Фср для системы дифференциальных уравнений

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера

Фундаментальная система решений

Содержание:

Одним из важнейших понятий в теории однородных систем линейных ОДУ является понятие фундаментальной системы решений.

Определение 5.2. Линейно независимую в промежутке Фср для системы дифференциальных уравненийсистему из Фср для системы дифференциальных уравненийвектор-функций вида (5.7), каждая из которых является в нем решением однородной системы п линейных ОДУ (5.3), называют фундаментальной системой решений для (5.3) в этом промежутке.

Теорема 5.7. Фундаментальные системы решений существуют.

Пусть Фср для системы дифференциальных уравненийчисел

Фср для системы дифференциальных уравненийобразуют единичную матрицу Фср для системы дифференциальных уравненийразмера n, определитель которой Фср для системы дифференциальных уравненийРассмотрим n решений Фср для системы дифференциальных уравненийоднородной системы (5.3), которые определены в некотором промежутке Фср для системы дифференциальных уравненийчисловой прямой Фср для системы дифференциальных уравненийточке Фср для системы дифференциальных уравненийудовлетворяют начальным условиям Фср для системы дифференциальных уравненийТогда получим Фср для системы дифференциальных уравненийв промежутке Т.

На основании теоремы 5.5 и определения 5.1 отсюда следует, что эти решения линейно независимы в промежутке Т и, согласно определению 5.2, образуют в нем фундаментальную систему решений для (5.3).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Запись в виде (5.3) соответствует нормальной однородной системе линейных ОДУ с переменными коэффициентами, поскольку элементы Фср для системы дифференциальных уравненийматрицы A(t) этой системы являются функциями независимого переменного t.

  • Такие системы удается проинтегрировать и получить решение в виде аналитической зависимости лишь в исключительных случаях. Однако существует одна замечательная формула, связывающая между собой решения произвольной однородной системы (5.3) ОДУ с переменными коэффициентами.

Вычислим производную по t от определителя Вронского (5.6), составленного из решений Фср для системы дифференциальных уравненийФср для системы дифференциальных уравненийсистемы ОДУ (5.3):

Фср для системы дифференциальных уравнений

В (5.8) использовано правило вычисления производной от определителя квадратной матрицы размера п [II]. Так как определитель представляет собой сумму Фср для системы дифференциальных уравненийслагаемых с соответствующими знаками, а каждое слагаемое есть произведение п элементов, то, используя правило дифференцирования произведения п функций [II], приходим к записи (5.8). Вектор-функция Фср для системы дифференциальных уравненийявляется решением однородной системы (5.3), т.е. Фср для системы дифференциальных уравненийПоэтому первый определитель в правой части (5.8) имеет вид

Фср для системы дифференциальных уравнений

Здесь использовано правило сложения определителей, а также то, что определитель, имеющий две одинаковые строки, равен нулю.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Аналогично второе, третье и т.д. (вплоть до последнего) слагаемые в (5.8) равны: Фср для системы дифференциальных уравненийС учетом этих выражений (5.8) принимает вид Фср для системы дифференциальных уравненийОтсюда следует, что определитель Вронского удовлетворяет линейному однородному ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получаем соотношение Фср для системы дифференциальных уравненийкоторое называют формулой Остроградского — Лиувил-ля (Ж. Лиувилль (1809-1882) — французский математик и механик, а о русском математике и механике М.В. Остроградском (1801-1861) см. Краткий исторический очерк.

Пример с решением №1

Рассмотрим нормальную систему ОДУ Фср для системы дифференциальных уравненийгде Фср для системы дифференциальных уравнений— произвольная функция, непрерывная в некотором промежутке Фср для системы дифференциальных уравнений.

Решение:

Матрица этой системы Фср для системы дифференциальных уравненийОтсюда следует, что Фср для системы дифференциальных уравненийи формула Остроградского — Лиувилля принимает вид Фср для системы дифференциальных уравненийгде Фср для системы дифференциальных уравнений

Итак, для двух произвольных решений Фср для системы дифференциальных уравненийрассматриваемой системы справедливо (5.11). Отметим, что (5.11) можно использовать для контроля точности получаемых решений системы

ОДУ при ее численном интегрировании

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система m линейных уравнений с п переменными называется однородной, если во всех ее уравнениях свободные члены равны нулю.

В общем случае однородная система (или система однородных уравнений) имеет вид: Фср для системы дифференциальных уравнений

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (тривиальное) решение (0; 0; 0). Действительно, набор значений неизвестных

Фср для системы дифференциальных уравненийудовлетворяет всем уравнениям системы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. По отношению к системе (1.25) система (1.34) называется приведенной.

Если в системе (1.34) Фср для системы дифференциальных уравненийто она имеет только одно нулевое решение (см. теорему 1.7).

ТЕОРЕМА 1.11. Система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг этой системы меньше числа ее неизвестных, т.е. при Фср для системы дифференциальных уравнений

Следствие 1. Если число уравнений однородной системы меньше числа ее неизвестных, то эта система имеет ненулевое решение. Следствие 2. Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.

Обозначим решение системы (1.34) Фср для системы дифференциальных уравненийв виде строки Фср для системы дифференциальных уравнений

Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:

1. Если строка Фср для системы дифференциальных уравнений— решение системы (1.34), то и строка Фср для системы дифференциальных уравнений— также решение этой системы.

2. Если строки Фср для системы дифференциальных уравнений— решения системы (1.34), то при любых с> и с2 их линейная комбинация Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений— также решение данной системы.

Убедиться в справедливости указанных свойств решений системы линейных однородных уравнений можно непосредственной подстановкой их в уравнения системы.

Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы. Поэтому целесообразно найти такие линейно независимые решения системы (1.34), через которые линейно выражались бы все остальные ее решения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система линейно независимых решений Фср для системы дифференциальных уравненийназывается фундаментальной, если каждое решение системы (1.34) является линейной комбинацией решений Фср для системы дифференциальных уравнений

ТЕОРЕМА 1.12. Если ранг г матрицы однородной системы линейных уравнений (1.34) меньше числа неизвестных n, то всякая ее фундаментальная система решений состоит из Фср для системы дифференциальных уравненийрешений (или матрица фундаментальной системы имеет Фср для системы дифференциальных уравненийстолбцов).

Поэтому общее решение системы (1.34) линейных однородных уравнений имеет вид:

Фср для системы дифференциальных уравнений(1.35)

где Фср для системы дифференциальных уравнений—любая фундаментальная система решений; Фср для системы дифференциальных уравнений— произвольные числа и Фср для системы дифференциальных уравненийЗамечание. Общее решение системы Фср для системы дифференциальных уравненийлинейных уравнений с п неизвестными (1.25) равно сумме общего решения соответствующей ей приведенной системы линейных уравнений (1.34) и произвольного частного решения этой системы (1.25).

Для нахождения фундаментальной системы решений предположим, что ранг Фср для системы дифференциальных уравненийТогда базисные неизвестные этой системы Фср для системы дифференциальных уравненийлинейно выражаются через свободные переменные Фср для системы дифференциальных уравненийПоложим значения свободных переменных Фср для системы дифференциальных уравненийЗатем находим второе решение, принимая Фср для системы дифференциальных уравненийИными словами, мы последовательно присваиваем каждой свободной переменной единичное значение, положив остальные нулями.

Пример с решением №2

Найти решение и фундаментальную систему решения системы линейных однородных уравнений: Фср для системы дифференциальных уравненийРешение:

Составим матрицу системы, и прямым ходом метода Гаусса приведем ее к ступенчатому виду:

Фср для системы дифференциальных уравненийВыпишем систему уравнений: Фср для системы дифференциальных уравненийОбратный ход метода Гаусса дает значения базисных неизвестных Фср для системы дифференциальных уравненийвыраженные через свободную переменную Фср для системы дифференциальных уравнений. Обозначим ее Фср для системы дифференциальных уравнений

Из последнего уравнения находим Фср для системы дифференциальных уравненийЗатем, поднимаясь вверх по системе, определяем все неизвестные Фср для системы дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

Эти последние выражения представляют запись общего решения нашей однородной системы. Если теперь давать переменной с числовые значения, можно получить фундаментальное решение системы.

Поскольку ранг однородной системы равен четырем, то фундаментальная система решений для нее состоит из Фср для системы дифференциальных уравненийрешения.

Положив значение свободной переменной Фср для системы дифференциальных уравнений(других свободных переменных у нас нет), получим фундаментальное решение системы:

Фср для системы дифференциальных уравнений

Заметим, что если Фср для системы дифференциальных уравненийи решением будет нулевой вектор о; его называют тривиальным решением; этот вектор всегда есть среди решений однородной системы.

Фср для системы дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Фср для системы дифференциальных уравненийФср для системы дифференциальных уравнений

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

Системы дифференциальных уравнений с примерами решения и образцами выполнения

Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности. В частности, к ним относятся различного рода физические и химические процессы, процессы нефте- и газодобычи, геологии, экономики и т.д. Действительно, если некоторые физические величины (перемещение тела, пластовое давление жидкости в фиксированной точке с тремя координатами, концентрация веществ, объемы продаж продуктов) оказываются меняющимися со временем под воздействием тех или иных факторов, то, как правило, закон их изменения по времени описывается именно системой дифференциальных уравнений, т.е. системой, связывающей исходные переменные как функции времени и производные этих функций. Независимой переменной в системе дифференциальных уравнений может выступать не только время, но и другие физические величины: координата, цена продукта и т.д.

Фср для системы дифференциальных уравнений

Видео:ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

ФСР.  Система однородных уравнений.  Общее решение

Решение систем дифференциальных уравнений

К системе дифференциальных уравнений приводит уже простейшая задача динамики точки: даны силы, действующие на материальную точку; найти закон движения, т. е. найти функции Фср для системы дифференциальных уравненийвыражающие зависимость координат движущейся точки от времени. Система, которая при этом получается, в общем случае имеет вид

Фср для системы дифференциальных уравнений

Здесь x, у, z — координаты движущейся точки, t — время, f, g, h — известные функции своих аргументов.

Система вида (1) называется канонической. Обращаясь к общему случаю системы т дифференциальных уравнений с т неизвестными функциями Фср для системы дифференциальных уравненийаргумента t, назовем канонической систему вида

Фср для системы дифференциальных уравнений

разрешенную относительно старших производных. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций,

Фср для системы дифференциальных уравнений

Если Фср для системы дифференциальных уравненийв (2) принять за новые вспомогательные функции, то общую каноническую систему (2) можно заменить эквивалентной ей нормальной системой, состоящей из Фср для системы дифференциальных уравненийуравнений. Поэтому достаточно рассматривать лишь нормальные системы.

Например, одно уравнение

Фср для системы дифференциальных уравнений

является мастным случаем канонической системы. Положив Фср для системы дифференциальных уравненийв силу исходного уравнения будем иметь

Фср для системы дифференциальных уравнений

В результате получаем нормальную систему уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

эквивалентную исходному уравнению.

Определение:

Решением нормальной системы (3) на интервале (а, Ь) изменения аргумента t называется всякая система n функций

Фср для системы дифференциальных уравнений

дифференцируемых на интервале а Фср для системы дифференциальных уравнений

Теорема:

Существования и единственности решения задачи Коши. Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

и пусть функции Фср для системы дифференциальных уравненийопределены в некоторой (n + 1) — мерной области D изменения переменных Фср для системы дифференциальных уравненийЕсли существует окрестность Фср для системы дифференциальных уравненийточки Фср для системы дифференциальных уравненийв которой функции fi непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменным Фср для системы дифференциальных уравненийто найдется интервал Фср для системы дифференциальных уравненийизменения t, на котором существует единственное решение нормальной системы (3), удовлетворяющее начальным условиям

Фср для системы дифференциальных уравнений

Определение:

Система n функций

Фср для системы дифференциальных уравнений

зависящих от t и n произвольных постоянных Фср для системы дифференциальных уравненийназывается общим решением нормальной системы (3) в некоторой области Фср для системы дифференциальных уравненийсуществования и единственности решения задачи Коши, если

1) при любых допустимых значениях Фср для системы дифференциальных уравненийсистема функций (6) обращает уравнения (3) в тождества,

2) в области Фср для системы дифференциальных уравненийфункции (6) решают любую задачу Коши.

Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных Фср для системы дифференциальных уравненийназываются частными решениями.

Обратимся для наглядности к нормальной системе двух уравнений,

Фср для системы дифференциальных уравнений

Будем рассматривать систему значений t, x1, х2 как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного к системе координат Фср для системы дифференциальных уравненийРешение

Фср для системы дифференциальных уравнений

системы (7), принимающее при Фср для системы дифференциальных уравненийзначения Фср для системы дифференциальных уравненийопределяет в пространстве некоторую линию, проходящую через точку Фср для системы дифференциальных уравненийЭта линия называется интегральной кривой нормальной системы (7). Задача Коши для системы (7) получает следующую геометрическую формулировку: в пространстве переменных t, x1, х2 найти интегральную кривую, проходящую через данную точку Фср для системы дифференциальных уравнений(рис. 1). Теорема 1 устанавливает существование и единственность такой кривой.

Фср для системы дифференциальных уравнений

Нормальной системе (7) и ее решению можно придать еще такое истолкование: будем независимую переменную t рассматривать как параметр, а решение

Фср для системы дифференциальных уравнений

системы — как параметрические уравнения кривой на плоскости Фср для системы дифференциальных уравненийЭту плоскость переменных х1х2 называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости решение Фср для системы дифференциальных уравненийсистемы (7), принимающее при t = to начальные значения Фср для системы дифференциальных уравненийизображается кривой АВ, проходящей через точку Фср для системы дифференциальных уравнений(рис. 2). Эту кривую называют траекторией системы (фазовой траекторией). Траектория системы (7) есть проекция интегральной кривой на фазовую плоскость. По интегральной кривой фазовая траектория определяется однозначно, но не наоборот.

Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений

Метод исключения

Один из методов интегрирования — метод исключения. Частным случаем канонической системы является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной

Фср для системы дифференциальных уравнений

Введя новые функции Фср для системы дифференциальных уравненийзаменим это уравнение следующей нормальной системой n уравнений:

Фср для системы дифференциальных уравнений

т. е. одно уравнение n-го порядка эквивалентно нормальной системе (1)

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система п уравнений первого порядка эквивалентна одному уравнению порядка n. На этом и основан метод исключения для интегрирования систем дифференциальных уравнений.

Делается это так. Пусть имеем нормальную систему

Фср для системы дифференциальных уравнений

Продифференцируем первое из уравнений (2) по t. Имеем

Фср для системы дифференциальных уравнений

Заменяя в правой части производные Фср для системы дифференциальных уравненийих выражениями Фср для системы дифференциальных уравненийполучим

Фср для системы дифференциальных уравнений

Уравнение (3) снова дифференцируем по t. Принимая во внимание систему (2), получим

Фср для системы дифференциальных уравнений

Продолжая этот процесс, найдем

Фср для системы дифференциальных уравнений

Предположим, что определитель

Фср для системы дифференциальных уравнений

(якобиан системы функций Фср для системы дифференциальных уравненийотличен от нуля при рассматриваемых значениях Фср для системы дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

Тогда система уравнений, составленная из первого уравнения системы (2) и уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

будет разрешима относительно неизвестных Фср для системы дифференциальных уравненийПри этом Фср для системы дифференциальных уравненийвыразятся через Фср для системы дифференциальных уравнений

Внося найденные выражения в уравнение

Фср для системы дифференциальных уравнений

получим одно уравнение n-го порядка

Фср для системы дифференциальных уравнений

Из самого способа его построения следует, что если Фср для системы дифференциальных уравненийесть решения системы (2), то функция х1(t) будет решением уравнения (5).

Обратно, пусть Х1(t) — решение уравнения (5). Дифференцируя это решение по t, вычислим Фср для системы дифференциальных уравненийи подставим найденные значения как известные функции

Фср для системы дифференциальных уравнений

от t в систему уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

По предположению эту систему можно разрешить относительно Фср для системы дифференциальных уравненийт. е найти Фср для системы дифференциальных уравненийкак функции от t.

Можно показать, что так построенная система функций

Фср для системы дифференциальных уравнений

составляет решение системы дифференциальных уравнений (2). Пример:

Требуется проинтегрировать систему

Фср для системы дифференциальных уравнений

Дифференцируя первое уравнение системы, имеем

Фср для системы дифференциальных уравнений

откуда, используя второе уравнение, получаем

Фср для системы дифференциальных уравнений

— линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией. Его общее решение имеет вид

Фср для системы дифференциальных уравнений

В силу первого уравнения системы находим функцию

Фср для системы дифференциальных уравнений

Найденные функции x(t), y(t), как легко проверить, при любых значениях С1 и С2 удовлетворяют заданной системе.

Функции x(t), y(t) можно представить в виде

Фср для системы дифференциальных уравнений

откуда видно, что интегральные кривые системы (6) — винтовые линии с шагом Фср для системы дифференциальных уравненийи с общей осью х = у = 0, которая также является интегральной кривой (рис. 3).

Фср для системы дифференциальных уравнений

Исключая в формулах (7) параметр t, получаем уравнение

Фср для системы дифференциальных уравнений

так что фазовые траектории данной системы суть окружности с центром в начале координат — проекции винтовых линий на плоскость хОу.

При А = 0 фазовая траектория состоит из одной точки х = 0, у = 0, называемой точкой покоя системы.

Замечание:

Может оказаться, что функции Фср для системы дифференциальных уравненийнельзя выразить через Фср для системы дифференциальных уравненийТогда уравнения n-го порядка, эквивалентного исходной системе, мы не получим. Вот простой пример. Систему уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

нельзя заменить эквивалентным уравнением второго порядка относительно х1 или x2. Эта система составлена из пары уравнений 1-го порядка, каждое из которых интегрируется независимо, что дает

Фср для системы дифференциальных уравнений

Метод интегрируемых комбинаций

Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

иногда осуществляется методом интегрируемых комбинаций.

Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений (8), но уже легко интегрирующееся.

Пример:

Фср для системы дифференциальных уравнений

Складывая почленно данные уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию:

Фср для системы дифференциальных уравнений

Вычитая почленно из первого уравнения системы второе, получаем вторую интегрируемую комбинацию:

Фср для системы дифференциальных уравнений

Мы нашли два конечных уравнения

Фср для системы дифференциальных уравнений

из которых легко определяется общее решение системы:

Фср для системы дифференциальных уравнений

Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно уравнение

Фср для системы дифференциальных уравнений

связывающее независимую переменную t и неизвестные функции Фср для системы дифференциальных уравненийТакое конечное уравнение называется первым интегралом системы (8). Иначе: первым интегралом системы дифференциальных уравнений (8) называется дифференцируемая функция Фср для системы дифференциальных уравненийне равная тождественно постоянной, но сохраняющая постоянное значение на любой интегральной кривой этой системы.

Если найдено п первых интегралов системы (8) и все они независимы, т. е. якобиан системы функций Фср для системы дифференциальных уравненийотличен от нуля:

Фср для системы дифференциальных уравнений

то задача интефирования системы (8) решена (так как из системы

Фср для системы дифференциальных уравнений

определяются все неизвестные функции Фср для системы дифференциальных уравнений

Системы линейных дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных, входящих в уравнение. Система n линейных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид

Фср для системы дифференциальных уравнений

или, в матричной форме,

Фср для системы дифференциальных уравнений

Теорема:

Если все функции Фср для системы дифференциальных уравненийнепрерывны на отрезке Фср для системы дифференциальных уравненийто в достаточно малой окрестности каждой точки Фср для системы дифференциальных уравненийгде Фср для системы дифференциальных уравненийвыполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (1).

Действительно, в таком случае правые части системы (1) непрерывны по совокупности аргументов t, Фср для системы дифференциальных уравненийи их частные производные по Фср для системы дифференциальных уравненийограничены, так как эти производные равны непрерывным на отрезке [а,b] коэффициентам Фср для системы дифференциальных уравнений

Введем линейный оператор

Фср для системы дифференциальных уравнений

Тогда система (2) запишется в виде

Фср для системы дифференциальных уравнений

Если матрица F — нулевая, т. е. Фср для системы дифференциальных уравненийна интервале (а,b), то система (2) называется линейной однородной и имеет вид

Фср для системы дифференциальных уравнений

Приведем некоторые теоремы, устанавливающие свойства решений линейных систем.

Теорема:

Если X(t) является решением линейной однородной системы

Фср для системы дифференциальных уравнений

то cX(t), где с — произвольная постоянная, является решением той же системы.

Теорема:

Фср для системы дифференциальных уравнений

двух решений Фср для системы дифференциальных уравненийоднородной линейной системы уравнений является решением той же системы.

Следствие:

Фср для системы дифференциальных уравнений

с произвольными постоянными коэффициентами сi решений Фср для системы дифференциальных уравненийлинейной однородной системы дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

является решением той же системы.

Теорема:

Если Фср для системы дифференциальных уравненийесть решение линейной неоднородной системы

Фср для системы дифференциальных уравнений

a Xo(t) — решение соответствующей однородной системы

Фср для системы дифференциальных уравнений

будет решением неоднородной системы Фср для системы дифференциальных уравнений

Действительно, по условию,

Фср для системы дифференциальных уравнений

Пользуясь свойством аддитивности оператора Фср для системы дифференциальных уравненийполучаем

Фср для системы дифференциальных уравнений

Это означает, что сумма Фср для системы дифференциальных уравненийесть решение неоднородной системы уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений

Определение:

Фср для системы дифференциальных уравнений

называются линейно зависимыми на интервале a Фср для системы дифференциальных уравнений

при Фср для системы дифференциальных уравненийпричем по крайней мере одно из чисел аi, не равно нулю. Если тождество (5) справедливо только при Фср для системы дифференциальных уравненийто векторы Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравненийназываются линейно независимыми на (а, b).

Заметим, что одно векторное тождество (5) эквивалентно n тождествам:

Фср для системы дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

называется определителем Вронского системы векторов Фср для системы дифференциальных уравнений

Определение:

Пусть имеем линейную однородную систему

Фср для системы дифференциальных уравнений

где Фср для системы дифференциальных уравненийматрица с элементами Фср для системы дифференциальных уравненийСистема n решений

Фср для системы дифференциальных уравнений

линейной однородной системы (6), линейно независимых на интервале а Фср для системы дифференциальных уравнений

с непрерывными на отрезке Фср для системы дифференциальных уравненийкоэффициентами Фср для системы дифференциальных уравненийявляется линейная комбинация п линейно независимых на интервале а Фср для системы дифференциальных уравнений

(Фср для системы дифференциальных уравнений) — произвольные постоянные числа).

Пример:

Фср для системы дифференциальных уравнений

имеет, как нетрудно проверить, решения

Фср для системы дифференциальных уравнений

Эти решения линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля:

Фср для системы дифференциальных уравнений

Общее решение системы имеет вид

Фср для системы дифференциальных уравнений

(с1, с2 — произвольные постоянные).

Фундаментальная матрица

Квадратная матрица

Фср для системы дифференциальных уравнений

столбцами которой являются линейно независимые решения Фср для системы дифференциальных уравненийсистемы (6), называется фундаментальной матрицей этой системы. Нетрудно проверить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению

Фср для системы дифференциальных уравнений

Если Х(t) — фундаментальная матрица системы (6), то общее решение системы можно представить в виде

Фср для системы дифференциальных уравнений

— постоянная матрица-столбец с произвольными элементами. Полагая в (7) t = t0, имеем

Фср для системы дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

Матрица Фср для системы дифференциальных уравненийназывается матрицей Коши. С ее помощью решение системы (6) можно представить так:

Фср для системы дифференциальных уравнений

Теорема:

О структуре общего решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Общее решение в области Фср для системы дифференциальных уравненийлинейной неоднородной системы дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

с непрерывными на отрезке Фср для системы дифференциальных уравненийкоэффициентами aij(t) и правыми частями fi(t) равно сумме общего решения

Фср для системы дифференциальных уравнений

соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения Фср для системы дифференциальных уравненийнеоднородной системы (2):

Фср для системы дифференциальных уравнений

Метод вариации постоянных

Если известно общее решение линейной однородной системы (6), то частное решение неоднородной системы можно находить методом вариации постоянных (метод Лагранжа).

Фср для системы дифференциальных уравнений

есть общее решение однородной системы (6), тогда

Фср для системы дифференциальных уравнений

причем решения Xk(t) линейно независимы.

Будем искать частное решение неоднородной системы

Фср для системы дифференциальных уравнений

где Фср для системы дифференциальных уравненийнеизвестные функции от t. Дифференцируя Фср для системы дифференциальных уравненийпо t, имеем

Фср для системы дифференциальных уравнений

Подставляя Фср для системы дифференциальных уравненийв (2), получаем

Фср для системы дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

то для определения Фср для системы дифференциальных уравненийполучаем систему

Фср для системы дифференциальных уравнений

или, в развернутом виде,

Фср для системы дифференциальных уравнений

Система (10) есть линейная алгебраическая система относительно Фср для системы дифференциальных уравненийопределителем которой является определитель Вронского W(t) фундаментальной системы решений Фср для системы дифференциальных уравнений. Этот определитель отличен от нуля всюду на интервале a Фср для системы дифференциальных уравнений

где Фср для системы дифференциальных уравнений— известные непрерывные функции. Интегрируя последние соотношения, находим

Фср для системы дифференциальных уравнений

Подставляя эти значения Фср для системы дифференциальных уравненийв (9), находим частное решение системы (2)

Фср для системы дифференциальных уравнений

(здесь под символом Фср для системы дифференциальных уравненийпонимается одна из первообразных для функции Фср для системы дифференциальных уравнений

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

в которой все коэффициенты Фср для системы дифференциальных уравнений— постоянные. Чаще всего такая система интегрируется сведением ее к одному уравнению более высокого порядка, причем это уравнение будет также линейным с постоянными коэффициентами. Другой эффективный метод интегрирования систем с постоянными коэффициентами — метод преобразования Лапласа.

Мы рассмотрим еще метод Эйлера интегрирования линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Он состоит в следующем.

Метод Эйлера

Будем искать решение системы

Фср для системы дифференциальных уравнений

где Фср для системы дифференциальных уравнений— постоянные. Подставляя Xk в форме (2) в систему (1), сокращая на Фср для системы дифференциальных уравненийи перенося все члены в одну часть равенства, получаем систему

Фср для системы дифференциальных уравнений

Для того, чтобы эта система (3) линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными Фср для системы дифференциальных уравненийимела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

Фср для системы дифференциальных уравнений

Уравнение (4) называется характеристическим. В его левой части стоит многочлен относительно Фср для системы дифференциальных уравненийстепени n. Из этого уравнения определяются те значения Фср для системы дифференциальных уравнений, при которых система (3) имеет нетривиальные решения Фср для системы дифференциальных уравнений. Если все корни Фср для системы дифференциальных уравненийхарактеристического уравнения (4) различны, то, подставляя их по очереди в систему (3), находим соответствующие им нетривиальные решения Фср для системы дифференциальных уравненийэтой системы n, следовательно, находим п решений исходной системы дифференциальных уравнений (1) в виде

Фср для системы дифференциальных уравнений

где второй индекс указывает номер решения, а первый — номер неизвестной функции. Построенные таким образом п частных решений линейной однородной системы (1)

Фср для системы дифференциальных уравнений

образуют, как можно проверить, фундаментальную систему решений этой системы.

Следовательно, общее решение однородной системы дифференциальных уравнений (1) имеет вид

Фср для системы дифференциальных уравнений

где Фср для системы дифференциальных уравненийпроизвольные постоянные.

Случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы рассматривать не будем.

Пример:

Фср для системы дифференциальных уравнений

Ищем решение в виде

Фср для системы дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

имеет корни Фср для системы дифференциальных уравнений

Система (3) для определения a1, а2 выглядит так:

Фср для системы дифференциальных уравнений

Подставляя в (*) Фср для системы дифференциальных уравненийполучаем

Фср для системы дифференциальных уравнений

откуда а21 = а11. Следовательно,

Фср для системы дифференциальных уравнений

Полагая в Фср для системы дифференциальных уравненийнаходим a22 = — a12, поэтому

Фср для системы дифференциальных уравнений

Общее решение данной системы:

Фср для системы дифференциальных уравнений

Матричный метод

Изложим еще матричный метод интегрирования однородной системы (1). Запишем систему (1) в виде

Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравненийматрица с постоянными действительными элементами Фср для системы дифференциальных уравнений

Напомним некоторые понятия из линейной алгебры. Вектор Фср для системы дифференциальных уравненийназывается собственным вектором матрицы А, если

Фср для системы дифференциальных уравнений

Число Фср для системы дифференциальных уравненийназывается собственным значением матрицы А, отвечающим собственному вектору g, и является корнем характеристического уравнения

Фср для системы дифференциальных уравнений

где I — единичная матрица.

Будем предполагать, что все собственные значения Фср для системы дифференциальных уравненийматрицы А различны. В этом случае собственные векторы g1, g2, …gn линейно независимы и существует Фср для системы дифференциальных уравненийматрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду, т. е. такая, что

Фср для системы дифференциальных уравнений

Столбцами матрицы Т являются координаты собственных векторов g1, g2 …, gn матрицы А.

Введем еще следующие понятия. Пусть В(t) — Фср для системы дифференциальных уравненийматрица, элементы Фср для системы дифференциальных уравненийкоторой суть функции аргумента t, определенные на множестве Фср для системы дифференциальных уравнений. Матрица В(t) называется непрерывной на Фср для системы дифференциальных уравнений, если непрерывны на Фср для системы дифференциальных уравненийвсе ее элементы Фср для системы дифференциальных уравнений. Матрица В(t) называется дифференцируемой на Фср для системы дифференциальных уравнений, если дифференцируемы на Фср для системы дифференциальных уравненийвсе элементы Фср для системы дифференциальных уравненийэтой матрицы. При этом производной матрицы Фср для системы дифференциальных уравненийназывается матрица, элементами которой являются производные Фср для системы дифференциальных уравненийу соответствующих элементов матрицы В(t).

Пусть B(t) — n х n-матрица,

Фср для системы дифференциальных уравнений

— вектор-столбец. Учитывая правила алгебры матриц, непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости формулы

Фср для системы дифференциальных уравнений

В частности, если В — постоянная матрица, то

Фср для системы дифференциальных уравнений

так как Фср для системы дифференциальных уравненийесть нуль-матрица.

Теорема:

Если собственные значения Фср для системы дифференциальных уравненийматрицы А различны, то общее решение системы (7) имеет вид

Фср для системы дифференциальных уравнений

где g1, g2,…, gn — собственные векторы-столбцы матрицы А, Фср для системы дифференциальных уравненийпроизвольные постоянные числа.

Введем новый неизвестный вектор-столбец Y(t) по формуле

Фср для системы дифференциальных уравнений

где Т — матрица, приводящая матрицу А к диагональному виду. Подставляя X(t) из (11) в (7), получим систему

Фср для системы дифференциальных уравнений

Умножая обе части последнего соотношения слева на Фср для системы дифференциальных уравненийи учитывая, что Фср для системы дифференциальных уравненийпридем к системе

Фср для системы дифференциальных уравнений

Мы получили систему из n независимых уравнений, которая без труда интегрируется:

Фср для системы дифференциальных уравнений

Здесь Фср для системы дифференциальных уравнений— произвольные постоянные числа.

Вводя единичные n-мерные векторы-столбцы

Фср для системы дифференциальных уравнений

решение Y(t) можно представить в виде

Фср для системы дифференциальных уравнений

В силу (11) Х(t) = TY(t). Так как столбцы матрицы Т есть собственные векторы матрицы Фср для системы дифференциальных уравненийсобственный вектор матрицы А. Поэтому, подставляя (13) в (11), получим формулу (10):

Фср для системы дифференциальных уравнений

Таким образом, если матрица А системы дифференциальных уравнений (7) имеет различные собственные значения, для получения общего решения этой системы:

1) находим собственные значения Фср для системы дифференциальных уравненийматрицы как корни алгебраического уравнения

Фср для системы дифференциальных уравнений

2) находим все собственные векторы g1, g2,…, gn;

3) выписываем общее решение системы дифференциальных уравнений (7) по формуле (10).

Пример:

Фср для системы дифференциальных уравнений

Матрица А системы имеет вид

Фср для системы дифференциальных уравнений

1) Составляем характеристическое уравнение

Фср для системы дифференциальных уравнений

Корни характеристического уравнения Фср для системы дифференциальных уравнений

2) Находим собственные векторы

Фср для системы дифференциальных уравнений

Для Фср для системы дифференциальных уравнений= 4 получаем систему

Фср для системы дифференциальных уравнений

откуда g11 = g12, так что

Фср для системы дифференциальных уравнений

Аналогично для Фср для системы дифференциальных уравнений= 1 находим

Фср для системы дифференциальных уравнений

3) Пользуясь формулой (10), получаем общее решение системы дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

Корни характеристического уравнения могут быть действительными и комплексными. Так как по предположению коэффициенты Фср для системы дифференциальных уравненийсистемы (7) действительные, то характеристическое уравнение

Фср для системы дифференциальных уравнений

будет иметь действительные коэффициенты. Поэтому наряду с комплексным корнем Фср для системы дифференциальных уравненийоно будет иметь и корень Фср для системы дифференциальных уравнений*, комплексно сопряженный с Фср для системы дифференциальных уравнений. Нетрудно показать, что если g — собственный вектор, отвечающий собственному значению Фср для системы дифференциальных уравнений, то Фср для системы дифференциальных уравнений* — тоже собственное значение, которому отвечает собственный вектор g*, комплексно сопряженный с g.

При комплексном Фср для системы дифференциальных уравненийрешение

Фср для системы дифференциальных уравнений

системы (7) также будет комплексным. Действительная часть

Фср для системы дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

этого решения являются решениями системы (7). Собственному значению Фср для системы дифференциальных уравнений* будет отвечать пара действительных решений X1 и -Х2, т. е. та же пара, что и для собственного значения Фср для системы дифференциальных уравнений. Таким образом, паре Фср для системы дифференциальных уравнений, Фср для системы дифференциальных уравнений* комплексно сопряженных собственных значений отвечает пара действительных решений системы (7) дифференциальных уравнений.

Пусть Фср для системы дифференциальных уравнений— действительные собственные значения, Фср для системы дифференциальных уравненийФср для системы дифференциальных уравнений— комплексные собственные значения. Тогда всякое действительное решение системы (7) имеет вид

Фср для системы дифференциальных уравнений

где сi — произвольные постоянные.

Пример:

Фср для системы дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений

1) Характеристическое уравнение системы

Фср для системы дифференциальных уравнений

Его корни Фср для системы дифференциальных уравнений

2) Собственные векторы матриц

Фср для системы дифференциальных уравнений

3) Решение системы

Фср для системы дифференциальных уравнений

где а1, а2 — произвольные комплексные постоянные.

Найдем действительные решения системы. Пользуясь формулой Эйлера

Фср для системы дифференциальных уравнений

Следовательно, всякое действительное решение системы имеет

Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений

где с1, с2 — произвольные действительные числа.

Видео:ФСР системы линейных уравнений. Алгоритм ГауссаСкачать

ФСР системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса

Понятие о системах дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Фср для системы дифференциальных уравнений

Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений Фср для системы дифференциальных уравнений

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

🔥 Видео

Фундаментальная система решений системы линейных уравнений ФСР СЛАУСкачать

Фундаментальная система решений системы линейных уравнений ФСР СЛАУ

Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"Скачать

Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"

Фундаментальная система решений для однородной системы линейных уравненийСкачать

Фундаментальная система решений для однородной системы линейных уравнений

ФСР. Система однородных уравнений 2Скачать

ФСР. Система однородных уравнений 2

Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

ДУ Линейные системыСкачать

ДУ Линейные системы

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1

Неоднородная система линейных уравненийСкачать

Неоднородная система линейных уравнений

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентам

Системы дифференциальных уравненийСкачать

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений. Часть 1Скачать

Системы дифференциальных уравнений. Часть 1

Фундаментальная система решений видео-урок!Скачать

Фундаментальная система решений видео-урок!

Системы дифференциальных уравнений. Часть 2Скачать

Системы дифференциальных уравнений. Часть 2

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Поделиться или сохранить к себе: