Геометрический смысл производной уравнение касательной конспект

Конспект урока

Алгебра и начала анализа, 11 класса.

Урок №14. Геометрический смысл производной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Геометрический смысл производной;

2) Алгоритм нахождения касательной к графику функции в точке;

3) Сравнение производных заданной функции по ее графику в различных точках.

Глоссарий по теме

Число k= tgα называется угловым коэффициентом прямой, а угол α – углом между этой прямой и осью Ох.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Напомним, что графиком линейной функции у=кх + b является прямая.

Число k= tgα называется угловым коэффициентом прямой, а угол α – углом между этой прямой и осью Ох.

Если k>0, то 0 -2x , параллельной прямой y=-x

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания x₀. Т.к. касательная параллельна прямой y=-x, значит ее угловой коэффициент равен –1. Таким образом, f'(x₀) = -1.

Уравнение касательной: y=1-1(x-0) = 1-x

№2. На параболе у=х 2 -2х-8 найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой 4х+у+4=0.

Определим угловой коэффициент касательной к параболе у=х 2 -2х-8:

Найдем угловой коэффициент прямой 4х+у+4=0:

Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны. Следовательно, их угловые коэффициенты равны, т.е.

х=-1 – абсцисса точки касания.

Ординату точки касания М вычислим из уравнения данной параболы у=х 2 -2х-8, т.е.

Видео:Геометрический смысл производной. Уравнение касательнойСкачать

Конспект занятия по теме «Геометрический смысл производной. Уравнение касательной»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

Пусть дана некоторая кривая и точка А на ней . Возьмем на этой кривой другую точку В и проведем прямую через точки А и В. Эту прямую обычно называют секущей. Станем приближать точку В к А.

Положение секущей АВ будет меняться, но с приближением В к А начинает стабилизироваться. Предельное положение секущей АВ при стремлении точки В к точке А будет касательной к кривой в точке А.

Таким образом, производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной.

Выведем уравнение касательной.

Уравнение произвольной прямой может быть записано в виде (1). Известно, что , поэтому уравнение примет вид (2).

Т.к. касательная проходит через точку с координатами (х ₀ ; f ( x ₀ )) , подставим ее координаты в уравнение (2) и найдем b

Запишем алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y = f ( x ) в точке с абсциссой х ₀ :

1 Находим значение функции в данной точке f ( x ₀ )

2 Находим производную данной функции f ‘( x )

3 Находим значение производной функции в данной точке f ‘( x ₀ )

4 Подставляем данные в уравнение касательной к графику функции

1 Составьте уравнение касательной к графику функции y= x 2 +4 x в точке с

абсциссой х ₀ = 2

2 f(2) = 2 2 + 4ˑ2 = 12

3 f ‘ ( x )=2 x+4; f ‘ (2 ) = 2ˑ2 + 4 = 8

4 у = 12 + 8 (х – 2); у = 8х – 4

3 Составьте уравнение касательной к графику функции f ( x ) = x 3 – 2х в точке М (3;3). Сделать чертеж.

4 Составьте уравнение той касательной к графику функции y= -x 3 , которая

параллельна прямой у =1 – 3х.

5 К графику функции y=6√ x проведите касательную так, чтобы она

составляла с осью Ох угол 45 о .

6 Проведите касательную к графику функции y=3−2 x 2 , проходящую через

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Геометрический смысл производной | КасательнаяСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 568 149 материалов в базе

Другие материалы

• 06.04.2020
• 1417
• 95

• 06.04.2020
• 438
• 27

• 06.04.2020
• 687
• 18

• 06.04.2020
• 631
• 0

• 06.04.2020
• 110
• 0

• 06.04.2020
• 185
• 0

• 05.04.2020
• 1389
• 48

• 05.04.2020
• 364
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 06.04.2020 166
• DOCX 32.8 кбайт
• 2 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Викулова Наталья Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 4 месяца
• Подписчики: 2
• Всего просмотров: 19764
• Всего материалов: 30

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

Урок математики по теме «Геометрический смысл производной»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (548 кБ)

Цель урока:

• Выяснить, в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнения касательной к графику функции.
• Развивать ОУУН мыслительной деятельности: анализ, обобщение и систематизация, логическое мышление, сознательное восприятие учебного материала.
• Формировать умение оценивать свой уровень знаний и стремление его повышать, способствовать развитию потребности к самообразованию. Воспитание ответственности, коллективизма.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, доска, мел, переносная доска, программа «Живая математика» Презентация.

1. Организационный момент. Постановка цели.

Учитель сообщает тему урока, его цель, структуру урока, необходимость его проведения. Слайд 1,2,3

Учитель. На предыдущих уроках изучена тема “Производная”, получены знания по технике дифференцирования, но зачем? Где можно использовать полученные знания. Сегодня мы попытаемся ответить на этот вопрос. Тема урока “Геометрический смысл производной”.

2. Работа со словарем урока. Слайд 4

Словарь урока: производная, линейная функция, угловой коэффициент, касательная к графику, непрерывность, тангенсы углов (острый, тупой).

Учитель. Ребята, задайте друг другу вопросы, используя слова словаря. Вопросы не должны предполагать ответы “да”, “нет”.

3. Актуализация опорных знаний и умений.

Работа в парах “Составь пару”.Слайд 5

Учитель. Перед вами таблица. В клетках таблицы в беспорядке записаны функции и их производные. Для каждой функции найдите производную и запишите соответствие номеров клеток.

Пример. , значит 1-9.

	х	2х	1	2
					1	2	3	4	5
		Sinx
					6	7	8	9	10
	-3	-sinx		ax
					11	12	13	14	15
a	cosx		0
					16	17	18	19	20

Время работы

• 3 мин каждый ученик работает самостоятельно.
• 2 минуты — работа в парах. Обсуждение результатов и запись в карточку ответов. (Карточка №1 остается у ученика для самоконтроля, карточка №2 должна быть сдана учителю)

1-9, 5-19, 10-20, 16-19, 2-4, 6-10, 11-14, 17-13.

3-5, 7-18, 12-19, 5-19, 8-17,15-16. Слайд 6

Учитель. На протяжении пяти лет мы изучали с Вами различные функции. Вспомните, какую функцию мы называем линейной? Что является графиком линейной функции? Какое число мы называем угловым коэффициентом прямой? Слайд 7

Рассмотрим зависимость углового коэффициента к от угла наклона прямой. Слайд 8,9

Выведем уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку . Слайд 10,11

Закрепление. Найдем угловой коэффициент прямой. Слайд 12

Среди множество прямых можно выделить прямые: секущая и касательная. Слайд 13,14

Определение. Прямая, проходящая через две точки графика называется секущей.

Определение. Касательной к графику функции у=f(x) называется предельное положение секущей.

4. Практическая работа. (Приложение 1) Слайд 15

Класс делится на 5 групп. Каждая группа получает задание. Графики функции построены заранее на миллиметровой бумаге на предыдущем уроке.

Карточка №1 Слайд 16

1. Постройте касательную к графику функции у=х 2 в точке с абсциссой х₀=2
2. Измерьте угол образованный касательной и положительным направлением оси ОХ.
3. Записать a = . .
4. Вычислите с помощью микрокалькулятора tg a =. .
5. Вычислите f ‘(x₀ ), для этого найдите f ‘(x)
   Запишите: f'(x )=. ; f'(x₀ )=.
6. Выберите две точки на графике касательной, запишите их координаты.
7. Вычислите угловой коэффициент прямой к по формуле

Таблица результатов (таблица записана на доске)

№п/п	Функция	х0	К=tga	f'(x0)		Координаты (х0;f(x0))	Точность измерений
1	f(x)=x 2	2	4	(2;4)
2	f(x)=	1	0,5	(1;1)
3	f(x)=x 2 +2x-3	-2	-2	(-2;3)
4	f(x)=	1	-6	(1; 3)
5	f(x)=	0	1	(0; 0)

Учитель. Какую закономерность можно заметить по результатам работы? Обсудите этот вопрос в группах и предоставьте мнение группы на обсуждение всего класса.

Учащиеся приходят к выводу. Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной. В этом и заключается геометрический смысл производной. Слайд 17

Учитель.

• В каком случае мы получаем точное значение углового коэффициента касательной: в случае построений и измерений или с помощью производной.
• В каком случае мы экономим время?
• Что необходимо знать, чтобы найти tga?

5. Физкультминутка

6. Закрепление 1 части урока.

Решение задач. (Приложение 3).Слайды 18-20

1. Сегодня на уроке мы строили касательную, а каким уравнение можно задать касательную к графику функции?
2. Что представляет собой график касательной?
3. Какой формулой можно задать прямую? (у=кх, у=кх+b)
4. Рассмотрим формулу прямой у=кх+b. Что в этой формуле уже известно? (к=f ‘(x₀))

Проанализируйте полученную формулу у= f ‘(x₀) * х+b. Какую еще величину необходимо знать в уравнении касательной? (b)

Наша задача вывести уравнение касательной

1. Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящую через точку .

2. Замените k на , а

Алгоритм составления касательной к графику функции.

1. Запишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой x₀ в общем виде.
2. Найдите производную функции f ‘ (x);.
3. Вычислите значение производной f ‘ (x₀);
4. Вычислите значение функции в точке x₀;
5. Подставьте найденные значения в уравнение касательной

Учитель. В результате проведенной работы мы выяснили, в чем заключается геометрический смысл производной и вывели уравнение касательной. Рассмотрим задачи на закрепление полученных знаний. Слайд 23

7. Закрепление. Решаем задачи (Приложение 4)

Учебник. №91(1,3), 94(3,5)

8. Рефлексия. Слайд 24

— У меня всё получилось.

— Надо решить ещё пару примеров.

— Ну кто придумал эту математику !

9. Домашнее задание.

• Параграф 8. №89(2,4),90(2),91(2.4),94(2.4,6)
• Сборник задач ЕГЭ 3000 задач и ответами № 1820, 1817, 1822

Итог урока. Слайд 24

🎦 Видео

✓ Касательная. Геометрический смысл производной и дифференциала | матан #033 | Борис ТрушинСкачать

03. Геометрический смысл производнойСкачать

3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Алгебра 11 класс (Урок№14 - Геометрический смысл производной.)Скачать

Касательная к графику функции в точке. 10 класс.Скачать

Урок 10. Геометрический смысл производной. Алгебра 11 классСкачать

Урок 320. Производная функции и ее геометрический смыслСкачать

Что такое касательная | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |Скачать

Уравнение касательной. Геометрический смысл производнойСкачать

§48 Геометрический смысл производнойСкачать

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной. Билет 14Скачать

Геометрический смысл производной / самое простое объяснениеСкачать

2. Определение производной. Геометрический и физический смысл производной.Скачать

Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Физический смысл производной. За 40 секСкачать