Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Объяснение и обоснование

  1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Примеры решения задач

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке Формулы для нахождения тригонометрических уравненийфункция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x1 = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x1=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Примеры решения задач

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Вопросы для контроля

  1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
  2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
  3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
  4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

Видео:Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачи

Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Видео:ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИСкачать

ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + pi n, n in Z`

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=pm arccos a + 2pi n, n in Z`

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + pi n, n in Z`

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + pi n, n in Z`

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Видео:Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor online

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Формулы для нахождения тригонометрических уравненийДля косинуса:Формулы для нахождения тригонометрических уравненийДля тангенса и котангенса:Формулы для нахождения тригонометрических уравненийФормулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Формулы для нахождения тригонометрических уравнений

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля за 30 минутСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля за 30 минут

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

  • с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
  • решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+frac pi 6)-3sin(frac pi 3 — x)+1=0`

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

`2cos^2(x+frac pi 6)-3cos(x+frac pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+frac pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+frac pi 6)=1`, `x+frac pi 6=2pi n`, `x_1=-frac pi 6+2pi n`.

2. `cos(x+frac pi 6)=1/2`, `x+frac pi 6=pm arccos 1/2+2pi n`, `x_2=pm frac pi 3-frac pi 6+2pi n`.

Ответ: `x_1=-frac pi 6+2pi n`, `x_2=pm frac pi 3-frac pi 6+2pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

  1. `sin x/2 =0`, `x/2 =pi n`, `x_1=2pi n`.
  2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ pi n`, `x/2=pi/4+ pi n`, `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Ответ: `x_1=2pi n`, `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x ne 0`, получим:

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

  1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+pi n`, `n in Z`
  2. `tg x=1`, `x=arctg 1+pi n`, `x_2=pi/4+pi n`, ` n in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+pi n`, `n in Z`, `x_2=pi/4+pi n`, `n in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

  1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2pi n`, `n in Z`,
  2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2pi n, n in Z`, `x_2=arctg 3/4+2pi n`, `n in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt `:

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `frac a<sqrt >=cos varphi`, ` frac b<sqrt > =sin varphi`, `frac c<sqrt >=C`, тогда:

`cos varphi sin x + sin varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt `, получим:

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos varphi` , `4/5=sin varphi`. Так как `sin varphi>0`, `cos varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos varphi sin x+sin varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`x+varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ pi n`, `n in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ pi n`, `n in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `frac =1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x ne 0`, `cos x ne -1`, ` x ne pi+2pi n, n in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

  1. `sin x=0`, `x=pi n`, `n in Z`
  2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=pi /2+2pi n, n in Z`.

Учитывая, что ` x ne pi+2pi n, n in Z`, решениями будут `x=2pi n, n in Z` и `x=pi /2+2pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x=2pi n`, `n in Z`, `x=pi /2+2pi n`, `n in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Тригонометрические уравнения и преобразования

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

Значения тригонометрических функций некоторых углов

$α$$ 0$$/$$/$$/$$/$$π$
$sinα$$ 0$$ /$$ /$$ /$$ 1$$ 0$
$cosα$$ 1$$ /$$ /$$ /$$ 0$$ -1$
$tgα$$ 0$$ /$$ 1$$ √3$$ -$$ 0$
$ctgα$$ -$$ √3$$ 1$$ /$$ 0$$ -$

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

  1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($/$ и $/$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
  2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.

Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.

$сos(90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Формулы ПриведенияСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Формулы Приведения

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравнений

Тригонометрические тождества

  1. $tgα=/$
  2. $ctgα=/$
  3. $sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Вычислить $sin t$, если $cos t = / ; t ∈(/;2π)$

Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(/;2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус

🎦 Видео

Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Все формулы в Тригонометрии, для Чайников, Урок 6Скачать

Все формулы в Тригонометрии, для Чайников, Урок 6

Тригонометрия в ЕГЭ может быть простойСкачать

Тригонометрия в ЕГЭ может быть простой

Основное тригонометрическое тождество. 9 класс.Скачать

Основное тригонометрическое тождество. 9 класс.

✓ Тригонометрические формулы | Борис ТрушинСкачать

✓ Тригонометрические формулы | Борис Трушин

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функции

Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

СЕКРЕТНЫЙ ЛАЙФХАК С ТРИГОНОМЕТРИЕЙ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #тригонометрияСкачать

СЕКРЕТНЫЙ ЛАЙФХАК С ТРИГОНОМЕТРИЕЙ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #тригонометрия

ЕГЭ №9. Тригонометрические выражения.Тригонометрические уравнения | Математика | TutorOnlineСкачать

ЕГЭ №9.  Тригонометрические выражения.Тригонометрические уравнения | Математика | TutorOnline

ДВОЙНЫЕ УГЛЫ И ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ 😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

ДВОЙНЫЕ УГЛЫ И ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ 😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

Формулы приведения с нуля за 15 минут!Скачать

Формулы приведения с нуля за 15 минут!

Тригонометрические уравнения | Борис ТрушинСкачать

Тригонометрические уравнения | Борис Трушин
Поделиться или сохранить к себе: