Гидростатика уравнение эйлера для покоящейся среды и его применения (5 видео)

Основные уравнения покоя и движения жидкостей

Гидромеханические процессы, связанные с перемещением жидкостей, сжатием и перемещением газов, иногда называют гидравлическими по названию раздела гидромеханики — гидравлике, рассматривающей жидкости и газы как рабочие тела различных технических систем.

Гидравлика представляет собой науку, изучающую законы равновесия и механического движения жидкостей и разрабатывающую методы применения этих законов для различных прикладных задач.

Гидравликой рассматриваются вопросы покоя и движения жидкостей в двух разделах — гидростатике и гидродинамике. Гидростатика рассматривает законы равновесия в состоянии покоя, гидродинамика — законы движения жидкостей и газов.

Содержание

Дифференциальные уравнения равновесия Эйлера для покоящейся жидкости
Кратко о гидродинамике: уравнения движения
Понятие сплошной среды
Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы
Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса
Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса
Точные решения
Потенциальные течения
Простые течения вязкой жидкости
Уравнения Эйлера для покоящейся жидкости и их интегрирование.
Уравнения Эйлера для покоящейся жидкости и их интегрирование.
🌟 Видео

Видео:Дифференциальное уравнение Эйлера. Основное уравнение гидростатикиСкачать

Дифференциальные уравнения равновесия Эйлера для покоящейся жидкости

В гидростатике равновесие жидкостей рассматривается в состоянии относительного покоя, при котором в движущейся жидкости ее частицы не перемещаются друг относительно друга. Силы внутреннего трения отсутствуют, поэтому жидкость можно считать идеальной.

В состоянии покоя форма объема жидкости не изменяется и подобно твердому телу перемещается как единое целое.

Независимо от вида покоя на жидкость действуют силы тяжести и давления. В случае относительного покоя необходимо учитывать силу инерции переносного движения жидкости. Соотношение между силами, действующими на жидкость, находящуюся в состоянии покоя, который и определяет условия равновесия этой жидкости, выражается дифференциальными уравнениями равновесия Эйлера.

В объеме жидкости, находящейся в покое (рис. 2.2), выделим элементарный параллелепипед объемом dV с ребрами dx, dy, dz, расположенными параллельно осям координат х, у, и z.

Согласно основному принципу статики, сумма проекций на оси координат всех сил, действующих па элементарный объем, находящийся в равновесии, равна нулю.

Запишем уравнения равновесия для осей x,y,z:

Раскрыв скобки, получим:

После преобразований получим дифференциальные уравнения Эйлера:

Рис. 2.2. К выводу дифференциальных уравнений равновесия Эйлера

Для нахождения закона распределения давления во всем объеме покоящейся жидкости p=f(x, у, z) необходимо проинтегрировать систему уравнений.

Основное уравнение гидростатики. Из уравнений следует, что p=f(z), т.к. и

^ = 0, иначе жидкость должна была бы двигаться по горизонтали.

В этом случае частная производная — изменяется на полную производную dp

Для двух произвольных горизонтальных плоскостей 1 и 2 основное уравнение гидростатики имеет вид

Это уравнение можно записать как или

Уравнение (2.2) является выражением закона Паскаля, согласно которому давление, создаваемое в любой точке покоящейся несжимаемой жидкости, передается одинаково всем точкам ее объема.

При изменении р_(> в точке z₀ на какую-либо величину давление р во всякой другой точке изменяется на эту же величину (рис. 2.3).

Рис. 2.3. К основному уравнению гидростатики

Видео:Теорема Эйлера о движении жидкостиСкачать

Кратко о гидродинамике: уравнения движения

Написав предыдущий пост, исторический и отчасти рекламный (хотя потенциальные абитуриенты такое вряд ли читают), можно перейти и к разговору «по существу». К сожалению, высокой степени популярности описания добиться вряд ли получится, но всё же постараюсь не устраивать курс сухих лекций. Хотя, от сухости избавиться не удалось, да и пост писался в результате ровно месяц.

В нынешней публикации описаны основные уравнения движения идеальной и вязкой жидкости. По возможности кратко рассмотрен их вывод и физический смысл, а также описаны несколько простейших примеров их точных решений. Увы, этими несколькими примерами доступные аналитически решения уравнений Навье-Стокса в значительной мере исчерпываются. Напомню, что Институт Клэя отнёс доказательство существования и гладкости решений к проблемам тысячелетия. Гении уровня Перельмана и выше — задача вас ждёт.

Понятие сплошной среды

В, если можно так выразиться, «традиционной» гидродинамике, сложившейся исторически, фундаментом является модель сплошной среды. Она отвлекается от молекулярной структуры вещества, и описывает среду несколькими непрерывными полевыми величинами: плотностью, скоростью (определяемой через суммарный импульс молекул в заданном элементе объёма) и давлением. Модель сплошной среды предполагает, что в любом бесконечно малом объёме содержится ещё достаточно много частиц (как принято говорить, термодинамически много — числа, близкие по порядку величины к числу Авогадро — 10 23 шт.). Таким образом, модель ограничена снизу дискретностью молекулярной структуры жидкости, что в задачах типичных пространственных масштабов совершенно несущественно.

Однако, такой подход позволяет описать не только воду в пробирке или водоёме, и оказывается куда более универсальным. Поскольку наша Вселенная на больших масштабах практически однородна, то, как ни странно, она начиная с некоторого масштаба превосходно описывается как сплошная среда, с учётом, конечно же, самогравитации.

Другими, более приземлёнными применениями сплошной среды являются описание свойств упругих тел, динамики плазмы, сыпучих тел. Также можно описывать топлу людей как сжимаемую жидкость.

Параллельно с приближением сплошной среды, в последние годы набирает обороты кинетическая модель, основанная на дискретизации среды на небольшие частицы, взаимодействующие между собой (в простейшем случае — как твердые шарики, отталкивающиеся при столкновении). Такой подход возник в первую очередь благодаря развитию вычислительной техники, однако существенно новых результатов в чистую гидродинамику не превнёс, хотя оказался крайне полезен для задач физики плазмы, которая на микроуровне не является однородной, а содержит электроны и положительно заряженные ионы. Ну и опять же для моделирования Вселенной.

Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы

Самый элементарный закон. Пусть у нас есть какой-то совершенно произвольный, но макроскопический объём жидкости V, ограниченный поверхностью F (см. рис.). Масса жидкости внутри него определяется интегралом:

И пусть с жидкостью внутри него не происходит ничего, кроме движения. То есть, там нет химических реакций и фазовых переходов, нет трубок с насосами или чёрных дыр. Ну и всё происходит с маленькими скоростями и для малых масс вещества, потому никакой теории относительности, искривления пространства, самогравитации жидкости (она становится существенна на звёздных масштабах). И пусть сам объём и границы еего неподвижны. Тогда единственное, что может изменить массу жидкости в нашем объёме — это её перетекание через границу объёма (для определённости — пусть масса в объёме убывает):

где вектор j — поток вещества через границу. Точкой, напомним, обозначается скалярное произведение. Поскольку границы объёма, как было сказано, неподвижны, то производную по времени можно внести под интеграл. А правую часть можно преобразовать к такому же, как слева, интегралу по объёму по теореме Гаусса-Остроградского.

В итоге, в обеих частях равенства получается интеграл по одному и тому же совершенно произвольному объёму, что позволяет приравнять подинтегральные выражения и перейти к дифференциальной форме уравнения:

Здесь (и далее) использован векторный оператор Гамильтона. Образно говоря, это условный вектор, компоненты которого — операторы дифференцирования по соответствующим координатам. С его помощью можно очень кратко обозначать разного рода операции над скалярами, векторами, тензорами высших рангов и прочей математической нечистью, основные среди которых — градиент, дивергенция и ротор. Не буду останавливаться на них детально, поскольку это отвлекает от основной темы.

Наконец, поток вещества равен массе, переносимой через единичную площадку за единицу времени:

Окончательно, закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды таков:

Это выражение наиболее общее, для среды, обладающей переменной плотностью. В реальности, эксперимент свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости:

которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по сравнению со звуковой.

Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса

Весь относительно громоздкий процесс ~~колдовства~~ преобразования интегралов, использованный выше, даёт нам не только уравнение неразрывности. Точно такие же по сути преобразования позволяют выразить законы сохранения импульса и энергии, и получить в итоге уравнения для скорости жидкости и для переноса тепла в ней. Однако пока не будем сильно торопиться, и займёмся не просто сохранением импульса, а даже сохранением импульса в идеальной несжимаемой жидкости — т.е. рассмотрим модель с полным отсутствием вязкости.

Рассуждения практически те же самые, только теперь нас интересует не масса, а полный импульс жидкости в том же самом объёме V. Он равен:

При тех же самых условиях, что и выше, импульс в объёме может меняться за счёт:

конвективного переноса — т.е. импульс «утекает» вместе со скоростью через границу
давления окружающих элементов жидкости
просто за счёт внешних сил, например — от силы тяжести.

Соответствующие интегралы (порядок отвечает списку) дают такое соотношение:

Начнём их преобразовывать. Правда, для этого нужно воспользоваться тензорным анализом и правилами работы с индексами. Конкретнее, к первому и второму интегралам применяется теорема Гаусса-Остроградского в обобщённой форме (она работает не только для векторных полей). И если перейти к дифференциальной форме уравнения, то получится следующее:

Крестик в кружочке обозначает тензорное произведение, в данном случае — векторов.

В принципе, это уже уравнение Эйлера, однако его можно чуток упростить — ведь закон сохранения массы никто не отменял. Раскрыв здесь скобки в дифференциальных операторах и приведя затем подобные слагаемые, мы увидим, что три слагаемых благополучно собираются в уравнение неразрывности, и потому дают в сумме ноль. Итоговое уравнение оказывается таким:

Если перейти в систему отсчёта, связанную с движущейся жидкостью (не будем заострять внимание на том, как это делается), мы увидим, что уравнение Эйлера выражает второй закон Ньютона для единицы объёма среды.

Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса

Идеальная жидкость, это, конечно, хорошо (правда, всё равно точно не решается), но во многих случаях учёт вязкости необходим. Даже в той же конвекции, в течении жидкости по трубам. Без вязкости вода вытекала бы из наших кранов с космическими скоростями, а малейшая неоднородность температуры в воде приводила бы к её крайне быстрому и бурному перемешиванию. Потому давайте учтём сопротивление жидкости самой себе.

Дополнить уравнение Эйлера можно различными (но эквивалентными, конечно же) путями. Воспользуемся базовой техникой тензорного анализа — индексной формой записи уравнения. И пока также отбросим внешние силы, чтобы не путались под руками / под ногами / перед глазами (нужное подчеркнуть). При таком раскладе всё, кроме производной по времени, можно собрать в виде дивергенции одного такого тензора:

По смыслу, это плотность потока импульса в жидкости. К нему и нужно добавить вязкие силы в виде ещё одного тензорного слагаемого. Поскольку они явно приводят к потере энергии (и импульса), то они должны вычитаться:

Идя обратно в уравнение с таким тензором, мы получим обобщённое уравнение движения вязкой жидкости:

Оно допускает любой закон для вязкости.

Принято считать очевидным, что сопротивление зависит от скорости движения. Вязкость же, как перенос импульса между участками жидкости с различными скоростями, зависит от градиента скорости (но не от самой скорости — тому мешает принцип относительности). Если ограничиться разложением этой зависимости до линейных слагаемых, получится вот такой жутковатый объект:

в котором величина перед производной содержит 81 коэффициент. Однако, используя ряд совершенно разумных предположений об однородности и изотропности жидкости, от 81 коэффициента можно перейти всего к двум, и в общем случае для сжимаемой среды, тензор вязких напряжений равен:

где η (эта) — сдвиговая вязкость, а ζ (зета или дзета) — объёмная вязкость. Если же среда ещё и несжимаема, то достаточно одного коэффициента сдвиговой вязкости, т.к. второе слагаемое при этом уходит. Такой закон вязкости

носит название закона Навье, а полученное при его подстановке уравнение движения — это уравнение Навье-Стокса:

Точные решения

Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений её уравнений. Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удаётся до сих пор, и, напомню, вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса входит в список Проблем тысячелетия института Клэя.

Однако, несмотря на столь грустные факты, некоторые результаты есть. Здесь будут представлены далеко не все, а лишь самые простые случаи.

Потенциальные течения

Особый интерес представляют течения, в которых жидкость не завихряется. Для такой ситуации можно отказаться от рассмотрения векторного поля скорости, поскольку она выражается через градиент скалярной функции — потенциала. Потенциал же удовлетворяет хорошо изученному уравнению Лапласа, решение которого полностью определяется тем, что задано на границах рассматриваемой области:

Более того, при отсутствии вязкости из уравнения Эйлера можно однозначно выразить и давление, что вовсе замечательно и приводит нас к полному решению задачи. Ах, если бы так было всегда… то гидродинамики, наверное, уже бы и не было как современной и актуальной отрасли.

Дополнительно можно упростить задачу предположением, что течение жидкости двумерно — скажем, всё движется в плоскости (x,y), и ни одна частица не перемещается вдоль оси z. Можно показать, что в таком случае скорость может быть также заменена скалярной функцией (на этот раз — функцией тока):

которая при потенциальном течении удовлетворяет условиям Коши-Лагранжа из теории функций комплексной переменной и воспользоваться соответствующим математическим аппаратом. Полностью совпадающим с аппаратом электростатики. Теория потенциальных течений развита на высоком уровне, и в принципе хорошо описывает большой спектр задач.

Простые течения вязкой жидкости

Решения для вязкой жидкости чаще всего удаётся получить, когда из уравнения Навье-Стокса благодаря свойствам симметрии задачи выпадает нелинейное слагаемое.

Сдвиговое течение Куэтта

Самая элементарная задачка. Канал с неподвижной нижней и подвижной верхней стенкой, которая движется равномерно с некоторой скоростью. На границах жидкость прилипает к ним, так что скорость жидкости равна скорости границы. Этот результат является экспериментальным фактом, и как-то даже авторы первых экспериментов не упоминаются, просто — по совокупности экспериментов.

В такой ситуации от уравнения Навье-Стокса останется уравнение вида v» = 0, и потому профиль скорости в канале окажется линейным:

Данная задача является практически базовой для теории смазки, т.к. позволяет непосредственно определить силу, которую требуется приложить к верхней стенке для её движения с конкретной скоростью.

Течение Пуазейля

Вторая по элементарности — ламинарное течение в канале. Или в трубе. Результат оказывается один — профиль скорости является параболическим:

На основе решения Пуазейля можно определить расход жидкости через сечение канала, но, правда, только при ламинарном течении и гладких стенках. С другой стороны, для турбулентного потока и шероховатых стенок точных решений нет, а есть лишь приближённые эмпирические закономерности.

Стекание слоя жидкости по наклонной плоскости

Тут — почти как в задаче Пуазейля, только верхняя граница жидкости будет свободной. Если предположить, что по ней не бегут никакие волны, и вообще сверху нет трения, то профиль скорости будет практически нижней половинкой предыдущего рисунка. Правда, если из полученной зависимости вычислить скорость течения для средней равнинной речки, она составит около 10 км/с, и вода должна самопроизвольно отправляться в космос. Наблюдаемые в природе низкие скорости течения связаны с развитой завихренностью и турбулентностью потока, которые эффективно увеличивают вязкость воды примерно в 1 млн. раз.

В следующем посте планируется рассказать о законе сохранения энергии и соответствующих ему уравнениях переноса тепла при течении жидкости.

Видео:Вывод уравнений движения идеальной жидкости - Лекция 2Скачать

Уравнения Эйлера для покоящейся жидкости и их интегрирование.

Видео:Закон БернуллиСкачать

Уравнения Эйлера для покоящейся жидкости и их интегрирование.

Уравнения Эйлера для покоящейся жидкости и их интегрирование. Если жидкость неподвижна относительно стенки замкнутого резервуара, то она неподвижна относительно системы координат, плотно соединенной со стенкой замкнутого резервуара. reservoir. In в данном случае речь пойдет об относительном стационарном состоянии жидкости, которое говорит о том, что резервуар может быть неподвижен относительно Земли, а жидкость находится в абсолютном неподвижном состоянии или движется с постоянным ускорением. В неподвижной жидкости, как показано в разделе 3.2, касательное напряжение в каждой точке равно нулю, а нормальное напряжение направлено вдоль внутренней нормали, которая равна гидростатическому давлению, полученному в противоположном знаке(см. раздел 3.2). Р 1 д-р _ _ г.. о р. п _ Г * р ДХ-г «» г * К # =одециграмм (4.1).

Если в уравнении движения (3.10) проекция скорости равна нулю, а в них=и» = mr = 0, и используя уравнение (3.7), получим дифференциальное уравнение равновесия жидкости. Людмила Фирмаль

Уравнение (4.1), называемое уравнением Эйлера, является общим дифференциальным уравнением гидростатического давления, справедливым как для несжимаемых, так и для сжимаемых жидкостей. Вывод уравнения движения жидкости (3.10) еще раз подтверждает, что уравнение (4.1) представляет собой условия для нулевой проекции массы и условия для поверхностных сил, действующих на единицу массы жидкости на координатных осях. 3 уравнения (4.1) эквивалентны 1 векторному уравнению п-р-ЛК)= 0ilKR П =° 04-2） Формула (4.2) может быть интегрирована в общем случае form. In на самом деле, массовые силы, обнаруженные в природе и технике, по большей части обладают потенциалом.

То есть вектор P-это наклон функции Φ (x, y, r), которая называется потенциалом массы force. It представляется уравнением (выбор знака минус описан в разделе 3.2). Т=■ бгаФФ (4.3） Шестьдесят три Или в проекции Если вы хотите использовать командную строку, вы можете использовать утилиту командной строки. (4.3 ’） Подставляя выражение (4.3) в(4.2), получаем гФФ+ +(1 / p) абрp-0. Для несжимаемой жидкости p = = = sop $ 1.С этим вы можете использовать bgab(Φ+ p! Р)= 0. Наклон, равный нулю, означает, что он равен нулю для всех проекций. тг(ф + т) −0; + Т) −0.4(ф + т) оТак… Φ4-Р! P = const 1. (4.4） I-уравнение (4.4) является общим интегралом дифференциальных уравнений Эйлера (4.2).Тогда горизонтальная плоскость Φ = const! В неподвижной жидкости она совпадает с той же поверхностью давления (изобарная плоскость). Для сжимаемых жидкостей, вследствие переменной плотности p, ее невозможно ввести под знаком «ha01». для получения Интеграла уравнения (4.2) В этом случае введем новую функцию & (x, y, r), которая называется функцией давления и определяется дифференциальным уравнением. Нет=год! Р (4.6） Процесс изменения состояния жидкости(газа) называется баротропным, когда ее плотность зависит только от давления, то есть от p = /(p).

Баротропный процесс включает в себя поток несжимаемой жидкости (p = const), изотермический (p =•const) и теплоизоляционный (p = const)/*.Где k-адиабатический индекс. Людмила Фирмаль

Для такого процесса значение Ф является полной производной, и уравнение (4.5) соответствует следующему 3. Я врач. д&д-1. Д-1. ДХ Р ДХ * ду-Р ду * ДГ-Р ЛГ*»» Умножьте каждый из них на единичные векторы I,/, и k, и сложите их、 и№=(1 / р)§ha01 стр. (4.7） Принимая во внимание формулы (4.7) и (4.3), формулы (4.2) можно записать в виде ehai(Φ+^*) 0. F + & стоп!。 (4.8） Чтобы получить определенный тип функции (давление P в сжимаемой жидкости), необходимо использовать функцию Зависимость p-/(p). известно, что она задается уравнениями термодинамических процессов. Райвр ру Ин гвнейд райвбет Инг Нгимру. Я / 0• ;? ,1 а Р дх 1. еще одна форма дифференциального уравнения равновесия жидкости, которую удобно решать прикладным методом problem. It получается путем умножения формулы (4.1)на любые приращения независимых переменных xx, yy и yr соответственно и сложения их.

Смотрите также:

Возможно эти страницы вам будут полезны: