Формула №1:
—b ± √D
x = ————, где D = b 2 – 4ac.
2a
Латинской буквой D обозначают дискриминант.
Дискриминант — это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.
Если D 0, то уравнение имеет два корня.
Пример . Решим уравнение 12x 2 + 7x + 1 = 0.
Сначала вычислим дискриминант.
D = b 2 – 4ac = 7 2 – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.
D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.
Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:
Находим оба значения x:
Формула №2.
Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:
—k ± √D1
x = ————, где D1 = k 2 – ac
a
Пример . Решим уравнение 5x 2 – 16x + 3 = 0.
Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8, a = 5, c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D1:
Теперь находим оба значения x:
При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.
Как найти дискриминант квадратного уравнения
О чем эта статья:
Понятие квадратного уравнения
Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Например, х + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную х.
Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим:
13 = 12 — противоречие.
Значит, х = 5 не является корнем уравнения.
Если же х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим:
12 = 12 — верное равенство.
Значит, х = 4 является корнем уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Если все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, то уравнение называется полным.
Такое уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.
Понятие дискриминанта
Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b 2 − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.
Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.
Как решать квадратные уравнения через дискриминант
Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.
Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.
Если дискриминант D 0, то у уравнения две корня, равные
Чтобы запомнить алгоритм решения полных квадратных уравнений и с легкостью его использовать, сохраните себе шпаргалку:
Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта
Пример 1. Решить уравнение: 3x 2 — 4x + 2 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.
Ответ: D 2 — 6x + 9 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.
D = 0, значит уравнение имеет один корень:
Ответ: корень уравнения 3.
Пример 3. Решить уравнение: x 2 — 4x — 5 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
D > 0, значит уравнение имеет два корня:
Ответ: два корня x1 = 5, x2 = -1.
Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.
Дискриминант квадратного уравнения
Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.
| Вид уравнения | Формула корней | Формула дискриминанта |
|---|---|---|
| ax 2 + bx + c = 0 |  | b 2 — 4ac |
| ax 2 + 2kx + c = 0 |  | k 2 — ac |
| x 2 + px + q = 0 |  |  |
 | p 2 — 4q |
Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:
| Вид уравнения | Формула |
|---|---|
| ax 2 + bx + c = 0 |  , где D = b 2 — 4ac |
| ax 2 + 2kx + c = 0 |  , где D = k 2 — ac |
| x 2 + px + q = 0 |  , где D = |
 , где D = p 2 — 4q |
Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:
- Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
- Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
- Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.
Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:
так как она относится к формуле:
,
которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.
Решение квадратных уравнений через дискриминант
Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.
Пример 1. Решить уравнение:
Определим, чему равны коэффициенты:
D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8,
Определим, чему равны коэффициенты:
D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0,
Уравнение имеет всего один корень:
Определим, чему равны коэффициенты:
D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36,