- Шпаргалка по тригонометрии
- Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры
- Простейшие тригонометрические уравнения
- Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице
- Методы решения тригонометрических уравнений
- Алгебраический метод.
- Разложение на множители.
- Приведение к однородному уравнению
- Переход к половинному углу
- Введение вспомогательного угла
- Дробно-рациональные тригонометрические уравнения
- Тригонометрические уравнения и преобразования
- Четность тригонометрических функций
- Тригонометрические тождества
- 🎬 Видео
Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать
Шпаргалка по тригонометрии
Основные тригонометрические тождества и формулы.
Основные тригонометрические тождества.
Формулы приведения.
Формулы периодических углов.
Формулы суммы и разности углов.
Формулы двойного угла.
Формулы половинного угла (формулы понижения степени).
Формулы произведения тригонометрических функций.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций.
Универсальная тригонометрическая подстановка (УТП).
Обратные тригонометрические функции (аркфункции).
Простые тригонометрические уравнения.
Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры
Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.
Видео:ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИСкачать
Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.
1. Уравнение `sin x=a`.
При `|a|>1` не имеет решений.
При `|a| leq 1` имеет бесконечное число решений.
Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + pi n, n in Z`
2. Уравнение `cos x=a`
При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.
При `|a| leq 1` имеет бесконечное множество решений.
Формула корней: `x=pm arccos a + 2pi n, n in Z`
Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.
3. Уравнение `tg x=a`
Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arctg a + pi n, n in Z`
4. Уравнение `ctg x=a`
Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arcctg a + pi n, n in Z`
Видео:Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.Скачать
Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице
Для синуса:Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:
Видео:Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать
Методы решения тригонометрических уравнений
Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:
- с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
- решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.
Рассмотрим на примерах основные методы решения.
Алгебраический метод.
В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.
Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+frac pi 6)-3sin(frac pi 3 — x)+1=0`
Решение. Используя формулы приведения, имеем:
`2cos^2(x+frac pi 6)-3cos(x+frac pi 6)+1=0`,
делаем замену: `cos(x+frac pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,
находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:
1. `cos(x+frac pi 6)=1`, `x+frac pi 6=2pi n`, `x_1=-frac pi 6+2pi n`.
2. `cos(x+frac pi 6)=1/2`, `x+frac pi 6=pm arccos 1/2+2pi n`, `x_2=pm frac pi 3-frac pi 6+2pi n`.
Ответ: `x_1=-frac pi 6+2pi n`, `x_2=pm frac pi 3-frac pi 6+2pi n`.
Разложение на множители.
Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.
Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =pi n`, `x_1=2pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ pi n`, `x/2=pi/4+ pi n`, `x_2=pi/2+ 2pi n`.
Ответ: `x_1=2pi n`, `x_2=pi/2+ 2pi n`.
Приведение к однородному уравнению
Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:
`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).
Потом разделить обе части на `cos x ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.
Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.
Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x ne 0`, получим:
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+pi n`, `n in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+pi n`, `x_2=pi/4+pi n`, ` n in Z`.
Ответ. `x_1=arctg (-2)+pi n`, `n in Z`, `x_2=pi/4+pi n`, `n in Z`.
Переход к половинному углу
Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.
Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Применив описанный выше алгебраический метод, получим:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2pi n`, `n in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2pi n`, `n in Z`.
Ответ. `x_1=2 arctg 2+2pi n, n in Z`, `x_2=arctg 3/4+2pi n`, `n in Z`.
Введение вспомогательного угла
В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt `:
Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `frac a<sqrt >=cos varphi`, ` frac b<sqrt > =sin varphi`, `frac c<sqrt >=C`, тогда:
`cos varphi sin x + sin varphi cos x =C`.
Подробнее рассмотрим на следующем примере:
Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.
Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt `, получим:
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Обозначим `3/5 = cos varphi` , `4/5=sin varphi`. Так как `sin varphi>0`, `cos varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:
`cos varphi sin x+sin varphi cos x=2/5`
Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:
`x+varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ pi n`, `n in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ pi n`, `n in Z`.
Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ pi n`, `n in Z`.
Дробно-рациональные тригонометрические уравнения
Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.
Пример. Решить уравнение. `frac =1-cos x`.
Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:
Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x ne 0`, `cos x ne -1`, ` x ne pi+2pi n, n in Z`.
Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=pi n`, `n in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=pi /2+2pi n, n in Z`.
Учитывая, что ` x ne pi+2pi n, n in Z`, решениями будут `x=2pi n, n in Z` и `x=pi /2+2pi n`, `n in Z`.
Ответ. `x=2pi n`, `n in Z`, `x=pi /2+2pi n`, `n in Z`.
Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!
Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.
Видео:Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать
Тригонометрические уравнения и преобразования
Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.
Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.
Значения тригонометрических функций некоторых углов
$α$ | $ 0$ | $/$ | $/$ | $/$ | $/$ | $π$ |
$sinα$ | $ 0$ | $ /$ | $ /$ | $ /$ | $ 1$ | $ 0$ |
$cosα$ | $ 1$ | $ /$ | $ /$ | $ /$ | $ 0$ | $ -1$ |
$tgα$ | $ 0$ | $ /$ | $ 1$ | $ √3$ | $ -$ | $ 0$ |
$ctgα$ | $ -$ | $ √3$ | $ 1$ | $ /$ | $ 0$ | $ -$ |
Периоды повтора значений тригонометрических функций
Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.
Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:
- если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($/$ и $/$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
- чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.
Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.
Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.
$сos(90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования
Видео:РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать
Четность тригонометрических функций
Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$
Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$
Видео:Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать
Тригонометрические тождества
- $tgα=/$
- $ctgα=/$
- $sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)
Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса
Вычислить $sin t$, если $cos t = / ; t ∈(/;2π)$
Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(/;2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус
🎬 Видео
Тригонометрия в ЕГЭ может быть простойСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать
Все методы решения тригонометрических уравнений за 30 минутСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Метод понижения порядка. 10 класс.Скачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.Скачать
Тригонометрия для Чайников, 10 класс, Уравнения, Урок 7Скачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 7 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
СЕКРЕТНЫЙ ЛАЙФХАК С ТРИГОНОМЕТРИЕЙ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #тригонометрияСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля за 30 минутСкачать
Профильный ЕГЭ 2024. Задача 12. Тригонометрические уравнения. 10 классСкачать