Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

Видео:Формула Стокса, ротор и его физический смыслСкачать

Формула Стокса, ротор и его физический смысл

Уравнение Навье-Стокса и симуляция жидкостей на CUDA

Привет, Хабр. В этой статье мы разберемся с уравнением Навье-Стокса для несжимаемой жидкости, численно его решим и сделаем красивую симуляцию, работающую за счет параллельного вычисления на CUDA. Основная цель — показать, как можно применить математику, лежащую в основе уравнения, на практике при решении задачи моделирования жидкостей и газов.

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

Видео:ЧК_МИФ: 4.1.1.ДФ_1 Физический смысл уравнений МаксвеллаСкачать

ЧК_МИФ: 4.1.1.ДФ_1 Физический смысл уравнений  Максвелла

Уравнение Навье-Стокса для несжимаемой жидкости

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

Я думаю каждый хоть раз слышал об этом уравнении, некоторые, быть может, даже аналитически решали его частные случаи, но в общем виде эта задачи остается неразрешенной до сих пор. Само собой, мы не ставим в этой статье цель решить задачу тысячелетия, однако итеративный метод применить к ней мы все же можем. Но для начала, давайте разберемся с обозначениями в этой формуле.

Условно уравнение Навье-Стокса можно разделить на пять частей:

  • Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— обозначает скорость изменения скорости жидкости в точке (его мы и будем считать для каждой частицы в нашей симуляции).
  • Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— перемещение жидкости в пространстве.
  • Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— давление, оказываемое на частицу (здесь Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— коэффициент плотности жидкости).
  • Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— вязкость среды (чем она больше, тем сильнее жидкость сопротивляется силе, применяемой к ее части), Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— коэффициент вязкости).
  • Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— внешние силы, которые мы применяем к жидкости (в нашем случае сила будет играть вполне конкретную роль — она будет отражать действия, совершаемые пользователем.

Также, так как мы будем рассматривать случай несжимаемой и однородной жидкости, мы имеем еще одно уравнение: Физический смысл величин входящих в уравнение стокса. Энергия в среде постоянна, никуда не уходит, ниоткуда не приходит.

Будет неправильно обделить всех читателей, которые не знакомы с векторным анализом, поэтому заодно и бегло пройдемся по всем операторам, присутствующим в уравнении (однако, настоятельно рекомендую вспомнить, что такое производная, дифференциал и вектор, так как они лежат в основе всего того, о чем пойдет речь ниже).

Начнем мы с с оператора набла, представляющего из себя вот такой вектор (в нашем случае он будет двухкомпонентным, так как жидкость мы будет моделировать в двумерном пространстве):

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

Оператор набла представляет из себя векторный дифференциальный оператор и может быть применен как к скалярной функции, так и к векторной. В случае скаляра мы получаем градиент функции (вектор ее частных производных), а в случае вектора — сумму частых производных по осям. Главная особенность данного оператора в том, что через него можно выразить основные операции векторного анализа — grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор) и Физический смысл величин входящих в уравнение стокса(оператор Лапласа). Стоит сразу же отметить, что выражение Физический смысл величин входящих в уравнение стоксане равносильно Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— оператор набла не обладает коммутативностью.

Как мы увидим далее, эти выражения заметно упрощаются при переходе на дискретное пространство, в котором мы и будем проводить все вычисления, так что не пугайтесь, если на данный момент вам не очень понятно, что же со всем этим делать. Разбив задачу на несколько частей, мы последовательно решим каждую из них и представим все это в виде последовательного применения нескольких функций к нашей среде.

Видео:Вязкость. Ламинарное и турбулентное течения жидкостей. 10 класс.Скачать

Вязкость. Ламинарное и турбулентное течения жидкостей. 10 класс.

Численное решение уравнения Навье-Стокса

Чтобы представить нашу жидкость в программе, нам необходимо получить математическую репрезентацию состояния каждой частицы жидкости в произвольный момент времени. Самый удобный для этого метод — создать векторное поле частиц, хранящее их состояние, в виде координатной плоскости:

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

В каждой ячейке нашего двумерного массива мы будем хранить скорость частицы в момент времени Физический смысл величин входящих в уравнение стокса, а расстояние между частицами обозначим за Физический смысл величин входящих в уравнение стоксаи Физический смысл величин входящих в уравнение стоксасоответственно. В коде же нам будет достаточно изменять значение скорости каждую итерацию, решая набор из нескольких уравнений.

Теперь выразим градиент, дивергенцию и оператор Лапласа с учетом нашей координатной сетки ( Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— индексы в массиве, Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— взятие соответствующих компонентов у вектора):

ОператорОпределениеДискретный аналог
gradФизический смысл величин входящих в уравнение стоксаФизический смысл величин входящих в уравнение стокса
divФизический смысл величин входящих в уравнение стокса Физический смысл величин входящих в уравнение стокса
Физический смысл величин входящих в уравнение стоксаФизический смысл величин входящих в уравнение стоксаФизический смысл величин входящих в уравнение стокса
rotФизический смысл величин входящих в уравнение стоксаФизический смысл величин входящих в уравнение стокса

Мы можем еще сильнее упростить дискретные формулы векторных операторов, если положим, что Физический смысл величин входящих в уравнение стокса. Данное допущение не будет сильно сказываться на точности алгоритма, однако уменьшает количество операций на каждую итерацию, да и в целом делает выражения приятней взгляду.

Перемещение частиц

Данные утверждения работают только в том случае, если мы можем найти ближайшие частицы относительно рассматриваемой на данный момент. Чтобы свести на нет все возможные издержки, связанные с поиском таковых, мы будет отслеживать не их перемещение, а то, откуда приходят частицы в начале итерации путем проекции траектории движения назад во времени (проще говоря, вычитать вектор скорости, помноженный на изменение времени, из текущей позиции). Используя этот прием для каждого элемента массива, мы будем точно уверены, что у любой частицы будут «соседи»:

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

Положив, что Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— элемент массива, хранящий состояния частицы, получаем следующую формулу для вычисления ее состояния через время Физический смысл величин входящих в уравнение стокса(мы полагаем, что все необходимые параметры в виде ускорения и давления уже рассчитаны):

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

Заметим сразу же, что при достаточно малом Физический смысл величин входящих в уравнение стоксаи скорости мы можем так и не выйти за пределы ячейки, поэтому очень важно правильно подобрать ту силу импульса, которую пользователь будет придавать частицам.

Чтобы избежать потери точности в случае попадания проекции на границу клеток или в случае получения нецелых координат, мы будем проводить билинейную интерполяцию состояний четырех ближайших частиц и брать ее за истинное значение в точке. В принципе, такой метод практически не уменьшит точность симуляции, и вместе с тем он достаточно прост в реализации, так что его и будем использовать.

Вязкость

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

. В таком случае итеративное уравнение для скорости примет следующий вид:

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

Мы несколько преобразуем данное равенство, приведя его к виду Физический смысл величин входящих в уравнение стокса(стандартный вид системы линейных уравнений):

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

где Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— единичная матрица. Такие преобразования нам необходимы, чтобы в последствии применить метод Якоби для решения нескольких схожих систем уравнений. Его мы также обсудим в дальнейшем.

Внешние силы

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

Импульс-вектор легко посчитать как разность между предыдущей позицией мыши и текущей (если такая имелась), и здесь как раз-таки можно проявить креативность. Именно в этой части алгоритма мы можем внедрить добавление цветов в жидкость, ее подсветку и т.п. К внешним силам также можно отнести гравитацию и температуру, и хоть реализовать такие параметры несложно, в данной статье рассматривать их мы не будем.

Давление

Давление в уравнении Навье-Стокса — та сила, которая препятствует частицам заполнять все доступное им пространство после применения к ним какой-либо внешней силы. Сходу его расчет весьма затруднителен, однако нашу задачу можно значительно упростить, применив теорему разложения Гельмгольца.

Назовем Физический смысл величин входящих в уравнение стоксавекторное поле, полученное после расчета перемещения, внешних сил и вязкости. Оно будет иметь ненулевую дивергенцию, что противоречит условию несжимаемости жидкости (Физический смысл величин входящих в уравнение стокса), и чтобы это исправить, необходимо рассчитать давление. Согласно теореме разложения Гельмгольца, Физический смысл величин входящих в уравнение стоксаможно представить как сумму двух полей:

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

где Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— и есть искомое нами векторное поле с нулевой дивергенцией. Доказательство этого равенства в данной статье приводиться не будет, однако в конце вы сможете найти ссылку с подробным объяснением. Мы же можем применить оператор набла к обоим частям выражения, чтобы получить следующую формулу для расчета скалярного поля давления:

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

Записанное выше выражение представляет из себя уравнение Пуассона для давления. Его мы также можем решить вышеупомянутым методом Якоби, и тем самым найти последнюю неизвестную переменную в уравнении Навье-Стокса. В принципе, системы линейных уравнений можно решать самыми разными и изощренными способами, но мы все же остановимся на самом простом из них, чтобы еще больше не нагружать данную статью.

Граничные и начальные условия

Любое дифференциальное уравнение, моделируемое на конечной области, требует правильно заданных начальных или граничных условий, иначе мы с очень большой вероятностью получим физически неверный результат. Граничные условия устанавливаются для контролирования поведения жидкости близ краев координатной сетки, а начальные условия задают параметры, которые имеют частицы в момент запуска программы.

Начальные условия будут весьма простыми — изначально жидкость неподвижна (скорость частиц равна нулю), и давление также равно нулю. Граничные условия будут задаваться для скорости и давления приведенными формулами:

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

Тем самым, скорость частиц на краях будет противоположна скорости у краев (тем самым они будут отталкиваться от края), а давление равно значению непосредственно рядом с границей. Данные операции следует применить ко всем ограничивающим элементам массива (к примеру, есть размер сетки Физический смысл величин входящих в уравнение стокса, то алгоритм мы применим для клеток, отмеченных на рисунке синим):

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

Краситель

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

В формуле Физический смысл величин входящих в уравнение стоксаотвечает за пополнение красителем области (возможно, в зависимости от того, куда нажмет пользователь), Физический смысл величин входящих в уравнение стоксанепосредственно является количество красителя в точке, а Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— коэффициент диффузии. Решить его не составляет большого труда, так как вся основная работа по выводу формул уже проведена, и достаточно лишь сделает несколько подстановок. Краску можно реализовать в коде как цвет в формате RGB, и в таком случае задача сводится к операциям с несколькими вещественными величинами.

Завихренность

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

Физический смысл величин входящих в уравнение стоксаесть результат применения ротора к вектору скорости (его определение дано в начале статьи), Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— градиент скалярного поля абсолютных значений Физический смысл величин входящих в уравнение стокса. Физический смысл величин входящих в уравнение стоксапредставляет нормализованный вектор Физический смысл величин входящих в уравнение стокса, а Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— константа, контролирующая, насколько большими будут завихренности в нашей жидкости.

Метод Якоби для решения систем линейных уравнений

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

Для нас Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— элементы массива, представляющие скалярное или векторное поле. Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— номер итерации, его мы можем регулировать, чтобы как увеличить точность расчета или наоборот уменьшить, и повысить производительность.

Для расчет вязкости подставляем: Физический смысл величин входящих в уравнение стокса, Физический смысл величин входящих в уравнение стокса, Физический смысл величин входящих в уравнение стокса, здесь параметр Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— сумма весов. Таким образом, нам необходимо хранить как минимум два векторных поля скоростей, чтобы независимо считать значения одного поля и записывать их в другое. В среднем, для расчета поля скорости методом Якоби необходимо провести 20-50 итераций, что весьма много, если бы мы выполняли вычисления на CPU.

Для уравнения давления мы сделаем следующую подстановку: Физический смысл величин входящих в уравнение стокса, Физический смысл величин входящих в уравнение стокса, Физический смысл величин входящих в уравнение стокса, Физический смысл величин входящих в уравнение стокса. В результате мы получим значение Физический смысл величин входящих в уравнение стоксав точке. Но так как оно используется только для расчета градиента, вычитаемого из поля скорости, дополнительные преобразования можно не выполнять. Для поля давления лучше всего выполнять 40-80 итераций, потому что при меньших числах расхождение становится заметным.

Видео:Опыт по физике. Метод СтоксаСкачать

Опыт по физике. Метод Стокса

Реализация алгоритма

Реализовывать алгоритм мы будем на C++, также нам потребуется Cuda Toolkit (как его установить вы можете прочитать на сайте Nvidia), а также SFML. CUDA нам потребуется для распараллеливания алгоритма, а SFML будет использоваться только для создания окна и отображения картинки на экране (В принципе, это вполне можно написать на OpenGL, но разница в производительности будет несущественна, а вот код увеличится еще строк на 200).

Cuda Toolkit

Сначала мы немного поговорим о том, как использовать Cuda Toolkit для распараллеливания задач. Более подробный гайд предоставляется самой Nvidia, поэтому здесь мы ограничимся только самым необходимым. Также предполагается, что вы смогли установить компилятор, и у вас получилось собрать тестовый проект без ошибок.

Чтобы создать функцию, исполняющуюся на GPU, для начала необходимо объявить, сколько ядер мы хотим использовать, и сколько блоков ядер нужно выделить. Для этого Cuda Toolkit предоставляет нам специальную структуру — dim3, по умолчанию устанавливающую все свои значения x, y, z равными 1. Указывая ее как аргумент при вызове функции, мы можем управлять количеством выделяемых ядер. Так как работаем мы с двумерным массивом, то в конструкторе необходимо установить только два поля: x и y:

где size_x и size_y — размер обрабатываемого массива. Сигнатура и вызов функции выглядят следующим образом (тройные угловые скобки обрабатываются компилятором Cuda):

В самой функции можно восстановить индексы двумерного массива через номер блока и номер ядра в этом блоке по следующей формуле:

Следует отметить, что функция, исполняемая на видеокарте, должна быть обязательно помечена тегом __global__ , а также возвращать void, поэтому чаще всего результаты вычислений записываются в передаваемый как аргумент и заранее выделенный в памяти видеокарты массив.

За освобождение и выделение памяти на видеокарте отвечают функции CudaMalloc и CudaFree. Мы можем оперировать указателями на область памяти, которые они возвращают, но получить доступ к данным из основного кода не можем. Самый простой способ вернуть результаты вычислений — воспользоваться cudaMemcpy, схожей со стандартным memcpy, но умеющей копировать данные с видеокарты в основную память и наоборот.

SFML и рендер окна

Вооружившись всеми этими знаниями, мы наконец можем перейти к непосредственному написанию кода. Для начала давайте создадим файл main.cpp и разместим туда весь вспомогательный код для рендера окна:

строка в начале функции main

создает изображение формата RGBA в виде одномерного массива с константной длиной. Его мы будем передавать вместе с другими параметрами (позиция мыши, разница между кадрами) в функцию computeField. Последняя, как и несколько других функций, объявлены в kernel.cu и вызывают код, исполняемый на GPU. Документацию по любой из функций вы можете найти на сайте SFML, в коде файла не происходит ничего сверхинтересного, поэтому мы не будем надолго на нем останавливаться.

Вычисления на GPU

Чтобы начать писать код под gpu, для начала создадим файл kernel.cu и определим в нем несколько вспомогательных классов: Color3f, Vec2, Config, SystemConfig:

Атрибут __host__ перед именем метода означает, что код может исполнятся на CPU, __device__ , наоборот, обязует компилятор собирать код под GPU. В коде объявляются примитивы для работы с двухкомпонентными векторами, цветом, конфиги с параметрами, которые можно менять в рантайме, а также несколько статических указателей на массивы, которые мы будем использовать как буферы для вычислений.

cudaInit и cudaExit также определяеются достаточно тривиально:

В функции инициализации мы выделяем память под двумерные массивы, задаем массив цветов, которые мы будем использовать для раскраски жидкости, а также устанавливаем в конфиг значения по умолчанию. В cudaExit мы просто освобождаем все буферы. Как бы это парадоксально не звучало, для хранения двумерных массивов выгоднее всего использовать одномерные, обращение к которым будет осуществляться таким выражением:

Начнем реализацию непосредственного алгоритма с функции перемещения частиц. В advect передаются поля oldField и newField (то поле, откуда берутся данные и то, куда они записываются), размер массива, а также дельта времени и коэффициент плотности (используется для того, чтобы ускорить растворение красителя в жидкости и сделать среду не сильно чувствительной к действиям пользователя). Функция билинейной интерполяции реализована классическим образом через вычисление промежуточных значений:

Функцию диффузии вязкости было решено разделить на несколько частей: из главного кода вызывается computeDiffusion, которая вызывает diffuse и computeColor заранее указанное число раз, а затем меняет местами массив, откуда мы берем данные, и тот, куда мы их записываем. Это самый простой способ реализовать параллельную обработку данных, но мы расходует в два раза больше памяти.

Обе функции вызывают вариации метода Якоби. В теле jacobiColor и jacobiVelocity сразу же идет проверка, что текущие элементы не находятся на границе — в этом случае мы должны установить их в соответствии с формулами, изложенными в разделе Граничные и начальные условия.

Применение внешней силы реализовано через единственную функцию — applyForce, принимающую как аргументы позицию мыши, цвет красителя, а также радиус действия. С ее помощью мы можем придать скорость частицам, а также красить их. братная экспонента позволяет сделать область не слишком резкой, и при этом достаточно четкой в указанном радиусе.

Расчет завихренности представляет из себя уже более сложный процесс, поэтому его мы реализуем в computeVorticity и applyVorticity, заметим также, что для них необходимо определить два таких векторных оператора, как curl (ротор) и absGradient (градиент абсолютных значений поля). Чтобы задать дополнительные эффекты вихря, мы умножаем Физический смысл величин входящих в уравнение стоксакомпоненту вектора градиента на Физический смысл величин входящих в уравнение стокса, а затем нормализируем его, разделив на длину (не забыв при этом проверить, что вектор ненулевой):

Следующим этапом алгоритма будет вычисление скалярного поля давления и его проекция на поле скорости. Для этого нам потребуется реализовать 4 функции: divergency, которая будет считать дивергенцию скорости, jacobiPressure, реализующую метод Якоби для давления, и computePressure c computePressureImpl, проводящие итеративные вычисления поля:

Проекция умещается в две небольшие функции — project и вызываемой ей gradient для давления. Это, можно сказать, последний этап нашего алгоритма симуляции:

После проекции мы смело можем перейти к отрисовке изображения в буфер и различным пост-эффектам. В функции paint выполняется копирование цветов из поля частиц в массив RGBA. Также была реализована функция applyBloom, которая подсвечивает жидкость, когда на нее наведен курсор и нажата клавиша мыши. Из опыта, такой прием делает картину более приятной и интересной для глаз пользователя, но он вовсе не обязателен.

В постобработке также можно подсвечивать места, в которых жидкость имеет наибольшую скорость, менять цвет в зависимости от вектора движения, добавлять различные эффекты и прочее, но в нашем случае мы ограничимся своеобразным минимумом, ведь даже с ним изображения получаются весьма завораживающими (особенно в динамике):

И под конец у нас осталась одна главная функция, которую мы вызываем из main.cppcomputeField. Она сцепляет воедино все кусочки алгоритма, вызывая код на видеокарте, а также копирует данные с gpu на cpu. В ней же находится и расчет вектора импульса и выбор цвета красителя, которые мы передаем в applyForce:

Видео:Движение тел в жидкостях и газах. Лобовое сопротивление и подъемная сила. Формула Стокса. 10 класс.Скачать

Движение тел в жидкостях и газах. Лобовое сопротивление и подъемная сила. Формула Стокса. 10 класс.

Заключение

В этой статье мы разобрали численный алгоритм решения уравнения Навье-Стокса и написали небольшую программу-симуляцию для несжимаемой жидкости. Быть может мы и не разобрались во всех тонкостях, но я надеюсь, что материал оказался для вас интересным и полезным, и как минимум послужил хорошим введением в область моделирования жидкостей.

Как автор данной статьи, я буду искренне признателен любым комментариям и дополнениям, и постараюсь ответить на все возникшие у вас вопросы под этим постом.

Дополнительный материал

Весь исходный код, приведенный в данной статье, вы можете найти в моем Github-репозитории. Любые предложения по улучшению приветствуются.

Оригинальный материал, послуживший основой для данной статьи, вы можете прочесть на официальном сайте Nvidia (англ). В нем также представлены примеры реализации частей алгоритма на языке шейдеров:
developer.download.nvidia.com/books/HTML/gpugems/gpugems_ch38.html

Доказательство теоремы разложения Гельмгольца и огромное количество дополнительного материала про механику жидкостей можно найти в данной книге (англ, см. раздел 1.2):
Chorin, A.J., and J.E. Marsden. 1993. A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. 3rd ed. Springer.

Канал одного англоязычного ютубера, делающего качественный контент, связанной с математикой, и решением дифференциальных уравнений в частности (англ). Очень наглядные ролики, помогающие понять суть многих вещей в математике и физике:
3Blue1Brown — YouTube
Differential Equations (3Blue1Brown)

Также выражаю благодарность WhiteBlackGoose за помощь в подготовке материала для статьи.

И под конец небольшой бонус — несколько красивых скриншотов, снятых в программе:

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса
Прямой поток (дефолтные настройки)

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса
Водоворот (большой радиус в applyForce)

Физический смысл величин входящих в уравнение стокса
Волна (высокая завихренность + диффузия)

Также по многочисленным просьбам добавил видео с работой симуляции:

Видео:Определение коэффициента вязкости жидкости. Проверка закона СтоксаСкачать

Определение коэффициента вязкости жидкости. Проверка закона Стокса
  • В книжной версии

    Том 21. Москва, 2012, стр. 650

    Скопировать библиографическую ссылку:

    • Физический смысл величин входящих в уравнение стокса
    • Физический смысл величин входящих в уравнение стокса
    • Физический смысл величин входящих в уравнение стокса
    • Физический смысл величин входящих в уравнение стокса
    • Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

    НАВЬЕ́ – СТ О́КСА УРАВНЕ́НИЯ, диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния дви­же­ния сплош­ной сре­ды (жид­ко­сти или га­за), учи­ты­ваю­щие её вяз­кость. Вы­ве­де­ны Л. На­вье в 1822 (опубл. в 1827) на ос­но­ве уп­ро­щён­ной мо­де­ли мо­ле­ку­ляр­ных взаи­мо­дей­ствий. В 1845 Дж. Стокс в ре­зуль­та­те изу­че­ния ста­цио­нар­но­го дви­же­ния не­сжи­мае­мой жид­ко­сти по­лу­чил эти урав­не­ния в совр. фор­ме с ис­поль­зо­ва­ни­ем за­ко­нов со­хра­не­ния мас­сы и им­пуль­са для сплош­ной сре­ды.

    Видео:Туннель сквозь Землю? | Теорема Остроградского-Гаусса и её физический смыслСкачать

    Туннель сквозь Землю? | Теорема Остроградского-Гаусса и её физический смысл

    Вопрос № 36. Что такое уравнение Навье – Стокса?

    Уравнения Навье — Стокса – это уравнения движения линейно-вязкой жидкости.

    ρ( Физический смысл величин входящих в уравнение стокса) = ρFi Физический смысл величин входящих в уравнение стокса+ (λ+ μ) Физический смысл величин входящих в уравнение стокса( Физический смысл величин входящих в уравнение стокса)+ μ Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

    ρ( Физический смысл величин входящих в уравнение стокса) = ρF − grad p+ (λ+ μ) grad ( Физический смысл величин входящих в уравнение стокса)+ μ Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

    Вопрос № 37. Написать уравнение Навье — Стокса в проекции на ось у в раскрытом виде.

    ρ( Физический смысл величин входящих в уравнение стокса+ 𝝊x Физический смысл величин входящих в уравнение стокса+ 𝝊y Физический смысл величин входящих в уравнение стокса+ 𝝊z Физический смысл величин входящих в уравнение стокса) = ρFy Физический смысл величин входящих в уравнение стокса+ (λ+ μ) Физический смысл величин входящих в уравнение стокса( Физический смысл величин входящих в уравнение стокса+ Физический смысл величин входящих в уравнение стокса+ Физический смысл величин входящих в уравнение стокса)+ μ ( Физический смысл величин входящих в уравнение стокса+ Физический смысл величин входящих в уравнение стокса+ Физический смысл величин входящих в уравнение стокса)

    Вопрос № 38. Написать граничные условия на поверхности твёрдого тела в вязкой жидкости. Как они называются?

    Граничные условия на поверхности твердого тела в вязкой жидкости называются условиями прилипания. Они гласят, что скорость жидкости в любой точке на поверхности твердого тела равна скорости соответствующей точки тела: Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

    Если тело неподвижно, то граничное условие таково: Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

    Вопрос № 39. Формула Гаусса – Остроградского.

    Формула Гаусса-Остроградского дает преобразование интеграла по замкнутой поверхности Е в интеграл по объему V, ограниченного этой поверхностью

    P, Q, R –произвольные дифференцируемые функции координат

    nx=n*cos(n;x) ; nx=n*cos(n;x) ; nx=n*cos(n;x) – ( Физический смысл величин входящих в уравнение стокса=1) компоненты нормали к поверхности Е

    Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

    Если Физический смысл величин входящих в уравнение стокса, то (формула Г – О после преобразований):

    Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

    Вопрос № 40. Что такое оператор Лапласа?

    Оператор Лапласа от функции Физический смысл величин входящих в уравнение стоксав декартовых координатах есть сумма вторых частных производных от Физический смысл величин входящих в уравнение стоксавида Физический смысл величин входящих в уравнение стоксаФизический смысл величин входящих в уравнение стокса

    Вопрос № 41. Написать дифференциальные уравнения движения сплошной среды в проекции на ось Физический смысл величин входящих в уравнение стокса.

    ρ( Физический смысл величин входящих в уравнение стокса+ 𝝊x Физический смысл величин входящих в уравнение стокса+ 𝝊y Физический смысл величин входящих в уравнение стокса+ 𝝊z Физический смысл величин входящих в уравнение стокса) = ρFx + Физический смысл величин входящих в уравнение стокса+ Физический смысл величин входящих в уравнение стокса+ Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

    Вопрос № 42. Физический смысл компонент вектора потока тепла.

    Компонента qi равна количеству тепла, кот.в процессе теплопроводности проходит через площадку, перпендикулярную оси хi в единицу времени в расчете на единицу площади

    Вопрос № 43. Полная система уравнений идеальной сжимаемой жидкости.

    Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

    Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— уравнение состояния,

    Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— калорическое уравнение состояния.

    Первые 4 уравнения (1-ур.неразрывности,2-ур.Эйлера(движения),3-ур.притока тепла,4-ур.2з-на термодинамики) для любой жидкости и газа, последние 2 уравнения – определяют конкретную среду.

    Вопрос № 44. Что такое потенциальное движение?

    Движение называется потенциальным, если существует такая функция 𝜑, называемая потенциалом скорости, что ῡ = grad(𝜑), т.е. ῡх = Физический смысл величин входящих в уравнение стокса, ῡy = Физический смысл величин входящих в уравнение стокса, ῡz = Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

    Вопрос № 45. Что такое внутренняя энергия сплошной среды?

    Вопрос № 47. Что такое потенциал скорости?

    Скалярная функция (𝜑) пространственных координат и времени, градиент которой равен вектору скорости V среды: ῡ = grad(𝜑).

    Вопрос № 48. Что такое девиатор тензора скоростей деформаций?

    тензор, определяющий часть тензора скорости деформации, не связанную с изменением объёма. Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

    Вопрос № 49. Закон Фурье для теплопроводности в изотропной жидкости.

    q= -k gradT. На координатные оси: qi = -k Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

    Вопрос № 50. Из какого закона выводится свойство симметрии тензора напряжений?

    Из Закона Сохранения Момента Количества Движения

    Вопрос № 51. Механический смысл первого инварианта тензора скоростей деформаций.

    Т.к. он равен Физический смысл величин входящих в уравнение стокса,то мех.смысл divV -скорость относительного изменения объема в малой окрестности точки, в которой вычисляется дивергенция скорости.

    Вопрос № 52. Система уравнений газовой динамики.

    1) Уравнение неразрывности Физический смысл величин входящих в уравнение стокса;2) Уравнение Эйлера Физический смысл величин входящих в уравнение стокса;3) Условие адиабатичности Физический смысл величин входящих в уравнение стокса.

    Вопрос № 53. Формула Коши для вектора напряжений с пояснением всех входящих величин.

    формула Коши для вектора моментных напряжений Физический смысл величин входящих в уравнение стокса: Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

    Здесь Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— векторы моментных напряжений, действующие на площадках, перпендикулярных координатным осям Физический смысл величин входящих в уравнение стокса, Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— компоненты нормали к той площадке, где действует Физический смысл величин входящих в уравнение стокса.

    Вопрос № 54. Что такое коэффициенты вязкости?

    Физический смысл величин входящих в уравнение стокса, где Физический смысл величин входящих в уравнение стокса.

    Физический смысл величин входящих в уравнение стокса(дзета) — коэффициент объемной вязкости или второй коэффициент вязкости;

    Характеризует способность жидкости и газа споротивляться объемному сжатию

    Физический смысл величин входящих в уравнение стокса— коэффициент сдвиговой вязкости (динамический коэффициент вязкости).

    Характеризует способность жидкости и газа споротивляться скольжению или сдвигу

    Вопрос № 55. Что такое первый инвариант тензора скоростей деформаций?

    Физический смысл величин входящих в уравнение стокса

    мех.смысл divV -скорость относительного изменения объема в малой окрестности точки, в которой вычисляется дивергенция скорости.

    📸 Видео

    Формула Стокса.ЦиркуляцияСкачать

    Формула Стокса.Циркуляция

    Урок 132. Основные понятия гидродинамики. Уравнение непрерывностиСкачать

    Урок 132. Основные понятия гидродинамики. Уравнение непрерывности

    Билеты №32, 33 "Уравнения Максвелла"Скачать

    Билеты №32, 33 "Уравнения Максвелла"

    Семинар 13. Формула Стокса.Скачать

    Семинар 13. Формула Стокса.

    Вычислительная гидродинамика (ВГД). Уравнение Рейнольдса и метод конечных объемовСкачать

    Вычислительная гидродинамика (ВГД). Уравнение Рейнольдса и метод конечных объемов

    Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор ЛапласаСкачать

    Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор Лапласа

    Ротор векторного поляСкачать

    Ротор векторного поля

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

    #8 Ротор/Дивергенция/ГрадиентСкачать

    #8 Ротор/Дивергенция/Градиент

    Закон БернуллиСкачать

    Закон Бернулли

    Определение коэффициента вязкости жидкости методом СтоксаСкачать

    Определение коэффициента вязкости жидкости методом Стокса

    ДивергенцияСкачать

    Дивергенция

    Урок 133. Закон Бернулли. Уравнение БернуллиСкачать

    Урок 133. Закон Бернулли. Уравнение Бернулли
    Поделиться или сохранить к себе: