня (x) с теплоизолированной поверхностью имеется тонкая прокладка, теплоемкость которой C0. Определить температуру u(0, t) прокладки, если при t=0 1) ее температура равна нулю, а температура стержня u0 ; 2) температура прокладки равна u0, а стержня u0 (x). Получить асимптотические разложения (до 2-го члена) функции u(0, t) при t 0 и t.

82 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА

6.103. Решить задачу Коши

6.105. Начальная температура пространства u0 (r0 r) где r расстояние до оси 0z. Найти температуру в точках оси 0z.

6.106. Начальная температура пространства u0 er, где 0, а r расстояние до оси 0z. Найти температуру на оси и получить асимптотическое представление функции u(0, t) при t.

6.111. Поверхность бесконечного бруса с прямоугольным поперечным сечением (|x|l1, |y|l2 ) поддерживается при нулевой температуре. Решить задачу теплопроводности для бруса, если его начальная температура u0 signz.

6.112. Поверхность неограниченного цилиндра (rr0, 02) поддерживается при нулевой температуре, а начальная температура равна u0 (1 r 2 /r0 )2 (l |z|). Решить задачу теплопроводности.

Пример 6.9.

В некоторых случаях функцию Грина смешанных задач удается получить методом изображений. Иллюстрацией может служить построение функции Грина задачи для неоднородного уравнения в двугранном угле (0x, 0y, zR), на грань y=0 которого подается тепловой поток с заданной плотностью, а другая грань имеет определенную температуру, при этом температура, плотность потока и плотность источников не зависят от z. Согласно физическому смыслу функции Грина (см.

пример 6.6), она представляет собой температуру внутри угла, обусловленную действием линейного (параллельного оси 0z) источника, с каждой единицы длины которого мгновенно выделилось количество тепла Q=C, при этом граничные и начальное условия нулевые.

Смешанную задачу можно свести к задаче Коши, функция Грина которой уже найдена (см.(6.13)), поместив вне угла дополнительные источники таким образом, чтобы грань x=0 имела нулевую температуру, а поток через грань y=0 был равен нулю. Для этого наряду с данным источником в точке P следует поместить источники мощности Q в точках P1, P2 и мощности Q в точке P3 (Рис.6.1). Суммарное действие всех источников определяет функцию Грина смешанной задачи

6.113. Торец полуограниченного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью 1) поддерживается при заданной температуре; 2) облучается заданным тепловым потоком. Построить функцию Грина соответствующей смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

6.114. Конец полуограниченной линии (x0) с пренебрежимо малой индуктивностью на единицу длины заземлен. В момент t = 0 в точку x=0 помещают заряд Q. Найти потенциал.

6.115. В момент времени t=0 на сфере, радиус которой r, выделилось Q=C единиц тепла, равномерно распределенного по сфере. Найти температуру пространства, если начальная температура равна нулю.

6.116. Шар, радиус которого r0, находится в однородной изотропной среде с характеристиками k,, C, температура которой 0o. В момент t=0 на сфере, радиус которой r r0, выделилось количество тепла Q, равномерно распределенное по сфере. Определить температуру вне шара, если его поверхность поддерживается при нулевой температуре.

6.2. Задачи для уравнения теплопроводности

6.117. Построить функцию Грина смешанной задачи для неоднородного уравнения в двугранном угле (0x, 0y, z), грани которого поддерживаются при заданной температуре; температура граней, начальная температура и плотность источников не зависят от z.

6.118. Построить функцию Грина смешанной задачи для уравнения теплопроводности в октанте (0x, 0y, 0z), грани которого имеют заданную температуру.

6.119. Построить функцию Грина смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке (0xl) с граничными условиями 1-го типа 1) методом Фурье; 2) методом изображений.

6.120. Построить функцию Грина смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке (0xl) с граничными условиями второго типа при x=0 и первого типа при x=l 1) методом Фурье; 2) методом изображений.

6.121. В однородном замедлителе с поглощением (c s ), занимающем полупространство, действует точечный изотропный источник, испускающий в единицу времени Q0 быстрых нейтронов с летаргией u=0; координаты источника x=y=0, z=a, где a0 расстояние до экстраполированной границы z=0. Определить плотность замедления нейтронов.

6.122. В бесконечном однородном замедлителе с поглощением (c s ) действует изотропный сферический источник (сфера, радиус которой r ), с единицы площади которого в единицу времени испускается Q0 /S быстрых нейтронов с летаргией u=0, где S площадь сферы. Определить поле замедления нейтронов.

Пример 6.10.

Через торец полуограниченного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью происходит теплообмен по закону Ньютона с внешней средой. Построить функцию Грина соответствующей смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

86 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА

6.123. В сечении x= полуограниченной трубки (0x) в момент времени t=0 выделилось количество Q неустойчивого газа (распад пропорционален концентрации). Определить концентрацию газа в процессе диффузии, если конец трубки закрыт полупроницаемой перегородкой; начальная концентрация газа равна нулю, концентрация газа вне трубки постоянна и равна нулю.

6.124. Построить функцию Грина смешанной задачи для уравнения теплопроводности, описывающего распространение тепла в полуограниченном стержне с сосредоточенной теплоемкостью C0 на конце при условии теплоизолированности этой системы.

6.125. Конец линии (0x) с параметрами R, C (L=G=0) заземлен через конденсатор C0, начальный заряд которого q0. Определить зависимость заряда конденсатора от времени.

6.126. Конец линии (0x) с параметрами R, C (L=G=0) заземлен через конденсатор C0. В момент времени t=0 в точку x=x0 0 помещают заряд q0. Найти заряд конденсатора q(t). Получить асимптотическое представление функции q(t) при t 0 и t и построить ее график.

6.127. Конец полуограниченной линии (0x) с пренебрежимо малой индуктивностью на единицу длины заземлен через сосредоточенное сопротивление R0. В момент времени t=0 в точку x=x0 0 линии помещают заряд q0. Определить ток через сопротивление.

6.128. Шар, радиус которого r0, помещен в однородную изотропную среду с характеристиками k,, C, температура которой 0o.

В момент t=0 на сфере радиус, радиус которой r r0, равномерно по сфере выделилось количество тепла Q. Определить температуру вне шара, если 1) его поверхность теплоизолирована; 2) шар поддерживается при нулевой температуре, а через его поверхность происходит теплообмен по закону Ньютона.

88 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА

6.129. Начальная концентрация газа в полуогpаниченной трубке (0x) равна 1) u0 (l x); 2) u0 (x l); 3) u0 sign(l x). Решить задачу диффузии, если концентрация газа на конце трубки в любой момент времени равна нулю.

6.130. Торец полубесконечного стержня (0x) с теплоизолированной боковой поверхностью поддерживается при нулевой температуре. Определить температуру стержня при t0, если при t=0 она равна 1) u0 exp(x); 2) u0 exp(x2 ), где 0.

6.131. Найти концентрацию частиц, диффундирующих в полубесконечной трубке (0x), конец которой закрыт, а начальная концентрация 1) u0 (l x); 2) u0 exp(x), 0.

6.132. В трубке (0x) с закрытым концом диффундирует газ, начальная концентрация которого u0 (x l). Определить концентрацию газа при t0. Построить график зависимости концентрации от времени при x=x1 (0, l) и x=x2 l.

6.133. Полубесконечный стержень (0x) с теплоизолированной поверхностью (включая торец) имеет в момент времени t=0 температуру u0 sign(x l). Определить его температуру при t0.

Построить графики зависимости температуры от времени в сечениях x=x1 (0, l) и x=x2 l.

6.134. Граница z=0 полупространства (z0) теплоизолирована, кроме круга, радиус которого r0 ; через круг поступает тепловой поток постоянной плотности q0 ez. Определить температуру полупространства в момент времени t0, если при t=0 она равна нулю.

6.135. На границе z=0 полупространства (z0), температура которого равна нулю, находится тонкое однородное кольцо, радиус которого r0,. С момента t=0 в кольце течет постоянный ток и в полупространство поступает тепловая мощность Q. Решить задачу теплопроводности при условии, что граница z=0 теплоизолирована. Определить также температуру на оси кольца.

90 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА

6.136. Решить задачу Коши ut = a2 u, x, y, z, 0 t, x2 + y 2 + z 2, u(x, y, z, 0) = u0 (r), r = где u0 (r) равна 1) u0 (r0 r); 2) Arer, 0.

6.137. Найти температуру пространства, обусловленную мгновенным выделением Q единиц тепла, равномерно распределенного в шаре, радиус которого r0, если начальная температура равна нулю.

6.138. В бесконечном однородном замедлителе с поглощением (c s ) действует точечный изотропный источник, испускающий в единицу времени Q0 быстрых нейтронов с летаргией u=0.

Определить в диффузионно-возрастном приближении плотность потока тепловых нейтронов.

6.139. В однородную изотропную среду помещен шар, радиус которого r0. Определить температуру вне шара, если шар поддерживается при нулевой температуре, а начальная температура внешней среды равнаu0.

6.140. Шар, радиус которого r0, помещен в однородную изотропную среду с характеристиками k,, C. Начальная температура внешней среды равна u0 rr0 e(rr0 ), где 0, шар поддерживается при нулевой температуре. Решить задачу теплопроводности.

Получить также асимптотическое представление решения u(r, t) при t (r фиксировано) и при r (t фиксировано).

6.141. Неустойчивый газ, распад которого пропорционален концентрации, диффундирует из шара, радиус которого r0, во внешнее пространство столь долго, что концентрация газа не зависит от времени, а на поверхности шара она равна u0. С момента t=0 концентрация газа на сфере r=r0 становится равной нулю.

Решить диффузионную задачу вне шара, считая концентрацию u(r, t) непрерывной функцией при r r0 (граничное условие первого рода).

6.2. Задачи для уравнения теплопроводности

6.142. В среде с характеристиками k,, C находится шар, радиус которого r0 ; вне шара действуют тепловые источники, мощность которых в единице объема Q er, 0. Определить темr пературу среды при нулевом начальном условии, если шар поддерживается при рулевой температуре.

6.143. Через боковую поверхность полуограниченного стержня (0x) происходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой u1. Найти температуру стержня, если его торец поддерживается при 0o, а начальная температура u0.

6.144. В сечении x=x0 0 стержня (0x) с теплоизолированной боковой поверхностью действует источник тепла постоянной мощности Q0. Определить температуру u(x, t) стержня при t0, если u(x, 0)=0, а торец 1) поддерживается при нулевой температуре; 2) теплоизолирован.

6.145. Найти температуру полупрямой (0x), на которой находятся тепловые источники плотности q0 exp(x), 0; конец полупрямой поддерживается при 0o, начальная температура равна нулю.

6.146. Грани двугранного угла (0x, 0y, z) поддерживаются при нулевой температуре; найти температуру внутри угла при t0, если при t=0 она равна u0.

6.147. Определить температуру октанта (0x, 0y, 0z), грань x=0 которого теплоизолирована, остальные грани имеют нулевую температуру, а начальная температура u0.

6.148. В тонкой полуограниченной трубке (0x) диффундирует газ, источник которого расположен в сечении x=x0 0 и имеет постоянную мощность Q; конец трубки закрыт полупроницаемой перегородкой, начальная концентрация газа равна нулю. Определить поток q(t) газа, выходящего из трубки, и получить асимптотическое разложение (до второго члена включительно) функции q(t) при t.

92 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА

6.149. Шар, радиус которого r0, помещен в среду с характеристиками k,, C и поддерживается при нулевой температуре.

Найти температуру среды, если ее начальная температура равна u0, а через поверхность шара происходит теплообмен по закону Ньютона.

6.150. На конце полуограниченного стержня (0x) имеется тонкая пластинка, теплоемкость которой C0. При условии теплоизолированности этой системы найти 1) температуру стержня, если 0o ; 2) температуего начальная температура u0, а пластинки ру u(0, t) пластинки, если ее начальная температура равна нулю, kS а стержня u0 exp( x ), где = aC0 ; получить асимптотическое a представление функции u(0, t) при t и построить ее график.

6.151. Поверхность полубесконечного цилиндра, радиус которого r0, поддерживается при нулевой температуре, а его начальная температура u0 ez, 0. Решить задачу теплопроводности.

Пример 6.12.

Решение смешанной задачи с неоднородными граничными условиями можно получить, преобразуя ее в эквивалентную задачу с однородными граничными условиями. Иллюстрацией служит следующая задача.

Через торец полуограниченного стержня (0x) с теплоизолированной боковой поверхностью поступает тепловой поток плотности q(t). Найти температуру стержня u(x, t) при t0, если начальная температура равна нулю. Математическая формулировка этих условий определяет задачу для функции u(x, t) :

6.152. Найти температуру полуограниченного стержня (0x) с теплоизолированной боковой поверхностью, торец которого имеет температуру µ(t), а начальная температура равна нулю.

6.153. Найти температуру полупрямой (0x), конец которой поддерживается при постоянной температуре u0, а начальная температура равна нулю.

6.154. Определить магнитное поле в однородном полупространстве (0z) с магнитной проницаемостью µ и большой проводимостью (токами смещения можно пренебречь), обусловленное включением в момент времени t=0 в полупространстве (z0), магнитного поля, параллельного плоскости z=0 и равного H0 при любых t0 и z0.

6.155. Начальное давление газа в цилиндрическом угольном пласте (0x) с непроницаемой боковой поверхностью равно P0, давление вне пласта при любом t0 равно P1. Обычно P0 P1 и в коэффициенте при производной в уравнении (1.104) полагают P =P0. Решить линеаризованную задачу фильтрации.

6.156. Конец полуограниченного стержня (0x) с теплоизолированной боковой поверхностью поддерживается с момента t=0 94 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА до t0 0 при температуре u0, а затем при нулевой температуре.

Определить температуру стержня, если его начальная температура равна нулю.

6.157. Определить температуру полупрямой (0x), если ее конец имеет температуру At, а начальная температура равна нулю.

6.158. Полуограниченный стержень (0x) с теплоизолированной боковой поверхностью находится при нулевой температуре. Температура торца с момента времени t=0 до t=t0 0 меняется по закону u0 et, где 0, а затем становится равной нулю. Решить задачу теплопроводности.

6.159. Найти концентрацию частиц, диффундирующих в тонкой полуограниченной трубке (0x), если их начальная концентрация равна нулю, а на конце задан поток плотность которого

1) q0 ex ; 2) q0 (t0 t) ex.

6.160. Через торец полуограниченного стержня (0x) с теплоизолированной боковой поверхностью происходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой µ(t). Найти температуру u(x, t) стержня при t0, если u(x, 0)=0. Рассмотреть случай µ(t) = At.

6.161. Найти потенциал полуограниченной линии (0x) с пренебрежимо малой индуктивностью на единицу длины, к концу которой в момент времени t=0 подключается батарея с постоянной э.д.с. E0.

6.162. К концу линии (0x) с параметрами R, C (L=G=0) в момент времени t=0 подключается через сопротивление R0 батарея с э.д.с. E0. Определить потенциал линии.

6.163. Шар, радиус которого r0, помещен в среду, температура которой равна нулю. Определить температуру среды, если шар поддерживается при температуре u0.

6.2. Задачи для уравнения теплопроводности

6.164. Шар, радиус которого r0, находится в среде с характеристиками k,, C. С момента t=0 температура шара меняется по закону A t. Определить температуру вне шара при t0, если при t=0 она равна нулю.

6.165. Полуограниченный стержень (0x) с теплоизолированной боковой поверхностью изготовлен из горючего материала. В момент времени t=0 торец стержня поджигают. Фронт горения имеет температуру u0 и перемещается со скоростью v0. Найти температуру стержня, если его начальная температура равна нулю.

6.166. Начальное давление газа в цилиндрическом угольном пласте (0x) с непроницаемой боковой поверхностью равно P0, давление вне пласта при любом t0 равно P1. В ходе выработки пласта его граница x=0 перемещается с постоянной скоростью V0. Найти приближенное решение задачи фильтрации, полагая в коэффициенте при производной в уравнении (1.104) P =P0 (см.

задачу 6.155).

6.167. Через конец тонкой полуограниченной трубки (0x), закрытый полупроницаемой перегородкой, из внешней среды диффундирует газ. Найти концентрацию газа в трубке, если его начальная концентрация равна нулю, а концентрация во внешней среде равна u0.

6.168. Через поверхность шара, радиус которого r0, во внешнюю среду поступает радиальный тепловой поток постоянной плотности q0. Найти температуру среды, если ее начальная температура равна нулю

6.169. Из шара, радиус которого r0, во внешнюю среду диффундирует неустойчивый газ; распад газа пропорционален концентрации (коэффициент пропорциональности задан), плотность потока газа через поверхность шара постоянна и равна q0 er.

Определить концентрацию газа вне шара при t0, если начальная концентрация равна нулю.

96 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА

6.170. Через поверхность шара, радиус которого r0, во внешнюю среду диффундирует неустойчивый газ (распад пропорционален концентрации, коэффициент пропорциональности задан). Определить концентрацию газа вне шара, если начальная концентрация равна нулю, концентрация внутри шара постоянна и равна u0, а поверхность шара представляет собой полупроницаемую перегородку.

6.171. Найти температуру октанта (0x, 0y, 0z), начальная температура которого равна нулю, а грани поддерживаются при температуре u0.

6.172. Угольный пласт (0x, 0y, |z|H) с непроницаемыми горизонтальными основаниями z= ± H заполнен газом. Начальное давление в пласте P0, давление вне пласта при любом t0 равно P1. Найти приближенное решение задачи фильтрации, полагая в коэффициенте при производной в уравнении (1.104) P =P0 (см.задачу 6.155).

6.173. Угольный пласт (0x, 0y, |z|H) с непроницаемыми горизонтальными основаниями z= ± H заполнен газом. Начальное давление в пласте P0, давление вне пласта при любом t0 равно P1. В ходе выработки пласта его граница x=0 перемещается с постоянной скоростью V0 параллельно оси 0y. Найти приближенное решение задачи фильтрации, полагая в коэффициенте при производной в уравнении (1.104) P =P0 (см. задачу 6.155).

6.174. Решить задачу ut = a2 u, x, y, 0 z, 0 t, u(x, y, 0, t) = u0 sin(x + y), u(x, y, z, 0) = 0, |u|.

6.175. Решить задачу ut = a2 u, 0 x, 0 y, 0 z, 0 t, u(0, y, z, t) = u0 sin y, u(x, 0, z, t) = 0, uz (x, y, 0, t) = 0, u(x, y, z, 0) = 0, |u|.

6.3. Функция Грина задачи Дирихле

и решить это уравнение.

6.177. При какой начальной температуре стержня (0x) с теплоизолированной поверхностью (включая торец) температура торца будет изменяться по закону u0 exp(2 t) ?

6.178. Торец полуограниченного стержня (0x) с теплоизолированной боковой поверхностью поддерживается при нулевой температуре. При каком начальном распределении температуры стержня плотность потока, поступающего в стержень через торец, равна q0 exp(2 t) ?

6.3. Функция Грина задачи Дирихле Пример 6.13. Пусть ограниченная область, S =. Задача Дирихле ставится следующим образом: найти функцию u C 2 () C(), удовлетворяющую условиям

Один из методов построения функции Грина метод электростатических изображений основан на ее физической интерпретации: в трехмерном пространстве функция G(M, P ) представляет собой потенциал электростатического поля в точке M внутри проводящей заземленной поверхности S, обусловленный точечным зарядом Q=1/(4), помещенным в точку P. Функцию Грина в двумерной области с границей S можно трактовать, как потенциал внутри цилиндрической поверхности, параллельной оси 0z, с направляющей S в плоскости x0y, обусловленный линейным зарядом, распределенным с плотностью q=1/(4) на прямой, параллельной оси 0z, след которой на плоскости x0y точка P. Метод электростатических изображений заключается в построении системы вспомогательных зарядов, расположенных вне области, поле которых внутри было бы таким же, как поле зарядов, индуцированных на поверхности S (см.

пример 6.9).

Для построения функцию Грина задачи Дирихле в круге, радиус которого r0, нужно найти потенциал линейного заряда q=1/(4), расположенного параллельно оси заземленной поверхности r=r0 на расстоянии dr0 от оси. В этом случае поле внутри поверхности оказывается эквивалентным полю двух линейных зарядов данного q и вспомогательного q1, расположенного на том же луче, что и заряд q (вследствие аксиальной симметрии поля) на расстоянии d1 от оси цилиндра (рис.6.2). Это предположение будет оправдано, если удастся найти неизвестные величины q1, d1 (и C), которые определяются из условия равенства нулю потенциала на S 2q ln 2q1 ln + ln C=0, M0 S, rM0 P rM0 P1 или q1 r0 + d2 2r0 d cos = C q (r0 + d2 2r0 d1 cos) q.

Правая часть полученного соотношения не зависит от, если d q1 = q, C = ( d1 )q. Теперь из тождества (6.18) вытекает, что (r0 + d2 )d1 = (r0 + d2 )d, т.е. dd1 = r0. Итак,

6.189. шар, радиус которого r0 в R3.

6.190. полушар, радиус которого r0 в R3.

6.191. внешность шара радиусом r0 в R3.

6.192. полупространство , из которого удален полушар .

6.193. слой, ограниченный плоскостями z = 0, z = l.

6.194. На расстоянии d от центра шара, радиус которого r0, находится точечный источник тепла постоянной мощности Q. Найти стационарную температуру вне шара, если шар поддерживается при нулевой температуре.

6.195. На расстоянии d от оси бесконечного проводящего цилиндра, радиус которого r0, параллельно оси расположена неограниченная нить с линейной плотностью заряда q. Методом изображений найти потенциал электростатического поля вне цилиндра.

6.196. Параллельно проводящей заземленной плоскости на расстоянии d от нее расположена прямая, на которой находятся диполи с постоянной плотностью момента p. Методом изображений найти потенциал электростатического поля, если вектор p перпендикулярен плоскости и направлен от нее.

6.197. Точечный диполь с моментом P расположен на расстоянии d от заземленной проводящей плоскости. Методом изображений найти потенциал электростатического поля, если вектор P параллелен плоскости.

6.3. Функция Грина задачи Дирихле

6.198. Вне проводящего заземленного цилиндра, радиус которого r0, параллельно оси на расстоянии d от нее расположена прямая, на которой находятся диполи с плотностью момента p=p ed.

Методом изображений найти электростатический потенциал.

6.199. На расстоянии d от центра проводящей заземленной сферы, радиус которой r0 d, расположен точечный диполь, момент которого P=P ed. Методом изображений определить потенциал электростатического поля.

6.200. На расстоянии d от центра проводящей заземленной сферы, радиус которой r0 d, расположен точечный заряд Q. Найти заряд, индуцированный на сфере.

6.201. Отрезок, длина которого 2l, линейная плотность заряда q, расположен вне проводящей заземленной сферы, радиус которой r0 ; точка O центр сферы, точка O1 середина отрезка. Прямая, проходящая через точки O и O1, перпендикулярна отрезку, OO1 =d. Определить заряд, индуцированный на сфере.

6.202. Вне проводящей заземленной сферы, радиус которой r0, на расстоянии d от ее центра O расположена заряженная прямая.

Перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую, пересекает ее в точке O1, OO1 =d. Определить заряд, индуцированный на сфеQ Qd ре, если линейная плотность заряда прямой 1) d2 +x2 ; 2) D2 +x2, где x координата точки прямой относительно начала O1.

6.203. Тонкое проводящее кольцо, радиус которого r1, с заряд Q, расположено вне проводящей заземленной сферы, радиус которой r0 ; расстояние центра O1 кольца от центра O сферы равно d, плоскость кольца перпендикулярна вектору O1 O. Найти заряд, индуцированный на сфере.

6.204. Равномерно заряженный диск, радиус которого r0, заряд Q, расположен вне заземленной проводящей сферы, радиус которой r0. Расстояние центра O1 диска до центра O сферы равно d, диск перпендикулярен вектору O1 O. Найти заряд сферы.

102 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА Пример 6. 14. В некоторых случаях метод изображений применим для построения функции Грина краевых задач для уравнения div(ku)=0, где k кусочно-постоянная функция. Подобная ситуация возникает при отыскании векторного потенциала A прямого тока J, расположенного параллельно плоской границе раздела двух магнетиков с магнитными проницаемостями µ1 и µ2 на расстоянии d от границы (рис.6.3). Функция A(x, y) является решением задачи (см. задачу ??)

Метод изображений заключается в переходе к однородной среде, в которой наряду с током J размещаются вспомогательные токи. Так, при y0 магнитное поле такое же, как поле тока J2, расположенного в точке P2 (0, h2 ), при этом пространство заполнено однородным магнетиком с магнитной проницаемостью µ2. При y0 поле эквивалентно полю тока J и вспомогательного тока J1 в точке P1 (0, h1 ), находящихся в среде с магнитной

6.3. Функция Грина задачи Дирихле

6.208. На плоской поверхности (y=0) диэлектрика с диэлектрической проницаемостью, заполняющего полупространство (y0), находится (на оси 0x) бесконечная нить, заряд единицы длины которой q. Определить потенциал электростатического поля в пространстве.

6.209. На плоской поверхности (z=0) однородного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью, заполняющего полупространство (z0), в точке x=y=0 находится электрический диполь, момент которого p=p ez. Определить потенциал электростатического поля.

6.210. На плоской поверхности (z=0) раздела двух сред с магнитными проницаемостями µ1 (при z0) и µ2 (при z0) находится точечный виток с током, магнитный момент которого M=M ez, координаты x=y=0. Найти векторный потенциал магнитного поля в пространстве.

6.211. Над плоской границей диэлектрика с диэлектрической проницаемостью, заполняющего полупространство z0, на расстоянии d от границы расположен точечный заряд Q. Определить силу, действующую на заряд.

6.212. Диэлектрик с диэлектрической проницаемостью заполняет полупространство. Вне диэлектрика параллельно границе на расстоянии d от нее расположена бесконечная нить с линейной плотностью заряда q. Определить силу, действующую на единицу длины нити.

6.213. В диэлектрике с диэлектрической проницаемостью, заполняющем все пространство, имеется цилиндрическая полость, радиус которой r0, диэлектрическая проницаемость =1). Внутри полости параллельно оси на расстоянии d от нее расположена нить с линейной плотностью заряда q. Найти силу, действующую на единицу длины нити.

6.3. Функция Грина задачи Дирихле

6.214. Параллельно оси диэлектрического цилиндра (радиус r0, диэлектрическая проницаемость ) на расстоянии dr0 от нее расположена бесконечная нить с линейной плотностью заряда q.

Найти силу, действующую на единицу длины нити.

6.215. В среде с магнитной проницаемостью µ имеется цилиндрическая полость (радиус полости r0, µ=1), внутри которой параллельно оси на расстоянии d от нее расположен прямой ток J.

Найти силу, действующую на единицу длины тока.

6.216. Определить силу, действующую на единицу длины прямого тока J, параллельного бесконечному цилиндру из магнетика с магнитной проницаемостью µ и расположенного от оси цилиндра на расстоянии dr0, где r0 радиус цилиндра.

где u потенциал электростатического поля, n нормаль к поверхности S проводника. Если заземленный проводник находится в поле точечного заряда, то определение потенциала сводится к построению функции Грина, отличающейся от него лишь множителем.

Плотность заряда, индуцированного на поверхности полого проводящего заземленного цилиндра равномерно заряженной нитью (заряд единицы длины q), расположенной на расстоянии dr0 от оси, где r0 радиус цилиндра, определяется формулой (6.20), в которой (см.(6.19))

6.217. На расстоянии d от проводящей заземленной плоскости расположен точечный заряд Q. Определить плотность заряда и полный заряд Q плоскости.

6.218. На расстоянии d от проводящей заземленной плоскости расположена нить с зарядом q на единицу длины. Найти плотность заряда и полный заряд q полосы единичной ширины, расположенной на плоскости перпендикулярно нити.

6.219. Внутри двугранного угла (0x, 0y, z), образованного заземленными проводящими полуплоскостями, в точке (x0, y0, 0) находится точечный заряд Q. Найти плотность заряда и полный заряд каждой полуплоскости.

6.220. Параллельно оси заземленного проводящего цилиндра радиусом r0 на расстоянии dr0 от оси расположена бесконечная нить с зарядом q на единицу длины. Найти плотность заряда, заряд q и дипольный момент p единицы длины цилиндра.

6.221. На расстоянии d от центра заземленной проводящей сферы, радиус которой r0 расположен точечный заряд Q. Определить плотность заряда, заряд Q и дипольный момент P сферы, если 1) r0 d; 2) r0 d.

6.222. Параллельно оси полого заземленного цилиндрического проводника, поперечным сечением которого является полукруг (rr0, 0), расположена нить с линейной плотностью заряда q. Найти плотность заряда на проводнике, если координаты нити r=dr0, =/2.

6.3. Функция Грина задачи Дирихле

6.223. Заземленный проводник имеет форму плоскости x=0 с цилиндрическим выступом, параллельным оси 0z, поперечным сечением которого является полукруг (x2 + y 2 r0, z0). Определить плотность заряда, индуцированного на проводнике бесконечной нитью, параллельной оси 0z; линейная плотность заряда нити q, ее координаты x=dr0, y=0.

Пример 6.16.

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона с однородным граничным условием u=F (M ), M, (6.21) u|S =0 методом функции Грина основано на физической интерпретации этой функции и исходит из представления F (M ) в форме суперпозиции точечных источников

6.225. На расстоянии d от проводящей заземленной плоскости расположена бесконечная нить, плотность дипольного момента которой p (p постоянный вектор, перпендикулярный к нити).

Найти плотность заряда, индуцированного на плоскости, если вектор p 1) параллелен плоскости; 2) перпендикулярен к плоскости и направлен к ней.

6.3. Функция Грина задачи Дирихле

6.226. Точечный диполь с моментом P расположен на расстоянии d от проводящей заземленной плоскости. Найти плотность заряда, на плоскости, если вектор P 1) параллелен плоскости; 2) перпендикулярен плоскости и направлен от нее.

6.227. Параллельно оси проводящего заземленного цилиндра, радиус которого r0, расположена заряженная нить, координаты которой r=dr0, =0. Определить плотность заряда, заряд q и дипольный момент p единицы длины цилиндра, если плотность дипольного момента нити p=p ed.

6.228. Параллельно оси полого проводящего заземленного цилиндра, радиус которого r0, на расстоянии dr0 от оси расположена нить, дипольный момент единицы длины которой p. Определить плотность заряда, заряд q и дипольный момент p единицы длины цилиндра, если постоянный вектор p перпендикулярен плоскости, содержащей нить и ось цилиндра.

6.229. На расстоянии d от центра проводящей заземленной сферы, радиус которой r0 d, расположен точечный диполь, момент которого P=P ed. Каковы плотность заряда на сфере, ее полный заряд Q и дипольный момент P ?

6.230. В точке M, отстоящей от центра O проводящей заземленной сферы, радиус которой r0, на расстоянии d, расположен диполь с моментом P, перпендикулярным вектору OM. Найти плотность заряда на сфере, ее полный заряд Q и дипольный момент P, если 1) dr0 ; dr0.

6.231. Вне диэлектрика с диэлектрической проницаемостью, заполняющего полупространство z0, на расстоянии d от границы расположен точечный диполь с моментом P. Определить силу, действующую на диполь, если вектор P 1) параллелен; 2) перпендикулярен границе.

110 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА

6.232. Диэлектрик с диэлектрической проницаемостью заполняет полупространство z 0. Вне диэлектрика параллельно границе на расстоянии d от нее расположена нить, плотность дипольного момента которой постоянна и равна p. Определить линейную плотность силы, действующей на нить, если вектор p лежит в плоскости, перпендикулярной нити.

6.233. В среде с диэлектрической проницаемостью имеется цилиндрическая полость (радиус r0, =1). Внутри полости параллельно оси на расстоянии d от нее расположена нить, плотность дипольного момента которой постоянна и равна p. Определить линейную плотность силы, действующей на нить, если вектор p лежит в плоскости, перпендикулярной нити.

6.234. Параллельно оси бесконечного цилиндра (радиус r0, диэлектрическая проницаемость ) на расстоянии dr0 от оси расположена нить, плотность дипольного момента которой постоянна и равна p. Определить линейную плотность силы, действующей на нить, если вектор p лежит в плоскости, перпендикулярной нити.

Пример 6.17.

Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

Если задачу Дирихле u(M ) = 0, M, u|S = f, поставить в эквивалентной форме (см. задачу 10.108)

К задаче Дирихле сводится определение стационарной температуры в двугранном угле (0x, 0y), одна грань (x=0) которого поддерживается при 0o, а температура другой грани равна u0 (l x). Построение решения осуществляется по следующей схеме.

Постановка задачи:

6.235. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в полуплоскости (y0), если u(x, 0) = u0 (l |x|).

112 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА

6.236. Найти стационарное распределение температуры внутри двугранного угла (0x, 0y) с теплоизолированной гранью y=0, если температура грани x=0 равна u0 (y l).

6.237. Найти стационарную температуру внутри двугранного угла (0r, 0 ), где n N, если грань =/n имеет нулевую n температуру, а грань =0 температуру u0 (l r).

6.238. Решить задачу Дирихле

6.245. Определить стационарную температуру внутри двугранного угла (0x, 0y), грань x=0 которого поддерживается при нулевой температуре, а температура грани y=0 равна u0 sign z.

6.246. Решить задачу Дирихле:

6.247. Внутрь двугранного угла (x, 0y, 0z) через полосу (|x|l1, y=0, 0 l2 z) на грани y=0 поступает тепловой поток постоянной плотности q0, а остальная часть этой грани теплоизолирована. Какой должна быть плотность потока через грань x=0, чтобы температура этой грани была постоянной?

6.248. Грани x=0, y=0, z=0 октанта (0x, 0y, 0z) поддерживаются при температуре u1, u2, u3 соответственно. Найти стационарную температуру октанта.

6.249. Решить внутреннюю задачу Дирихле для шара, радиус которого r0, при условии, что на поверхности шара решение равно f (, ). Рассмотреть случай f (, ) = u0 sinn cos n, n N0.

6.250. Решить внешнюю задачу Дирихле для шара, радиус которого r0, при условии, что на поверхности шара решение равно f (, ). Рассмотреть случай f (, ) = u0 sinn sin n, n N.

6.251. На расстоянии d от центра шара, радиус которого r0 d, находится точечный источник тепла мощности Q. Найти стационарное распределение температуры вне шара, если его поверхность поддерживается при температуре u0.

6.252. На расстоянии d от центра проводящего шара, радиус которого r0 d, находится точечный заряд Q. Определить плотность заряда на поверхности шара, если шар имеет заряд Q0.

114 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА Пример 6.18. Уравнение Гельмгольца u + k2 u = 0 описывает установившиеся волновые процессы и его решение удовлетворяет в R3 условиям излучения (1.80), которые служат для выделения расходящихся волн. Функция Грина для уравнения Гельмгольца в трехмерном пространстве определяется условиями:

6.253. Построить функцию Грина для уравнения Гельмгольца в двухмерном пространстве.

6.254. Построить функцию Грина для уравнения Гельмгольца в полуплоскости (0y), если на границе y=0 задано условие 1-го типа.

6.255. Построить функцию Грина для уравнения Гельмгольца в полупространстве (0z), если на границе z=0 задано условие 1) 1-го типа; 2) 2-го типа.

6.256. В однородной среде с коэффициентом диффузии D действует точечный источник неустойчивого газа (распад пропорционален концентрации) постоянной мощности Q. Найти стационарную концентрацию газа в процессе диффузии.

6.257. В однородной среде с коэффициентом диффузии D действуют источники неустойчивого газа, расположенные на некоторой прямой. Найти стационарную концентрацию газа в процессе диффузии, если мощность источников на единицу длины прямой постоянна и равна q.

6.258. На расстоянии d от непроницаемой плоскости расположен точечный источник неустойчивого газа постоянной мощности Q.

Найти стационарную концентрацию газа в процессе диффузии.

6.259. Параллельно непроницаемой плоскости на расстоянии d от нее расположен линейный источник неустойчивого газа, мощность единицы длины которого постоянна и равна q. Определить стационарную концентрацию газа в процессе диффузии.

116 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА

6.260. В неограниченной среде с поглощением (c s ) действует изотропный плоский источник (плоскость x=0), испускающий в единицу времени с единицы площади Q0 моноэнергетических (тепловых) нейтронов. Определить в диффузионном приближении стационарную плотность потока нейтронов, если их скорость (по абсолютной величине) не меняется.

6.261. Решить задачу 6.260 для линейного изотропного источника, расположенного на оси 0z, с единицы длины которого в единицу времени испускается q0 моноэнергетических нейтронов.

6.262. Решить задачу 6.260 для изотропного точечного источника, мощность которого Q0, и найти средний квадрат расстояния r 2 от точки рождения нейтрона до точки поглощения. Проверить применимость диффузионного приближения (см. пример 1.11).

6.263. В бесконечной среде с поглощением (c s ) действует изотропный сферический источник, радиус которого r, с единицы площади которого в единицу времени испускается Q0 /(4r 2 ) моноэнергетических (тепловых) нейтронов. Определить в диффузионном приближении стационарную плотность потока нейтронов, если их скорость (по абсолютной величине) не меняется.

6.264. Однородная среда с поглощением (c s ) занимает полупространство (z0) и граничит с вакуумом. В среде действует изотропный точечный источник, испускающий Q0 моноэнергетических (тепловых) нейтронов в единицу времени; координаты источника r0 = aez, где a расстояние до экстраполированной границы z=0 среды. Определить в диффузионном приближении стационарную плотность потока нейтронов, если их скорость (по абсолютной величине) в процессе диффузии не меняется.

6.265. Решить предыдущую задачу для изотропного линейного источника, с единицы длины которого в единицу времени испускается Q0 моноэнергетических нейтронов; источник расположен в плоскости y0z на расстоянии a от экстраполированной границы y=0 среды.

6.4. Функция Грина одномерной краевой задачи

6.4. Функция Грина одномерной краевой задачи

где p(x)0, p(x) C 1 (), q(x) 0, q C(), = (a, b) ограниченный промежуток. Оператор определен на линейном множестве ML функций класса C 2 ()C 1 (), удовлетворяющих однородным граничным условиям при x=a и x=b, а множество собственных значений оператора. Если =0, то функцией Грина краевой задачи

Пример 6.20.

Если =0 собственное значение оператора L (6.28), то определение (6.29) функции Грина не годится. Дело в том, что задача Lu = f, u ML в общем случае не имеет решения. Для ее разрешимости необходимо, чтобы функция f (x) и собственная функция u0 (x), соответствующая собственному значению =0 (т.е. нетривиальное решение задачи Lu=0, u ML ), 120 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА были ортогональны. Действительно, в силу эрмитовости оператора (f, u0 ) = (Lu, u0 ) = (u, Lu0 ) = 0.

Для ортогонализации в правую часть уравнения (6.29) следует ввести слагаемое, заведомо не ортогональное функции u0 (x) :

(x ) + C0 u0 (x). Из ортогональности ((x ) + C0 u0, u0 ) = 0 вытекает, что константа C0 = u0 / u0 2.

Таким образом, функция Грина удовлетворяет уравнению

и тем же граничным условиям, что и u0 (x). Если u1 (x), u2 (x) фундаментальная система решений уравнения Lu = 0, U (x) частное решение неоднородного уравнения Lu = C0 u0, то

После применения граничных условий при x=a и x=b остаются две неизвестные константы. Соотношения [ G ]=0 и [ Gx ]= 1/p() дают лишь одно уравнение для определения этих констант.

Поэтому одну из них можно выбрать произвольно или связать их каким-либо дополнительным условием. В качестве такового берут условие ортогональности (f, u0 )=0, которое сохраняет симметрию функции Грина ([65],т.2).

d2 Множество собственных значений оператора L = dx2, определенного на функциях u(x) C 2 ()C 1 (), = (0, 1), u (0)=0, u (1) = 0, содержит собственное значение =0, которому соответствует собственная функция u0 (x) = 1. Функция Грина оператора L удовлетворяет уравнениям

Для построения функции Грина нужно найти общее решение уравнения u 2xu (1 x2 )u = 0.

Замена u(x) = exp( v(x)dx) преобразует уравнение к виду

Граничным условиям (6.38) удовлетворяют частные решения:

u1 (x)= exp(x2 /2) при x и u2 (x) = (1 x) exp(x2 /2) при x.

Таким образом, согласно формуле (6.34)

6.321. Тяжелая струна, длина которой l, плотность 0, подвешена в поле тяжести за один из концов. Получить интегральное уравнение для описания колебаний струны и установить связь между частотами собственных колебаний и характеристическими числами уравнения.

132 Глава 6. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА

6.322. Круглый вал (0xl) с характеристиками G(x), I(x), K(x), совершает крутильные колебания; торец x=0 закреплен, а торец x=l свободен. Вывести интегральное уравнение для определения собственных колебаний вала.

6.323. Тонкий однородный стержень(0xl) с прямоугольным поперечным сечением (рис.1.11) совершает малые поперечные колебания в плоскости z0x. Свести задачу для определения собственных колебаний к интегральному уравнению, если 1) торцы стержня закреплены; 2) торец x=0 закреплен, а торец x=l свободен.

называется m-м следом ядра K(x, ). Приближенное вычисление наименьшего (по модулю) характеристического числаµ1 ядра K(x, ) основано на неравенствах (метод следов)

Вычислить приближенное значение (при m = 2, n = 1) частоты основного тона струны длиной l и сравнить с частотой, полученной методом Фурье, если 1) один конец струны закреплен, а другой свободен (задача 2.2) 2) струна подвешена в поле тяжести (задача 2.316).

нужно показать, что значение интеграла не изменится при деформации контура интегрирования в луч, образующий угол (0 )/2 с положительным направлением оси 0x (рис.6.4.a).

МЕТОД КОНФОРМНЫХ

ОТОБРАЖЕНИЙ

Одним из объектов приложения метода конформных отображений является плоское стационарное векторное поле с компонентами Ax (x, y), Ay (x, y), которое трактуется как поле векторов A = Ax + i Ay на комплексной плоскости (z). Этот метод применим для изучения электростатического и магнитостатического полей, магнитного поля постоянных токов, поля скоростей потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости, поля скоростей идеального газа и жидкости в процессе фильтрации, поля стационарных тепловых потоков и других (двумерных) потенциальных векторных полей, математической моделью которых служит краевая задача для уравнения Пуассона в области с граничными условиями 1-го, 2-го, 3-го типов. Применение конформных отображений для решения подобных задач основано на следующем свойстве: тип уравнения и тип граничного условия не меняется при замене переменных, которая определяется аналитической функцией w(z), реализующей конформное отображение области (переход от переменных x, y к переменным, определяется соотношением + = w(x + i y), т.е. = Re w, = Im w).

160 Глава 7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ Благодаря этому свойству, краевая задача в данной области преобразуется соответствующим конформным отображением в аналогичную задачу в специальной области, для которой решение уже известно или известен метод построения решения.

Следует выделить физические задачи, в которых рассматриваются плоские поля, обусловленные сосредоточенными (двухмерными) источниками зарядами, вихрями, диполями и т.п.

Соответствующее уравнение Пуассона содержит в правой части

-функцию и ее производную. Такое уравнение остается инвариантным относительно указанной замены переменных. На этом факте, в частности, основано применение конформных отображений для построения функции Грина задачи Дирихле в ряде плоских областей. Преимущество данного метода по сравнению с методом изображений или методом Фурье состоит в том, что техника построения функции Грина является более простой, а для некоторых областей, таких как угол, полоса и др., эта функция получается в замкнутом виде, а не в форме ряда.

Для описания потенциального поля A(z) в области, при условии A(z)C 1 (), употребляется комплексный потенциал w(z). Это аналитическая функция, вещественная (или мнимая) часть которой представляет собой обычный скалярный потенциал поля A(z). При решении краевых задач с помощью конформного отображения в ряде случаев можно избежать фактической замены переменных, обусловленной этим отображением (соответствующая процедура осуществляется неявным образом), если привлечь к решению комплексный потенциал. Более того, применение функции w(z) сводит решение многих краевых задач (например, задачу Дирихле с кусочно-постоянными граничными условиями, задачу Дирихле в эксцентрическом кольце и др.) к построению некоторого конформного отображения. Для определения скалярного потенциала поля A также целесообразно использовать комплексный потенциал, построение которого является более простой задачей, чем решение задачи Дирихле. Кроме того, ряд физических величин поле A, плотность заряда на

7.1. Решение задачи Дирихле проводнике, сила, действующая на заряд, давление в жидкости и др. непосредственно выражаются через функцию w(z) (точнее, через w (z)) при этом соответствующие вычисления оказываются значительно проще тех, в которых применяется скалярный потенциал.

Для решения задач применяются конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями; в некоторых случаях следует привлечь интеграл Кристоффеля-Шварца.

Литература к главе: [40], [63], [23], [15].

7.1. Комплексный потенциал; решение задачи Дирихле с кусочно-постоянными граничными условиями Пример 7.1. 1. Определение и построение комплексного потенциала w(z)=u(x, y) + i v(x, y) векторного потенциального поля A(x, y) = Ax (x, y) + i Ay (x, y) без источников в односвязной области z R2 с границей z =1 2 (рис.7.1), если AC 1 (z ), v|1 =v1, v|2 =v2, где v1 и v2 вещественные константы.

2. Применение комплексного потенциала для определения электростатического поля E = Ex + i Ey в пространстве между параллельными плоскостями y=0, y=H, потенциалы которых 0 и v0 (x) соответственно.

162 Глава 7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Согласно соотношению (7.3) вектор A= v, следовательно, уравнения v(x, y)=C1 описывают семейство эквипотенциальных линий поля A. Поскольку (u, v) = ux vx + uy vy = Ay Ax Ax Ay = 0 (применены соотношения (7.2) и (7.3)), то вектор A направлен по касательной к линии u(x, y)=C2 ; таким образом, семейство силовых линий (линий тока ) поля A.

u(x, y)=C2 Один из способов построения комплексного потенциала состоит в восстановлении аналитической функции w(z) по ее мнимой части v(x, y), которая является решением задачи Дирихле

Другой способ, не связанный с непосредственным решением задачи (7.5), основан на применении конформных отображений.

Пусть w = u + i v комплексный потенциал. Если точка z принадлежит 1, то v = Const, т.е. аналитическая в z функция w = u + i v отображает семейство линий v(x, y)=C плоскости (z) в семейство параллельных прямых Im w=C на плоскости (w).

Следовательно, для построения комплексного потенциала нужно конформно отобразить (см. задачу 7.1) область z на полосу w, ограниченную прямыми Im w=v1 и Im w=v2, которые являются образами дуг 1 и 2 (рис.7.1.) Если комплексный потенциал известен, то его мнимая часть v=Im w решение задачи Дирихле (7.5).

2. Потенциал электростатического поля является решением задачи Дирихле

v(x, y) = 0 x, 0 y H, v(x, 0) = 0, v(x, H) = v0 (x).

Для построения комплексного потенциала нужно конформно отобразить полосу (0yH) в полосу (0Im wv0 ) так, чтобы часть границы (0x, y=H) перешла в прямую Im w=v0, а остальная часть в прямую Im w=0. Это достигается композицией следующих отображений. Функция z1 = exp( z ) трансфорH мирует полосу в полуплоскость Re z1 0, а 2 в часть Re z1 1 действительной оси. Линейное отображение z2 =z1 + 1 переводит полуплоскость Re z1 1 в себя, при этом граничные значения 0 и v0 располагаются соответственно на положительной и отрицательной частях действительной оси комплексной плоскости (z2 ).

7.1. Доказать, что существует конформное отображение w=w(z) односвязной области z (см. пример 7.1) на полосу v1 Imw v2 (пусть v1 v2 ), и это отображение единственно с точностью до аддитивной вещественной постоянной.

7.2. Найти стационарную температуру клина 0, грань =0 которого поддерживается при температуре v1, а грань = при температуре v2.

7.3. Определить электростатический потенциал внутри полого цилиндра, радиус которого r0, если потенциал поверхности v1, 0, v(r0, ) = v2, 2.

7.4. Найти стационарную температуру вне бесконечного цилиндра, радиус которого r0, если температура поверхности v1, 0, (r0, ) = 2.

7.5. Определить электростатический потенциал u(r, ) внутри полого цилиндрического проводника, поперечным сечением которого является полукруг (rr0, 0), если диаметральная плоскость заряжена до потенциала v1, а остальная поверхность до потенциала v2.

7.1. Решение задачи Дирихле

7.6. Поперечное сечение длинного цилиндра область, ограниченная двумя кругами:(xr2 )2 +y 2 r2, (xr1 )2 +y 2 r1. Внутренняя поверхность поддерживается при температуре v1, внешняя при v2 ; температура цилиндра не зависит от времени. Какова форма изотермической поверхности v= v1 +v2 ?

7.7. Определить потенциал u(r, ) электростатического поля внутри полого цилиндрического проводника, поперечное сечение которого изображено на рис.7.2., если плоская часть поверхности имеет потенциал v1, а остальная часть потенциал v2.

7.8. Определить стационарную температуру бруса, поперечным сечением которого является полукруг (rr0, 0), если диаметральная плоскость поддерживается при нулевой температуре, при температуре v0 ( ).

а поверхность r=r0 2

7.10. Поперечное сечение полого цилиндра пересечение двух кругов с центрами O1 (0, h1 ) и O2 (0, h2 ), где h1 =3a/4, h2 =15a/8;

166 Глава 7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ точки O1, O2 лежат на оси 0y, общая хорда кругов, длина которой 2a, на оси 0x. Найти потенциал электростатического поля внутри цилиндра, если потенциал поверхности равен v1 при y0, при y0.

7.11. Поперечное сечение однородного цилиндра пересечение двух кругов с центрами O1 (0, h1 ) и O2 (0, h2 ), где h1 =4a/3, h2 =35a/12; точки O1, O2 лежат на оси 0y, общая хорда кругов, длина которой 2a, на оси 0x. Найти стационарную температуру цилиндра, если температура части поверхности радиуса r1 равна v1, а остальной части v2.

7.12. Температура бруса, поперечное сечение которого полукруг (rr0, 0), не зависит от времени; часть поверхности (r=r0, 0) имеет температуру v0, а остальная часть нулевую температуру. Найти плотность теплового потока через поверхность r=r0.

7.13. Определить стационарную температуру бруса, поперечным сечением которого является полукруг (rr0, 0), если диаметральная плоскость теплоизолирована, а остальная поверхность имеет температуру

7.14. Границей однородной среды является плоскость с цилиндрическим выступом, поперечное сечение которого часть круга rr0, ( ) 3, где 0 (рис.7.3a.) Определить стационарную температуру в точке M среды, если температура плоскости v1, выступа v2.

7.15. На поверхности грунта имеется цилиндрический вал, радиус которого r0 (рис.7.3.b.) Определить стационарную температуру грунта в точке M, если температура поверхности вала v1, а остальной поверхности v2.

7.1. Решение задачи Дирихле

7.16. Поперечным сечением полого цилиндрического проводника является сектор (rr0, 2). Найти потенциал внутри проводника и вектор напряженности электростатического поля на грани =, если поверхность r=r0 имеет потенциал v1, а остальная поверхность потенциал v2.

7.17. В области (r0 r, 02) определена ограниченная гармоническая функция v(x, y), принимающая на границе значения v(r, 0)=v(r, )=v1, v(r0, )=v2. Какова эта функция?

7.18. Решить задачу Дирихле вне полукруга, радиус которого r0, если на полуокружности решение принимает постоянное значение v1, а на диаметре постоянное значение v2.

7.19. Границей однородной среды (y 0) является плоскость y=0 с цилиндрическим выступом ( x2 + y2 =1, y0; ab). Опредеa b лить стационарную плотность теплового потока через эллиптическую поверхность, если ее температура v1, а температура плоской части границы v2.

7.20. Решить предыдущую задачу, если поперечное сечение выступа имеет форму полуэллипса ( x2 + y2 =1, y0; ab).

7.21. Стенки канала, поперечным сечением которого является полуполоса (axa, 0y), поддерживаются при температуре v0, а дно при 0o. Определить стационарную температуру в канале.

168 Глава 7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

7.22. Торец x=0 полуслоя (0x, 0yH) поддерживается при нулевой температуре, а грани y=0 и y=H при температуре v0 и v0 соответственно. Найти стационарную температуру полуслоя.

7.23. Найти потенциал внутри полого цилиндрического проводника с поперечным сечением (axa, 0y), если стенки x=0 и y=0 имеют нулевой потенциал, а стенка y=H потенциал v0.

7.24. Определить стационарную температуру вне эллиптического цилиндра x2 /a2 +y 2 /b2 =1, где ab, если 1) часть поверхности, соответствующая y0 имеет температуру v1, а остальная часть температуру v2 ; 2) часть поверхности, соответствующая x0 имеет температуру v1, а остальная часть температуру v2. Ответ записать в эллиптических координатах (см. пример 5.2).

7.25. Найти потенциал электростатического поля внутри полого эллиптического цилиндра x2 /a2 +y 2 /b2 =1, где ab, если 1) часть поверхности, соответствующая y0, имеет потенциал v1, а остальная часть потенциал v2 ; 2) часть поверхности, соответствующая x0, имеет потенциал v1, а остальная часть потенциал v2. Ответ записать в эллиптических координатах (см.

пример 5.2).

Пример 7.2.

Найти плотность заряда на плоскости y=0 электростатической системы, рассмотренной в примере 7.1. Плотность заряда на проводнике вычисляется по формуле = En |z, где En нормальная составляющая поля на поверхности проводника.

Скалярное произведение двухмерных векторов a и b, записанных в комплексной форме a = ax + iay, b = bx + iby, можно представить в виде произведения комплексных чисел (7.8) (a b) = Re (a b) = (ab + ab).

7.1. Решение задачи Дирихле

7.26. Две полуплоскости, перпендикулярные к плоскости x0y, следы которых лучи (xa) и (ax), заряжены до потенциалов v0 и v0 соответственно. Найти плотность заряда на полуплоскостях.

7.27. Внутри угла (0) с проводящими заземленными гранями расположена полуплоскость (0r, =/2), потенциал которой v0. Определить плотность заряда на гранях угла.

7.28. Полуплоскость (0x, y=H/2), потенциал которой v0, расположена между проводящими заземленными плоскостями y=0 и y=H. Определить плотность заряда на плоскостях.

170 Глава 7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

7.29. Две полуплоскости (xa, y=H/2) и (ax, y=H/2), потенциал которых v0, расположены между проводящими заземленными плоскостями y=0 и y=H. Определить плотность заряда на заземленных плоскостях.

7.30. Полуплоскость (0ax, y=H/2), потенциал которой v0, расположена внутри полого цилиндрического проводника с поперечным сечением (0x, 0yH). Найти плотность заряда на полуплоскости, если потенциал проводника равен нулю.

7.31. Полуплоскость(x=0, Hy), потенциал которой v0, расположена перпендикулярно к проводящей заземленной плоскости с ребром (x=0, 0yhH). Найти плотность заряда на полуплоскости.

7.32. Параллельно проводящей заземленной плоскости (y = 0) с ребром (x = 0, 0 y H ) расположена плоскость (y=H), потенциал которой v0. Найти плотность заряда на плоскости y=H.

7.33. Перпендикулярно к проводящей заземленной плоскости (y = 0) с цилиндрическим выступом (x2 + y 2 = r0, y 0) расположена полуплоскость, потенциал которой v0. Определить плотность заряда на полуплоскости.

7.34. Найти плотность заряда на экранах, имеющих форму гиперболических цилиндров (x= ± y 2 + 1, y), если их потенциалы v0 и v0 соответственно.

7.35. Гиперболический цилиндр (x= y 2 + 1, y) заряжен до потенциала v0. Определить плотность заряда, индуцированного на заземленной проводящей плоскости x=0.

Пример 7.3.

Определить стационарную температуру двугранного угла (0x, 0y), грань y=0 которого имеет температуру v0 (a x), а грань x=0 нулевую температуру.

В данном случае A=q, где q вектор плотности теплового потока, температура v=Im w. Так как q= kv, то (см.(7.4)) (7.12) q = ikw.

7.1. Решение задачи Дирихле

7.36. Найти стационарное распределение температуры в двугранном угле (0r, 02), грань =0 которого поддерживается при температуре v0 (r a), а грань = при 0o.

7.37. Найти стационарную температуру клина (0r, 0), грань =0 которого имеет температуру v0 (a r), а грань = теплоизолирована.

7.38. Найти стационарную температуру клина (0r, 0), грань =0 которого имеет температуру v0 (a r), а грань = температуру v0 (a r).

7.39. Какова стационарная температура однородного бруса с поперечным сечением (rr0, 0), если грань = поддержиГлава 7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

7.48. Стенки x=±a канала, поперечным сечением которого является полуполоса (axa, 0y), поддерживаются при температуре v0 (h y), а дно при нулевой температуре. Определить плотность теплового потока через дно канала, если его температура не зависит от времени.

7.49. Найти стационарную температуру бруса, поперечным сечением которого является полукруг (rr0, 0), если диаметральная плоскость поддерживается при температуре v1, а остальная поверхность при температуре

Пример 7.5.

Плоское потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости описывается (при отсутствии источников и внешних сил) системой уравнений (см.(1.74), (1.75))

В последнем уравнении скалярное произведение векторов представлено в форме (7.8). В примере 7.1 показано, что при условиях (7.14) существует аналитическая функция w = u + i v, которая является комплексным потенциалом поля скоростей V. В гидродинамике V и w связаны соотношением

Типичными задачами гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости являются задачи обтекания: неподвижная цилиндрическая поверхность (неограниченная вдоль образующей) находится в плоско-параллельном потоке, скорость которого перпендикулярна образующей. Нужно найти поле скоростей и давление в жидкости. В данном (двухмерном) случае говорят об обтекании профиля (или контура), которым является поперечное сечение поверхности.

Одна из задач обтекания состоит в построении потенциального течения в криволинейной полуплоскости с границей L.

Так как V (z) = w аналитическая функция, не равная нулю в, и Imw|L =C (L одна из линий тока), то функция w(z) конформно отображает на полуплоскость, ограниченную прямой, параллельной оси 0u. Из аналитичности w(z) в следует, что w()= (иначе существовала бы конечная точка z, в которой w(z)=, что противоречит аналитичности функции w(z) в ).

Для однозначного определения скорости необходимо ее задать в какой-либо точке гладкого участка границы L.

Другая задача заключается в построении потенциального течения в криволинейной полосе, ограниченной достаточно гладкими линиями L1 и L2 ; расход Q жидкости (т.е. ее количество, протекающее в единицу времени через участок единичной ширины поперечного сечения полосы) задан. В гидродинамике несжимаемой жидкости полагают 0 =1, следовательно, z2 L2 z2 L2 Q= Re (V n)dl = Re (iV dz) = z1 L1 z1 L1 z2 L2 z2 L2 = (i)w dz) = Re (i)dw = v2 v1.

z1 L1 z1 L1 Таким образом, функция w(z) конформно отображает криволинейную полосу на полосу (v1 Im wv2 ). Так как w(z) аналитическая в функция, то w(±)= ± (знак указывает направление, по которому точка стремится к бесконечности).

176 Глава 7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ Третья задача обтекание ограниченного контура рассмотрена в примере 7.15.

К первому типу относится задача определения линий тока жидкости, обтекающей прямой угол (рис.7.4.a.)

Комплексный потенциал поля скоростей w=w(z) представляет собой аналитическую функцию, которая конформно отображает область на полуплоскость, ограниченную прямой Im w=Const, при условии w()=. Такое отображение осуществляет функция w=z 2 +B, где вещественная константа.

Линии тока Im w=C гиперболы xy=C.

7.50. Определить форму линий тока при потенциальном обтекании тупого угла 3/2 (рис.7.4.b.)

7.51. Жидкость обтекает полуплоскость (0x, y=0). Определить линии тока.

7.52. Плоскопараллельный поток жидкости, заполняющий полупространство (y 0) обтекает плоскость (y = 0) с цилиндрическим выступом (x2 + y 2 = r0, y 0), ось которого перпендикулярна потоку. Определить скорость жидкости на поверхности, ограничивающей поток, если V ()=V0 0.

7.53. Найти комплексный потенциал поля скоростей идеальной несжимаемой жидкости, обтекающей плотину, высота которой h,

7.1. Решение задачи Дирихле если V ()=V0 (рис.7.5.a.) Определить скорость жидкости в сечении (x=0, Hy) и в точках 1 и 2 плотины. Предполагается, что жидкость заполняет полупространство 0y.

7.54. Найти комплексный потенциал поля скоростей идеальной несжимаемой жидкости, текущей над плоскостью с цилиндрической впадиной, радиус которой r0, а ось перпендикулярна скорости жидкости, если V ()=V0 (рис.7.5.b.) Определить скорость жидкости на поверхности, ограничивающей поток.

7.55. Идеальная несжимаемая жидкость обтекает извне контур L, имеющий форму параболы y 2 =2px, p0. Построить комплексный потенциал течения и определить скорость V (z) жидкости на контуре, если V (0)=V0 i.

7.56. Решить предыдущую задачу, если жидкость обтекает контур изнутри.

7.57. Идеальная несжимаемая жидкость обтекает изнутри контур L, имеющий форму ветви гиперболы (x2 y 2 =1, 1x). Найти комплексный потенциал течения и определить скорость V (z) жидкости на контуре, если V (1)=V0 i.

7.58. Решить предыдущую задачу, если жидкость обтекает контур извне.

178 Глава 7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

7.59. Несжимаемая жидкость течет в криволинейной полосе, ограниченной ветвями гиперболы x2 y 2 =1. Найти комплексный потенциал потока, если расход жидкости равен Q. Какова скорость жидкости в сечении y=0 и в точках гиперболы?

7.60. Найти скорость жидкости, протекающей между двумя полуплоскостями (x=0, yH) и (x=0, Hy), если ее расход равен Q. Найти скорости в сечении (x=0, HyH) и в точках (x=0, yH) и (x=+0, yH).

7.61. Определить комплексный потенциал скоростей идеальной несжимаемой жидкости в бесконечно глубоком бассейне, дно которого имеет порог высоты h (рис.7.6.a.), при условии V ()=V0.

7.62. Найти комплексный потенциал течения идеальной несжимаемой жидкости в канале, одна из стенок которого имеет уступ (рис.7.6.b.); расход жидкости равен Q. При H=2h найти точку Q z0, в которой скорость V = H (1 + i).

7.63. Идеальная несжимаемая жидкость течет между двумя параллельными полуплоскостями (x0, y= ± H,) расход жидкости равен Q. Построить комплексный потенциал течения и определить линии тока. Найти точку z0, в которой скорость жидкости Qi V = 2H.

7.1. Решение задачи Дирихле

7.64. Жидкость течет между плоскостями y=H и y=H, каждая из которых имеет ребро: первая (x=0, HyH+h), вторая (x=0, HhyH). Найти скорость жидкости в сечении (x=0, H+hyHh), если она течет вдоль оси 0x и ее расход равен Q.

7.65. Построить комплексный потенциал поля скоростей идеальной несжимаемой жидкости, текущей в канале с препятствием;

стенки канала плоскости y=0, y=H, препятствие имеет форму ребра (x=0, 0yhH); расход жидкости равен Q. Определить скорости в сечении (x=0, H yH), а также в точках 1 и 2, координаты которых соответственно равны x=0, y=y0, 0y0 h и x= + 0, y=y0, 0y0 h.

7.66. Тонкий угольный пласт, толщина которого H, ограничен непроницаемыми плоскостями, параллельными плоскости x0y, и занимает (двухмерную) область =, давление на границе которой PL. Определить поток газа, поступающего из пласта через участок (0, x), где x0, в процессе стационарной изотермической фильтрации, если давление в точке (x0, y0 ) равно P0 PL.

7.67. Тонкий угольный пласт, толщина которого H, ограничен непроницаемыми плоскостями, параллельными плоскости x0y. В ходе выработки угля образовался длинный штрек, давление в котором PL, а давление в некоторой точке M0 пласта P0 PL. Если штрек достаточно узок, а точка M0 близка к его концу (забою), то можно принять, что (двухмерная) область, занимаемая пластом, представляет собой плоскость с разрезом по лучу (0x). В этом приближении найти поток газа, поступающего из пласта на участке (0, x) штрека в процессе установившейся изотермической фильтрации, если M0 =(x0 0, y=0).

7.68. В тонком угольном пласте, толщина которого H, ограниченном двумя непроницаемыми плоскостями, каждая из которых параллельна плоскости x0y, пробита скважина на небольГлава 7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ шую глубину h. Давление в скважине PL, а в некоторой точке M0 (x0, y0 ) пласта P0 PL. Если скважина достаточно узкая, так что фильтрация через дно пренебрежимо мала, а точка M0 расположена вблизи скважины, то можно считать, что (двухмерная) область, занятая пластом, представляет собой полуплоскость (y0) с разрезом по отрезку длины h оси 0y. В этом приближении найти поток газа, поступающего из пласта в скважину в процессе установившейся изотермической фильтрации. Рассмотреть случай x0 =0, y0 h.

7.69. Тонкий угольный пласт, толщина которого H, ограничен непроницаемыми плоскостями, параллельными плоскости x0y, и занимает область (рис.7.7). Найти поток Q газа через уча

Функция = (z) отображает в окружность || = 1. Единичные векторы внешних нормалей nz к и n к окружности связаны соотношением (7.10), которое принимает вид

7.71. Определить плотность заряда на проводящей полосе, ширина которой 2a, а заряд единицы длины равен q.

7.72. В металлическом листе имеется щель, ширина которой 2a;

определить плотность заряда на листе, если заряд единицы длины (вдоль щели) равен q.

7.73. Поперечным сечением цилиндрического проводника является область, ограниченная окружностями S1 и S2 (рис.7.8 слева.); заряд единицы длины цилиндра равен q.

Определить заряд единицы длины (вдоль оси) поверхности, поперечное сечение которой дуга окружности S1.

184 Глава 7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

7.74. Заряд единицы длины цилиндрического проводника, поперечное сечение которого изображено на рис.7.8 справа, равен q.

При каком условии заряд единицы длины (вдоль оси проводника) участка 1. (r=r0, 0); 2. (0rd, =3/2) равен q/2?

7.75. Заряд единицы длины цилиндрического проводника, попеполукруг (x2 +y 2 =1, y0) и отрезок речное сечение которого (x=0, r0 yd), равен q. При каком условии заряд единицы длины (вдоль оси проводника) участка (x=0, r0 yd) равен q/2?

7.76. Поперечное сечение цилиндрического проводника полукруг (rr0, 0). Найти плотность заряда на проводнике, если заряд единицы длины q.

7.77. Определить плотности заряда 1 и 2 соответственно на вогнутой и выпуклой сторонах поверхности полого проводящего цилиндра со щелью (r=r0, 2, 0,) а также полный заряд единицы длины (вдоль оси цилиндра) на каждой стороне, если заряд единицы длины цилиндра q.

7.78. Найти плотность заряда на поверхности проводящего цилиндра, поперечным сечением которого является эллипс с полуосями a и b (ab); заряд единицы длины цилиндра равен q.

7.79. Заряд единицы длины цилиндрического проводника, поэллипс (x2 /a2 +y 2 /b2 =1), где ab, перечное сечение которого и отрезок 1) (axd, y=0); 2) x=0, byd), равен q. При каком значении d заряд единицы длины (вдоль оси проводника) эллиптической поверхности окажется равным q/3?

7.80. Два неограниченных проводящих цилиндра с одинаковыми радиусами r1 =r2 =r0 касаются по образующей. Как распределится заряд на поверхности цилиндров, если суммарный заряд единицы длины (вдоль оси) равен q?

7.81. Решить предыдущую задачу для цилиндров, радиусы которых r1 и r2.

7.2. Потенциал точечного источника

7.82. Заряд единицы длины цилиндрического проводника с крестообразным поперечным сечением (axa, cya/3) равен q. При каком условии заряд единицы длины (вдоль оси) участка (axa) равен q/4?

7.83. Поперечное сечение цилиндрического проводника имеет форму креста (|x|a, |y|a). Найти плотность заряда на проводнике; заряд единицы длины (вдоль оси проводника) равен q.

7.84. Из длинной металлической полосы изготовлен проводник с T-образным поперечным сечением (|x|a, 0ya). Найти плотность заряда на проводнике; заряд единицы длины равен q.

Пример 7.7.

Найти стационарное распределение температуры в толстостенной трубе, ограниченной коаксиальными цилиндрами (рис.7.9), если температура внешней поверхности v1, внутренней v2, r1 =16a, r2 =5a, d=7a. Температура трубы v(x, y)=Im w(z).

Если бы поперечное сечение трубы было концентрическим кольцом, то формулы (7.18), (7.19) решали бы задачу построения комплексного потенциала. Поэтому нужно отобразить эксцентрическое кольцо на концентрическое. С этой целью применяется дробно- линейное отображение, переводящее пару точек, симметричных относительно обеих окружностей, в 0 и. Так как дробно-линейная функция отображает окружность в окружность, симметричные точки в симметричные, то точки 0 и будут симметричны относительно окружностей образов.

Следовательно, точка 0 общий центр этих окружностей (если одна из симметричных точек бесконечно удаленная, то другая центр окружности). В данном случае симметричные точки лежат на положительной части действительной оси, а их координаты x1 и x2 удовлетворяют системе уравнений

7.90. Температура толстостенной трубы не зависит от времени и постоянна (т.е. не зависит от координат) на внешней и внутренней поверхностях. Какова температура v1 внешней поверхности, если через нее проходит (на единицу длины трубы) тепловой поток Q, а температура внутренней поверхности v2 ? Дано:

r1 =35a, r2 =9a, d=22a (рис.7.9).

7.91. В толстостенной трубе (рис.7.9) диффундирует газ, концентрация которого не зависит от времени. Найти плотность потока q и полный поток Q газа через внешнюю поверхность трубы, если концентрация газа на внешней поверхности v1, на внутренней v2, r1 =32a, r2 =7a, d=15a, коэффициент диффузии D.

7.92. Внешний контур кольцевой мембраны (рис.7.9) находится в плоскости x0y, а внутренний смещен перпендикулярно плоскости на расстояние v0. Найти равновесную форму мембраны, если r1 =2,5a, r2 =a, d=a.

7.93. Внешняя граница кольцевой мембраны (рис.7.9) закреплена, а на внутреннюю действует поперечная сила плотности f (), сообщающая точкам границы отклонение v0 от положения равновесия v=0. Определить: 1) равновесную форму мембраны; 2) линейную плотность f () силы, действующей на мембрану. Натяжение мембраны T0, r1 =2,5a, r2 =a, d=a.

7.94. Между двумя параллельными металлическими цилиндрами находится среда с проводимостью (рис.7.9). Найти плотность тока, текущего через цилиндрические поверхности, если внешний цилиндр поддерживается при потенциале v1, внутренний при потенциале v2, r1 =66a, r2 =15a, d=17a.

7.95. Между параллельными металлическими цилиндрами находится среда с проводимостью (рис.7.9); ток течет перпендикулярно оси. Определить сопротивление единицы длины (вдоль оси) такого проводника, если r1 =42a, r2 =9a, d=7a.

7.2. Потенциал точечного источника

7.96. Труба, радиус которой r=7a, находится в грунте на глубине h=25a (рис.7.10.) Определить стационарное распределение температуры в грунте, если температура его поверхности v1, трубы v2.

7.97. Один из двух параллельно расположенных проводящих цилиндров заземлен, а другой имеет заряд q на единицу длины (рис.7.10) найти потенциал поля вне цилиндров и разность потенциалов между ними, если r1 =5a, r2 =9a, d=28a.

7.98. В грунте, коэффициент теплопроводности которого k, на глубине h=13a расположена труба, радиус которой r=5a(рис.7.10). Температура поверхности грунта v1, трубы v2.

Определить плотность теплового потока через поверхность грунта при стационарном распределении температуры.

7.99. Два одинаковых параллельных кабеля, расстояние между осями которых 2d, образуют линию. Найти емкость единицы длины линии, если радиусы кабелей r0 d.

7.100. Найти взаимную емкость единицы длины двух параллельных цилиндров (рис.7.9.), если r1 =18a, r2 =4a, d=11a.

190 Глава 7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

7.101. Два проводящих параллельных цилиндра расположены так, как показано на рис. 7.9. Заряд единицы длины внешнего цилиндра q1, внутреннего q2. Определить потенциал электростатического поля в пространстве, если r1 =48a, r2 =21a, d=23a.

7.102. Один из двух параллельно расположенных проводящих цилиндров заземлен, а потенциал другого v0 (рис.7.11.) Найти

электростатическое поле вне цилиндров и, в частности, в точке M0 (r2, ), если r1 =7a, r2 =32a, d=65a.

7.103. Определить поле вне проводящих параллельных цилиндров (рис.7.11), если один из них заземлен, а другой имеет заряд q на единицу длины. Каковы величина и направление вектора E в точке M0 (r2, )? Дано: r1 =10a, r2 =4a, d=21a.

7.104. Пространство между проводящей плоскостью и параллельным ей металлическим цилиндром заполнено средой с проводимостью (рис.7.10). Определить плотность тока, текущего через поверхность цилиндра, если его потенциал v1, потенциал плоскости v2, r=33a, h=65a.

7.105. Два параллельных металлических цилиндра находятся в однородной среде с проводимостью (рис.7.11.) Определить плотность тока, протекающего через поверхности цилиндров, а

7.2. Потенциал точечного источника также полный ток I, если первый цилиндр (радиус r1 ) поддерживается при потенциале v1, второй при потенциале v2, r1 = r2 =3a, d=10a.

7.106. Заземленный проводящий цилиндр находится в поле параллельно расположенного цилиндра, заряженного до потенциала v0 (рис.7.11.) Определить плотность заряда и заряд единицы длины заземленного цилиндра, если r1 =7a, r2 =10a, d=51a.

7.107. Два проводящих цилиндра, внешний из которых заземлен, а потенциал другого v0, параллельны друг другу (рис.7.9.) Найти плотность заряда на цилиндрах, если r1 =10a, r2 =7a, d=a.

7.108. Металлический цилиндр, заряженный до потенциала v0, расположен параллельно проводящей плоскости (рис.7.10.) Найти плотность заряда на поверхности цилиндра и на плоскости.

Какова взаимная емкость (на единицу длины вдоль оси цилиндра) цилиндра и плоскости? Известно, что r=3a, h=5a.

7.109. Параллельно проводящему заземленному цилиндру расположен металлический цилиндр с зарядом q на единицу длины (рис.7.11.). Как распределится заряд на незаземленном цилиндре, если известно, что r1 =2a, r2 =5a, d=9a.

7.110. Два параллельных металлических цилиндра расположены так, как показано на рис. 7.9. Внутренний цилиндр имеет заряд q на единицу длины, а внешний заземлен. Определить плотность заряда и заряд единицы длины заземленного цилиндра, если r1 =16a, r2 =5a, d=7a.

7.111. Внутри заземленного металлического цилиндра параллельно ему расположен проводящий цилиндр с зарядом q на единицу длины (рис.7.9.) Как распределится заряд на внутреннем цилиндре, если r1 =20a, r2 =6a, d=13a?

7.112. Металлический цилиндр с зарядом q на единицу длины расположен внутри заземленного проводящего цилиндра параллельно ему (рис.7.9.) Найти плотность заряда на цилиндрах, если r1 =15a, r2 =6a, d=7a.

192 Глава 7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

7.113. Два проводящих цилиндра расположены параллельно друг другу (рис. 7.9.) Заряд единицы длины внешнего цилиндра q1, внутреннего q2. Найти плотность заряда на цилиндрах, если r1 =260a, r2 =22a, d=204a.

7.114. Два параллельных проводящих цилиндра расположены так, как показано на рис.7.11. Один из них заземлен, а другой имеет потенциал v0. Найти силу, действующую на единицу длины заземленного цилиндра, если r1 =2a, r2 =9a, d=14a.

7.115. Какая сила действует на единицу длины заземленного металлического цилиндра, расположенного параллельно проводящему цилиндру с зарядом q на единицу длины (рис.7.11), если r1 =10a, r2 =3a, d=14a?

7.116. Найти линейную плотность силы, действующей на проводящий цилиндр с зарядом q на единицу длины, расположенный внутри проводящего заземленного цилиндра (рис.7.9), если r1 =35a, r2 =5a, d=24a.

7.117. Два проводящих цилиндра расположены параллельны друг другу (рис. 7.9). Заряд единицы длины внешнего цилиндра q1, внутреннего q2. Какая сила действует на единицу длины внутреннего цилиндра, если r1 =70a, r2 =34a, d=32a?

7.118. Металлический цилиндр с зарядом q на единицу длины параллелен проводящей заземленной плоскости (рис.7.10). Определить плотность заряда на плоскости и силу, действующую на единицу длины цилиндра, если r=8a, h=17a.

7.119. В полупространстве с проводимостью находится цилиндр, параллельный плоскости y=0 (рис.7.10). Найти плотность тока в полупространстве, а также плотность тока и полный ток через поверхность цилиндра, если r=9a, h=41a, а потенциалы плоскости (y=0) и цилиндра равны соответственно 0 и v0.

7.2. Потенциал точечного источника

7.120. Конденсатор образован двумя проводящими эллиптическими цилиндрами, поперечные сечения которых софокусные эллипсы с полуосями a1 =10a, b1 =6a и a2 =17a, b2 =15a. Вычислить емкость единицы длины конденсатора.

7.121. В пространстве между двумя эллиптическими цилиндрами, поперечные сечения которых софокусные эллипсы с полуосями a1 =13a, b1 =5a и a2 =20a, b2 =16a, диффундирует газ. Концентрация газа не зависит от времени и равна v1 на внутренней и v2 на внешней поверхности, где v1 и v2 постоянные величины. Определить полный поток (на единицу длины вдоль оси) и плотность потока через внешнюю поверхность, если коэффициент диффузии D.

7.122. Пространстве между двумя проводящими эллиптическими цилиндрами, поперечные сечения которых софокусные эллипсы с полуосями a1 =25a, b1 =20 и a2 =39a, b2 =36a, заполнено средой с проводимостью. Цилиндры поддерживаются при постоянных потенциалах. Найти сопротивление единицы длины (вдоль оси) такого проводника.

7.123. Внутри однородного эллиптического цилиндра, коэффициент теплопроводности которого k, находится пластинка, ширина которой 2c (c2 = a2 + b2 ) (рис.7.12). Найти плотность теплового потока и полный поток через поверхность цилиндра при стационарном тепловом режиме, если разность постоянных температур цилиндрической поверхности пластинки равна v0.

7.124. Внутри полого проводящего цилиндра помещена металлическая пластинка, ширина которой 2c (c2 = a2 + b2 ) (рис.7.12).

Определить плотность заряда на проводниках, если разность потенциалов между цилиндром и пластинкой v0.

7.125. Внутри полого проводящего цилиндра расположена металлическая пластинка, ширина которой 2c (c2 = a2 + b2 ) (рис.7.12). Какова емкость единицы длины такой системы?

194 Глава 7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

7.126. Внутри поводящего цилиндра помещена металлическая полоса, ширина которой 2c (c2 = a2 + b2 ) (рис.7.12). Определить плотность тока, текущего через поверхность цилиндра, если его проводимость, потенциал v2, а потенциал полосы v1.

7.127. Внутри проводящего эллиптического цилиндра, заполненного средой с проводимостью, помещена металлическая полоса, ширина которой 2c (c2 = a2 + b2 ) (рис.7.12). Цилиндр и полоса поддерживаются при постоянных потенциалах. Определить сопротивление единицы длины (вдоль оси) такого проводника.

7.128. Горизонтальный пористый пласт с непроницаемыми основаниями имеет форму плоской линзы, в которой пробита; радиус линзы r1, радиус скважины r2 (рис. 7.9). Пласт заполнен малосжимаемой жидкостью, давление которой на поверхности r=r1 равно P1, а в скважине P2. Определить давление, которое устанавливается в линзе в процессе стационарной изотермической фильтрации, если r1 =426a, r2 =a, d=420a.

7.129. Малосжимаемая жидкость заполняет горизонтальный пористый пласт с непроницаемыми основаниями. Пласт имеет форму плоской линзы, в которой на расстоянии d=1008a от центра пробита; радиус линзы r1 =1016a, радиус скважины r2 =a (рис.7.9). Определить расход жидкости (поток скорости), поступающей из пласта в скважину в процессе установившейся изотермической фильтрации, если давление при r=r1 равно P1, а в скважине P2.

7.2. Потенциал точечного источника

7.130. Горизонтальный недеформируемый пласт, заполненный газом, имеет форму плоской линзы, в которой на расстоянии d=1980a от центра пробита скважина; радиус линзы r1 =1990a, радиус скважины r2 =a (рис. 7.9). Давление в скважине P2, на внешней поверхности линзы P1, а ее основания непроницаемы для газа. Какое давление установится в линзе в процессе стационарной изотермической фильтрации?

7.131. Недеформируемый горизонтальный пласт в форме плоской линзы, радиус которой r1 =1499a, толщин H, заполнен газом.

В линзе на расстоянии d=1440a от центра пробита скважина, радиус которой r2 =a (рис. 7.9). Давление в скважине P2, на внешней поверхности пласта P1, а его основания непроницаемы для газа. Какой поток газа поступает в скважину в процессе установившейся фильтрации, если температура T постоянна?

7.132. Тонкий круговой пласт, радиус которого r1, со скважиной, радиус которой r2 (рис. 7.9), расположен на непроницаемом горизонтальном основании. Пласт частично (по высоте) заполнен жидкостью, уровень которой у поверхности r=r1 равен H1, в скважине H2. Найти форму свободной поверхности жидкости в процессе установившейся безнапорной фильтрации, если µ, m, k и температура постоянные величины, r1 =245a, r2 =a, d=240a.

7.133. Тонкий круговой пласт, радиус которого r1 =679a, с непроницаемым горизонтальным основанием частично (по высоте) заполнен жидкостью. На расстоянии d=672a от центра пласта пробита скважина, радиус которой r2 =a (рис.7.9). В процессе стационарной безнапорной фильтрации устанавливается свободная поверхность жидкости, уровень которой при r=r1 равен H1, а в скважине H2. Определить расход жидкости (поток скорости), поступающей в скважину, если µ, m, k и температура постоянные величины.

Пример 7.8.

Поперечным сечением полого заземленного цилиндрического проводника является односвязная область z с граГлава 7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ницей z. Внутри проводника расположена параллельно образующей бесконечная нить, заряд единицы длины которой q, координаты x=x0, y=y0 (рис.7.13).

Найти комплексный потенциал электростатического поля и плотность заряда на проводнике. При конформном отображении =(z) области величина точечного заряда q не меняется. Это следует из инвариантности уравнения Пуассона для электростатического потенциала

3r0 sin [(tg2 ) 3 + (ctg2 ) 3 + 2 cos 2 ] Плотность заряда на остальной части проводника вычисляется аналогично (см. задачу 7.151).

7.134. Параллельно проводящей заземленной цилиндрической поверхности S расположена бесконечная нить с зарядом q на единицу длины. Поперечное сечение поверхности плоскостью x0y простая линия L =, где область, содержащая точки z= и z0 =x0 +y0 (след нити на плоскости x0y). Определить плотность заряда, индуцированного на поверхности S.

7.135. Нить с зарядом q на единицу длины расположена параллельно проводящей заземленной плоскости на расстоянии h от нее. Найти плотность заряда, индуцированного на плоскости.

7.136. Бесконечная нить, линейная плотность заряда которой q, расположена между проводящими параллельными заземленными плоскостями y=0 и y=H. Определить плотность заряда на плоскостях, если нить параллельна им и находится на расстоянии h от плоскости y=0.

7.137. Нить с зарядом q на единицу длины расположена параллельно краю проводящей полуплоскости (x 0, y = 0), координаты следа нити (r0 ; 0 ). Какова плотность заряда, индуцированного на полуплоскости?

7.138. Параллельно проводящей полосе, поперечное сечение которой отрезок (axa, y=0), расположена нить; заряд единицы длины нити q, координаты следа нити (x0, y0 ). Найти плотность заряда на полосе, если 1) x0 =da, y0 =0; 2) x0 =0, y0 =h0.

200 Глава 7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

7.139. Внутри двугранного угла (0r, 02) с проводящими заземленными гранями расположена параллельно ребру равномерно заряженная нить, заряд единицы длины которой q, координаты (r0, 0 ). Найти плотность заряда на гранях угла.

7.140. Параллельно оси проводящего заземленного цилиндра радиуса r0 на расстоянии d от оси расположена нить с зарядом q на единицу длины. Найти плотность заряда на поверхности цилиндра и заряд q1 на единицу длины, если 1) dr0 ; 2) dr0.

7.141. Внутри полого цилиндрического проводника, поперечным сечением которого является полукруг (rr0, 0), расположена параллельно оси бесконечная нить (заряд единицы длины q, координаты r=h, = ). Определить плотность заряда на проводнике при условии, что он заземлен.

7.142. Над проводящей плоскостью (y = 0) с цилиндрическим выступом (x2 + y 2 = r0, y 0) расположена (параллельно оси) нить с зарядом q на единицу длины. Найти плотность заряда на проводнике, если координаты нити x = 0, y = h r0.

7.143. Нить, линейная плотность заряда которой q, координаты (x0 ; y0 ), расположена параллельно проводящим заземленным полуплоскостям (x a, y = 0) и (x a, y = 0), где a 0.

Определить плотность заряда на полуплоскостях в следующих случаях: 1) x0 =d (a, a), y0 =0, 2) x0 =0, y0 =h0.

7.145. Параллельно проводящим заземленным плоскости (y = 0) и перпендикулярной к ней полуплоскости (x = 0, y H 0) расположена бесконечная нить, заряд единицы длины которой q, координаты (x0, y0 ). Определить плотность заряда на проводниках, если x0 = 0, y0 = h H.