Гидростатика уравнение эйлера для покоящейся среды и его применения

Видео:Дифференциальное уравнение Эйлера. Основное уравнение гидростатикиСкачать

Основные уравнения покоя и движения жидкостей

Гидромеханические процессы, связанные с перемещением жидкостей, сжатием и перемещением газов, иногда называют гидравлическими по названию раздела гидромеханики — гидравлике, рассматривающей жидкости и газы как рабочие тела различных технических систем.

Гидравлика представляет собой науку, изучающую законы равновесия и механического движения жидкостей и разрабатывающую методы применения этих законов для различных прикладных задач.

Гидравликой рассматриваются вопросы покоя и движения жидкостей в двух разделах — гидростатике и гидродинамике. Гидростатика рассматривает законы равновесия в состоянии покоя, гидродинамика — законы движения жидкостей и газов.

Видео:Теорема Эйлера о движении жидкостиСкачать

Дифференциальные уравнения равновесия Эйлера для покоящейся жидкости

В гидростатике равновесие жидкостей рассматривается в состоянии относительного покоя, при котором в движущейся жидкости ее частицы не перемещаются друг относительно друга. Силы внутреннего трения отсутствуют, поэтому жидкость можно считать идеальной.

В состоянии покоя форма объема жидкости не изменяется и подобно твердому телу перемещается как единое целое.

Независимо от вида покоя на жидкость действуют силы тяжести и давления. В случае относительного покоя необходимо учитывать силу инерции переносного движения жидкости. Соотношение между силами, действующими на жидкость, находящуюся в состоянии покоя, который и определяет условия равновесия этой жидкости, выражается дифференциальными уравнениями равновесия Эйлера.

В объеме жидкости, находящейся в покое (рис. 2.2), выделим элементарный параллелепипед объемом dV с ребрами dx, dy, dz, расположенными параллельно осям координат х, у, и z.

Согласно основному принципу статики, сумма проекций на оси координат всех сил, действующих па элементарный объем, находящийся в равновесии, равна нулю.

Запишем уравнения равновесия для осей x,y,z:

Раскрыв скобки, получим:

После преобразований получим дифференциальные уравнения Эйлера:

Рис. 2.2. К выводу дифференциальных уравнений равновесия Эйлера

Для нахождения закона распределения давления во всем объеме покоящейся жидкости p=f(x, у, z) необходимо проинтегрировать систему уравнений.

Основное уравнение гидростатики. Из уравнений следует, что p=f(z), т.к. и

^ = 0, иначе жидкость должна была бы двигаться по горизонтали.

В этом случае частная производная — изменяется на полную производную dp

9

Для двух произвольных горизонтальных плоскостей 1 и 2 основное уравнение гидростатики имеет вид

Это уравнение можно записать как или

Уравнение (2.2) является выражением закона Паскаля, согласно которому давление, создаваемое в любой точке покоящейся несжимаемой жидкости, передается одинаково всем точкам ее объема.

При изменении р_(> в точке z₀ на какую-либо величину давление р во всякой другой точке изменяется на эту же величину (рис. 2.3).

Рис. 2.3. К основному уравнению гидростатики

Видео:Вывод уравнений движения идеальной жидкости - Лекция 2Скачать

Кратко о гидродинамике: уравнения движения

Написав предыдущий пост, исторический и отчасти рекламный (хотя потенциальные абитуриенты такое вряд ли читают), можно перейти и к разговору «по существу». К сожалению, высокой степени популярности описания добиться вряд ли получится, но всё же постараюсь не устраивать курс сухих лекций. Хотя, от сухости избавиться не удалось, да и пост писался в результате ровно месяц.

В нынешней публикации описаны основные уравнения движения идеальной и вязкой жидкости. По возможности кратко рассмотрен их вывод и физический смысл, а также описаны несколько простейших примеров их точных решений. Увы, этими несколькими примерами доступные аналитически решения уравнений Навье-Стокса в значительной мере исчерпываются. Напомню, что Институт Клэя отнёс доказательство существования и гладкости решений к проблемам тысячелетия. Гении уровня Перельмана и выше — задача вас ждёт.

Понятие сплошной среды

В, если можно так выразиться, «традиционной» гидродинамике, сложившейся исторически, фундаментом является модель сплошной среды. Она отвлекается от молекулярной структуры вещества, и описывает среду несколькими непрерывными полевыми величинами: плотностью, скоростью (определяемой через суммарный импульс молекул в заданном элементе объёма) и давлением. Модель сплошной среды предполагает, что в любом бесконечно малом объёме содержится ещё достаточно много частиц (как принято говорить, термодинамически много — числа, близкие по порядку величины к числу Авогадро — 10 23 шт.). Таким образом, модель ограничена снизу дискретностью молекулярной структуры жидкости, что в задачах типичных пространственных масштабов совершенно несущественно.

Однако, такой подход позволяет описать не только воду в пробирке или водоёме, и оказывается куда более универсальным. Поскольку наша Вселенная на больших масштабах практически однородна, то, как ни странно, она начиная с некоторого масштаба превосходно описывается как сплошная среда, с учётом, конечно же, самогравитации.

Другими, более приземлёнными применениями сплошной среды являются описание свойств упругих тел, динамики плазмы, сыпучих тел. Также можно описывать топлу людей как сжимаемую жидкость.

Параллельно с приближением сплошной среды, в последние годы набирает обороты кинетическая модель, основанная на дискретизации среды на небольшие частицы, взаимодействующие между собой (в простейшем случае — как твердые шарики, отталкивающиеся при столкновении). Такой подход возник в первую очередь благодаря развитию вычислительной техники, однако существенно новых результатов в чистую гидродинамику не превнёс, хотя оказался крайне полезен для задач физики плазмы, которая на микроуровне не является однородной, а содержит электроны и положительно заряженные ионы. Ну и опять же для моделирования Вселенной.

Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы

Самый элементарный закон. Пусть у нас есть какой-то совершенно произвольный, но макроскопический объём жидкости V, ограниченный поверхностью F (см. рис.). Масса жидкости внутри него определяется интегралом:

И пусть с жидкостью внутри него не происходит ничего, кроме движения. То есть, там нет химических реакций и фазовых переходов, нет трубок с насосами или чёрных дыр. Ну и всё происходит с маленькими скоростями и для малых масс вещества, потому никакой теории относительности, искривления пространства, самогравитации жидкости (она становится существенна на звёздных масштабах). И пусть сам объём и границы еего неподвижны. Тогда единственное, что может изменить массу жидкости в нашем объёме — это её перетекание через границу объёма (для определённости — пусть масса в объёме убывает):

где вектор j — поток вещества через границу. Точкой, напомним, обозначается скалярное произведение. Поскольку границы объёма, как было сказано, неподвижны, то производную по времени можно внести под интеграл. А правую часть можно преобразовать к такому же, как слева, интегралу по объёму по теореме Гаусса-Остроградского.

В итоге, в обеих частях равенства получается интеграл по одному и тому же совершенно произвольному объёму, что позволяет приравнять подинтегральные выражения и перейти к дифференциальной форме уравнения:

Здесь (и далее) использован векторный оператор Гамильтона. Образно говоря, это условный вектор, компоненты которого — операторы дифференцирования по соответствующим координатам. С его помощью можно очень кратко обозначать разного рода операции над скалярами, векторами, тензорами высших рангов и прочей математической нечистью, основные среди которых — градиент, дивергенция и ротор. Не буду останавливаться на них детально, поскольку это отвлекает от основной темы.

Наконец, поток вещества равен массе, переносимой через единичную площадку за единицу времени:

Окончательно, закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды таков:

Это выражение наиболее общее, для среды, обладающей переменной плотностью. В реальности, эксперимент свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости:

которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по сравнению со звуковой.

Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса

Весь относительно громоздкий процесс колдовства преобразования интегралов, использованный выше, даёт нам не только уравнение неразрывности. Точно такие же по сути преобразования позволяют выразить законы сохранения импульса и энергии, и получить в итоге уравнения для скорости жидкости и для переноса тепла в ней. Однако пока не будем сильно торопиться, и займёмся не просто сохранением импульса, а даже сохранением импульса в идеальной несжимаемой жидкости — т.е. рассмотрим модель с полным отсутствием вязкости.

Рассуждения практически те же самые, только теперь нас интересует не масса, а полный импульс жидкости в том же самом объёме V. Он равен:

При тех же самых условиях, что и выше, импульс в объёме может меняться за счёт:

• конвективного переноса — т.е. импульс «утекает» вместе со скоростью через границу
• давления окружающих элементов жидкости
• просто за счёт внешних сил, например — от силы тяжести.

Соответствующие интегралы (порядок отвечает списку) дают такое соотношение:

Начнём их преобразовывать. Правда, для этого нужно воспользоваться тензорным анализом и правилами работы с индексами. Конкретнее, к первому и второму интегралам применяется теорема Гаусса-Остроградского в обобщённой форме (она работает не только для векторных полей). И если перейти к дифференциальной форме уравнения, то получится следующее:

Крестик в кружочке обозначает тензорное произведение, в данном случае — векторов.

В принципе, это уже уравнение Эйлера, однако его можно чуток упростить — ведь закон сохранения массы никто не отменял. Раскрыв здесь скобки в дифференциальных операторах и приведя затем подобные слагаемые, мы увидим, что три слагаемых благополучно собираются в уравнение неразрывности, и потому дают в сумме ноль. Итоговое уравнение оказывается таким:

Если перейти в систему отсчёта, связанную с движущейся жидкостью (не будем заострять внимание на том, как это делается), мы увидим, что уравнение Эйлера выражает второй закон Ньютона для единицы объёма среды.

Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса

Идеальная жидкость, это, конечно, хорошо (правда, всё равно точно не решается), но во многих случаях учёт вязкости необходим. Даже в той же конвекции, в течении жидкости по трубам. Без вязкости вода вытекала бы из наших кранов с космическими скоростями, а малейшая неоднородность температуры в воде приводила бы к её крайне быстрому и бурному перемешиванию. Потому давайте учтём сопротивление жидкости самой себе.

Дополнить уравнение Эйлера можно различными (но эквивалентными, конечно же) путями. Воспользуемся базовой техникой тензорного анализа — индексной формой записи уравнения. И пока также отбросим внешние силы, чтобы не путались под руками / под ногами / перед глазами (нужное подчеркнуть). При таком раскладе всё, кроме производной по времени, можно собрать в виде дивергенции одного такого тензора:

По смыслу, это плотность потока импульса в жидкости. К нему и нужно добавить вязкие силы в виде ещё одного тензорного слагаемого. Поскольку они явно приводят к потере энергии (и импульса), то они должны вычитаться:

Идя обратно в уравнение с таким тензором, мы получим обобщённое уравнение движения вязкой жидкости:

Оно допускает любой закон для вязкости.

Принято считать очевидным, что сопротивление зависит от скорости движения. Вязкость же, как перенос импульса между участками жидкости с различными скоростями, зависит от градиента скорости (но не от самой скорости — тому мешает принцип относительности). Если ограничиться разложением этой зависимости до линейных слагаемых, получится вот такой жутковатый объект:

в котором величина перед производной содержит 81 коэффициент. Однако, используя ряд совершенно разумных предположений об однородности и изотропности жидкости, от 81 коэффициента можно перейти всего к двум, и в общем случае для сжимаемой среды, тензор вязких напряжений равен:

где η (эта) — сдвиговая вязкость, а ζ (зета или дзета) — объёмная вязкость. Если же среда ещё и несжимаема, то достаточно одного коэффициента сдвиговой вязкости, т.к. второе слагаемое при этом уходит. Такой закон вязкости

носит название закона Навье, а полученное при его подстановке уравнение движения — это уравнение Навье-Стокса:

Точные решения

Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений её уравнений. Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удаётся до сих пор, и, напомню, вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса входит в список Проблем тысячелетия института Клэя.

Однако, несмотря на столь грустные факты, некоторые результаты есть. Здесь будут представлены далеко не все, а лишь самые простые случаи.

Потенциальные течения

Особый интерес представляют течения, в которых жидкость не завихряется. Для такой ситуации можно отказаться от рассмотрения векторного поля скорости, поскольку она выражается через градиент скалярной функции — потенциала. Потенциал же удовлетворяет хорошо изученному уравнению Лапласа, решение которого полностью определяется тем, что задано на границах рассматриваемой области:

Более того, при отсутствии вязкости из уравнения Эйлера можно однозначно выразить и давление, что вовсе замечательно и приводит нас к полному решению задачи. Ах, если бы так было всегда… то гидродинамики, наверное, уже бы и не было как современной и актуальной отрасли.

Дополнительно можно упростить задачу предположением, что течение жидкости двумерно — скажем, всё движется в плоскости (x,y), и ни одна частица не перемещается вдоль оси z. Можно показать, что в таком случае скорость может быть также заменена скалярной функцией (на этот раз — функцией тока):

которая при потенциальном течении удовлетворяет условиям Коши-Лагранжа из теории функций комплексной переменной и воспользоваться соответствующим математическим аппаратом. Полностью совпадающим с аппаратом электростатики. Теория потенциальных течений развита на высоком уровне, и в принципе хорошо описывает большой спектр задач.

Простые течения вязкой жидкости

Решения для вязкой жидкости чаще всего удаётся получить, когда из уравнения Навье-Стокса благодаря свойствам симметрии задачи выпадает нелинейное слагаемое.

Сдвиговое течение Куэтта

Самая элементарная задачка. Канал с неподвижной нижней и подвижной верхней стенкой, которая движется равномерно с некоторой скоростью. На границах жидкость прилипает к ним, так что скорость жидкости равна скорости границы. Этот результат является экспериментальным фактом, и как-то даже авторы первых экспериментов не упоминаются, просто — по совокупности экспериментов.

В такой ситуации от уравнения Навье-Стокса останется уравнение вида v» = 0, и потому профиль скорости в канале окажется линейным:

Данная задача является практически базовой для теории смазки, т.к. позволяет непосредственно определить силу, которую требуется приложить к верхней стенке для её движения с конкретной скоростью.

Течение Пуазейля

Вторая по элементарности — ламинарное течение в канале. Или в трубе. Результат оказывается один — профиль скорости является параболическим:

На основе решения Пуазейля можно определить расход жидкости через сечение канала, но, правда, только при ламинарном течении и гладких стенках. С другой стороны, для турбулентного потока и шероховатых стенок точных решений нет, а есть лишь приближённые эмпирические закономерности.

Стекание слоя жидкости по наклонной плоскости

Тут — почти как в задаче Пуазейля, только верхняя граница жидкости будет свободной. Если предположить, что по ней не бегут никакие волны, и вообще сверху нет трения, то профиль скорости будет практически нижней половинкой предыдущего рисунка. Правда, если из полученной зависимости вычислить скорость течения для средней равнинной речки, она составит около 10 км/с, и вода должна самопроизвольно отправляться в космос. Наблюдаемые в природе низкие скорости течения связаны с развитой завихренностью и турбулентностью потока, которые эффективно увеличивают вязкость воды примерно в 1 млн. раз.

В следующем посте планируется рассказать о законе сохранения энергии и соответствующих ему уравнениях переноса тепла при течении жидкости.

Видео:Решение задачи по гидравлике (механике жидкости) - давление в точкеСкачать

Уравнения Эйлера для покоящейся жидкости и их интегрирование.

Видео:Урок 132. Основные понятия гидродинамики. Уравнение непрерывностиСкачать

Уравнения Эйлера для покоящейся жидкости и их интегрирование.

Уравнения Эйлера для покоящейся жидкости и их интегрирование. Если жидкость неподвижна относительно стенки замкнутого резервуара, то она неподвижна относительно системы координат, плотно соединенной со стенкой замкнутого резервуара. reservoir. In в данном случае речь пойдет об относительном стационарном состоянии жидкости, которое говорит о том, что резервуар может быть неподвижен относительно Земли, а жидкость находится в абсолютном неподвижном состоянии или движется с постоянным ускорением. В неподвижной жидкости, как показано в разделе 3.2, касательное напряжение в каждой точке равно нулю, а нормальное напряжение направлено вдоль внутренней нормали, которая равна гидростатическому давлению, полученному в противоположном знаке(см. раздел 3.2). Р 1 д-р _ _ г.. о р. п _ Г * р ДХ-г «» г * К # =одециграмм (4.1).

Если в уравнении движения (3.10) проекция скорости равна нулю, а в них=и» = mr = 0, и используя уравнение (3.7), получим дифференциальное уравнение равновесия жидкости. Людмила Фирмаль

• Уравнение (4.1), называемое уравнением Эйлера, является общим дифференциальным уравнением гидростатического давления, справедливым как для несжимаемых, так и для сжимаемых жидкостей. Вывод уравнения движения жидкости (3.10) еще раз подтверждает, что уравнение (4.1) представляет собой условия для нулевой проекции массы и условия для поверхностных сил, действующих на единицу массы жидкости на координатных осях. 3 уравнения (4.1) эквивалентны 1 векторному уравнению п-р-ЛК)= 0ilKR П =° 04-2） Формула (4.2) может быть интегрирована в общем случае form. In на самом деле, массовые силы, обнаруженные в природе и технике, по большей части обладают потенциалом.

• То есть вектор P-это наклон функции Φ (x, y, r), которая называется потенциалом массы force. It представляется уравнением (выбор знака минус описан в разделе 3.2). Т=■ бгаФФ (4.3） Шестьдесят три Или в проекции Если вы хотите использовать командную строку, вы можете использовать утилиту командной строки. (4.3 ’） Подставляя выражение (4.3) в(4.2), получаем гФФ+ +(1 / p) абрp-0. Для несжимаемой жидкости p = = = sop $ 1.С этим вы можете использовать bgab(Φ+ p! Р)= 0. Наклон, равный нулю, означает, что он равен нулю для всех проекций. тг(ф + т) −0; + Т) −0.4(ф + т) оТак… Φ4-Р! P = const 1. (4.4） I-уравнение (4.4) является общим интегралом дифференциальных уравнений Эйлера (4.2).Тогда горизонтальная плоскость Φ = const! В неподвижной жидкости она совпадает с той же поверхностью давления (изобарная плоскость). Для сжимаемых жидкостей, вследствие переменной плотности p, ее невозможно ввести под знаком «ha01». для получения Интеграла уравнения (4.2) В этом случае введем новую функцию & (x, y, r), которая называется функцией давления и определяется дифференциальным уравнением. Нет=год! Р (4.6） Процесс изменения состояния жидкости(газа) называется баротропным, когда ее плотность зависит только от давления, то есть от p = /(p).

Баротропный процесс включает в себя поток несжимаемой жидкости (p = const), изотермический (p =•const) и теплоизоляционный (p = const)/*.Где k-адиабатический индекс. Людмила Фирмаль

• Для такого процесса значение Ф является полной производной, и уравнение (4.5) соответствует следующему 3. Я врач. д&д-1. Д-1. ДХ Р ДХ * ду-Р ду * ДГ-Р ЛГ*»» Умножьте каждый из них на единичные векторы I,/, и k, и сложите их、 и№=(1 / р)§ha01 стр. (4.7） Принимая во внимание формулы (4.7) и (4.3), формулы (4.2) можно записать в виде ehai(Φ+^*) 0. F + & стоп!。 (4.8） Чтобы получить определенный тип функции (давление P в сжимаемой жидкости), необходимо использовать функцию Зависимость p-/(p). известно, что она задается уравнениями термодинамических процессов. Райвр ру Ин гвнейд райвбет Инг Нгимру. Я / 0• ;? ,1 а Р дх 1. еще одна форма дифференциального уравнения равновесия жидкости, которую удобно решать прикладным методом problem. It получается путем умножения формулы (4.1)на любые приращения независимых переменных xx, yy и yr соответственно и сложения их.

Смотрите также:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

📸 Видео

Следствие из основного уравнения гидравлики: закон ПаскаляСкачать

Закон БернуллиСкачать

Урок 133. Закон Бернулли. Уравнение БернуллиСкачать

Уравнение Бернулли гидравликаСкачать

Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать

Основное уравнение гидростатики (задачи)Скачать

Мини-курс. Лекция 3: Математическая теория уравнений Эйлера для несжимаемой жидкости в размерности 2Скачать

Гидростатика. Законы Паскаля и Архимеда. Условия плавания тел | Физика ЕГЭ, ЦТСкачать

Метод ЭйлераСкачать

дифференциальное уравнение ЭйлераСкачать

Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать

Вывод уравнений Навье-Стокса - Лекция 3Скачать

Уравнение Эйлера - bezbotvyСкачать

Дифференциальное уравнение. Формула ЭйлераСкачать