Прямая линия пересекающая перпендикулярно себе гиперболу и перемещаемая параллельно себе вдоль этой линии образует поверхность именуемую — гиперболический цилиндр.
Уравнение поверхности выглядит так:
В плоскости XY направляющими являются гиперболы. Образующие располагаются параллельно оси OZ.
Данная поверхность является цилиндрической, а также поверхностью второго порядка (квадратичной).
Уравнение (1) может быть записано в параметрической форме:
Видео:Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядкаСкачать
6.2. Цилиндрические поверхности
Или цилиндры. Под цилиндром также понимают геометрическое тело.
И это не совсем то, что обычно подразумевает обыватель – класс цилиндрических поверхностей не ограничивается чёрным цилиндром на голове:
Задача 167
Построить поверхность, заданную уравнением
…что за дела?! Не опечатка ли здесь? Вроде как дано уравнение эллипса…
Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» принимает любые значения. Зафиксируем и построим в плоскости эллипс . Так как «зет» принимает все значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности.
Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром. Эллипс (на любой высоте) называется направляющей цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют).
Ось является осью симметрии поверхности (но не её частью!).
Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению .
Пространственное неравенство задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство определяет множество точек вне цилиндра.
В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность:
Задача 168
Построить поверхность, заданную уравнением
Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».
Сначала удобно построить окружность радиуса в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу.
Полученные окружности (направляющие цилиндра) аккуратно соединяем 4 параллельными прямыми (образующими цилиндра): Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий!
Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению . Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству , а неравенство задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.
Часто эту поверхность некорректно называют круговым цилиндром. Круглым! Круговой цилиндр, строго говоря – есть тело, по той причине, что его направляющей является круг. И тело, кстати, определяется неравенством .
Задача 169
Построить поверхность и найти её проекцию на плоскость
Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «икс» принимает любые значения. Зафиксируем и в плоскости изобразим окружность – с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все значения, то построенная окружность порождает цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:
На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.
Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.
Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку:
Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций (верхний «жёлоб» цилиндра), (нижний «жёлоб»).
Давайте заодно проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.
А вот проекция на плоскость несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность (не круг!) единичного радиуса , с которой мы начинали построение.
Задача 170
Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости
Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат – выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце книги.
Цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например: – данное уравнение (по знакомым мотивам линий 2-го порядка) задаёт цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку параллельно оси .
Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.
Параболические цилиндры
Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола.
Задача 171
Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости.
Не мог удержаться от этого примера =)
Решение: идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и построим обычную параболу на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра):
Напоминаю полезный технический приём: если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю. Теперь вторая часть задания, отыскание проекций:
1) Проекцией цилиндра на плоскость является парабола .
2) Проекция цилиндра на плоскость представляет собой полуплоскость , включая ось
3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость является вся плоскость .
Задача 172
Построить параболические цилиндры:
а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;
б) на промежутке
В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину.
Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий – если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа 😉
Гиперболические цилиндры
Направляющими таких цилиндров являются гиперболы.
Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, и поэтому я ограничился единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра .
Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная «школьная» гипербола из плоскости непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.
Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры
Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать
Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат
Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид
Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты — это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:
Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:
В случае, если I 3 = 0 , K 4 = 0 , семиинвариант K 3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 семиинвариант K 2 = 0 будет также и инвариантом переноса.
Видео:Гиперболические функции и формула ЭйлераСкачать
Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому
I. Если I 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
В зависимости от того, какие знаки у чисел λ 1 , λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 , определяется вид поверхности второго порядка.
Эллипсоид
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 одного знака, а K 4 /I 3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:
.
Тогда полуоси эллипсоида будут
, , .
Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
.
Мнимый эллипсоид
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:
,
, , .
Мнимый конус
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 , а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:
,
, , .
Однополостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K 4 /I 3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
.
, , ,
то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид
.
Двуполостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения и K 4 /I 3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
.
Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.
Конус
Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.
Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2 , общее уравнение можно переписать в виде:
,
известном как каноническое уравнение конуса.
II. Если I 3 = 0 , а K 4 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Эллиптический параболоид
Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.
Общее уравнение можно переписать в виде:
.
Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2 , и полагая
III. Если I 3 = 0 , а K 4 = 0 , I 2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Эллиптический цилиндр
Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K 3 /I 2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
,
, .
Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:
.
Пересекающиеся плоскости
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
,
, .
Таким образом, пересекающихся плоскостей:
.
IV. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 = I 1 — отличный от нуля корень характеристического уравнения.
Параболический цилиндр
Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:
,
.
Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:
.
V. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
.
Параллельные плоскости
Если K 2 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две параллельные плоскости.
,
перепишем его в виде
.
Мнимые параллельные плоскости
Если K 2 > 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые параллельные плоскости.
,
перепишем его в виде
.
Совпадающие плоскости
Если K 2 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две совпадающие плоскости:
, из которого следует, что «зет» принимает любые значения. Зафиксируем 
и построим в плоскости 
эллипс 
. Так как «зет» принимает все значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности.
(на любой высоте) называется направляющей цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют).
является осью симметрии поверхности (но не её частью!).
.
задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство 
определяет множество точек вне цилиндра.
в плоскости 
, а затем ещё пару окружностей сверху и снизу.
. Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству 
, а неравенство 
задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.
.
и найти её проекцию на плоскость 
, из которого следует, что «икс» принимает любые значения. Зафиксируем 
и в плоскости 
изобразим окружность 
– с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все значения, то построенная окружность порождает цилиндр с осью симметрии 
. Рисуем ещё одну окружность (направляющую цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон: 
и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.
. Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку:
смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость 
. А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми 
, включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций 
(верхний «жёлоб» цилиндра), 
(нижний «жёлоб»).
. Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость 
является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости 
, ограниченная прямыми 
( 
– любое), включая сами прямые.
несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси 
, то он спроецируется в окружность (не круг!) единичного радиуса 
, с которой мы начинали построение.
и найти её проекции на координатные плоскости
. Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце книги.
– данное уравнение (по знакомым мотивам линий 2-го порядка) задаёт цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку 
параллельно оси 
.
и найти её проекции на координатные плоскости.
, из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем 
и построим обычную параболу 
на плоскости 
, предварительно отметив тривиальные опорные точки 
. Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) 
и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра): 
является парабола 
.
представляет собой полуплоскость 
, включая ось 
является вся плоскость 
.
, ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;
на промежутке 
.
из плоскости 
непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.
,
.
.
, 
, 
.
.
,
, 
, 
.
,
, 
, 
.
.
, 
, 
,
.
.
,
,
.
,
,
.
знак минус, переписываем уравнение в виде:
.
, 
,
.
,
.
, 
,
.
.
.
, 
,
.
,
, 
.
.
,
, 
.
.
,
,
.
.
,
.
,
.
,
.
.
(как вычислить определитель).
.
;
.
,
, 
, 
.
.
.
.
.
.
,
, 
.
,
,
,
.
.
