Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости

Содержание
  1. Уравнение прямой, виды уравнения прямой на плоскости.
  2. Уравнение прямой на плоскости — определение.
  3. Общее уравнение прямой.
  4. Уравнение прямой в отрезках.
  5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
  6. Каноническое уравнение прямой на плоскости.
  7. Параметрические уравнения прямой на плоскости.
  8. Нормальное уравнение прямой.
  9. Линейная функция
  10. Геометрический смысл коэффициентов
  11. Физический смысл коэффициентов линейного уравнения
  12. Построение графика линейной функции на основе геометрического моделирования операций
  13. Уравнение прямой, виды уравнения прямой на плоскости
  14. Определение уравнения прямой на плоскости
  15. Общее уравнение прямой линии
  16. Уравнение прямой в отрезках
  17. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
  18. Каноническое уравнение прямой на плоскости
  19. Параметрические уравнения прямой на плоскости
  20. Нормальное уравнение прямой

Видео:Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать

Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.

Уравнение прямой, виды уравнения прямой на плоскости.

Эта статья является продолжением раздела прямая на плоскости. Здесь мы перейдем к алгебраическому описанию прямой линии с помощью уравнения прямой.

Материал данной статьи является ответом на вопросы: «Какое уравнение называют уравнением прямой и какой вид имеет уравнение прямой на плоскости»?

Навигация по странице.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Уравнение прямой на плоскости — определение.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy и в ней задана прямая линия.

Прямая, как и любая другая геометрическая фигура, состоит из точек. В фиксированной прямоугольной системе координат каждая точка прямой имеет свои координаты – абсциссу и ординату. Так вот зависимость между абсциссой и ординатой каждой точки прямой в фиксированной системе координат, может быть задана уравнением, которое называют уравнением прямой на плоскости.

Другими словами, уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy есть некоторое уравнение с двумя переменными x и y , которое обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки этой прямой.

Осталось разобраться с вопросом, какой вид имеет уравнение прямой на плоскости. Ответ на него содержится в следующем пункте статьи. Забегая вперед, отметим, что существуют различные формы записи уравнения прямой, что объясняется спецификой решаемых задач и способом задания прямой линии на плоскости. Итак, приступим к обзору основных видов уравнения прямой линии на плоскости.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Общее уравнение прямой.

Вид уравнения прямой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает следующая теорема.

Всякое уравнение первой степени с двумя переменными x и y вида Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, где А , В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и всякая прямая на плоскости задается уравнением вида Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости.

Уравнение Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостиназывается общим уравнением прямой на плоскости.

Поясним смысл теоремы.

Заданному уравнению вида Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостисоответствует прямая на плоскости в данной системе координат, а прямой линии на плоскости в данной системе координат соответствует уравнение прямой вида Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости.

Посмотрите на чертеж.

Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости

С одной стороны можно сказать, что эта линия определяется общим уравнением прямой вида Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, так как координаты любой точки изображенной прямой удовлетворяют этому уравнению. С другой стороны, множество точек плоскости, определяемых уравнением Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, дают нам прямую линию, приведенную на чертеже.

Общее уравнение прямой называется полным, если все числа А , В и С отличны от нуля, в противном случае общее уравнение прямой называется неполным. Неполное уравнение прямой вида Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостиопределяют прямую, проходящую через начало координат. При А=0 уравнение Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостизадает прямую, параллельную оси абсцисс Ox , а при В=0 – параллельную оси ординат Oy .

Таким образом, любую прямую на плоскости в заданной прямоугольной системе координат Oxy можно описать с помощью общего уравнения прямой при некотором наборе значений чисел А , В и С .

Нормальный вектор прямой, заданной общим уравнением прямой вида Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, имеет координаты Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости.

Все уравнения прямых, которые приведены в следующих пунктах этой статьи, могут быть получены из общего уравнения прямой, а также могут быть обратно приведены к общему уравнению прямой.

Рекомендуем к дальнейшему изучению статью общее уравнение прямой. Там доказана теорема, сформулированная в начале этого пункта статьи, приведены графические иллюстрации, подробно разобраны решения примеров на составление общего уравнения прямой, показан переход от общего уравнения прямой к уравнениям другого вида и обратно, а также рассмотрены другие характерные задачи.

Видео:Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебра

Уравнение прямой в отрезках.

Уравнение прямой вида Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, где a и b – некоторые действительные числа отличные от нуля, называется уравнением прямой в отрезках. Это название не случайно, так как абсолютные величины чисел а и b равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат). Таким образом, уравнение прямой в отрезках позволяет легко строить эту прямую на чертеже. Для этого следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки с координатами Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостии Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, и с помощью линейки соединить их прямой линией.

Для примера построим прямую линию, заданную уравнением в отрезках вида Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости. Отмечаем точки Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостии соединяем их.

Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости

Детальную информацию об этом виде уравнения прямой на плоскости Вы можете получить в статье уравнение прямой в отрезках.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой вида Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, где x и y — переменные, а k и b – некоторые действительные числа, называется уравнением прямой с угловым коэффициентом ( k – угловой коэффициент). Уравнения прямой с угловым коэффициентом нам хорошо известны из курса алгебры средней школы. Такой вид уравнения прямой очень удобен для исследования, так как переменная y представляет собой явную функцию аргумента x.

Определение углового коэффициента прямой дается через определение угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox .

Углом наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс в данной прямоугольной декартовой системе координат Oxy называют угол Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, отсчитываемый от положительного направления оси Ох до данной прямой против хода часовой стрелки.

Если прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, то угол ее наклона считают равным нулю.

Угловой коэффициент прямой есть тангенс угла наклона этой прямой, то есть, Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости.

Если прямая параллельна оси ординат, то угловой коэффициент обращается в бесконечность (в этом случае также говорят, что угловой коэффициент не существует). Другими словами, мы не можем написать уравнение прямой с угловым коэффициентом для прямой, параллельной оси Oy или совпадающей с ней.

Заметим, что прямая, определяемая уравнением Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, проходит через точку Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостина оси ординат.

Таким образом, уравнение прямой с угловым коэффициентом Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостиопределяет на плоскости прямую, проходящую через точку Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостии образующую угол Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостис положительным направлением оси абсцисс, причем Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости.

В качестве примера изобразим прямую, определяемую уравнением вида Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости. Эта прямая проходит через точку Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостии имеет наклон Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостирадиан ( 60 градусов) к положительному направлению оси Ox . Ее угловой коэффициент равен Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости.

Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости

Отметим, что уравнение касательной к графику функции в точке очень удобно искать именно в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом.

Рекомендуем продолжить изучение этой темы в разделе уравнение прямой с угловым коэффициентом. Там представлена более подробная информация, приведены графические иллюстрации, детально разобраны решения характерных примеров и задач.

Видео:Угловой коэффициент в уравнении прямой. Геометрический смысл углового коэффициента. Геометрия 8 клСкачать

Угловой коэффициент в уравнении прямой. Геометрический смысл углового коэффициента. Геометрия 8 кл

Каноническое уравнение прямой на плоскости.

Каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат Oxy имеет вид Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, где Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостии Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости– некоторые действительные числа, причем Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостии Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостиодновременно не равны нулю.

Очевидно, что прямая линия, определяемая каноническим уравнением прямой, проходит через точку Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости. В свою очередь числа Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостии Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, стоящие в знаменателях дробей, представляют собой координаты направляющего вектора этой прямой. Таким образом, каноническое уравнение прямой Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостив прямоугольной системе координат Oxy на плоскости соответствует прямой, проходящей через точку Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостии имеющей направляющий вектор Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости.

Для примера изобразим на плоскости прямую линию, соответствующую каноническому уравнению прямой вида Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости. Очевидно, что точка Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостипринадлежит прямой, а вектор Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостиявляется направляющим вектором этой прямой.

Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости

Каноническое уравнение прямой вида Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостииспользуют даже тогда, когда одно из чисел Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостиили Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостиравно нулю. В этом случае запись Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостисчитают условной (так как содержится ноль в знаменателе) и ее следует понимать как Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости. Если Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, то каноническое уравнение принимает вид Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостии определяет прямую, параллельную оси ординат (или совпадающую с ней). Если Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, то каноническое уравнение прямой принимает вид Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостии определяет прямую, параллельную оси абсцисс (или совпадающую с ней).

Детальная информация об уравнении прямой в каноническом виде, а также подробные решения характерных примеров и задач собраны в статье каноническое уравнение прямой на плоскости.

Видео:Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"Скачать

Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"

Параметрические уравнения прямой на плоскости.

Параметрические уравнения прямой на плоскости имеют вид Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, где Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостии Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости– некоторые действительные числа, причем Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостии Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостиодновременно не равны нулю, а Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости— параметр, принимающий любые действительные значения.

Параметрические уравнения прямой устанавливают неявную зависимость между абсциссами и ординатами точек прямой линии с помощью параметра Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости(отсюда и название этого вида уравнений прямой).

Пара чисел Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, которые вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, представляет собой координаты некоторой точки прямой. К примеру, при Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостиимеем Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, то есть, точка с координатами Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостилежит на прямой.

Следует отметить, что коэффициенты Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостии Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостипри параметре Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостив параметрических уравнениях прямой являются координатами направляющего вектора этой прямой.

Для примера приведем параметрические уравнения прямой вида Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости. Эта прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку с координатами Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостии имеет направляющий вектор Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости.

В статье параметрические уравнения прямой на плоскости Вы можете ознакомиться с подробным решением примеров и задач по этой теме.

Видео:Угловой коэффициент прямойСкачать

Угловой коэффициент прямой

Нормальное уравнение прямой.

Если в общем уравнении прямой вида Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостичисла А , В и С таковы, что длина вектора Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостиравна единице, а Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, то это общее уравнение прямой называется нормальным уравнением прямой. Нормальное уравнение прямой определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, нормальным вектором которой является вектор Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, причем эта прямая проходит на расстоянии Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостиот начала координат в направлении вектора Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости.

Часто можно видеть другую форму записи нормального уравнения прямой: Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, где Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостии Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости— действительные числа, представляющие собой направляющие косинусы нормального вектора прямой единичной длины (то есть, Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостии справедливо равенство Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости), а величина p (Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости) равна расстоянию от начала координат до прямой.

Для примера приведем общее уравнение прямой Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости. Это общее уравнение прямой является нормальным уравнением прямой, так как Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостии Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости. Оно в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости, и эта прямая удаленна от начала координат на 3 единицы в направлении нормального вектора Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости.

Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости

Отметим, что уравнение прямой в нормальном виде позволяет находить расстояние от точки до прямой на плоскости.

Если в общем уравнении прямой Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостичисла А , В и С таковы, что уравнение Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскостине является нормальным уравнением прямой, то его можно привести к нормальному виду. Об этом читайте в статье нормальное уравнение прямой.

Видео:Видеоурок "Общее уравнение прямой"Скачать

Видеоурок "Общее уравнение прямой"

Линейная функция

Линейной называется функция вида у = ах + 6, где а и b — некоторые числа.

Видео:Как найти угловой коэффициент прямой. На что влияет угловой коэффициент. Урок 7. Геометрия 8-9 классСкачать

Как найти угловой коэффициент прямой. На что влияет угловой коэффициент. Урок 7. Геометрия 8-9 класс

Геометрический смысл коэффициентов

Выясним геометрический смысл коэффициентов а и 6 линейной функции у = ах + 6. Для этого воспользуемся инструментом под названием «Ползунок».

1) Нажимаем клавишу (тем самым берем инструмент) «Ползунок» и кликнем на выбранную точку Полотна. В выпавшем меню компьютер предлагает назвать ползунок, а вместе с ним и параметр, который он изображает, буквой а и установить границы изменения параметра от -5 до 5. Соглашаемся или вводим свои границы. На выбранном месте появляется изображение ползунка .в виде отрезка с точкой. Аналогично строим ползунок для параметра Ь. Изменение каждого из параметров достигается перемещением точки на отрезке. На рисунке 21 установлено: а = 1.6, Ь = 5. 2 3

Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости

  • 2) В строку ввода записываем: f(x) = a*x+b. После ввода на Полотне появляется график функции при установленных значениях параметров. В нашем случае это прямая. Отмечаем точки Aw В построенной прямой с осями координат.
  • 3) Строим начало координат О = (0.0), через начало координат проводим прямую параллельно данной прямой, строим точку Е = (1,0), через неё проводим вертикаль и отмечаем точку С пересечения вертикали с прямой, проходящей через начало координат параллельно данной прямой. Угловой коэффициент прямой есть по определению к = у(С). Вводим это число и делаем надпись: «Угловой коэффициент к = у(С) = к». При этом последнее к берем из «Объектов».

Теперь проводим исследование. Видим, что параметр b есть ордината точки В. Это неудивительно, поскольку /(0) = Ь. При изменении параметра а наблюдаем неизменное равенство а = к. Другими словами, коэффициент а равен угловому коэффициенту данной прямой.

Задания. С помощью живого рисунка 21 продемонстрируйте частные случаи линейной функции f(x) = ах + b: 1) а = 1, b = 0; 2) а = 0, b = 1;

3) анимируйте а (Ь) при фиксированном Ь (а).

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.

Физический смысл коэффициентов линейного уравнения

Выясним физический смысл коэффициентов в уравнении прямой у = кх + Ь.

На живом рисунке 22 точка С равномерно движется от начала координат вверх по оси ординат со скоростью v. (Например, воздушный шар поднимается с земли с постоянной скоростью.) За время х точка С пройдет путь у = vx. Получили линейную функцию вида у = кх. Следовательно, физический смысл углового коэффициента к состоит в том, что он равен скорости равномерного движения у = vx. Если в начальный момент точка С находится не в начале координат, а отстоит от него на расстоянии Ьу то зависимость пройденного расстояния от времени выразится равенством у = vx + Ь.

Смоделируем движение, задаваемое линейной функцией у = их.

Построение (рис. 22).

Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости

  • 1) Строим точки О = (0,0), Е = (1,0), единичную окружность, отмечаем на ней точку А и проводим прямую О А.
  • 2) Проводим вертикаль через точку Е и отмечаем точку D пересечения вертикали с прямой О А.
  • 3) На положительном луче оси абсцисс строим отрезок OF и отмечаем на нём точку X. Проводим через неё вертикаль и отмечаем точку В пересечения вертикали с прямой О А. Через В проводим горизонталь и отмечаем точку С пересечения горизонтали с осью ординат. Делаем эту точку большой, в виде шара.

При анимации точки X точка С демонстрирует равномерное движение по вертикали (шар поднимается вверх). Заметим, что для достижения равномерного движения точки X её нужно взять именно на отрезке оси абсцисс. Чем меньше скорость, тем больше времени требуется для прохождения данного расстояния. Следовательно, при малой скорости (при малом угле наклона прямой) отрезок AFy по которому перемещается точка X, нужно удлинять, а при большой скорости (при большом угле наклона прямой О А) — укорачивать.

На рисунке 22 видим, что угловой коэффициент к = tga = 7777- Сле-

довательно, к есть отношение пройденного пути к единице измерения времени. Таким образом, к есть скорость равномерного движения. Изменяя положение точки А на окружности, наблюдаем изменение скорости движения шара С.

Задание. Смоделируйте равномерное движение точки оси абсцисс по закону у = vx + Ь.

Видео:§8.1 Общее уравнение прямой на плоскостиСкачать

§8.1 Общее уравнение прямой на плоскости

Построение графика линейной функции на основе геометрического моделирования операций

Создадим в среде GeoGebra виртуальный прибор для вычерчивания графика линейной функции у = кх + 6, используя геометрическое моделирование операций над действительными числами.

Построение <рис. 23).

  • 1) На оси ординат отмечаем коэффициенты к и Ь точками соответственно К(0, к) и В(О, Ь).
  • 2) На оси абсцисс отмечаем точку X(х, 0) и проводим через неё вертикальную прямую, которую будем называть собирательной прямой.
  • 3) На оси ординат строим произведение кх. Для этого строим точку Е = (1,0), точку К соединяем отрезком с точкой Е, а затем через точку X проводим прямую параллельно построенному отрезку. Эта прямая пересечёт ось ординат в точке F(0, кх).
  • 4) Проектируем точку F на собирательную прямую и получаем точку G(x, кх).
  • 5) Отмечаем точку О пересечения осей координат, соединяем отрезком точки О и G, а затем через точку В проводим прямую параллельно отрезку OG. Построенная прямая является искомой. Чтобы в этом убе-

Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости

литься, отмечаем точку Я пересечения построенной прямой с собирательной прямой и заставляем её оставлять след. При анимации точки X точка Я вычерчивает прямую, совпадающую с построенной прямой. С другой стороны, эта точка имеет координаты Н(х, кх + 6), а значит вычерчивает прямую у = кх + 6.

Заметим, что точку Я можно построить параллельным переносом точки G на вектор О В (см. живой рис. 23-доп).

Напомним, что коэффициент к прямой у = кх + Ь равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси абсцисс, и это можно увидеть, исходя из построений. В самом деле, угол наклона построенной прямой т к оси абсцисс равен углу ZGOX, а тангенс этого угла равен по определению отно-

шению второй координаты точки G к первой координате, то есть — = к.

Видео:Уравнение прямой на плоскостиСкачать

Уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой, виды уравнения прямой на плоскости

В прошлом материале мы рассмотрели основные моменты, касающиеся темы прямой на плоскости. Теперь же перейдем к изучению уравнения прямой: рассмотрим, какое уравнение может называться уравнением прямой, а также то, какой вид имеет уравнение прямой на плоскости.

Видео:Уравнение прямой по рисунку. #математика #уравнение #прямая #алгебра #наклон #точка #simplemathСкачать

Уравнение прямой по рисунку. #математика #уравнение #прямая #алгебра #наклон #точка #simplemath

Определение уравнения прямой на плоскости

Допустим, что есть прямая линия, которая задана в прямоугольной декартовой системе координат O х у .

Прямая линия – это геометрическая фигура, которая состоит из точек. Каждая точка имеет свои координаты по осям абсцисс и ординат. Уравнение, которое описывает зависимость координат каждой точки прямой в декартовой системе O x y , называется уравнением прямой на плоскости.

Фактически, уравнение прямой на плоскости – это уравнение с двумя переменными, которые обозначаются как x и y . Уравнение обращается в тождество при подстановке в него значений любой из точек прямой линии.

Давайте посмотрим, какой вид будет иметь уравнение прямой на плоскости. Этому будет посвящен весь следующий раздел нашей статьи. Отметим, что существует несколько вариантов записи уравнения прямой. Объясняется это наличием нескольких способов задания прямой линии на плоскости, и также различной спецификой задач.

Видео:Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскости

Общее уравнение прямой линии

Познакомимся с теоремой, которая задает вид уравнения прямой линии на плоскости в декартовой системе координат O x y .

Уравнение вида A x + B y + C = 0 , где x и y – переменные, а А , В и C – это некоторые действительные числа, из которых A и B не равны нулю, задает прямую линию в декартовой системе координат O x y . В свою очередь, любая прямая линия на плоскости может быть задана уравнением вида A x + B y + C = 0 .

Таким образом, общее уравнение прямой на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 .

Поясним некоторые важные аспекты темы.

Посмотрите на рисунок.

Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости

Линия на чертеже определяется уравнением вида 2 x + 3 y — 2 = 0 , так как координаты любой точки, составляющей эту прямую, удовлетворяют приведенному уравнению. В то же время, определенное количество точек плоскости, определяемых уравнением 2 x + 3 y — 2 = 0 , дают нам прямую линию, которую мы видим на рисунке.

Общее уравнение прямой может быть полным и неполным. В полном уравнении все числа А , В и C отличны от нуля. Во всех остальных случаях уравнение считается неполным. Уравнение вида A x + B y = 0 определяет прямую линию, которая проходит через начало координат. Если A равно нулю, то уравнение A x + B y + C = 0 задает прямую, расположенную параллельно оси абсцисс O x . Если B равно нулю, то линия параллельна оси ординат O y .

Вывод: при некотором наборе значений чисел А , В и C с помощью общего уравнения прямой можно записать любую прямую линию на плоскости в прямоугольной системе координат O х у .

Прямая, заданная уравнением вида A x + B y + C = 0 , имеет нормальный вектор прямой с координатами A , B .

Все приведенные уравнения прямых, которые мы рассмотрим ниже, могут быть получены из общего уравнения прямой. Также возможен и обратный процесс, когда любое из рассматриваемых уравнений может быть приведено к общему уравнению прямой.

Разобраться во всех нюансах темы можно в статье «Общее уравнение прямой». В материале мы приводим доказательство теоремы с графическими иллюстрациями и подробным разбором примеров. Особое внимание в статье уделяется переходам от общего уравнения прямой к уравнениям других видов и обратно.

Видео:Геометрический смысл производной. Уравнение касательнойСкачать

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках имеет вид x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, которые не равны нулю. Абсолютные величины чисел a и b равны длине отрезков, которые отсекаются прямой линией на осях координат. Длина отрезков отсчитывается от начала координат.

Благодаря уравнению можно легко построить прямую линию на чертеже. Для этого необходимо отметить в прямоугольной системе координат точки a , 0 и 0 , b , а затем соединить их прямой линией.

Построим прямую, которая задана формулой x 3 + y — 5 2 = 1 . Отмечаем на графике две точки 3 , 0 , 0 , — 5 2 , соединяем их между собой.

Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости

Дополнительно рекомендуем ознакомиться с материалом, изложенным в статье «Уравнение прямой в отрезках».

Видео:Урок 320. Производная функции и ее геометрический смыслСкачать

Урок 320. Производная функции и ее геометрический смысл

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Эти уравнения, имеющие вид y = k · x + b должны быть нам хорошо известны из курса алгебры. Здесь x и y – это переменные, k и b – это некоторые действительные числа, из которых k представляет собой угловой коэффициент. В этих уравнениях переменная у является функцией аргумента x .

Дадим определение углового коэффициента через определение угла наклона прямой к положительному направлению оси O x .

Для обозначения угла наклона прямой к положительному направлению оси O x в декартовой системе координат введем величину угла α . Угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс до прямой линии против хода часовой стрелки. Угол α считается равным нулю в том случае, если линия параллельна оси O x или совпадает с ней.

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона этой прямой. Записывается это следующим образом k = t g α . Для прямой, которая располагается параллельно оси O y или совпадает с ней, записать уравнение прямой с угловым коэффициентом не представляется возможным, так как угловой коэффициент в этом случае превращается в бесконечность (не существует).

Прямая, которая задана уравнением y = k · x + b , проходит через точку 0 , b на оси ординат. Это значит, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , задает на плоскости прямую линию, которая проходит через точку 0 , b и образует угол α с положительным направлением оси O x , причем k = t g α .

Изобразим прямую линию, которая определяется уравнением вида y = 3 · x — 1 .

Эта линия должна пройти через точку ( 0 , — 1 ) . Угол наклона α = a r c t g 3 = π 3 равен 60 градусов к положительному направлению оси O x . Угловой коэффициент равен 3

Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости

Обращаем ваше внимание, что с помощью уравнения прямой с угловым коэффициентом очень удобно искать уравнение касательной к графику функции в точке.

Больше материала по теме можно найти в статье «Уравнение прямой с угловым коэффициентом». Помимо теории там размещено большое количество графических примеров и подробный разбор задач.

Видео:Уравнение прямой на плоскостиСкачать

Уравнение прямой на плоскости

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Данный вид уравнения имеет вид x — x 1 a x = y — y 1 a y , где x 1 , y 1 , a x , a y — это некоторые действительные числа, из которых a x и a y не равны нулю.

Прямая линия, заданная каноническим уравнением прямой, проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) . Числа a x и a y в знаменателях дробей представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии. Это значит, что каноническое уравнение прямой линии x — x 1 a x = y — y 1 a y в декартовой системе координат O x y соответствует линии, проходящей через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) и имеющей направляющий вектор a → = ( a x , a y ) .

Изобразим в системе координат O x y прямую линию, которая задается уравнением x — 2 3 = y — 3 1 . Точка M 1 ( 2 , 3 ) принадлежит прямой, вектор a → ( 3 , 1 ) является направляющим вектором этой прямой линии.

Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости

Каноническое уравнение прямой линии вида x — x 1 a x = y — y 1 a y может быть использовано в случаях, когда a x или a y равно нулю. Наличие ноля в знаменателе делает запись x — x 1 a x = y — y 1 a y условной. Уравнение можно записать следующим образом a y ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) .

В том случае, когда a x = 0 , каноническое уравнение прямой принимает вид x — x 1 0 = y — y 1 a y и задает прямую линию, которая расположена параллельно оси ординат или совпадает с этой осью.

Каноническое уравнение прямой при условии, что a y = 0 , принимает вид x — x 1 a x = y — y 1 0 . Такое уравнение задает прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс или совпадающую с ней.

Больше материала на тему канонического уравнения прямой смотрите здесь. В статье мы приводим целый ряд решений задач, а также многочисленные примеры, которые позволяют лучше овладеть темой.

Видео:Уравнение прямой с угловым коэффициентомСкачать

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Параметрические уравнения прямой на плоскости

Данные уравнения имеют вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , где x 1 , y 1 , a x , a y — это некоторые действительные числа, из которых a x и a y не могут быть одновременно равны нулю. В формулу вводится дополнительный параметр λ , который может принимать любые действительные значения.

Назначение параметрического уравнения в том, чтобы установить неявную зависимости между координатами точек прямой линии. Для этого и вводится параметр λ .

Числа x , y представляют собой координаты некоторой точки прямой. Они вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра λ .

Предположим, что λ = 0 .

Тогда x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 , т. е. точка с координатами ( x 1 , y 1 ) принадлежит прямой.

Обращаем ваше внимание на то, что коэффициенты a x и a y при параметре λ в данном виде уравнений представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии.

Рассмотрим параметрические уравнения прямой линии вида x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ . Прямая, заданная уравнениями, в декартовой системе координат проходит через точку ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( 3 , 1 ) .

Больше информации ищите в статье «Параметрические уравнения прямой на плоскости».

Видео:3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.Скачать

3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.

Нормальное уравнение прямой

Нормальное уравнение прямой имеет вид , A x + B y + C = 0 , где числа А , В , и C таковы, что длина вектора n → = ( A , B ) равна единице, а C ≤ 0 .

Нормальным вектором линии, заданной нормальным уравнением прямой в прямоугольной системе координат O х у , является вектор n → = ( A , B ) . Эта прямая проходит на расстоянии C от начала координат в направлении вектора n → = ( A , B ) .

Еще одним вариантом записи нормального уравнения прямой линии является cos α · x + cos β · y — p = 0 , где cos α и cos β — это два действительных числа, которые представляют собой направляющие косинусы нормального вектора прямой единичной длины. Это значит, что n → = ( cos α , cos β ) , справедливо равенство n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 , величина p ≥ 0 и равна расстоянию от начала координат до прямой.

Рассмотрим общее уравнение прямой — 1 2 · x + 3 2 · y — 3 = 0 . Это общее уравнение прямой является нормальным уравнением прямой, так как n → = A 2 + B 2 = — 1 2 2 + 3 2 = 1 и C = — 3 ≤ 0 .

Уравнение задает в декартовой системе координат 0ху прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты — 1 2 , 3 2 . Линия удалена от начала координат на 3 единицы в направлении нормального вектора n → = — 1 2 , 3 2 .

Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости

Обращаем ваше внимание на то, что нормальное уравнение прямой на плоскости позволяет находить расстояние от точки до прямой на плоскости.

Если в общем уравнении прямой A x + B y + C = 0 числа А , В и С таковы, что уравнение A x + B y + C = 0 не является нормальным уравнением прямой, то его можно привести к нормальному виду. Подробнее об этом читайте в статье «Нормальное уравнение прямой».

Поделиться или сохранить к себе: