Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.

Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

где aij- коэффициенты при неизвестных х, у и z, индексы: i = 1,2,3 — определяют номер уравнения и j = 1,2,3 — номер неизвестного.

Определение: Решением системы уравнений (3) называется тройка чисел (х0,у0,z0), при подстановке которой в эту систему все уравнения обращаются в верные числовые тождества.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ уравнений с тремя неизвестными

Геометрически система уравнений (3) задает 3 плоскости в пространстве.

При этом возможны 3 случая:

  • 1) плоскости пересекаются в единой точке с координатами (x0,y0,z0), система в этом случае имеет единственное решение — она совместна и определена;
  • 2) плоскости совпадают друг с другом — система имеет бесконечное множество решений, т.е. она совместна, но не определена;
  • 3) плоскости параллельны друг другу и общих точек пересечения не имеют — система несовместна и решений не имеет.

Данную систему (3) можно решить методом Крамера с помощью определителей третьего порядка.

Введем понятие матрицы и определителя третьего порядка.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Определение: Квадратной матрицей 3 -го порядка называется таблица чисел, которая состоит из 3-х строк и 3-х столбцов и обозначается:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

где аi,j — называются элементами матрицы, индексы: i = 1, 2, 3 — определяет номер; строки, j = 1, 2, 3 — номер столбца. Элементы а11а22а33 образуют главную диагональ матрицы, а элементы а13а22а31 образуют побочную диагональ матрицы.

Каждая матрица характеризуется своим определителем.

Определение: Определителем матрицы 3-го порядка называется число, которое вычисляется методом диагоналей — как разность суммы произведений элементов главных диагоналей и суммы произведений элементов побочных диагоналей.

Определитель 3-го порядка обозначается и вычисляется по следующей схеме:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Существует другой, универсальный способ вычисления определителей 3-го порядка, который называется методом разложения и реализуется по следующей схеме:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Данная формула называется формулой разложения по элементам 1-ой строки. Эта формула позволяет вычисление определителя 3-го порядка свести к вычислению определителей 2-го порядка.

Для раскрытия сущности этой формулы введем два понятия — минора и алгебраического дополнения.

Определение: Минором Мij элемента aij определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, полученный путем вычеркивания i — строки и j — столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиГеометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Так, для a11 соответствует минор M11 =, для a12 — минор M12=, а для а13- минор M13 =.

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Определение: Алгебраическим дополнением Аij элемента aij называется его минор Мij, взятый со знаком +, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная и со знаком — , если эта сумма нечетная, т.е.: Aij = (-1)i+jMij.

Например: A11 = (-1)1+1M11 = M11; A12 = (-1)1+2M12 = -M12; A13 = (-1)1+3 M13 = M13.

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Схема чередования знаков миноров для соответствующих элементов матрицы: .

Исходя из этих понятий, формулу разложения по элементам 1-ой строки при вычислении определителя 3-го порядка можно записать так:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Определитель может быть разложен по любой строке или столбцу и равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения. Этот способ вычисления определителей называется методом разложения. Он универсален и применим для определителей любого порядка.

Перейдем к решению системы линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера.

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиГеометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиГеометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиГеометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Систему: (3) путем последовательного исключения неизвестных х, у и z можно привести к равносильной (эквивалентной) системе (4), имеющей одинаковые решения с исходной системой (3): (4), где — определитель системы, , , — определители неизвестных x, y, z, которые получаются из определителя системы путем замены столбца коэффициентов при неизвестном на столбец свободных членов.

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

При решении системы (4) возможны 3 случая при выполнении следующих условий:

Если определитель системы , то, поделив обе части уравнений системы на , найдем неизвестные по формулам Крамера:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

При первом условии система имеет единственное решение, она совместна и определена. Три плоскости пересекаются в одной точке с координатами (х0, у0, z0).

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

1. Если определитель системы и все определители неизвестных , то имеем и при любых значениях x, y и z имеем верное тождество.

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

При втором условии система имеет бесконечное множество решений, она совместна, но не определена. Плоскости совпадают друг с другом.

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

2. Если определитель системы , а определители неизвестных могут быть или или , то имеем:, что невозможно при любых значениях х и у.

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

При третьем условии система решения не имеет, она не совместна. Плоскости параллельны друг другу и общих точек не имеют.

Метод решения системы линейных уравнений с помощью определителей называется методом Крамера.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

  • 1) Вычислим определители системы и неизвестных , х, у и z.
  • а) методом разложения по 1-ой строке:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

б) методом диагоналей:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

2) Найдем решение системы по формулам Крамера:

Ответ: (х0=0, у0= -1, z0=2)-точка пересечения плоскостей.

Видео:Система с тремя переменнымиСкачать

Система с тремя переменными

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Содержание:

Определители второго порядка:

Под определителем (детерминантом) второго порядка понимается выражение

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Числа Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Формула (1) дает правило «развертывания» определителя второго порядка, а именно: определитель второго порядка равен разности произведений его элементов первой и второй диагоналей.

Видео:Тема: Системы линейных уравнений. Урок: Системы линейных уравнений. Геометрическая интерпретацияСкачать

Тема: Системы линейных уравнений. Урок: Системы линейных уравнений. Геометрическая интерпретация

Определители второго порядка

С помощью определителей второго порядка удобно решать линейные системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Такую линейную систему, в которой свободные члены находятся в правых частях, для определенности мы будем называть стандартной.

Под решением системы (2) понимается всякая пара чисел (х, у), обращающая эту систему в тождество. Если существует только одна такая пара, то решение называется единственным. Аналогично вводится понятие решения для системы, содержащей п неизвестных Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными.

Для нахождения решений системы (2) применим метод исключения. Умножая первое уравнение системы (2) на Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными, а второе — на — Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымии складывая, будем иметь

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Аналогично, умножая первое уравнение системы (2) на а2 второе — на Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымискладывая, получаем

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Введем определитель системы

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

а также дополнительные определители

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Заметим, что дополнительные определители Dx и Dy получаются из определителя системы D путем замены коэффициентов при указанном неизвестном на соответствующие свободные члены.

Уравнения (3) и (4) принимают вид

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Если Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными, то отсюда получаем, что система (2) имеет единственное решение

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Замечание. Если определитель D = 0, то система (2) или не имеет решений (т. е. несовместна), или имеет бесконечно много решений (т. е. система неопределенная).

Пример:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Имеем Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Отсюда на основании формул Крамера (6) получаем

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиГеометрически решение (95; 110) представляет собой точку пересечения прямых (7).

Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.

Система двух однородных уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим однородную систему

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Эта система всегда совместна, так как, очевидно, имеет нулевое решение х = 0, у = 0, z = 0. Однако интересно найти не н у л е в ы е решения (х, у, z) системы (1). Пусть, например, Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными.

Тогда систему (1) можно переписать в виде

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиОтсюда, предполагая, что Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными, получаемГеометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Введем в рассмотрение матрицу коэффициентов системы (1)Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Определители второго порядка Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными, которые получаются из матрицы (5) путем вычеркивания соответствующего столбца, называются ее минорами. Таким образом, имеем Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Используя эти обозначения, уравнения (3) и (4) можно переписать в следующем виде:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Равенства (6), очевидно, справедливы также и для нулевого решения.

Таким образом, имеем следующее правило: неизвестные однородной системы (1) пропорциональны соответствующим минорам ее матрицы коэффициентов, взятым с надлежащими знаками.

Обозначая через t коэффициент пропорциональности для отношений (6), получим полную систему решений системы (1):

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

При выводе формул (7) мы предполагали, что Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными. Однако, как легко убедиться, формулы (7) будут справедливы, если любой (хотя бы один) из миноров Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиотличен от нуля.

Замечание. Если все миноры Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиравны нулю, то система (1) требует особого рассмотрения.

Пример:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Составляя матрицу коэффициентов

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

находим ее миноры: Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиНа основании формулы (7) полная система решений системы (8) имеет вид

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

где Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Простейшее ненулевое решение системы (1), получающееся при t — 1, есть х = -3, у = 18, z = 13.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Определители третьего порядка

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Числа Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестныминазываются элементами определителя; они расположены в трех строках и трех столбцах его (ряды определителя). ,

Раскрывая определители второго порядка (миноры) в формуле (1) и собирая члены с одинаковыми знаками, получаем, что определитель третьего порядка представляет собой знакопеременную сумму шести слагаемых:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

из которых три берутся со знаком плюс, а три — со знаком минус.

Пример:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Используя формулу (1), имеем Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиВ дальнейшем мы укажем более удобные способы вычисления определителей третьего порядка.

Определение: Под минором элемента определителя третьего порядка понимается определитель младшего (второго) порядка, получающийся из данного определителя в результате вычеркивания строки и столбца, содержащих данный элемент.

Например, для определителя (3) минором его элемента 2, стоящего во второй строке и в первом столбце, является определитель Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиВ дальнейшем для краткости будем говорить, что элемент определителя третьего порядка занимает четное место, если сумма номеров его строки и его столбца есть число четное, и нечетное место, если эта сумма есть число нечетное.

Определение: Алгебраическим дополнением (минором со знаком) элемента определителя третьего порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если элемент занимает четное место у и со знаком минус, если его место нечетное.

Таким образом, если М есть минор элемента определителя, a i и j — соответственно номер строки и номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент, то его алгебраическое дополнение есть

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Например, для элемента с2 определителя (1), находящегося во второй строке и в третьем столбце, его алгебраическое дополнение естьГеометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Соответствующие знаки, приписываемые при этом минорам элементов определителя, можно задать таблицей

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

В дальнейшем алгебраические дополнения элементов определителя с буквенными элементами условимся обозначать соответствующими прописными (большими) буквами.

Теорема Разложения: Определитель третьего порядка равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда его на их алгебраические дополнения (под рядом понимается строка или столбец).

Таким образом, для определителя (1) справедливы шесть разложений: Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Легко проверить, что формулы (4) и (5) дают одно и то же выражение (2), принятое за определение.

Замечание. С помощью формул типа (4) или (5), по индукции, можно ввести определители высших порядков.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2

Основные свойства определителей

При формулировках мы не будем указывать порядок определителя, так как эти свойства справедливы для определителей любого порядка.

I. (Равноправность строк и столбцов.) Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами, т. е.Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Действительно, разлагая первый определитель по элементам первой строки, а второй — по элементам первого столбца, в силу теоремы разложения мы получим один и тот же результат.

II. При перестановке двух параллельных рядов определителя его модуль сохраняет прежнее значение, а знак меняется на обратный.

Пусть, например, в определителе Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымипереставлены первая и вторая строки; тогда получим определитель Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиРазлагая определитель D по элементам второй строки и учитывая, что при перестановке строк изменилась четность мест этих элементов, будем иметь

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Аналогичное положение получается и в других случаях.

Следствие 1. Определитель, у которого два параллельных ряда одинаковы, равен нулю.

В самом деле, пусть, например,

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Переставляя первую и вторую строки определителя, в силу теоремы получим определитель -D. Но очевидно, эта операция не изменяет определитель D, поэтому -D = D и, следовательно, D = 0.

Следствие 2. Сумма парных произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю, т. е. для определителя (2) имеем Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымии т. д., а также Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымии т. д. (всего таких соотношений можно написать двенадцать).

Левые части всех соотношений (3) и (4) представляют собой разложения соответствующих определителей третьего порядка, содержащих два одинаковых параллельных ряда и, следовательно, равны нулю. Например, Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными(здесь разложение нужно производить во второй строке!).

III. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя, т. е.

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Это свойство непосредственно вытекает из разложения определителя по элементам соответствующего ряда.

Следствие 1. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Следствие 2. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда его, то определитель равен нулю.

Например, имеем Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

IV. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Следствие. Величина определителя не изменится, если /с элементам какого-либо ряда его прибавить (или отнять) числа, пропорциональные соответствующим элементам параллельного ряда с одним и тем же коэффициентом пропорциональности (так называемые «элементарные преобразования определителя»).

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим, например, определители

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Используя свойства IV и III, будем иметь Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиЭлементарные преобразования дают удобный способ вычисления определителей.

Пример:

Вычислить симметричный определитель

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Вычитая из второй строки удвоенную первую строку, а из третьей строки утроенную первую строку, получим Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Система трех линейных уравнений

Рассмотрим стандартную линейную систему трех уравнений

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

свободные члены которых находятся в правых частях. Под решением системы понимается всякая тройка чисел (х, у, г), удовлетворяющая этой системе. Введем определитель системы

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиа также дополнительные определителиГеометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Последовательно умножая уравнения системы (1) на алгебраические дополнения Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымисоответствующих элементов Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымипервого столбца определителя D, получим

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Отсюда, применяя теорему разложения и следствие 2 к свойству II, будем иметь Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными, т. е. Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиИспользуя алгебраические дополнения элементов второго и третьего столбцов определителя D, аналогично находим

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Если определитель системы Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными, то из уравнений (5) и Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиполучаем единственное решение системы (1): Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиТаким образом, имеем правило Крамера: неизвестные стандартной линейной системы (1) с ненулевым определителем представляют собой дроби, знаменатель которых есть определитель системы, а числители равны соответствующим дополнительным определителям.

Замечание. Если определитель системы D = 0, то система (1) или несовместна, или имеет бесконечно много решений.

Пример:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Вычитая из второго столбца удвоенный первый столбец, а из третьего столбца утроенный первый столбец, получимГеометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Для дополнительных определителей находим следующие значения: Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиИспользуя правило Крамера, получаем решение системы:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Однородная система трех линейных уравнений

Рассмотрим линейную систему

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

свободные члены которой равны нулю. Такая линейная система называется однородной.

Однородная линейная система (1), очевидно, допускает нулевое решение х = 0, у = 0, z = 0 и, следовательно, всегда совместна.

Интересно выяснить случаи, когда однородная система имеет ненулевые решения.

Теорема: Линейная однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, т. е.

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Доказательство: Пусть система (1) имеет ненулевое решение Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиЕсли определитель ее Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымито на основании формул Крамера система (1) обладает только нулевым решением, что противоречит предположению. Следовательно, D = 0.

Пусть D = 0. Тогда линейная система (1) либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. Но наша система совместна, так как имеется нулевое решение. Следовательно, система (1) допускает бесконечно много решений, в том числе и ненулевые.

Замечание. Укажем способ нахождения ненулевых решений однородной системы (1) в типичном случае.

Пусть определитель системы D = 0, но не все его миноры второго порядка равны нулю.

Мы будем предполагать, что

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

(этого всегда можно добиться с помощью перестановки уравнений и изменения нумерации неизвестных).

Рассмотрим подсистему, состоящую из двух первых уравнений системы (1):Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

В силу решения этой системы имеют вид

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымигде Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными— соответствующие алгебраические дополнения. Подставляя эти числа в неиспользованное третье уравнение системы (1) и учитывая, что определитель D = 0, получаем

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Следовательно, формулы (5), где t произвольно, дают все решения полной системы (1).

Геометрически уравнения системы (1) представляют собой уравнения трех плоскостей в пространстве Oxyz. Если определитель Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными, то эти плоскости пересекаются в единственной точке 0(0, 0, 0); если же определитель D =0, но не все его миноры второго порядка равны нулю, то в нашем случае эти плоскости пересекаются по прямой линии (как «листы книги»). Без рассмотрения оставлен случай слияния трех плоскостей.

Система линейных уравнений с многими неизвестными. Метод Гаусса

Рассмотрим систему Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымилинейных уравнений с Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестныминеизвестными:

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Здесь для коэффициентов системы введена двойная индексация, а именно: у коэффициента Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымипервый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j — номер неизвестного. Для удобства выкладок свободные члены обозначены через Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Наиболее простой метод решения системы (1) — это метод исключения. Мы изложим его в форме схемы Гаусса (обычно называемой методом Гаусса).

Пусть для определенности Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными— ведущий коэффициент». Разделив все члены первого уравнения на аи, будем иметь приведенное уравнение

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим i-e уравнение системы (1):

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Для исключения xx из этого уравнения умножим приведенное уравнение (2) на ап и полученное уравнение вычтем из уравнения (4). Тогда будем иметь

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Таким образом, получаем укороченную систему

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

коэффициенты которой определяются по формулам (6).

Если ее ведущий коэффициент Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными, то из системы (7) указанным выше приемом можно исключить неизвестное Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными. причем новые коэффициенты будут вычисляться по формулам типа (6) и т.д. Эта часть вычислений называется прямым ходом метода Гаусса.

Для определения неизвестных Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиРассмотрим приведенные уравнения

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Отсюда последовательно находим неизвестные (обратный ход) Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиЗаметим, что операции (9) выполняются без деления.

Если очередной ведущий коэффициент окажется равным нулю, то уравнения системы следует переставить надлежащим образом. Возможно, конечно, что система (1) несовместна. Тогда, естественно, метод Гаусса не допускает реализации.

Пример:

Методом Гаусса решить систему

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Решение:

Составляем таблицу коэффициентов системы (10), рассматривая свободные члены ее как коэффициенты при Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными:Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Последний столбец Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымисодержит суммы элементов соответствующих строк таблицы; этот столбец служит для контроля вычислений.

Считая отмеченный коэффициент 2 ведущим и деля на этот коэффициент все элементы первой строки таблицы (включая и входящий в столбец Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными), получаем коэффициенты первого приведенного уравнения (см. табл.). Текущий контроль вычислений осуществляется тем, что элемент из столбца Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиравен сумме всех остальных элементов этой строки. Этим заканчивается заполнение раздела I таблицы.

Далее, используя формулу (6), подсчитываем коэффициенты укороченной системы, не содержащей неизвестного xv Для наглядности будем называть строку, содержащую коэффициенты приведенного уравнения, приведенной, а столбец, содержащий ведущий элемент раздела, — ведущим. Тогда на основании формулы (6) справедливо правило: преобразованные коэффициенты схемы Гаусса, равны ее прежним коэффициентам минус произведение «проекций» их на соответствующие приведенную строку и ведущий столбец таблицы. Пользуясь этим, заполняем раздел II таблицы, включая контрольный столбец. Для удобства вычислении в качестве ведущего коэффициента раздела П берем элемент 8 (см. табл.).

Аналогично производится заполнение раздела III таблицы. Этим заканчивается прямой ход схемы Гаусса.

Неизвестные Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымипоследовательно определяются из приведенных уравнений

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

(обратный ход). Результаты обратного хода помещены в разделе IV таблицы.

Заметим, что если в качестве свободных членов взять элементы столбца Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными, то для неизвестных получатся значения Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиГеометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымипревышающие на единицу значения неизвестных Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестнымиЭтим обеспечивается заключительный контроль вычислений.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Метод Гаусса — определение и вычисление
  • Прямая линия на плоскости и в пространстве
  • Плоскость в трехмерном пространстве
  • Функция одной переменной
  • Ряды в математике
  • Дифференциальные уравнения с примерами
  • Обратная матрица — определение и нахождение
  • Ранг матрицы — определение и вычисление

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Решение системы уравнений с тремя неизвестными с помощью формул Крамера | Высшая математикаСкачать

Решение системы уравнений с тремя неизвестными с помощью формул Крамера | Высшая математика

Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений

Напомним, что уравнения с abvmh пеоеменными вида

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

описывают на координатной плоскости Оху прямую. Решение системы двух уравнений такого вида, как точки на координатной плоскости, должно принадлежать одновременно двум прямым, соответствующим уравнениям этой системы. Отсюда возможны следующие варианты:

  • 1) прямые пересекаются, и система имеет единственное решение;
  • 2) прямые параллельны, и система не имеет решения (несовместна);
  • 3) прямые совпадают, т.с. ранг системы равен единице, и система имеет бесчисленное множество решений.

Уравнение с тремя переменными вида

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

описывает плоскость в трехмерном пространстве. Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными — это точки пространства, которые должны принадлежать одновременно трем плоскостям, которые описываются уравнениями системы. В таком случае возможны следующие варианты:

  • 1) три плоскости пересекаются в одной точке, и система имеет единственное решение;
  • 2) три плоскости пересекаются по одной прямой — система имеет бесчисленное множество решений (все точки на этой прямой);
  • 3) две плоскости совпадают, а третья пересекает их — бесчисленное множество решений (все точки прямой на пересечении трех плоскостей), ранг системы равен двум;
  • 4) все три плоскости совпадают — все точки общей плоскости являются решениями, ранг системы равен единице;
  • 5) хотя бы одна из плоскостей параллельна какой-либо из двух других — система несовместна;
  • 6) плоскости пересекаются попарно по параллельным прямым — система несовместна.

В последних двух случаях несовместность системы уравнений обусловлена тем, что нет таких точек трехмерного пространства, которые принадлежали бы одновременно всем трем плоскостям.

В случае системы уравнений с п неизвестными каждое уравнение вида

Геометрический смысл решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

можно интерпретировать как гиперплоскость в координатном пространстве А п Решение системы (4.1) — это такое множество точек пространства А», которые принадлежат одновременно всем т гиперплоскостям, соответствующим уравнениям этой системы.

📺 Видео

Тема: Системы линейных уравнений. Урок: Решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестнымиСкачать

Тема: Системы линейных уравнений. Урок: Решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

Решение системы уравнений с тремя переменнымиСкачать

Решение системы уравнений с тремя переменными

Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Решение системы трех уравнений по формулам Крамера

Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Урок: Геометрическая интерпретация решения системы трёх линейных уравнений. Вырожденный случайСкачать

Урок: Геометрическая интерпретация решения системы трёх линейных уравнений. Вырожденный случай

Нелинейные уравнения с двумя переменными и их геометрический смысл. 9 класс.Скачать

Нелинейные уравнения с двумя переменными и их геометрический смысл. 9 класс.

Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.

Графический метод решения систем линейных уравнений 7 классСкачать

Графический метод решения систем линейных уравнений 7 класс

Решение систем уравнений. Метод Крамера для системы линейных уравнений с двумя неизвестными.Скачать

Решение систем уравнений. Метод Крамера для системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

Способы решения систем нелинейных уравнений. 9 класс.Скачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. 9 класс.

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Система уравнений. Метод алгебраического сложения
Поделиться или сохранить к себе: