Формулы сокращенного умножения в тригонометрических уравнениях (6 видео)

Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Содержание

Формулы сокращенного умножения. Таблица
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Как читать формулы сокращенного умножения?
Доказательство ФСУ
Примеры применения ФСУ
Формулы сокращенного умножения в тригонометрических уравнениях
Формулы сокращенного умножения в тригонометрических уравнениях
Основные тригонометрические формулы
Дополнительные тригонометрические формулы
Тригонометрические формулы приведения
Тригонометрическая окружность
Тригонометрические уравнения
Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?
Нашли ошибку?
💥 Видео

Видео:Формулы сокращенного умножения | Математика | TutorOnlineСкачать

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
формула квадрата разности: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2
формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
формула куба разности: a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3
формула разности квадратов: a 2 — b 2 = a — b a + b
формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2
формула разности кубов: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Видео:7 класс, 24 урок, Формулы сокращённого умноженияСкачать

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n

Здесь C n k — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

C n k = n ! k ! · ( n — k ) ! = n ( n — 1 ) ( n — 2 ) . . ( n — ( k — 1 ) ) k !

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 a n

Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

a n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 + . . + a 2 b n — 2 + b n — 1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 + . . + b 2 m — 2

Для нечетных показателей 2m+1:

a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 + . . + b 2 m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на — b .

Видео:Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 — b 2 = a — b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 — a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Видео:Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. 7 класс.Скачать

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a — b 2 = a — b a — b .

a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Видео:Как раз и навсегда выучить формулы сокращенного умноженияСкачать

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Упростим выражение 9 y — ( 1 + 3 y ) 2 .

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9 y — ( 1 + 3 y ) 2 = 9 y — ( 1 + 6 y + 9 y 2 ) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2

Сократим дробь 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 .

Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z ( 4 x 2 + 2 x z + z 4 ) 2 x — z 2 x + z .

Сокращаем и получаем:

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = ( 4 x 2 + 2 x z + z 4 ) 2 x + z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241 .

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x — 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 — 4 = 2 x + 1 2 — 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Видео:Алгебра 7. Урок 4 - Формулы сокращенного умножения и как их запомнить.Скачать

Формулы сокращенного умножения в тригонометрических уравнениях

Ключевые слова: квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов

Квадрат суммыдвух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2
Квадрат разностидвух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2
Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов. (a+b)(a-b)=a 2 -b 2
Куб суммыдвух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй. (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3
Куб разностидвух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй. (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3
Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов. ( a+b)(a 2 -ab+b 2 )=a 3 +b 3
Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.(a-b)(a 2 +ab+b 2 )=a 3 — b 3

Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения . Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть:

Решение. Имеем ( a + b )( a 2 – ab + b 2 ) = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 – b 3 . Приводя подобные слагаемые, мы видим, что ( a + b )( a 2 – ab + b 2 ) = a 3 + b 3 , что и доказывает нужную формулу.

Пример. Упростите выражение (2 x 3 – 5 z )(2 x 3 + 5 z ).

Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов, получим: (2 x 3 – 5 z )(2 x 3 + 5 z ) = (2 x 3 ) 2 – (5 z ) 2 = 4 x 6 – 25 z 2 .

Ответ. 4 x 6 – 25 z 2 .

Видео:Решить уравнения, используя формулы сокращенного умножения.Сумма и квадрат разности. Алгебра 7 классСкачать

Формулы сокращенного умножения в тригонометрических уравнениях

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
Верьте, что всё будет хорошо.

Основные тригонометрические формулы

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла. Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Дополнительные тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Формулы понижения степени. Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла. Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

Тригонометрические формулы приведения

Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Тригонометрическая окружность

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Тригонометрические уравнения

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.
При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали.
Применяя метод замены переменной, как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

ЗАПРЕЩЕНО использование представленных на сайте материалов или их частей в любых коммерческих целях, а также их копирование, перепечатка, повторная публикация или воспроизведение в любой форме. Нарушение прав правообладателей преследуется по закону. Подробнее.