Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Видео:Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Решение системы трех уравнений по формулам Крамера

Найдем определитель матрицы коэффициентов системы

Тема 6. Системы линейных алгебраических уравнений

Основные понятия СЛАУ

Системой состоящей из m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами(1)

где Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами, Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами— числа, Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами— неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.

Решением линейной системы (1) называется упорядоченная совокупность чисел Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламикоторые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Линейная система называется неоднородной, если среди свободных членов имеются отличные от нуля. Если все свободные члены равны нулю, то линейная система называется однородной. Однородная система имеет вид

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами(2)

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система не имеющая решений, — несовместной. Отметим, что однородная система всегда совместна, так как она имеет нулевое решение.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения.

Две системы называются эквивалентными или равносильными, если любое решение одной из них является так же решением другой и обратно, т.е. если имеют одно и то же множество решений. Любые две несовместные системы считаются эквивалентными.

Элементарными преобразованиями системы называются следующие преобразования:

1) умножение уравнения системы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на любое число;

3) перестановка местами двух уравнений системы.

Определителем системы называется определитель матрицы А из коэффициентов уравнений этой системы

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Матрица Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиполученная из основной присоединением столбца из свободных членов называется расширенной матрицей системы.

Решение СЛАУ по формулам Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными.

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Обозначим через D определитель системы, а через Dk определитель, полученный заменой в определителе D столбца из коэффициентов при неизвестной хk столбцом свободных членов системы, т.е.

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиГлавный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

где k – одно из чисел 1, 2, …, n.

Теорема.

1) Если Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламисистема (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами.

2) Если Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами= Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами=0, система имеет бесконечно много решений.

3) Если Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами=0, а хотя бы один из Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламисистема не имеет решений.

Пример. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Решение:

Найдем определитель матрицы коэффициентов системы

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Так как Δ # 0, то заданная система уравнений имеет единственное решение. Для этого вычислим определители Δj, получающиеся из определителя Δ путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при хj, столбцом свободных членов.

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиГлавный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Ответ:

Примеры:

1. Рассмотрим систему Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами, решенную в предыдущем разделе методом Гаусса, и применим к ней правило Крамера. Найдем все нужные определители:

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиследовательно, система имеет единственное решение.

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Отсюда Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

2. Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами. Здесь Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламипоскольку имеет два одинаковых столбца.

Следовательно, система не имеет единственного решения. Найдем Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламии Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламипоэтому система имеет бесконечно много решений.

3. Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами. Для этой системы Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламино Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с примерами

Содержание:

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Метод Крамера

Определение: Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный определитель на Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламидля этого умножим все элементы первого столбца на эту неизвестную: Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Второй столбец умножим на Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламитретий столбец — на Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами-ый столбец — на Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламии все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламине изменится:

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет собой столбец свободных коэффициентов, т.е. Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Определение: Определитель Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиназывается первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично тому, как описано выше, найдем все вспомогательные определители СЛАУ: Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

31. Для того чтобы найти вспомогательный определитель i, надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец i на столбец свободных коэффициентов.

Определение: Полученные выше соотношения называются формулами Крамера. Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиПроанализируем полученные формулы:

  • если главный определитель системы отличен от нуля (Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами), то система имеет единственное решение;
  • если главный определитель системы равен нулю (Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля ( Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиили Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами, или, . или Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено);
  • если все определители системы равны нулю (Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами), то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример:

Решить СЛАУ методом Крамера Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Решение:

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Найдем главный определитель СЛАУ (раскрываем по первой строке) Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Воспользуемся формулами Крамера

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляется в нормализованную систему линейных алгебраических уравнений.

Выполним проверку Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиОтсюда видно, что СЛАУ решена верно.

Матричный способ решения СЛАУ

Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиматpицы-столбцы неизвестных Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламии свободных коэффициентов Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиМатричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламик матрице А, получим Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламив силу того, что произведение Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламинайдем Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиТаким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к А матрицу Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами после чего надо умножить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.

Пример:

Решить СЛАУ матричным способом Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Решение:

Введем в рассмотрение следующие матрицы Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Найдем матрицу Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами(см. Лекцию № 2): найдем детерминант матрицы А.

Пример:

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Решение:

Найдем алгебраические дополнения всех элементов Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиЗапишем обратную матрицу Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами(в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем пай денной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов В:Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Отсюда находим, что х = 1; y = l; z = l.

Метод Гаусса

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этой лекции. Расширенная матрица для СЛАУ имеет вид: Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Замечание: В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы.

Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиПриведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиРазделим все элементы второй строки на (-5), получим эквивалентную матрицу Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Умножим элементы первой строки на (—1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиРазделим все элементы третьей строки на (-3), получим Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиТаким образом, эквивалентная СЛАУ имеет вид (напомним, что первый столбец это коэффициенты при неизвестной х, второй — при неизвестной у, третий — при неизвестной z, а за вертикальной чертой находится столбец свободных коэффициентов):

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Из первого уравнения находим, что х = 1.

Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от

способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в заданную СЛАУ и убедиться в тождественности левой части всех равенств системы соответствующим правым частям. Отметим, что задание СЛАУ всегда верно, то есть, если проверка показывает нарушение оговоренной тождественности, то надо искать ошибку в проведенных вычислениях.

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение: Рангом матрицы Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиназывается наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Если Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламито среди всевозможных миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, который отличен от нулю, а все миноры порядков больших, чем r, равны нулю.

При вычислении ранга необходимо начинать вычислять миноры 2 порядка, затем миноры 3 порядка и так далее, пока не будут найдены миноры, обращающиеся в нуль. Если все миноры порядка p равны нулю, то и все миноры, порядок которых больше p, равны нулю.

Пример:

Найти ранг матрицы Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Решение:

Очевидно, что среди миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, например, Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламисреди миноров третьего порядка также есть миноры, которые не равны нулю, например, Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламиОчевидно, что определитель четвертого порядка равен нулю, так как он будет содержать строку, состоящую из одних нулей (см. свойство Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формуламидля определителей). Следовательно, ранг матрицы А равен 3.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛАУ). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных величинах.

Видео:2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом КрамераСкачать

2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом Крамера

Следствия из теоремы Кронекера — Капелли

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (то есть она определенная).

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений (т.е. она неопределенная).

В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные неизвестные считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным различные произвольные значения, получим бесчисленное множество решений, каждое из которых называется частным решением системы.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Скалярное произведение и его свойства
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • Преобразования декартовой системы координат
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Критерий совместности Кронекера-Капелли
  • Формулы Крамера
  • Матричный метод
  • Экстремум функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I

§29 Главный и вспомогательный определители системы двух линейных ypaвнений с двумя неизвестными.

Главным определителем системы уравнений

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами(1)

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

составленный из коэффициентов при неизвестных х и у. Этот определитель мы будем обозначать греческой буквой Δ (дельта). Очевидно, что

Первым вспомогательным определителем системы уравнений (1) называется определитель

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Он получается из главного определителя этой системы уравнений путем замены первого столбца на столбец свободных членов. Этот определитель мы будем обозначать Δx. Индекс (то есть значок) х при Δ указывает, что в главном определителе Δ первый столбецГлавный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами, составленный из коэффициентов при х в системе уравнений (1), заменен на столбец свободных членов Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами. Очевидно, что

Вторым вспомогательным определителем системы уравнений (1) называется определитель

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

который получается из главного определителя этой системы путем замены второго столбца на столбец свободных членов. Этот определитель мы будем обозначать Δy. Очевидно, что

Пример. Для системы уравнений

Главный определитель системы уравнений состоит из коэффициентов перед формулами

Вопрос о том, какую пользу приносят введенные нами определители Δ , Δx и Δy при решении системы уравнений (1), мы выясним в следующих параграфах.

Найти главный и вспомогательные определители для следующих систем уравнений:

📺 Видео

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.Скачать

10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Формулы КРАМЕРАСкачать

Формулы КРАМЕРА

Решение системы уравнений с двумя неизвестными с помощью формул Крамера | Высшая математикаСкачать

Решение системы уравнений с двумя неизвестными с помощью формул Крамера | Высшая математика

Линейная алгебра, 8 урок, Метод КрамераСкачать

Линейная алгебра, 8 урок, Метод Крамера

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Решение системы уравнений с тремя неизвестными с помощью формул Крамера | Высшая математикаСкачать

Решение системы уравнений с тремя неизвестными с помощью формул Крамера | Высшая математика

Формулы Крамера для системы двух линейных уравненийСкачать

Формулы Крамера для системы двух линейных уравнений

Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать

Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.

Решение систем уравнений. Метод Крамера для системы линейных уравнений с двумя неизвестными.Скачать

Решение систем уравнений. Метод Крамера для системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

МЕТОД ГАУССА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

МЕТОД ГАУССА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера и матричным методом.Скачать

Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера и матричным методом.

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений
Поделиться или сохранить к себе: