В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.
1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.
Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S= х 2 + 10х + 25. Заменяя
х 2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим
2)Решим уравнение x 2 – 4x – 12 = 0.
Представим его в виде x 2 – 4x = 12.
На рис13. «изображено» выражение x – 4x, т.е. из площади квадрата со стороной х дважды вычитается площадь квадрата со стороной 2. Значит х 2 – 4х + 4 есть площадь квадрата со стороной х – 2.
Выполнив замену x 2 – 4x = 12, получим
x – 2 = 4x – 2 = – 4
| Название способа решения квадратных уравнений | Плюсы | Минусы |
| Решение квадратных уравнений по формуле | Можно применить ко всем квадратным уравнениям. | Нужно выучить формулы. |
| Разложение левой части уравнения на множители | Дает возможность сразу увидеть корни уравнения. | Нужно правильно вычислить слагаемые для группировки. |
| Метод выделения полного квадрата | За минимальное количество действий можно найти корни уравнений | Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата. |
| Решение уравнений с использованием теоремы Виета | Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения. | легко находятся только целые корни. |
| Свойства коэффициентов квадратного уравнения | Не требует особых усилий | Подходит только к некоторым уравнениям |
| Решение уравнений способом переброски | За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета. | легко найти только целые корни. |
| Геометрический способ решения квадратных уравнений | Наглядный способ. | похож на способ выделения полного квадрата |
| Графическое решение квадратного уравнения | Наглядный способ | Могут быть не точности при составлении графиков |
| Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки | Наглядный способ | Могут быть не точности |
| Решение квадратных уравнений с помощью номограммы | Наглядный способ, прост в применении. | Не всегда под рукой имеется номограмма. |
Ответ: x1 = 6, x1 = – 2.
Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.
Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.
Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.
Здесь мы остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что, если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.
Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.
Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Наша работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.
- СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений
- ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ.
- Описание презентации по отдельным слайдам:
- Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Дистанционные курсы для педагогов
- Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
- Другие материалы
- Вам будут интересны эти курсы:
- Оставьте свой комментарий
- Автор материала
- Дистанционные курсы для педагогов
- Подарочные сертификаты
- 📺 Видео
Видео:Геометрический способ решения квадратных уравнений. Без дискриминанта!Скачать
СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений
10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.
В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.
1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.
Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя
х 2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим
2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у — 16 = 0.
Решение представлено на рис. 16, где
у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.
Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = — 8 (рис.16).
3) Решить геометрически уравнение у 2 — 6у — 16 = 0.
Преобразуя уравнение, получаем
На рис. 17 находим «изображения» выражения у 2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у 2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у 2 — 6у равным ему числом 16,
получаем: (у — 3) 2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25, или у — 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = — 2.
Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.
Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.
Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.
Здесь я остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что,
если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.
Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.
Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.
1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. — М., Просвещение, 1981.
2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.Изд. 57-е. — М., Просвещение, 1990. С. 83.
3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. — М., высшая школа, 1969.
4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. — М., Просвещение, 1972.
5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. — М., Квант, № 4/72. С. 34.
6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. — 4-е, дополн. — М., Высшая школа, 1973.
7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. — М., Просвещение, 1970.
Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Геометрическое решение квадратного уравнения Автор: Иванова Любовь Алексеевна
Цель: Научить учащихся владению основными способами решения квадратного уравнения Задачи: Изучить историю развития квадратных уравнений. Раскрыть геометрический способ решения квадратных уравнений.
Актуальность работы Квадратные уравнения используются как в учебном процессе, так и для олимпиад самого высокого уровня, а также при решении прикладных задач человеческой жизнедеятельности. Способность ученика подходить к решению уравнений с различных ракурсов, и при этом выбирать наиболее рациональный способ решения, повышает его конкурентоспособность и успешную самореализацию. Квадратные уравнения – «золото» Алгебры.
– это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Умение решать квадратные уравнения не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов квадратных уравнений. Квадратное уравнение
История возникновения и развития квадратных уравнений
Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет. Г.В. Лейбниц
решали квадратные уравнения. В древние времена математики ориентировались на человека, его нужды, заботы, возможности. Необходимо было вычислять площади земельных участков, производить расчеты при постройке военных сооружений. В Вавилоне 2 тысячи лет до нашей эры
В VIII столетии до нашей эры в Индии математик Баудхаяма впервые использовал запись квадратных уравнений в виде: и привел методы решения квадратных уравнений
Индийский астроном Ариабхатта
Индийский ученый Брахмагупта (VII век)
Диофант Александрийский (III в.)
«Книга абака» итальянского математика Леонардо Фибоначчи 1201 году
В XVII веке Жирар Декарт систематизировал все теории о квадратных уравнениях.
Геометрический способ решения квадратного уравнения
Пример 1. х2+ 10х -39 = 0 → х2 + 10х = 39 Решение: На сторонах квадрата с ребром х строим прямоугольники 1*х, полученную фигуру дополняем до квадрата ABCD. Площадь квадрата ABCD состоит из площади первоначального квадрата х; площадей десяти прямоугольников 10х и площади квадрата 52 = 25; АВ = х + 5; (х + 5)2 = х2 + 10х + 25 = 39; (х 5)2 = 39 + 25 = 64; х + 5 = ± ± 8; Ответ: х1 = 3; х2 = -13
Пример 2.Решите квадратное уравнение х2 + 6х + 5 = 0 Решение: х2 + 6х = -5; АВ = х + 3; SABCD = (х + 3)2; (х + 3)2 = х2 + 6х = 32; (х + 3)2 = 4; х + 3 = ±2; Ответ: х1 = -1; х2 = -5
Пример 3. Решите квадратное уравнение геометрически 4х2 + 8х – 5 = 0 Решение: 4х2 + 8х = 5; Разделим уравнение на четыре, получим приведенное квадратное уравнение х2 + 2х = ; которое решаем аналогично решениям примеров 1 и 2; х +1 = ± = Ответ: х1 = х2 = — 1
«Опыт научного прошлого не должен быть потерян для будущих поколений, всё развивается по спирали. Человек родился быть господином, повелителем, царем природы. Но мудрость, с которой он должен править с наследственного своего престола, не дана ему от рождения: она приобретается учением».Николай Иванович Лобачевский.
«Торопись, ведь они проходят, Ты у времени в гостях. Не рассчитывай на помощь, Помни: всё в твоих руках!» Юстас Палецкис
«Так, дерзай! Пусть славы эхо о твоих гремит успехах. Станешь ты, хоть скромен вид, знаменитей чем Евклид!» Льюис Керрол
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Видео:Квадратные уравнения и геометрическая алгебра древнихСкачать
Дистанционные курсы для педагогов
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 570 362 материала в базе
Другие материалы
- 30.03.2017
- 1046
- 10
- 30.03.2017
- 649
- 0
- 30.03.2017
- 386
- 0
- 30.03.2017
- 1724
- 3
- 30.03.2017
- 1140
- 35
- 30.03.2017
- 254
- 0
- 30.03.2017
- 593
- 4
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
- 30.03.2017 4145
- PPTX 1.8 мбайт
- 20 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Еремова Лена Петровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
- На сайте: 3 года и 1 месяц
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 7566
- Всего материалов: 7
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Видео:Квадратное уравнение. 1 урок.Скачать
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы
Время чтения: 1 минута
В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля
Время чтения: 1 минута
У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ
Время чтения: 2 минуты
В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы
Время чтения: 1 минута
Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга
Время чтения: 1 минута
Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения
Время чтения: 3 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
📺 Видео
Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)Скачать
8 класс, 21 урок, Графическое решение уравненийСкачать
Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать
Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
АЛГЕБРА 8 класс : Графическое решение квадратных уравнений | ВидеоурокСкачать
Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать
7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать
Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать
Альтернативные способы решений квадратных уравненийСкачать
Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать
Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать
Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать
Квадратные уравнения: 9 способов решения(Не только дискриминант)Скачать
