Формула пуассона решения задачи дирихле для уравнения лапласа в круге

и граничному условию

где окружность С_го — граница круга K_ro, a f — заданная на ней непрерывно дифференцируемая функция.

Запишем уравнение (8.1) в полярных координатах:

1 д / ди 1 д 2 г

Будем искать частные решения этого уравнения в виде и(т, r

Заметим, что u(r, 2 . Если А = 0, то из (8.5) следует

— (г—— )=0, R(r) = ед In г + С2, (8.7)

Видео:6.2 Решение задач для уравнения Лапласа в круге, вне круга и в кольцеСкачать

где с и С2 — постоянные. Поскольку и(г, р) непрерывна в замкнутом круге и, следовательно, ограничена, a In г —> оо при г 0, то с.[ = 0. При А = п 2 0 решение уравнения (8.5) ищем в виде R — r k , см. [1] или [28]. Подставляя эту функцию в уравнение и сокращая на r k , найдем к 2 = п 2 , или к = ±п (п > 0) и, следовательно, R(r) = сг

п + С2Г П , где с и — постоянные. Опять следует положить с = 0, так как R(r) непрерывна внутри круга. Итак, найдены частные решения

Замечание. Гармоническая функция и_п(г,р) являетея однородным многочленом степени п относительно декартовых координат х, у, так как согласно формуле Муавра

r n (cos р + г sin р) п = r n (cos пр + г sin пр),

т. е. r n cos пр = Re(o? + iy) n , r n sin p = Im(a? + iy) n (здесь i 2 = -l, [17]).

Полиномы вида P_n(x,y) = a„Re(x + iy) n + 6₇₎Im(x + iy) n называются однородными гармоническими многочленами.

Решение задачи (8.1)-(8.2) будем искать в виде

4 Э. Р. Розендорн, Е.С. Соболева, Г. М. Фатеева

Для определения коэффициентов а_п и Ь_п воспользуемся условием (8.2):

Видео:Уравнения математической физики 15+16 Задача Дирихле для уравнения Лапласа - Пуассона в кругеСкачать

считая, что f задана как функция угла р. Тогда из разложения /( 27Г

При предположениях, сделанных относительно функции /( г/vq 2 Г f 1 +°° / г п )

= — /(V9 й + У? ( — ) ( cos n V ; cos n

1 2 / Г 1 +°° 7 Г П 1

= — /ОЖ й + 12 ( — ) С08? Ф -V0 (8.И)

Используя следствие из формулы Эйлера: cos а = ^(е г(Х + е га ), и формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 52 с 1 п =

, |q| n cos па = | | ? t n (e““ + е — ““) =

to 1 1 -1 2
2 ‘ 1 — te ta 1 — te

ta / 2 1 — 21 cos a +t 2

Видео:Задача Дирихле для круга. Уравнение ЛапласаСкачать

Подставляя (8.12) при t = r/r^, а = г ф в (8.11), получим

Ж) _{2 9} 0 .—- 8 — 13 >

J г 2 — 2гог cos( Tq

Полученная формула (8.13), дающая решение задачи Дирихле в круге А’_го, носит название интеграла Пуассона.

Замечание 1. Положим в (8.13) г = 0. Тогда будем иметь

т. е. значение гармонической функции в центре круга равно ее среднему значению на окружности.

Замечание 2. Как следует из формул (8.8)—(8.10) и (8.13), внутри круга г vq гармоническая функция является аналитической функцией.

Замечание 3. Аналогично можно рассмотреть решение внешней задачи Дирихле для круга, т. е. найти непрерывную вне круга К_го и на его границе функцию и, удовлетворяющую уравнению (8.1) вне этого круга, ограниченную на бесконечности и удовлетворяющую условию (8.2) на границе круга. Функции Ф( ) определяются теми же формулами, что и выше, a R = сг

п при п > 0, либо 7?.(г) = С2 при п = 0. Поэтому вместо (8.8) решение будет определяться формулой

Видео:Методы математической физики. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. 19.05.21 Фролова Е.В.Скачать

где постоянные а_п, Ъ_п являются в силу (8.9) коэффициентами Фурье функции /( Г 0

Z7T J — ZrrQ COS( Zq

Решение задачи Дирихле для круга методом разделении переменных

На плоскости R 2 с координатами х, у рассмотрим круг Q радиуса R, описанный вокруг начала координат О. Граница круга — окружность где g(P) — заданная функция на окружности Г. Требуется найти решение HeC 2 (Q)nC(o).

Г = 8Q (см. рис 12.2). Для круга сформулируем внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа:

В полярных координатах р, , , отделяя функции, зависящие

от р и функции зависящие от (р, тогда

Выражение слева зависит только от р, а выражение справа — только от (р, поэтому равенство имеет место тогда и только тогда, когда эти выражения являются постоянными величинами, то сеть

где р — постоянная разделения.

Видео:OTAROVA JAMILA МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕСкачать

В результате получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Рассмотрим случай, когда р* 0. Общие решения уравнений (12.18) определяются формулами

Рассмотрим случай, когда ц = 0. Уравнения (12.18) примут вид

Запишем общие решения этих уравнений:

После подстановки функций (12.19), (12.20) в (12.17) получим частные решения уравнения Лапласа в полярных координатах:

По смыслу задачи (12.15), (12.16) решение и должно быть периодическим по углу (р с периодом 2л — , то есть и(р, ). Условие периодичности для функций (12.21) будет выполнено, если Д, = 0, // = п = 1,2.

В результате получим последовательность частных периодических решений уравнения (12.15):

Образуем общее решение уравнения (12.15) в виде линейной комбинации частных решений (12.22):

По смыслу задачи решение и должно быть ограниченным в центре круга р = 0. В связи с этим необходимо положить С₀ = 0, D_n = 0.

Видео:Уравнение Лапласа. Задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне кругаСкачать

🌟 Видео

ММФ. Фролова Е.В. Лекция 14. §23 Задача Дирихле для ур-я Лапласа в круге. §24.1 Полиномы Лежандра.Скачать

7.2 Задача 1. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать

Практическое занятие. Численное решение уравнений Лапласа и ПуассонаСкачать

9. Уравнение ПуассонаСкачать

Формула ПуассонаСкачать

7.3 Задача 2. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать

Лекция №5 по УМФ. Задача Дирихле для ур-ия Лапласа в круге. Константинов Р. В.Скачать

Задача Дирихле для шараСкачать

Краевая задача для уравнений Лапласа и Пуассона на R^2Скачать

7.6 Задача 5. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце и сектореСкачать

15. Решение уравнения теплопроводности в кругеСкачать

Уравнение Пуассона и задача ДирихлеСкачать