Формулы корней уравнения tg x a

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

Видео:Решение уравнений вида tg x = a и ctg x = aСкачать

Арктангенс и решение уравнения tg x=a (продолжение)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы продолжим изучение арктангенса и решение уравнений вида tg x = a для любого а. В начале урока решим уравнение с табличным значением и проиллюстрируем решение на графике, а потом и на круге. Далее решим уравнение tgx = aв общем виде и выведем общую формулу ответа. Проиллюстрируем вычисления на графике и на круге и рассмотрим различные формы ответа. В конце урока решим несколько задач с иллюстрацией решений на графике и на круге.

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№43 - Уравнение tg x=a.)Скачать

Уравнение. Простейшие тригонометрические уравнения tg х = а и ctg х = а.

Любые корни уравнения tg x = a если х указан в радианах находим из соотношения:

или для х в градусах:

где m изменяется по всем целым числам (m = 0, ± 1, ±2, ±3).

Сходным образом все корни уравнения ctg х = а находим из соотношения:

Проанализируем решение простейших тригонометрических уравнений.

1) Найти корни уравнения tg (30° — х) = .

Применив формулу х = arctg а + 180° m, получим:

30° — х = arctg + 180° m = 60° + 180° m.

что можно показать, и таким образом:

Применив формулу х = arcctg a + mπ, получим:

2х = π + mπ = (1 + m)π,

Поскольку m может быть любым произвольным целым числом, то полученный результат можно показать и в более упрошенном виде:

🔍 Видео

Тригонометрические функции, y=tgx и y=ctgx, их свойства и графики. 10 класс.Скачать

10 класс. Решение уравнений tg x =aСкачать

§35 Уравнение tg x = aСкачать

Простейшее тригонометрическое уравнение tg x = a.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Тригонометрическое уравнение tg x=a. Часть 13.9. Алгебра 10 классСкачать

§161 Уравнения вида tg x=aСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

Простейшее тригонометрическое уравнение tgx=aСкачать

Тригонометрические уравнения с помощью окружности. tg x =aСкачать

Уравнение sinx=aСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=cosx. 1 часть. 10 класс.Скачать

КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=AСкачать

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

Решение тригонометрических уравнений (тангенс) . tg x = aСкачать