Где применяются иррациональные уравнения в жизни (7 видео)

Содержание

Что мне открыли иррациональные уравнения.
Скачать:
Подписи к слайдам:
Разработка урока алгебры «Иррациональные уравнения»
Краткое описание документа:
Тема проекта Исследование иррациональных уравнений и неравенств
🔍 Видео

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

Что мне открыли иррациональные уравнения.

Интерес к этой теме возник у меня совершенно случайно. Однажды, на одном из уроков математики в 10 классе нам предложили перечень иррациональных уравнений, и мы должны были к каждому подобрать свой способ решения. Эта работа напомнила мне детскую игру «Лото». Должна отметить, что тема «Иррациональные уравнения» не вызывала у меня особых трудностей при изучении, но на этом уроке я поняла, что некоторые уравнения ставят меня в тупик. Например, уравнения, которые решаются с помощью неравенства Коши, неравенства Бернулли. Видя, как я увлеклась работой, наш учитель предложила мне обобщить эту тему и представить полный перечень методов решения иррациональных уравнений.

Видео:Иррациональные уравнения и их системы. 11 класс.Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
5_mikhaylova_ms.pptx	1.25 МБ

Предварительный просмотр:

Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Подписи к слайдам:

МОУ «Лицей «Дубна» г. Дубны Московской области»

Вступление Интерес к этой теме возник у меня совершенно случайно. Однажды, на одном из уроков математики в 10 классе нам предложили перечень иррациональных уравнений, и мы должны были к каждому подобрать свой способ решения. Эта работа напомнила мне детскую игру «Лото». Должна отметить, что тема «Иррациональные уравнения» не вызывала у меня особых трудностей при изучении, но на этом уроке я поняла, что некоторые уравнения ставят меня в тупик. Например, уравнения, которые решаются с помощью неравенства Коши, неравенства Бернулли. Видя, как я увлеклась работой, наш учитель предложила мне обобщить эту тему и представить полный перечень методов решения иррациональных уравнений . Поэтому первоначальная цель была именно такой: обобщить все возможные методы решения уравнений такого вида, привести примеры по каждому отдельному случаю . На первом этапе все шло гладко, литературы по этой теме много, и моя работа подходила к концу. Но одно из уравнений, предложенных учителем, поставило меня в тупик: ни один из методов решения не работал. Я обратилась за помощью к родителям, и папа предложил мне воспользоваться точкой Торричелли . Что получилось дальше, вы увидите, познакомившись с моей работой.

Цели и задачи: О бобщить все возможные методы решения иррациональных уравнений вида, привести примеры по каждому отдельному случаю 1 Решить уравнение с помощью точки Торричелли 2 3 Собрать информацию о точке Торричелли, о ее применении в различных областях знаний и на практике.

Решение иррациональных уравнений. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. .

Проверка Таким образом , х 1 =5 является корнем заданного уравнения — это посторонний корень Ответ: x=5

Метод введения вспомогательных переменных . причем v ≥0

Решаем эту систему: Ответ :

Некоторые специальные приемы. Так как (1.1) то уравнение (1.1) примет вид: или

(1.2) (1.3) Сложив уравнения (1.1) и (1.2), придем к уравнению и далее , откуда Проверка Ответ:

Использование свойств функции при решении иррациональных уравнений. — корень уравнения и других корней нет, поскольку левая часть уравнения – убывающая, а правая – возрастающая функция. Ответ: х=3

Точка Торричелли Вивиани Кавальери Торричелли Вопрос о нахождении такой точки имеет давнюю историю. Им интересовались крупнейшие ученые эпохи Возрождения — Вивиани, Кавальери, Торричелли и др.

Торричелли Эванжелиста 15.10.1608, Фаэнца,—25.10.1647, Флоренция Линия Фаэнца-Флоренция Торричелли (Torricelli) Эванджелиста итальянский математик и физик. Известны труды Т. в области пневматики и механики. В 1644 развил теорию атмосферного давления, доказал возможность получения так называемой торричеллиевой пустоты и изобрёл ртутный барометр. Емупринадлежат также работы по математике (в частности, развил «неделимых» метод) и баллистике, усовершенствованию оптических приборов, шлифовке линз.

Точка Торричелли AN = BM = CO = p + q + r

Построение точки Торричелли П остроение точки Торричелли возможно тогда и только тогда, когда все углы треугольника меньше 120º.Если же один из углов больше 120º, то точка Т будет находиться в вершине этого угла. Т

Практическое применение точки Торричелли Ведёркино Коромыслово Лейкино

Итак, мы получили следующую геометрическую задачу:

В С А D N АТ = AN , ∟ ТА N = 60 º , значит ∆ ANT – равносторонний Решение Т AT=TN CT=ND, AT=AN, AC=AD

Поиск кратчайших сетей Но время шло и появились задачи, в которых число вершин выходило за рамки трёх. Об этом впервые задумался Якоб Штейнер, немецкий математик XIX столетия, работавший в Берлинском университете . Как найти кратчайшую сеть отрезков прямых линий, соединяющих произвольное множество, скажем из 100, точек? Эта задача не поддаётся ни самым быстродействующим компьютерам, ни самым изобретательным математическим умам . Чтобы определить количество и расположение точек Штейнера(Торричелли), математики и программисты разработали специальные алгоритмы. Однако даже лучшие из этих алгоритмов, выполняющиеся на самых быстродействующих компьютерах, не в состоянии дать решение для большого множества заданных точек за реально приемлемое время. Более того, задача Штейнера принадлежит к классу задач, для которых, по мнению многих современных исследователей, эффективные алгоритмы, по-видимому, так никогда и не будут найдены.

В то же время прикладники могли бы разработать практически полезную программу, которая находила бы сеть, несколько более длинную по сравнению с кратчайшей. Приближённые методы решения довольно часто применяются в различных приложениях задачи поиска кратчайших сетей. Среди них — конструирование интегральных электронных схем, построение эволюционного дерева для группы биологических видов и минимизация расхода материалов на создание сетей телефонных линий, трубопроводов и шоссейных дорог. Хотя за последние годы познания в области алгоритмов значительно расширились, задача поиска кратчайшей сети остаётся всё такой же неприступной. Крошечное изменение геометрии задачи, кажущееся несущественным, может коренным образом изменить кратчайшую сеть, являющуюся её решением. Такая чувствительность к исходным данным делает даже периферийные вопросы, касающиеся кратчайших сетей, весьма не простыми. Задача поиска кратчайшей сети будет ещё долгие годы привлекать наше воображение.

Точка Торричелли в адронной физике Когда дома я рассказала папе о точке Торричелли он мне открыл ещё один интересный факт о её существовании. Протон и нейтрон состоят из трёх кварков, которые можно рассматривать как материальные точки. Эти кварки сцепляются друг с другом глюонными струнами, с примерно постоянным натяжением. Таким образом, в силу натяжения струн протоны и нейтроны не разваливаются на кварки. Глюонные струны — это силовые линии глюонного поля, посредством которых взаимодействуют кварки. На численном эксперименте мы можем видеть, как эти силовые линии соединяются с кварками.

На картинке эти струны явно указывают на точку Торричелли в треугольнике, вершинами которого являются кварки. Это происходит потому, что энергия всей системы пропорциональна сумме длин всех струн, а так как энергия должна быть минимальна, то и сумма длин струн должна быть минимальна. Получается, что точка Торричелли естественно существует вокруг нас! T

Решение нестандартного иррационального уравнения с помощью точки Торричелли. А теперь решим это уравнение! Рассмотрим три точки А(-1;0), В(-5;3) и С(2;0). Тогда левая часть уравнения – это сумма расстояний от некоторой точки М(х;у) до вершин треугольника АВС ( рис.2 ), правая часть – это сумма длин сторон АВ и АС .  ВАС > B Рис.2 A C ( .)Т совпадает с (.)А Отсюда получаем, что левая часть уравнения не меньше правой части, и равенство имеет место лишь когда М совпадает с точкой А . х=-1, у=0 . Ответ: х=-1, у=0.

Литература Цейтен Г. Г., История математики в XVI и XVII веках, пер. с нем., 2 изд., М.—Л., 1938; Дорфман Я. Г., Всемирная история физики с древнейших времен до конца XVIII века, М., 1974; Льоцци М., История физики, пер. с итал., М., 1970. (Про способы решения иррациональных уравнений) Реферат Мишениной, лицей «Дубна» 20056 учебный год . E. N. Gilbert and H. О . Pollak. Steiner Minimal Trees. In: SIAM Journal on Applied Mathematics , 1968, v. 16, No 1, pp. 1–29 . Z. A. Melzak. Companion to Concrete Mathematics. John Wiley & Sons, Inc., 1973 . Pawel Winter. An Algorithm for the Steiner Problem in the Euclidean Plane. In: Networks , 1985, v. 15, No 3, pp. 323–345 Pawel Winter. Steiner Problem in Networks: A Survey. In: Networks , 1987, v. 17, No 2, pp. 129–167 . М. Гэри, Д. Джонсон. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. — Перев. с англ. М.: Мир, 1982 .

Видео:Иррациональные уравнения — часть 1Скачать

Разработка урока алгебры «Иррациональные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Урок в 11 классе по теме «Иррациональные уравнения»

Урок алгебры и начала анализа в 11 общеобразовательном классе.

Цель урока: обобщение и систематизация знаний по теме «Иррациональные уравнения», рассмотреть практическое применение иррациональных уравнений. Подготовка учащихся к ЕГЭ. В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. На уроках учащиеся анализируют различные методы решения иррациональных уравнений. Также среди заданий ЕГЭ есть задачки на практическое применение данной темы. Одна из целей урока – рассмотреть применение иррациональных уравнений при решении задач ЕГЭ на практическое применение в жизни.

Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков по теме урока.

Решение задач ЕГЭ по теме урока на практическое применение в жизни.

Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения иррациональных уравнений.

Развивать самостоятельность, воспитывать грамотность речи.

1. Р асширить и углубить представления учащихся о приемах и методах решения иррациональных уравнений.

2. Помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования.

3. Развить интерес и положительную мотивацию изучения математики .

Тип урока: урок-практикум с использованием на уроке ЭОР.

Форма урока: индивидуальная, групповая.

Оборудование: компьютеры, мультимедийный проектор.

Продолжительность : 45 минут.

Альберт Эйнштейн сказал замечательные слова, вслушайтесь в них: “Ощущение тайны – наиболее прекрасное из доступных нам переживаний. Именно это чувство стоит у колыбели истинного искусства и настоящей науки”.

Вот и мы сегодня с вами в очередной раз попытаемся приоткрыть одну из тайн, которую дарит нам наука. Тема нашего сегодняшнего урока: учитель зачитывает тему и цель урока.

На предыдущих уроках мы с вами рассмотрели различные методы и способы решения иррациональных уравнений. На данном уроке мы рассмотрим практическое применение данной темы, поссмотрим задания из ЕГЭ на практическое применение иррациональных уравнений в жизни.

А начнём урок с проверки домашнего задания.

Проверка домашнего задания

Метод замены переменной или метод подстановки очень часто используется при решении иррациональных уравнений и неравенств. Он позволяет значительно упростить решение, разбить его на самостоятельные этапы. Решить уравнение. .

Выполняем обратную подстановку

Решить уравнение

Решение. Умножим обе части уравнения на .

Получим, .

Имеем,

Отсюда,

Проверкой убеждаемся, что х = 1 является корнем данного уравнения.

Во время проверки домашнего задания трое учащихся работают за компьютерами, выполняют интерактивный тест, состоящий из 5 заданий по теме урока. (это учащиеся, которые по мнению учителя, наиболее хорошо усвоили тему)

Остальные учащиеся класса работают устно.

Ребята, вы знаете, что учителя работают экспертами ЕГЭ, они проверяют ваши работы. Сегодня я вам предлагаю побыть экспертами.

Перед вами работы учащихся. Вам необходимо найти ошибки в их работе.

После выполнения устной работы учитель проверяет выполнение домашней работы и выполнение интерактивных тестов.

Существует мнение, что математика, изучаемая в старших классах школы, не имеет практического применения в жизни. Но мне не хочется с этим соглашаться.

Оказывается, иррациональные уравнения применяются не только в математике, но и в фигурном катании(чтобы рассчитать длину шага при вращении, в биологии (для расчёта площади тела насекомого или плотности среды обитания), в физике (для вычисления скорости тела в специальной теории относительности Эйнштейна), а также в авиации (вычисление скорости горизонтального полёта самолёта).

О бсуждение решения практической задачи «Определение глубины ущелья».

В повседневной жизни человек решает много практических задач. Одну из таких задач я предлагаю решить тебе. Учитель открывает презентацию, выполненную в программе «Живая математика», делает Демонстрацию экрана. Ученик на своем экране видит презентацию.

После нажатия кнопки «Опредедление глубины ущелья» происходит переход по ссылке на сайт (http://mikahome.narod.ru/10a/), где выложен ролик, необходимый на уроке. В ролике смоделированна ситуация: определение глубины ущелья с помощью камешка. После запуска ролика и определения времени полета камешка, ученику задается вопрос: «Как определить по формуле, глубину ущелья?»

Нужно в формулу подставить вместо t время полета камня.

А сейчас мы посмотрим практическое применение иррациональных уравнений, рассмотрим это на примерах заданий ЕГЭ.

Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h километров над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле l =√2 Rh , где R =6400 (км) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километров? Ответ выразите в километрах.

Нам нужно найти такую высоту h , что

Решаем уравнение и получаем

Задание B12 (№ 28331)

Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной км с постоянным ускорением , вычисляется по формуле . Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость не менее 110 км/ч. Ответ выразите в км/ч .

Задание B12 (№ 28343)

При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где м — длина покоящейся ракеты, км/с — скорость света, а v — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 21 м? Ответ выразите в км/с.

Ребята, подобные задания вы можете увидеть на моём персональном сайте сайте

5.Подведение итогов урока.

Сегодня на уроке мы посмотрели практическое применение в жизни иррациональных уравнений. А закончить урок мне бы хотелось словами М.В.Ломоносова «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит»

Краткое описание документа:

Урок алгебры и начала анализа в 11 общеобразовательном классе. Цель урока: обобщение и систематизация знаний по теме «Иррациональные уравнения», рассмотреть практическое применение иррациональных уравнений. Подготовка учащихся к ЕГЭ. В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. На уроках учащиеся анализируют различные методы решения иррациональных уравнений. Также среди заданий ЕГЭ есть задачки на практическое применение данной темы. Одна из целей урока – рассмотреть применение иррациональных уравнений при решении задач ЕГЭ на практическое применение в жизни. Цель урока: 1. Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков по теме урока. 2. Решение задач ЕГЭ по теме урока на практическое применение в жизни. 3. Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения иррациональных уравнений. 4. Развивать самостоятельность, воспитывать грамотность речи. Задачи урока: 1. Расширить и углубить представления учащихся о приемах и методах решения иррациональных уравнений. 2. Помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования. 3. Развить интерес и положительную мотивацию изучения математики. Тип урока: урок-практикум с использованием на уроке ЭОР. Форма урока: индивидуальная, групповая. Оборудование: компьютеры, мультимедийный проектор. Продолжительность: 45 минут.

Видео:Как использовать интеграл в обычной жизни. Математик МГУ и Савватеев #shortsСкачать

Тема проекта Исследование иррациональных уравнений и неравенств

1)Введение (стр. 3)

2)Определение иррационального уравнения и способы решения (стр. 4-5)

3)Определение иррациональных неравенств и способы решения (стр.5-6)

4)Применение иррациональных уравнений и неравенств в жизни и задачах ЕГЭ(стр.6)

5)Когда появились иррациональные уравнения и неравенства, развитие знаний о них (стр.6-7)

7)Источники информации (стр. 7)

Введение

Цель работы:

1. Исследование иррациональных уравнений и неравенств .

2. Ввести понятие иррациональных уравнений и неравенств. Показать способы их решений.

Практическая значимость

Проект дает возможность углубить и обобщить знания об иррациональных уравнениях и неравенствах, способах их решений; позволяет улучшить подготовку к ЕГЭ.

Задачи и вопросы:

1. Найти методы решения иррациональных уравнений и неравенств .

2.Узнать какова история развития иррациональных уравнений и неравенств.

3.Где применяются иррациональные уравнения, числа и неравенства ?

4.Решение задач ЕГЭ на практическое применение в жизни.

Проблемный вопрос: важны ли иррациональные уравнения и неравенства для людей в их жизнедеятельности?

Группы для исследования данной темы:

Группа исследователей. Цель: узнать определения иррациональных уравнений и неравенств. Их способы решения .(А. Алещенко, Д.Нафикова)

Группа практиков. Цель: найти способы применения иррациональных уравнений и неравенств в жизни и задачах ЕГЭ. (А.Коротких, Д. Порнякова)

Группа историков: узнать как появились иррациональные уравнения и неравенства. Как развивались знания об иррациональных уравнениях и неравенствах. (Все участвующие в разработке этого проекта)