Физический смысл величин входящих в дифференциальные уравнения равновесия жидкости эйлера

Видео:Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Диф-ые уравнения равновесия жидкости.

Дифференциальные уравнения равновесия покоящейся жидкости иначе называют дифференциальными уравнениями Эйлера. Они получены для общего случая относительного покоя жидкости. Возможны следующие варианты относительного покоя.

Первый вариант соответствует абсолютному покою или равномерному движению сосуда с жидкостью. Такой вариант рассматривался при выводе основного уравнения гидростатики.

Второй вариант – вращение сосуда с жидкостью с постоянной угловой скоростью Й вокруг центральной оси. Несмотря на то, что вся масса жидкости вращается вместе с сосудом, частицы жидкости друг относительно друга не перемещаются, следовательно, весь объём жидкости, как и в первом случае, представляет собой как бы твёрдое тело. Давление в каждой точке жидкости не меняется во времени и зависит только от координат. По этим причинам жидкость подпадает под определение покоящейся.

Третий вариант аналогичен второму, только вращение осуществляется вокруг произвольно расположенной вертикальной оси. Во втором и третьем случае свободная поверхность жидкости принимает новую форму, соответствующую новому равновесному положению жидкости.

В четвёртом варианте сосуд с жидкостью движется прямолинейно и равноускоренно. Такой случай проявляется, например, в процессе разгона или остановки автоцистерны с жидкостью. В этом случае жидкость занимает новое равновесное положение, свободная поверхность приобретает наклонное положение, которое сохраняется до изменения ускорения. Частицы жидкости друг относительно друга находятся в покое, и давление зависит только от координат.

11. Основное уравнение гидростатики.Основным законом (уравнением) гидростатики называется уравнение [1] :

,

— гидростатическое давление (абсолютное или избыточное) в произвольной точке жидкости,

— плотность жидкости,

— ускорение свободного падения,

— высота точки над плоскостью сравнения (геометрический напор [2] ),

— гидростатический напор [3] .Уравнение показывает, что гидростатический напор во всех точках покоящейся жидкости является постоянной величиной.Иногда основным законом гидростатики называют принцип Паскаля [4] .
12-13. Геометрический и энергетический смысл основного уравнения гидростатики.
Геометрический смысл уравнения (4):
— величина z фиксиру­ет положение точки по отношению к плоскости хОу, называемой плос­костью сравнения.
— ординату z называют высотой положения, или геометрической высотой.
При р = р₀ имеем z = z₀.
Очевидно, что величина р/у имеет линейную размерность.
Она представляет собой высоту, на которую жидкость может поднять­ся под влиянием давления. Эту высоту можно измерить. если поместить в жидкость вертикальную закрытую сверху трубку, из которой пол­ностью выкачан воздух.
Высоту р/у называют высотой давле­н и я, или приведенной высотой.
Она представляет собой высоту стол­ба жидкости, вес которого при давлении, равном нулю на его свобод­ной поверхности, уравновешивает давление в данной точке жидкости.
Чтобы пояснить энергетический смысл членов уравнения (4), введем понятие удельной энергии. Энергию, отнесенную к единице веса жидкости, называют удельной энергией.
Размерность удельной энергии равна размерности энергии (работы), деленной на размерность силы.Единица удельной энергии [Е] — м. Часть удельной потенциальной энергии частицы жидкости, зависящая только от ее положения относи­тельно условной горизонтальной плоскости, количественно равной z, называется удельной энергией положения час­тицы.
Часть удельной потенциальной энергии частицы жидкости, зависящую только от ее давления, количественно равную р/у, называют удельной энергией давления частицы
Сумма представляет собой удельную потенциальную энергию частицы.
Наряду с этими понятиями в гидравлике широко использует­ся понятие напора.
Так, величину z называют геометрическ и м напором в данной точке жидкости, а сумму z+р/γ=Н — гидростатическим напором.
Перепишем уравнение (3) в виде
p — p₀ = γ (z₀ — z) = γh откуда
p = p₀ + γh , (5)
где h — глубина погружения частицы жидкости под ее поверхность.
Это уравнение, так же как и (4), называют основным уравнением гидростатики. Разница между ними только в системе отсчета вертикальных расстояний (z и h).
Форма уравнения (4) удобна при изуче­нии движения жидкости, так как сумма z + р/γ входит в уравнение движения жидкости.
Форма уравнения (5) удобна в расчетах давле­ния на поверхности и в методике измерения давления в жидкости.
Величина р является абсолютным, или полным, давлением, р₀ — внеш­ним (начальным) давлением. Произведение γh — вес столба жидкости высотой h с площадью основания, равной единице.
Поэтому γh можно назвать весовым давлением.Единицей давления, входящего в формулу (5), является паскаль (Па).
14. Закон Паскаля. Закон Паскаля формулируется так:Давление,производимое на покоящуюся жидкость или газ, передается в любую точку жидкости или газа одинаково по всем направлениям.Гидростатическое давление жидкости зависит от плотности р жидкости, от ускорения g свободного падения и от глубины h, на которой находится рассматриваемая точка. Оно не зависит от формы столба жидкости. Глубина h отсчитывается по вертикали от рассматриваемой точки до уровня свободной поверхности жидкости.В условиях невесомости гидростатическое давление в жидкости отсутствует, так как в этих условиях жидкость становится невесомой. Внешнее давление характеризует сжатие жидкости под действием внешней силы. Оно равно:
15.Избытачное и вакууметрическое давление.
Вакууметрическое давление: если абсолютное давление в точке атмосферного, то это превышение называется избыточным (нанометрическим) давлением.
16.Поверхность равного давления. Выделим в ж-ти, к. нах-ся в равновесии, бесконечно малый объем в виде параллелепипеда с ребрами dx,dy,dz. Складывая сумму проекций сил давления, массовых сил(X- проекция массовой силы на ось)на рассматриваемую ось, получим: pdydz-(p+d1pdx/d1x)dydz+ ρdxdydzX=0 После упрощения: (-d1p/ ρd1x)+X=0 Аналогично:(-d1p/ ρd1y)+Y=0, (-d1p/ ρd1z)+Z=0 Почленно умножив 1е ур-е на ρdx, 2е на ρdy, 3е на ρdz, получим основное ур-е гидростатики: dp= ρ(Xdx+Ydy+Zdz)[1]. В общем виде это ур-е интегрируется так: p=ρП+С, где П- некоторая потенциальная ф-я. В частных случаях в зависимости от конкретных Z,X,Y находим значение П,С и p. Из [1] можно получить ур-е для пов-ти равного давления. При p=const, ρ=const, dp=0 и тогда Xdx+Ydy+Zdz=0
17.Сила давления жидкости на плоские поверхности.Угол=90 градусов, ж-ть давит на пов-ть с площ. ω во всех точках, но давление неравномерное (в верхних

Эпюра абсолютного гидростатического давления представляет собой трапецию, а эпюра избыточного — треугольник (рис. а).

Если плоская стенка, на которую действует жидкость, наклонена к горизонту под углом a (рис. б), то основное уравнение гидростатики принимает следующий вид:

Таким образом, эпюры абсолютного и избыточного гидростатического давления на наклонную стенку представляют собой соответственно наклонную трапецию и наклонный треугольник.
Если плоская стенка, на которую с двух сторон оказывает воздействие жидкость, вертикальна, то на нее будут действовать параллельные и противоположно направленные силы гидростатического давления. Эпюра гидростатического давления на вертикальную стенку представляет собой вертикальную трапецию.
Эпюра гидростатического давления на горизонтальное дно резервуара представляет собой прямоугольник, так как при постоянной глубине избыточное давление на дно постоянно.
19. Сила давления жидкости на криволинейные поверхности
При определении силы давления жидкости на криволинейные поверхности заранее неизвестны:
*координаты точки приложения этой силы;
*направление действия рассчитываемой силы.
Поэтому в данном случае расчет силы давления проводится путем геометрического сложения ранее определенных ее трех составляющих. Каждая из составляющих параллельна одной из координатных осей:




где проекции площади криволинейной поверхности на вертикальные плоскости, перпендикулярные осям х и у;
глубина погружения центров тяжести этих проекций от пьезометрической плоскости (свободной поверхности жидкости);
объем тела давления.
Тело давления – объем жидкости, заключенный между криволинейной поверхностью, ее проекцией на пьезометрическую плоскость (свободную поверхность) и вертикальными проектирующими плоскостями, проходящими через границы криволинейной поверхности.
Тело давления может принимать как знак плюс, так и минус. Соответственно и составляющая может быть направлена или вверх, или вниз.
Тело давления, заполняемое жидкость, называется действительным, в отличие от фиктивного тела давления, которое заполняется жидкостью условно. Фиктивное тело давления иногда называют телом выпора.
Если на часть криволинейной поверхности жидкость давит сверху вниз, а на другую часть снизу вверх, то тело давления определяется как сумма тел давления на каждую часть криволинейной поверхности с соответствующими знаками.
На практике криволинейные поверхности часто являются цилиндрическими. Это поверхности:
*труб водопровода и канализации;*резервуаров;*сегментных затворов.
В случаях цилиндрической поверхности, когда ось у параллельна образующей криволинейной поверхности
Направление равнодействующей силы давления характеризуется углом наклона ее к горизонту
20. Сила давления жидкости на цилиндрические поверхности.
Рассмотрим давление жидкости на цилиндрическую поверхность.
В этом случае достаточно знать горизонтальную Р_ги вертикальную составляющую Р_всилы Р.

Суммарное давление на элементарную площадь dFравно:dР = p dF
Разложим его на горизонтальную dР_ги вертикальную dР_всоставляющие. Получим:
dР_г = dP ∙ cos α = p dF ∙ cos α
где α — угол между направлением сил dРи dР_г
Принимаем во внимание только избыточное давление:
Р_г = γh dF ∙ cos α,где h —расстояние по вертикали, показанное на рисунке.
Величина dF соs α = dF_в -проекция элементарной площади dF на вертикальную площадь, поэтому:dP_г = γh dF_воткуда: Интеграл входящий в это выражение, есть статический момент площа­ди, след которой изображен прямой АС. Поэтому: Р_г =γh_с F_в(1)
где h_с — расстояние от поверхности жидкости до центра тяжести фигуры F_в, представляющей собой вертикальную проекцию цилиндрической поверх­ности.Из формулы (1) следует: горизонтальная составляющая суммар­ного давления жидкости на цилиндрическую поверхность равна сум­марному давлению на её вертикальную проекцию.
Вертикальная составляющая равна:
dР_в = dР sin α = p dF sin α Так как Fsin α = dF_г — горизонтальная проекция элементарной площади dF, то:dР_в = р dF_г =γh dF_г
Величина hdF_г есть элементар­ный объем dVцилиндра, имеющего высоту h и основание dF_г.В случае, изображенном на рис. (а), этот объём заполнен жидкостью и вертикальная составляющая dР_внаправлена вниз. В случае, показан­ном на рис. (б), объем dV не заполнен жидкостью, поэтому его мож­но назвать фиктивнымэлементарным объёмом. В этом случае составляющая dР_внаправлена вверх. Выражение для dР_в представим в виде:
dР_в = γ dV откуд Р_в = γ V (2)
где V = bF_АBC;F_АBC —площадь треугольника, у которого одна сторона АВкриволинейная.
Объем Vназывают телом давления.
Из формулы (2) следует: вертикальная составляющая суммарного давления жидкости на цилиндрическую поверхность равна весу жидкости γV в объёме тела давления.
В зависимости от ориентации поверхности тело давления может быть действительным (положительным) и фиктивным (отрица­тельным).
В случае действительного тела давления (а) вертикальная составляющая Р_в направлена вниз, а в случае фиктив­ного тела давления — вверх (рис. б). Суммарное давление равно:
Сила Р_г проходит через точку, расположенную на расстоянии 2 /₃ глубины воды от свободной поверхности.
Сила Р_впроходит через центр тяжести треугольника АВС, который находят с помощью криволинейных медиан. Равнодействующая Р пройдёт через точку пересечения направления действия сил Р_г и Р_впод углом β к горизонтальной поверхности, где:tg β = Р_в / Р_г
21. Толщина стенки цилиндрической трубы, находящейся под избыточным давления.
Рассмотрим вопрос о нахождении допускаемого давления жидкости в трубе круглого сечения.
Мысленно разделив трубу на две части вертикальной (диаметральной) плоскостью, запишем, как определяется сила избыточного давления жидкости на одну половину трубы длиной L:

Эта сила уравновешивается двумя силами, приложенными к стенкам трубы в местах условного разреза, каждая из которых находится как: ,где растягивающее напряжение в стенках трубы; толщина стенки трубы. Таким образом,

Если напряжение в стенках трубы будет равно предельно- допускаемому, то допускаемое давление в трубе:
Для заданного избыточного давления в трубопроводе и материале трубы, можно найти толщину стенки трубы:
22. Плавучесть и остойчивость плавающих тел.
S
Если бы это равенство не соблюдалось, то тело бы начало двигаться.
Верт. Силы давления BAD и BCD- силы тяжести тел давления опираются на эти поверхности.
Результирующая сила:
Т.о на погруженное в жидкости тело действует вертикальная сила(вверх),равная силе тяжести жидкости в объем тела(з-н Архимеда)
Если G>P-тело тонет и наоборот.
При всплытии объем вытесненный телом воды меняется от W до W1. Всплытие прекратится, когда P=G.
Водоизмещение-сила тяжести жидкости в объеме воды погруженной в нее части тела.
Ватерлиния-линия ∩свободной поверхности жидк с боковой поверхностью плавающего тела.
При плавании тело может отклоняться по сторонам. Остойчивость-способность тела восстанавливать первоначальное положение.
Условия остойчивости: Лиия действия силы Р ∩ ось плавания в точке М, называется метацентром.
-расстояние от точки М до центра водоизмещения D (метацентрический радиус)
P и G обр пару сил. Если метацентр ниже центра тяжести →тело опрокидывается(неостойчивое плавание)
Метацентрический радиус: , где — момент инерции плоскости плавания относительно оси О-О1, W- водоизмещение.
23. Понятие об установившемся и неустановившемся движении жидкости. Неустановившееся движение – такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени изменяются, т.е. u и P зависят не только от координат точки в потоке, но и от момента времени, в который определяются характеристики движения т.е.:

и .

Примером неустановившегося движения может являться вытекание жидкости из опорожняющегося сосуда, при котором уровень жидкости в сосуде постепенно меняется (уменьшается) по мере вытекания жидкости.
Установившееся движение – такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени не изменяются, т.е. u и P зависят только от координат точки в потоке, но не зависят от момента времени, в который определяются характеристики движения:

и ,

и, следовательно, , , , .
24.Линия тока и элементарная струйка.
Геометрические представления о движении жидкости можно получить с помощью выкторных линий, назыв линиями тока.
Линия тока-линия в каждой точке которой в данный момент времени соответ-ет определ система линий тока, вид расположение которых характеризует поле скоростей.
В турбулентном режиме линии тока имеют расхождения. При установившемся движении значения и направления скоростей не изменяются во времени и линии тока совпадают с траекториями движения частиц жидкости.Линии тока не могут пересекаться. Они дают фотографический снимок с картин распр-я в жидкости векторов.
Поверхность, образ-я линиями тока, проведенными через все точки какой-либо заданной линии наз поверхностью тока.
Часть движ-ия жидкости,огр поверхностью тока, подведенной в данное мгновение черз все точки бескнонечно малого замкнутого контура,наход-я в обл,занятой жидкостью, наз элеметарной струйкой.
через боковую поверхность элементарной струйки жидкость не перетекает. В каждой точке поверхности скорости напр-ия по нормалям и в пределах этой бесконечно малой поверхности принимает одинаковые значения.
Живые сечения струйки(элементарной) –ее нормальное(поперечное) сечение.
Площадь живого сечения может изменятся по длине струйки.
25.Поток жидкости, расход и средняя скорость потока.
Ввиду 2 /2g.
Связь между скоростью ии высотой h_ииспользована для конструирова­ния приборов, позволяющих из­мерять скорости течения жидкос­ти, а также и воздуха, или же скорости движения тела в воде или воздухе.
Такие приборы на­зывают гидрометрическими, или напорными, трубками.
Простей­шая гидрометрическая трубка 1 (см. рис. 3.5) неудобна в работе, так как отсчет h_и приходится делать в непосредственной близости от воды. Этот недостаток устраняется, если соединить в один прибор трубки напорную (динамическую) 2 и пьезометрическую (статическую) 4.
Плоскость нижнего среза статической трубки параллельна направле­нию скорости.
Если понизить давление в обеих трубках отсосом воздуха через трубку 3, оба уровня поднимутся, но h_ипри этом не. изменится.
Зная h_и, легко подсчитать скорость: Разли­чают два основных типа гидрометрических трубок:
— трубка Пито — напорная трубка Г — образной формы, открытый конец которой, имеющий обтекаемую форму, воспринимает полное давление.

Видео:Теорема Эйлера о движении жидкостиСкачать

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА

Рассмотрим некоторый объем покоящейся жидкости (рис. 1.4). Выделим в ней вокруг рассматриваемой точки А бесконечно малый параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Отбросим мысленно окружающую его жидкость, а ее воздействие на грани заменим силами, действующими со стороны жидкости, — Р_х и Р’_х, Р_у и F, Р_г и Р Кроме того, в точке А как в центре массы выделенного элемента приложим равнодействующую массовых сил Q.

Рис. 1.4. Схема к выводу уравнения Эйлера

Запишем условие равновесия на осьх:

Давление р_х и р’_х можно выразить через давления в точке А:

Тогда уравнение равновесия перепишется

Отсюда +рХ = 0, или — = рХ.

Аналогичные уравнения можно получить, рассматривая проекцию на другие оси.

В результате будем иметь

Это и есть общие уравнения равновесия жидкости, полученные Эйлером.

Видео:Дифференциальное уравнение Эйлера. Основное уравнение гидростатикиСкачать

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПРИРАЩЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ РАВНЫХ ДАВЛЕНИЙ

Основной задачей гидростатики является получение:

• зависимости гидростатического давления в точке от ее координат

• уравнения поверхности равных давлений

Для получения уравнения изменения давления при смещении от данной точки А на бесконечно малое расстояние dl, проекции которого на оси координат соответственно будут dx, dy, dz, преобразуем уравнения Эйлера. Умножим соответственно каждое уравнение на приращения координатах, dy, dzn, суммировав левые и правые части, получим

Но левая часть этого уравнения есть полный дифференциал dp, выражающий изменение давления р при смещении точки на бесконечно малое расстояние, тогда имеем

То есть получили дифференциальное уравнение изменения давления в функции координат точки. Решение этого уравнения в виде (1.13) может быть выполнено путем интегрирования для данной конкретной задачи.

Перейдем к рассмотрению уравнения поверхности равного давления, определяемого условием р = const.

Из условия постоянства давления следует dp = 0. Подставляя это выражение в (1.15) и учитывая, что р ф 0, получим

Уравнение (1.16) связывает координаты точек равных давлений, т.е. оно является дифференциальным уравнением поверхности равных давлений.

Решение этого уравнения в виде (1.14) должно также проводиться путем интегрирования для конкретных задач. К рассмотрению одной из таких задач и перейдем.

Видео:#Дифуры II. Урок 5. Уравнение ЭйлераСкачать

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости. Уравнение Эйлера

Уравнение Эйлера для равновесия жидкости — совокупное дифференциальное уравнение равновесия жидкости под действием произвольных внешних сил записывается в виде:

где — плотность жидкости.

При постоянной плотности жидкости:

В ряде случаев при решении задач гидравлики используется система дифференциальных уравнений Эйлера для покоящейся жидкости:

Материал для самостоятельного изучения.

Вывод дифференцального уравнения Эйлера для покоящейся жидкости подробно изложен в [1, с. 28 — 31].

Видео:дифференциальное уравнение ЭйлераСкачать

Основное уравнение гидростатики. Равновесие жидкости при действии силы притяжения. Закон Паскаля. Мультипликационный эффект.

Если объём жидкости покоится относительно поверхности Земли, а из внешних сил на него действует только сила тяжести то в дифференциальном уравнении Эйлера a_x = 0; a_y = 0; a_z = -g.

Здесь g — ускорение свободного падения. Знак «-» перед g имеет место в случае, если за положительное направление оси z принято направление вдоль линии действия силы тяжести снизу в верх (рисунок 3.7.1).

Подставляя эти соотношения в (3.6.1)

Получаем уравнение равновесия жидкости под действием силы тяжести

где С — константа, определяемая начальными условиям;

z — координата точки для которой ищется решение уравнения.

Преобразуя (3.7.1) получаем

p + g z =С= const. (3.7.2)

Если глубина рассматриваемой точки под поверхностью жидкости h = z₀ — z, а давление на поверхности жидкости (создаваемое атмосферным воздухом или поршнем) p₀ то из (3.7.2) можно получить основное уравнение гидростатики:

p =p₀ + g h=p₀ + g (z₀ — z). (3.7.3)

Поскольку в уравнении (3.7.3) p₀ является внешним давлением, приложенным к покоящемуся объёму жидкости то очевидно, что оно передаётся во все точки покоящегося объёма жидкости без изменения. Эту закономерность, установленную впервые Б. Паскалем принято называть законом Паскаля.

Правильное физическое уравнение должно быть размерностно однородным. Отсюда ясно, что слагаемое должно выражаться в единицах давления, т.е. в паскалях (1Па = 1Н/м2). Эту величину называют избыточным давлением. Она может быть как положительной, так и отрицательной. Такая трактовка приводит к понятию абсолютного давления, которое в соответствии с (3.4.3) может быть представлено как сумма барометрического (атмосферного) давления и избыточного, т.е.

Отрицательное избыточное давление называют вакуумом.

Выполнив элементарные преобразования уравнения (3.7.3) после деления обеих его частей на получаем

В таком виде все его члены выражаются в единицах длины и носят название напоров. Величина z характеризует положение жидкой частицы над произвольно выбираемой горизонтальной плоскостью отсчета, т.е. z — это геометрический напор; — пьезометрический напор. Сумму этих величин называют гидростатическим напором. Чтобы уяснить физический смысл этих величин, рассмотрим простую схему, показанную на рис. 3.7.2.

Представим герметично закрытый сосуд, заполненный жидкостью, находящейся под давлением. Выберем в этом сосуде две произвольно расположенные точки A и B и произвольную горизонтальную плоскость O-O, которую назовем плоскостью отсчета.

Координаты частиц, расположенных в точках A и B будут и . В соответствии со сказанным выше, величины и выражают геометрический напор. Введем теперь через крышку сосуда в точки A и B сообщенные с атмосферой стеклянные трубки. Эти трубки называют пьезометрами. Поскольку по условию жидкость находится под давлением, то она начнет подниматься по пьезометрам до тех пор, пока высота столба жидкости уравновесит давление в рассматриваемой точке.

Соотношение (3.7.5) справедливо для любых произвольно выбранных частиц покоящейся жидкости, поэтому в общем виде его можно записать как , т.е. для любых точек жидкости гидростатический напор одинаков. Следовательно, уровни в пьезометрах установятся на одной и той же высоте (плоскость C-C на рисунке 3.7.2).

Следствием закона Паскаля является известный из курса физики так называемый мультипликационный эффект на применении которого основан современны гидростатический привод.

Материал для самостоятельного изучения.

О поверхностях равного давления — [1 с. 30 — 31].

Об основном уравнении гидростатики, избыточном и вакуумметрическом давлении — [1 с. 32 — 35].

О мультипликационном эффекте — [2, с. 5 — 8].

Видео:Уравнение ЭйлераСкачать

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Выделим в жидкости, находящейся в равновесии, элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельными осям координат х, у, z (рис. 3.6). Выберем в центре параллелепипеда точку А. Давление в этой точке будет р = f(х, у, z). Так как это давление является непрерывной функцией координат, то, разлагая функцию f(х, у, z) в ряд Тэйлора в окрестности точки А с точностью до бесконечно малых первого порядка, получим следующие соотношения для давлений р1 и р2 в точках 1 и 2 на гранях параллелепипеда, перпендикулярных оси х:

Давления на гранях параллелепипеда можно также записать в виде отношения силы к площади:

(3.9)

Запишем условие равновесия сил, действующих на элементарный параллелепипед, в проекции на ось х:

(3.10)

где Fm – массовая сила, определяемая по формуле

(3.11)

где dm – масса элементарного параллелепипеда.

Рис. 3.6. Схема сил, действующих на элементарный параллелепипед

Подставляя формулы (3.9), (3.11) в соотношение (3.10), получаем

Подставляя формулы для р1 и р2, найдем

Аналогичные уравнения можно получить, если спроецировать действующие на параллелепипед силы на оси у и z. В итоге будем иметь систему трех дифференциальных уравнений вида

(3.12)

где X, Y, Z – проекции ускорений массовых сил, приходящихся на единицу массы.

Эти уравнения впервые были выведены Эйлером в 1755 г. и называются уравнениями равновесия Эйлера. Они показывают, что при равновесии жидкости массовые силы уравновешиваются соответствующими поверхностными силами.

В векторной форме эти уравнения имеют вид

где ; (i, j, k – орты координатных осей, имеющие координаты (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1) соответственно).

Видео:Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать

Потенциал массовых сил

Умножая уравнения Эйлера (3.12) соответственно на dx, dy, dz и почленно складывая, получаем

(3.13)

Так как р = f (x, y, z), полный дифференциал этой функции будет

Следовательно, правая часть уравнения (3.13) есть полный дифференциал:

(3.14)

Равенство (3.14) имеет смысл лишь в том случае, если левая его часть есть также полный дифференциал какой-то функции. Обозначим эту функцию через и = и(х, у, z). Тогда полный дифференциал ее будет

(3.15)

Из сопоставления уравнений (3.14), (3.15) получим

Функцию и = и(х, у, z) называют потенциальной функцией, а силы, для которых эта функция существует, – силами, имеющими потенциал.

Отсюда вывод: жидкость может находиться в равновесии только под действием массовых сил, имеющих потенциал, так как только такие силы удовлетворяют уравнениям равновесия Эйлера.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Интеграл уравнений Эйлера для несжимаемой жидкости

Проинтегрируем уравнение (3.15) при р = const:

(3.16)

где с – постоянная интегрирования. Полагая, что при р = р0 потенциальная функция и = u0, будем иметь

(3.17)

Подставляя выражение (3.17) в соотношение (3.16), получаем

Последнее соотношение является интегралом уравнений Эйлера для несжимаемой капельной жидкости.

Так как величина ρ(u-u0) не зависит от давления р0 и определяется лишь системой массовых (но не поверхностных) сил, следовательно, на сколько изменится давление p0, на столько же изменится и давление р в любой точке жидкости. Отсюда можно сформулировать закон Паскаля: давление в жидкости, находящейся в равновесии, передается всем ее частицам без изменения сто величины.

Введем понятие поверхности равного давления и выведем ее уравнение.

Поверхностью равного давления называется такая выделенная в жидкости поверхность, гидростатическое давление во всех точках которой одно и то же. Для такой поверхности, очевидно, dp = 0. Так как р = f(x, у, z), уравнение поверхности равного давления р = const будет

Придавая С различные значения, будем переходить от одной поверхности равного давления к другой. Это уравнение является уравнением семейства поверхностей равного давления. Поверхности равного давления и равного потенциала совпадают. Так как —ρdu = dp, при dp = 0 du = 0 и и = const.

Определение поверхности равного давления по заданным массовым силам производится по уравнению

(3.18)

Ввиду отсутствия массовых сил по осям х, у и с учетом того, что массовая сила по оси z Z = -g, уравнение (3.18) примет вид —ρgdz = 0, или dz = 0. Отсюда z = const.

Следовательно, поверхности равного давления, в том числе и свободная поверхность, – горизонтальные плоскости.

🔍 Видео

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Геометрический смысл дифференциального уравненияСкачать

Дифференциальное уравнение. Формула ЭйлераСкачать

Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать

Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Метод ЭйлераСкачать

1. Что такое дифференциальное уравнение?Скачать

Уравнение Эйлера - bezbotvyСкачать