Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Видео:Канонические уравнения метода силСкачать

Канонические уравнения метода сил

Метод сил — расчет статически неопределимых рам

При решении задач сопромата, статически неопределимой называется такая система, которая не может быть рассчитана при помощи одних только уравнений статики, так как имеет лишние связи. Для расчета таких систем составляются дополнительные уравнения, учитывающие деформации системы.

Оговоримся, что здесь и далее понятие “расчет” подразумевает только построение эпюр внутренних силовых факторов, возникающих в элементах системы, а не расчет на прочность, жесткость и т.д.

Статически неопределимые системы обладают рядом характерных особенностей:

1. Статически неопределимые конструкции являются более жесткими, чем соответствующие статически определимые, так как имеют дополнительные связи.
2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.
3. Нарушение лишних связей в статически неопределимой системе не всегда приводит к разрушению, в то время как потеря связи в статически определимой системе делает ее геометрически изменяемой.
4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.
5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.
6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадка опор, неточности изготовления и монтажа вызывают появление дополнительных усилий.

Основными методами расчетастатически неопределимых систем являются:

1. Метод сил. Здесь в качестве неизвестных рассматриваются усилия – силы и моменты.
2.Метод перемещений. Неизвестными являются деформационные факторы – углы поворотов и линейные смещения.
3.Смешанный метод. Здесь часть неизвестных представляет собой усилия, а другая часть – перемещения.
4. Комбинированный метод. Используется при расчете симметричных систем на несимметричные нагрузки. Оказывается, что на симметричную составляющую заданной нагрузки систему целесообразно рассчитывать методом перемещений, а на обратносимметричную составляющую – методом сил.
Помимо указанных аналитичеких методов при расчете особо сложных систем используются различные численные методы.

Видео:основная система и канонические уравнения метода перемещенийСкачать

основная система и канонические уравнения метода перемещений

Канонические уравнения метода сил

Для получения дополнительных уравнений, о которых говорилось в предыдущем параграфе, нужно прежде всего превратить заданную, n раз статически неопределимую систему, в статически определимую, удалив из нее лишние связи. Полученная статически определимая система называется основной. Отметим, что преобразование заданной системы в статически определимую не является обязательным. Иногда используется модификация метода сил, в которой основная система может быть статически неопределимой, однако изложение этого вопроса выходит за рамки этого пособия. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренние усилия и деформации системы, если к ней приложить дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Значит, если к основной системе приложить заданную нагрузку и реакции удаленных связей, то основная и заданная системы станут эквивалентными.

В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i-ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. Физический смысл коэффициентов канонических уравнений— это перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией k-ой связи; Физический смысл коэффициентов канонических уравнений— перемещение по направлению i-ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки.

В методе сил реакцию k-ой связи принято обозначать через Xk. С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения Физический смысл коэффициентов канонических уравненийможно представить в виде:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

где Физический смысл коэффициентов канонических уравнений— единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией Физический смысл коэффициентов канонических уравненийт.е. реакцией, совпадающей по направлению с Xk, но равной единице.

Подставляя (2) в (1), получим:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Физический смысл уравнения (3): перемещение в основной системе по направлению i-ой отброшенной связи равно нулю.

Записывая выражения, аналогичные (3), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Вид уравнения (4), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.

Коэффициенты системы канонических уравнений (4) определяются методом Мора-Верещагина путем перемножения соответствующих эпюр. Все эти коэффициенты, как указывалось выше, представляют собой перемещения; коэффициенты, стоящие при неизвестных – единичные перемещения, а свободные члены – грузовые. Единичные перемещения делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы Физический смысл коэффициентов канонических уравненийи побочные (Физический смысл коэффициентов канонических уравнений). Главные перемещения всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е. Физический смысл коэффициентов канонических уравнений.

Видео:канонические уравнения метода силСкачать

канонические уравнения метода сил

Алгоритм расчета методом сил

Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:

1. Определить степень статической неопределимости.
2. Выбрать основную систему.
3. Сформировать эквивалентную систему.
4. Записать систему канонических уравнений.
5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.
6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.
7. Построить суммарную единичную эпюру.
8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
9. Решить систему (4), т.е. определить реакции лишних связей.
10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры).
11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.
Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являются безусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильность выполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 просто лишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает с единичной.
Остановимся подробнее на некоторых из вышеперечисленных этапов расчета.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Выбор основной системы

Это важнейший этап расчета, так как рациональный выбор основной системы существенно упрощает вычислительную работу. Рассмотрим возможные способы удаления лишних связей, что и определяет вид основной системы.

1. Отбрасывание лишних связей осуществляется полным удалением некоторых опор или их заменой опорами с меньшим числом связей. Реакции, действующие в направлениях отброшенных связей, являются лишними неизвестными. На рис.1,б, в, г показаны различные варианты эквивалентной системы, полученные этим способом для рамы (рис.1,а).

2.Постановка шарниров в промежуточных сечениях стержней позволяет в каждом таком сечении установить связь, соответствующую изгибающему моменту. Эти моменты являются лишними неизвестными. Для рамы, имеющей степень статической неопределимости n=3 (рис.2,а), при выборе основной системы необходимо поставить три шарнира. Положение этих шарниров может быть произвольным, но удовлетворяющим требованию геометрической неизменяемости системы (рис.2,б).

3. Рассечение стержня устраняет три связи, соответствующие внутренним усилиям M, Q, N (рис.2,в). В частных случаях (рис.2,г) рассечение стержня по шарниру освобождает две связи (рис.2,д), а рассечение прямолинейного стержня с шарнирами по концам – одну связь (рис.2,е).

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Среди связей статически неопределимой системы различают абсолютно необходимые и условно необходимые. К абсолютно необходимым относятся связи, при удалении которых система становится геометрически изменяемой. Для абсолютно необходимой связи характерна статическая определимость усилия в ней, т.е. реакция такой связи может быть вычислена из условия равновесия. При выборе основной системы абсолютно необходимые связи отбрасывать нельзя.

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Связи, при удалении которых система продолжает оставаться геометрически неизменяемой, называются условно необходимыми. Система, у которой удалили такую связь, может являться основной системой метода сил.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.

Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Этому этапу расчета предшествует построение единичных и грузовых эпюр внутренних силовых факторов (для балок и рам – эпюр изгибающих моментов). Единичные эпюры строятся от действия безразмерной единичной силы или безразмерного единичного момента, совпадающих по направлению с направлением соответствующей лишней неизвестной в эквивалентной системе, и обозначаются через Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, а единичная эпюра – через Физический смысл коэффициентов канонических уравнений.

Грузовая эпюра строится от внешней нагрузки, приложенной к основной системе. При этом можно строить одну эпюру от одновременного действия всех внешних нагрузок или несколько эпюр, отдельно от каждой из приложенных нагрузок. Такое разбиение одной грузовой эпюры на несколько более простых, как правило, целесообразно только тогда, когда среди действующих нагрузок есть равномерно распределенная, и эпюра моментов на соответствующем участке под ней является знакопеременной. При этом в каждом каноническом уравнении число свободных членов будет равно числу построенных грузовых эпюр.

Единичные и грузовые перемещения (коэффициенты и свободные члены канонических уравнений) в общем случае можно вычислить методом Мора. Для балок и рам это можно сделать при помощи правила Верещагина.

Видео:Урок 197. Поверхностная энергия. Коэффициент поверхностного натяженияСкачать

Урок 197. Поверхностная энергия. Коэффициент поверхностного натяжения

Универсальная проверка коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Для выполнения универсальной проверки необходимо построить суммарную единичную эпюру Физический смысл коэффициентов канонических уравнений— эпюру моментов от одновременного действия всех единичных сил, приложенных к основной системе:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Перемножим суммарную единичную эпюру с эпюрой Физический смысл коэффициентов канонических уравнений:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Таким образом результат перемножения суммарной и i-ой единичной эпюр — это перемещение по направлению i-ой связи от совместного действия единичных лишних неизвестных. Это перемещение равно сумме коэффициентов i-го канонического уравнения:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Такая проверка называется построчной и выполняется для каждого канонического уравнения.
Вместо n построчных проверок чаще всего выполняется одна – универсальная поверка, которая состоит в перемножении суммарной единичной эпюры самой на себя и проверке условия:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Если универсальная проверка выполняется, значит единичные перемещения вычислены правильно; если нет – необходимо выполнить построчные проверки, что позволит уточнить перемещение, при вычислении которого допущена ошибка.

Для выполнения проверки грузовых перемещений необходимо перемножить суммарную единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Таким образом, проверка свободных членов системы канонических уравнений (4) состоит в выполнении условия:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Видео:Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений метода силСкачать

Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений метода сил

Построение окончательных эпюр внутренних силовых факторов

Окончательные эпюры можно построить двумя способами.

Так как при найденных значениях лишних неизвестных Xi выполняются условия совместности деформаций, то из расчета основной системы можно получить все искомые внутренние усилия заданной системы. На основании принципа независимости действия сил для изгибающих моментов получим:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

или, учитывая, что

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

приходим к выражению:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Аналогично определяется продольные и поперечные силы:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Второй способ основан на том, что в результате вычисления реакций лишних связей Xi исходная статически неопределимая система приведена к статически определимой системе, загруженной внешними нагрузками и реакциями лишних связей. Поэтому окончательные эпюры внутренних силовых факторов можно построить для эквивалентной системы, вычислив предварительно (и то не всегда) из условий равновесия опорные реакции последней.

Недостатком первого способа является то обстоятельство, что для его реализации необходимо дополнительно построить эпюры Qi, Ni (i=1, 2, …,n), Qf, Nf, которые не используются в расчете методом сил и поэтому не были построены ранее.

В связи с этим для построения окончательных эпюр более рациональным представляется второй способ, а условие (8) можно использовать в качестве дополнительной проверки.

Видео:Канонические уравнения метода перемещенийСкачать

Канонические уравнения метода перемещений

Проверка окончательной эпюры изгибающих моментов

Эта проверка выполняется в двух вариантах: статическая и кинематическая.

При статической проверке, выполняемой обычно для рам, вырезаются узлы и записываются условия их равновесия под действием узловых сосредоточенных моментов и изгибающих моментов на концах стержней. Эта проверка является вспомогательной и выполняется автоматически при правильных эпюрах изгибающих моментов в основной системе и при выполнении кинематической проверки.

Статическая проверка эпюр Q и N состоит в том, что для любой отсеченной части рамы сумма проекций на две оси всех действующих сил – внешних нагрузок и внутренних усилий – должна быть равна нулю.

Основной проверкой окончательной эпюры моментов в методе сил является кинематическая проверка, которая может быть построчной или универсальной.
При построчной проверке каждая единичная эпюра моментов Физический смысл коэффициентов канонических уравненийперемножается с окончательной эпюрой моментов М:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Таким образом, в результате перемножения каждой единичной эпюры с окончательной эпюрой моментов получим ноль:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Вариантом построчной проверки является проверка по замкнутомуконтуру, состоящая в том, что сумма приведенных (т.е. деленных на жесткость соответствующего стержня или его участка) площадь эпюры М, находящихся внутри каждого замкнутого бесшарнирного контура, должна быть равна сумме приведенных площадей, находящихся снаружи этого контура.

Суммируя выражения типа (11) для всех n, получим выражение, служащее для универсальной кинематической проверки окончательной эпюры изгибающих моментов:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Формулу (12) можно интерпретировать следующим образом: условное перемещение эквивалентной, или, что то же самое, заданной системы по направлению всех неизвестных от действия всех неизвестных и внешних нагрузок, равно нулю.

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

Определение перемещений в статически неопределимых системах

Для определения перемещения в статически неопределимой системе используется тождественность заданной и эквивалентной систем в том смысле, что если условия совместности деформаций выполняются, т.е. справедливы уравнения (4), то перемещения в эквивалентной системе соответствуют перемещениям заданной системы. Тогда, построив для основной системы эпюру изгибающих моментов Физический смысл коэффициентов канонических уравненийот единичной силы (или единичного момента) приложенной в направлении искомого перемещения, величину перемещения находим по формуле:

где М – эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная для статически неопределимой системы.

Отметим, что при вычислении перемещения Физический смысл коэффициентов канонических уравненийможно поступить и наоборот: единичную эпюру моментов Физический смысл коэффициентов канонических уравненийпостроить в статически неопределимой заданной системе, а эпюру моментов от внешних нагрузок М – в основной (статически определимой) системе.

Пример расчета

Построить эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов для плоской рамы (рис.3,а).

Степень статической неопределимости рамы:

n = r — s = 4 — 3 = 1

Выбираем основную систему, отбрасывая на правой опоре горизонтальный стержень (рис.3,б), т.е. заменяем шарнирно-неподвижною опору на шарнирно-подвижную. На базе основной системы формируем эквивалентную систему (рис.3,в).

Заменяя реакцию лишней связи соответствующей единичной силой, (рис. 3,г) строим эпюру моментов M1 (рис.3,д).

Грузовая эпюра моментов Физический смысл коэффициентов канонических уравнений(рис.3,ж), построенная от одновременного действия всех внешних нагрузок (рис.3,е), является знакопеременной на участке, где действует нагрузка q. Это создает определенные трудности (хотя и не непреодолимые!) при ее перемножении с единичной эпюрой M1. В связи с этим целесообразно построить две грузовых эпюры – отдельно от нагрузки q (эпюра Mq) и от совместного действия F и M (эпюра MF). Эти варианты нагружения и эпюры представлены на рис.3,з и рис.3,а,б,в.

При таком разбиении внешней нагрузки каноническое уравнение метода сил содержит два грузовых перемещения и имеет вид:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Вычислим коэффициенты канонического уравнения:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Реакция лишних связи:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Эпюры Nz, Qy, Mx для заданной системы, загруженной нагрузками F, M, q и X1 (рис.3,г) представлены на рис.3,д,е,ж.

Как уже говорилось, при построении эпюр Nz и Q в рамах ординаты можно откладывать в любую сторону, но обязательно указывать знаки; а при построении эпюр Mx знаки можно не указывать, но обязательно откладывать ординаты со стороны сжатых волокон соответствующих элементов.

В рассмотренном примере универсальная проверка правильности вычисления коэффициентов канонического уравнения и свободных членов не выполнялась, так как рама имеет степень статической неопределимости n = 1, а, значит, суммарная единичная эпюра Физический смысл коэффициентов канонических уравнений(если ее построить) совпадет с единичной эпюрой M1. В этом случае можно (и желательно!) проверить правильность выполнения расчета при помощи универсальной кинематической проверки окончательной эпюры моментов Mx.

Выполним эту проверку для рамы, рассмотренной в последнем примере (рис.3,а). Должно выполняться условие:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Покажем отдельно фрагменты перемножаемых эпюр (рис.3,д и рис.4,ж) для ригеля (рис.5,а,б) и стойки (рис.5,в,г) с указанением всех характерных размеров и соответствующих им ординат. Причем стойка (на рис.5,в,г) показана в горизонтальном положении.

Точка пересечения кривой на ригеле эпюры Mx с осью (рис.5,б) определяется следующим образом. Обозначим координату произвольного сечения, отсчитываемую от правого конца ригеля, через z, тогда момент Mx определяется в виде:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

откуда z = 3,77 м (второй корень этого уравнения лишен физического смысла).

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе решения неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил». Такой прием не является единственно возможным. В строительной механике широко применяются и другие методы, например метод деформаций, в котором за неизвестные принимаются не силовые факторы, а перемещения в элементах стержневой системы.

Итак, раскрытие статической неопределимости любой рамы методом сил начинается с отбрасывания дополнительных связей. Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной системы.

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

а-д) модификации основной системы
Рис.1. пример стержневой рамы:

Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать, как правило, сколько угодно основных систем. Например, для рамы, показанной на рис. 1, можно предложить основные системы, а), б). которые получены путем отбрасывания семи дополнительных связей в различных комбинациях. Вместе с тем нужно помнить, что не всякая система с семью отброшенными связями может быть принята как основная. На рис. 2 показано три примера для той же рамы, в которой также отброшено семь связей, однако сделано это неправильно, так как оставшиеся связи не обеспечивают кинематической неизменяемости системы, с одной стороны, и статической определимости во всех узлах,— с другой.

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Рис.2.Некорректные преобразования заданной системы в основные по причине кинематической изменяемости- а) б), или статической определимости во всех узлах — в)

После того как дополнительные связи отброшены и система превращена в статически определимую, необходимо, как уже говорилось, ввести вместо связей неизвестные силовые факторы. В тех сечениях, где запрещены линейные перемещения, вводятся силы. Там, где запрещены угловые смещения, вводятся моменты. Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать Xi-, где i — номер неизвестного. Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы. Заметим, что для внутренних связей силы Xi, — являются взаимными. Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные друг другу силы и моменты прикладываются как к правой, так и к левой частям системы.

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

а)-д) по отношению к заданной системе
Рис.3. Пять разновидностей основных систем

Основная система, к которой приложены все внешние заданные силы и неизвестные силовые факторы, носит название эквивалентной системы. На рис. 3 показано пять эквивалентных систем, которые соответствуют приведенным выше основным системам (рис. 1). Принцип приложения неизвестных силовых факторов становится ясным без дальнейших пояснений.

Теперь остается составить уравнения для определения неизвестных.

Обратимся к некоторому конкретному примеру. Рассмотрим, например, первую эквивалентную систему из числа представленных на рис. 3,4. Тем, что рассматривается конкретно взятая семь раз статически неопределимая система, общность рассуждений не будет нарушена.

Перейдем теперь к составлению уравнений для определения неизвестных силовых факторов. Условимся через Физический смысл коэффициентов канонических уравненийобозначать взаимное смещение точек системы.

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Рис.4. Пример расчета рамы а)по выбранной основной системе- б)

Первый индекс при Физический смысл коэффициентов канонических уравненийсоответствует направлению перемещения, а второй — силе, вызвавшей это перемещение.

В рассматриваемой раме в точке А отброшена неподвижная опора. Следовательно, горизонтальное перемещение здесь равно нулю и можно записать:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Индекс 1 означает, что речь идет о перемещении по направлению силы Х1, а индекс [Х1, Х2. Р] показывает, что перемещение определяется суммой всех сил, как заданных, так и неизвестных.

Аналогично можно записать:

Физический смысл коэффициентов канонических уравненийФизический смысл коэффициентов канонических уравнений

Так как под величиной Физический смысл коэффициентов канонических уравненийпонимается взаимное смещение точек, то Физический смысл коэффициентов канонических уравненийобозначает вертикальное смещение точки В относительно С, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений— горизонтальное взаимное смещение тех же точек, Физический смысл коэффициентов канонических уравненийесть взаимное угловое смещение сечений В и С. Угловым смещением будет также в рассматриваемой системе величина Физический смысл коэффициентов канонических уравнений.

В точках A и D смещения Физический смысл коэффициентов канонических уравненийявляются абсолютными. Но абсолютные смещения можно рассматривать как смещения, взаимные с неподвижными отброшенными опорами. Поэтому принятые обозначения приемлемы для всех сечений системы.

Пользуясь принципом независимости действия сил, раскроем выражения для перемещений Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Аналогичным образом запишем и остальные пять уравнений: каждое из слагаемых Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, входящих в уравнение, обозначает перемещение в направлении силы с первым индексом под действием силы, стоящей во втором индексе. Поскольку каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, величину Физический смысл коэффициентов канонических уравненийможно записать в следующем виде:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Что касается перемещений Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравненийи т. д., то под индексом Р будем понимать не просто внешнюю силу Р, а вообще систему внешних сил, которая может быть произвольной Поэтому величины Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений. в уравнениях оставим неизменными.

Теперь уравнения примут вид:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Эти уравнения являются окончательными и носят название канонических уравнений метода сил. Число их равно степени статической неопределимости системы. В некоторых случаях, как увидим далее, когда имеется возможность сразу указать значения некоторых неизвестных, число совместно решаемых уравнений снижается. Остается теперь выяснить, что представляют собой коэффициенты Физический смысл коэффициентов канонических уравненийи как следует их определять. Для этого обратимся к выражению (6.1).

Если Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, то

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Следовательно, коэффициент Физический смысл коэффициентов канонических уравненийэто есть перемещение по направлению i-го силового фактора под действием единичного фактора, заменяющего k-й фактор. Например, коэффициент Физический смысл коэффициентов канонических уравненийуравнения представляет собой взаимное горизонтальное смещение точек B и С, которое возникло бы в раме, если бы к ней вместо всех сил была приложена только единичная сила в точке А (рис. 5 а). Если, например, вместо сил Физический смысл коэффициентов канонических уравненийприложив единичные силы, а все прочие силы с эквивалентной системы снять (рис. 5 б), то угол поворота в сечении D под действием этих сил будет Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, горизонтальное перемещение в точке А будет Физический смысл коэффициентов канонических уравненийи т. д.

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

а) Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, б) Физический смысл коэффициентов канонических уравненийи Физический смысл коэффициентов канонических уравнений
Рис.5. Интерпретация коэффициентов уравнений метода сил:

Весьма существенно отметить, что в проделанном выводе совершенно не обусловливается то, каким образом возникают перемещения Физический смысл коэффициентов канонических уравнений. Хотя мы и рассматриваем раму, работающую на изгиб, все сказанное с равным успехом может быть отнесено, вообще, к любой системе, работающей на кручение, растяжение и изгиб или на то, другое и третье совместно.

Обратимся к интегралам Мора. Для того чтобы определить величину Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, следует вместо внешних сил рассматривать единичную силу, заменяющую k-й фактор. Поэтому внутренние моменты и силы Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравненийи Физический смысл коэффициентов канонических уравненийв интегралах Мора заменим на Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравненийи Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, понимая под ними внутренние моменты и силы от единичного k-го фактора. В итоге получим:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

где Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений— внутренние моменты и силы, возникающие под действием i-го единичного фактора. Таким образом, коэффициенты Физический смысл коэффициентов канонических уравненийполучаются как результат перемножения i-го и k-го внутренних единичных силовых факторов. Индексы i и k непосредственно указывают, какие факторы должны быть перемножены под знаком интегралов Мора. Если рама состоит из прямых участков и можно пользоваться правилом Верещагина, то Физический смысл коэффициентов канонических уравненийпредставляет собой результат перемножения i-х единичных эпюр на k-е единичные эпюры.

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Это следует, с одной стороны, непосредственно из выражений для Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, а с другой стороны, из теоремы о взаимности перемещений, поскольку перемещения Физический смысл коэффициентов канонических уравненийи Физический смысл коэффициентов канонических уравненийвозникают под действием одной и той же силы, равной единице.

Величины Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, входящие в канонические уравнения, представляют собой перемещения в направлениях 1, 2. возникающие под действием заданных внешних сил в эквивалентной системе. Они определяются перемножением эпюры моментов заданных сил на соответствующие единичные эпюры.

Пример Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 6.

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Рис.6. Заданная расчетная схема

Рама три раза статически неопределима. Выбираем основную систему, отбрасывая левую заделку. Действие заделки заменяем двумя силами Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравненийи моментом Физический смысл коэффициентов канонических уравненийи определяем эквивалентную систему (рис. 7).

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений
Рис.7. Динамика решения: от эквивалентной системы и силовой эпюры Р, включая эпюры моментов от единичных сил: 1, 2, 3 в точках приложения неизвестных Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Канонические уравнения (6.2) принимают для рассматриваемой системы такой вид:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Основные перемещения в рассматриваемой раме определяются изгибом. Поэтому, пренебрегая сдвигом и сжатием стержней, строим эпюры изгибающих моментов от заданной силы P и от трех единичных силовых факторов (рис. 7).

Определяем коэффициенты уравнений, считая, что жесткость на изгиб всех участков рамы постоянна и равна EJ. Величина Физический смысл коэффициентов канонических уравненийопределяется перемножением первой единичной эпюры самой на себя. Для каждого участка берется, следовательно, площадь эпюры и умножается на ординату этой же эпюры, проходящую через ее центр тяжести:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Заметим, что величины Физический смысл коэффициентов канонических уравненийпри Физический смысл коэффициентов канонических уравненийвсегда положительны, поскольку площади эпюр и ординаты имеют общий знак.

Определяем, далее, и остальные коэффициенты уравнений, перемножая эпюры с соответствующими номерами:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений.

Подставляем найденные коэффициенты в канонические уравнения. После сокращений получаем:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Решая эти уравнения, находим:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Раскрытие статической неопределимости на этом заканчивается.

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Рис.8. Суммарная эпюра изгибающих моментов.

Эпюра изгибающих моментов может быть получена наложением на эпюру моментов заданных сил трех единичных эпюр, увеличенных соответственно в Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, Физический смысл коэффициентов канонических уравненийи Физический смысл коэффициентов канонических уравненийраза Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 8. Там же пунктиром показана форма изогнутой оси рамы.

Видео:Геометрический смысл производной. Уравнение касательнойСкачать

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

Основная система сопромат. Строительная механика. Сущность расчета статически неопределимых систем методом сил

1. Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил. Вывод канонических уравнений

Статически неопределимые балки и рамы – конструкции, в которых уравнений статики недостаточно для определения опорных реакций и внутренних усилий. Число связей, наложенных на статически неопределимую систему, больше того количества связей, которые обеспечивают геометрическую неизменяемость конструкции. Такими связями могут быть как опорные связи, так и стержни самой конструкции.

Шарнирно-подвижная опора запрещает перемещение по направлению, перпендикулярному плоскости опирания, и является одной связью. Шарнирно-неподвижная опора делает невозможными линейные перемещения по двум взаимно-перпендикулярным направлениям (вертикальному и горизонтальному) и соответствует двум связям, наложенным на конструкцию. Наконец, при наличии жесткого защемления на конце стержня становятся невозможными все перемещения: и вертикальное, и горизонтальное, и угол поворота, поэтому жесткое защемление представляет собой три связи, обеспечивающие геометрическую неизменяемость балки (рамы). Каждая дополнительная связь сверх трех для плоских систем превращает конструкцию в статически неопределимую. Такие дополнительные связи, которые не являются необходимыми для обеспечения геометрической неизменяемости конструкции, называются лишними .

Статически неопределимые системы обладают рядом характерных особенностей:

1. Статически неопределимая система ввиду наличия добавочных лишних связей, по сравнению с соответствующей статически опре­делимой системой оказывается более жесткой.

2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.

3. Разрушение лишних связей в нагруженном состоянии, не ведет к разрушению всей системы в целом, так как удаление этих связей приводит к новой геометрически неизменяемой системе, в то время как потеря связи в статически определимой системе приводит к изменяемой системе.

4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.

5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.

6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадка опор, неточности изготовления и монтажа вызывают появление дополнительных усилий.

Метод сил. При расчете по методу сил основными искомыми величи­нами являются усилия в лишних связях. Знание усилий в лишних связях позволит по методу сечений выполнять полный расчет по определению усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов заданной системы.

Степень статической неопределимости системы

Перед расчетом статически неопределимой конструкции необходимо сначала определить степень статической неопределимости рассматриваемойсистемы. Для балок и простых рам степень статической неопределимости равна числу лишних опорных связей. В каждой связи возникает опорная реакция, поэтому степень статической неопределимости можно найти, сосчитав разность между количеством неизвестных опорных реакций и числом независимых уравнений статики.

Например, балка на рис. 1, а является один раз статически неопределимой, так как имеет 4 связи и 4 неизвестные опорные реакции, а количество независимых уравнений равновесия – 3. В раме, показанной на рис. 3, а , число наложенных связей и опорных реакций в них равно 5, и эта рама является дважды статически неопределимой. Если в один из стержней балки (рамы) врезан шарнир, то количество связей уменьшается на единицу, так как становится возможным взаимный поворот сечений, примыкающих к шарниру. Появляется дополнительное уравнение для определения опорных реакций: «изгибающий момент в шарнире равен нулю» или можно сказать по-другому: «сумма моментов всех сил, расположенных слева (или справа) от шарнира, равна нулю». Так, балка с врезанным в точке Е шарниром, показанная на рис. 2, а , является один раз статически неопределимой: от 5 опорных связей надо вычесть одну связь, связанную с наличием дополнительного шарнира в точке Е . Из четырех оставшихся связей одна является лишней. Можно сосчитать степень статической неопределимости этой балки и иначе: для определения пяти опорных реакций можно составить четыре уравнения статики (дополнительное уравнение «изгибающий момент в шарнире Е равен нулю»). Разность между числом реакций и количеством уравнений статики равна единице, то есть балка один раз статически неопределима.

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил . Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе решения неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил».

Алгоритм расчета методом сил

Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:

1. Определить степень статической неопределимости.

2. Выбрать основную систему.

3. Сформировать эквивалентную систему.

4. Записать систему канонических уравнений.

5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.

6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.

7. Построить суммарную единичную эпюру.

Выбор основной системы

Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной систе­мы . После того как дополнительные связи отброшены и система превращена в статически определимую, необходимо ввести вместо связей неизвестные силовые факторы, которые принято называть лишними неизвестными . В тех сечениях, где запрещены линейные перемещения, вводятся силы. Там, где запрещены угловые смещения, вводятся моменты. Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать X i , где i — номер неизвестного. Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы. Заметим, что для внутренних связей силы X i , — являются взаимными. Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные друг другу силы и моменты прикладываются как к правой, так и к левой частям системы.

Основную систему с приложенными к ней лишними неизвестными Х 1 , Х 2 . X n и внешней нагрузкой Р называют эквивалентной системой при условии, что её действительные перемещения согласуются с наложенными на исходную систему связями. Для каждой статически неопределимой заданной системы (рис. 10, а ) можно подобрать, как правило, различные основные системы (рис. 10, б , в ), однако их должно объединять следующее условие  основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой (т.е. не должна менять свою гео­метрию без деформаций элементов).

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Канонические уравнения метода сил

В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i -ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид:

где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. — это перемещение по направлению i -ой связи, вызванное реакцией k -ой связи; — перемещение по направлениюi -ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки.

В методе сил реакцию k -ой связи принято обозначать через . С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещенияможно представить в виде:

где — единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакциейт.е. реакцией, совпадающей по направлению сX k , но равной единице.

Подставляя (14.3) в (14.2), получим:

Физический смысл уравнения (14.4): перемещение в основной системе по направлению i -ой отброшенной связи равно нулю.

Записывая выражения, аналогичные (14.4), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений(14.5)

Здесь Физический смысл коэффициентов канонических уравнений– единичные перемещения;,– моменты от единичных сил, приложенных в направлении неизвестных,;– изгибная жесткость. Обобщенные перемещенияФизический смысл коэффициентов канонических уравненийназываются грузовыми перемещениями;– изгибающий момент, вызываемыйi й единичной силой; – изгибающий момент, который вызван системой внешних сил.

Единичные перемещения делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы (), и побочные (,). Главные перемещения всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е., это свойство называется закономпарности коэффициентов при неизвестных.

Вид уравнения (14.5), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.

Основы метода сил

1.1 Основные понятия о статически неопределимых стержневых системах. Их свойства. Методы расчета.

Статически неопределимыми стержневыми системами назовем такие, для расчета которых недостаточно одних уравнений равновесия. Другими словами, статически неопределимыми системами являются те, на которые наложено большее число связей, чем необходимо с точки зрения обеспечения геометрической неизменяемости.

Различают два основных типа статически неопределимых систем – внешне и внутренне статически неопределимые. Конечно, возможен случай, когда стержневая система статически неопределима внешне и внутренне, т.е. смешанная.

Внешне статически неопределимой системой является та стержневая система, на которую наложено большее число связей в виде опорных стержней – рис. 1.1 а.

Число «лишних» связей при внешней статической неопределимости определяется по формуле:

где Д – число жестких дисков, из которых состоит стержневая система;

Ш – число простых шарниров, соединяющих между собой жесткие диски. Если шарнир соединяет более двух дисков, то он называется кратным и равен d -1 простым шарнирам (d – число соединяемых дисков);

С о – число опорных стержней, наложенных на систему.

Если стержневая система обладает замкнутыми контурами, а число наложенных связей обеспечивает только геометрическую неизменяемость (рис. 1.1 б), то такая система является внутренне статически неопределимой. Так как каждый замкнутый контур трижды статически неопределим, а шарнир в нем понижает неопределимость на единицу, то не сложно вывести формулу:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений, где

К – число замкнутых контуров;

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений
к – число простых шарниров в замкнутых контурах.

В случае, когда стержневая система и внешне и внутренне статически неопределима (рис. 1.1 в), то степень статической неопределимости устанавливают путем суммирования внешней и внутренней статической неопределимости:

Статически неопределимые стержневые системы обладают рядом преимуществ по сравнению с уже известными нам статически определимыми:

Большей жесткостью из-за наличия «лишних» связей.

Перераспределением внутренних усилий пропорционально жесткостям стержней.

Надежностью в эксплуатации, так как выход из работы связи не ведет к разрушению всей конструкции, а приводит к понижению ее статической неопределимости и перераспределением внутренних усилий.

Тепловое воздействие, осадка опор, неточность монтажа вызывают появление внутренних усилий. Это свойство требует учета перечисленных факторов воздействия в процессе проектирования, возведения и эксплуатации сооружений.

Для расчета статически неопределимых систем разработаны два основных метода: метод сил и метод перемещений .

В методе сил центральной задачей является определение усилий в «лишних» связях, а в методе перемещений – определение перемещений (угловых и линейных) всех узлов стержневой системы.

На базе основных методов разработаны и другие – комбинированный и смешанный.

Все перечисленные методы относятся к классическим и ориентированы в основном на ручной расчет, хотя с развитием вычислительной техники удалось в той или иной мере приспособить их к автоматизации расчетов.

В настоящее время широко применяется метод конечных элементов (МКЭ) ­– метод, изначально разработанный для реализации на ЭВМ. На его базе разработаны ряд вычислительных комплексов – «Лира», «Мираж», «Скад» и др..

1.2. Сущность метода сил

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений
ассмотрим внешне статически неопределимую стержневую систему (рис. 1.2 а). Она обладает двумя «лишними связями, т.е. является дважды статически неопределимой:

Заменим «лишние связи неизвестными усилиями (рис. 1.2.б). Если неизвестные усилия Х 1 и Х 2 примут значения усилий опорных реакций H A и V A , то вторая схема станет эквивалентной первой, но при этом будет статически определимой. Назовем ее основной системой метода сил .

Таким образом, для решения статически неопределимой рамы необходимо перейти к статически определимой, ей эквивалентной. Если найти каким-то образом усилия в «лишних» связях, то не будет уже сложным рассчитать статически определимую раму (основную систему метода сил) на действие заданной внешней нагрузки и известных уже усилий х 1 и х 2 .

Из сравнения заданной статически неопределимой рамы и выбранной основной системы (статически определимой) следует, что с кинематической точки зрения они будут эквивалентны лишь в случае, если перемещения по направлению отброшенных связей в основной системе будут равны перемещениям в заданной, т.е. равны нулю:

В общем случае, когда отброшено к «лишних» связей:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений,

где – перемещение точки приложения силы x i по ее направлению от действительной силы x k , нам неизвестной;

iP х i по ее направлению от заданной нагрузки (умеем находить).

ik – перемещение точки приложения силы х i по ее направлению от

силы в основной системе, статически определимой, которое умеем находить).

Тогда условие эквивалентности основной системы заданной статически неопределимой рамы можно записать так:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Физический смысл полученной системы уравнений – канонических уравнений метода сил в том, что перемещения по направлению отброшенных связей равны нулю.

Из решения канонических уравнений метода сил и находятся искомые величины неизвестных усилий х i .

После определения неизвестных усилий х i можно рассчитать основную систему как статически определимую, загруженную заданной нагрузкой и найденными усилиями х i .

1.3. Порядок расчета статически неопределимых рам методом сил.

В силу того, что речь идет о ручном расчете статически неопределимых стержневых систем, то наряду с самим расчетом нам важна вторая сторона действия – контроль за расчетом. В связи с этим был выработан достаточно оптимальный алгоритм метода сил, а именно:

1. Определяем степень статической неопределимости (количество «лишних» связей):

– внешне статически неопределимая система:

– внутренне статически неопределимая система:

– смешанная статическая неопределимость:

2. Выбираем основную систему метода сил (статически определимую, геометрически неизменяемую) путем замены «лишних» связей неизвестными усилиями x i .

3. Запишем систему канонических уравнений метода сил, отражающую условие равенства нулю перемещений по направлению отброшенных «лишних» связей (она в определенной мере подскажет ход последующих действий):

5. Произведем проверку правильности определения коэффициентов ik и iP . Для этого построим вспомогательную суммарную единичную эпюру изгибающих моментов – :

Применяются следующие проверки:

– универсальная: Физический смысл коэффициентов канонических уравнений;

– построчная: Физический смысл коэффициентов канонических уравнений;

­– постолбцовая Физический смысл коэффициентов канонических уравнений;

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений.

6. Из решения системы канонических уравнений находим усилия x i .

7. Строим окончательную эпюру изгибающих моментов М ок путем наложения (сложения откорректированных эпюр с эпюрой М Р ):

или Физический смысл коэффициентов канонических уравнений.

8. Проверим правильность построенной эпюры М ок . Для этого определим суммарное перемещение по направлению отброшенных связей в основной системе, которое должно равняться нулю – полная деформационная проверка:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений,

а также в качестве проверки и для сужения области допущенной ошибки вычисляется перемещение по направлению конкретной i -й связи, которое также равно нулю:

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений.

9. Эпюру поперечных сил можно построить двумя способами:

­– используя построенную эпюру М ок и схемы загружения рассматриваемого стержня, в котором устанавливается поперечная сила, так как , то

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений,

где – эпюра поперечных сил в рассматриваемом стержне от внешней нагрузки (чаще всего распределенной), когда стержень представлен балкой на двух шарнирных опорах;

М пр и М лев – соответственно правый и левый изгибающие моменты на концах стержня в эпюре М ок ;

– длина рассматриваемого стержня.

10. Эпюру нормальных сил также можно построить двумя способами:

– традиционно, по участкам, с использованием метода сечений, рассматривая равновесие одной из отсеченных частей основной системы под действием внешней нагрузки и усилий x i (объединив с определением поперечных сил);

– используя условие статического равновесия узлов под действием нормальных – неизвестных и поперечных, известных из эпюры Q , сил.

После построения эпюр поперечных и нормальных сил проводим проверку результатов решения, используя для этого ранее не применявшиеся способы определения сила и воля (зачастую неосознаваемые.

Розрахунок двошарнірної арки методом сил

. ідомих методу сил Вибір основної системи методу сил Запис канонічного рівняння методу сил Визначення. який опирається на нерухому основу за допомогою чотирьох опорних в’язей. є основне невідоме методу сил . 3.Для основної системи методу сил канонічне рівняння.

Основы научных исследований (2)

Непосредственную производительную силу . Методология научного исследования *Классификация методов научного исследования. Методы эмпирического (. и др.). В результате исследований на основе метода научной абстракции формулируются экономические законы.

Методы исследования социально-экономических и политических процессов

3.1 Теоретико-методологические основы методов социально-экономического прогнозирования 3.2 Классификация методов прогнозирования ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК. параметры функционирования отдельных элементов производительных сил в их взаимосвязи и взаимозависимости. .

1. Метод определения внутренних усилий в упругих системах – метод сечений (РОЗУ).

Так как внутренние силы взаимно уравновешены и стоит задача выразить их через внешние, то необходимо выполнить такую операцию, чтобы внутренние силы стали явными.

Например для стержня можно применить прием мысленного рассечения на две части плоскостью, перпендикулярной продольной оси. Затем отбросить одну из полученных частей, что позволяет превратить внутренние силы, для целого стержня, во внешние для оставленной части стержня.

Силы взаимодействия будут в каждой точке проведенного сечения.

Эту систему большого числа сил по правилам теоретической механики можно привести к одной точке (центру тяжести поперечного сечения), в результате чего получим главный вектор R и главный момент М.

2. Отбрасываем отсеченную часть (левую или правую).

Теперь спроецируем на три оси (продольную z и две взаимно-перпендикулярные поперечные х и у). В результате получим шесть внутренних силовых факторов: три силы N, Qx Qy и три момента Мx, My и Мz.

Сила N называется продольной силой, силы Qx и Qy — поперечные силы. Момент относительно оси z — Мz — крутящий момент; и моменты Мx, My относительно поперечных осей — изгибающие.

Каждому из внутренних усилий соответствует определенный вид деформации (изменение формы), бруса. Например, продопьной силе N соответствует растяжение (или сжатие) бруса.

Таким образом, рассматривается одна из полученных при рассечении частей стержня, которая нагружена приложенными к этой части внешними силами и шестью внутренними усилиями (рис. 1.8).

Для установления связи внутренних и внешних сил можно к этой части применить уравнения равновесия, (уравновешиваем), так как известно, что если тело находится в целом в равновесии, то в равновесии и любая его часть.

2.1. Обобщенная формула Максвелла-Мора для определения перемещений в плоских стержневых системах (балки, рамы, фермы).

где ∆кр- искомое перемещение в стержневой системе по направлению К от причины Р – внешней максимальной нагрузки;

n – максимальное количество участков, на которое разбивается система при построении эпюр внутренних усилий;

li – длина i -го участка;

Mp, Qp, Np – грузовые эпюры внутренних усилий на i -м участке, построенные от действия внешней нагрузки Р;

Mк, Qк, Nк – единичные эпюры внутренних усилий на i -м участке, построенные от действия общей единичной нагрузки Рк=1, приложенной в месте и направлении искомого перемещения;

k – безразмерный коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения (при  =1,2; I =1,16);

EI , GF , EF – изгибная, сдвиговая, осевая жесткости i -го участка;

Первое слагаемое в скобках – для расчета балок и рам, третье – для расчета ферм, первое и третье в сумме – для расчета арок.

Например, для ферм:

2.2. Правило Верещагина.

Применимо для балок, рам и арок.

При вычислении интегралов вместо аналитических выражений моментов используются их эпюры. Т.е. значение ∆кр можно найти по способу Верещагина, перемножив эпюры Мp и Мк.

Перемножить две эпюры — значит площадь нелинейной эпюры изгибающих моментов умножить на ординату другой обязательно линейной эпюры, находящейся под центром тяжести первой, и результат разделить на жесткость (в случаях, когда на данном участке обе эпюры линейны, совершенно безразлично, на какой из них брать площадь, а на какой ординату).

где  — площадь произвольной фигуры;

Мc — ордината прямолинейной эпюры, соответствующей центру тяжести площади 

(с – центр тяжести эпюры)

Другими словами, интеграл Мора решается следующим образом:

3. Сущность расчета статически неопределимых систем методом сил.

1. Определяем степень статической неопределимости системы по формуле Коперника:

Где — число лишних связей, К – число замкнутых контуров, число шарниров, Со – число опорных связей.

2. Составляем рациональный вариант основной системы – это система, освобожденная от дополнительных связей. Такая система статически определима. Но вместо отброшенных связей необходимо ввести неизвестные силовые факторы.

Новая система будет называться эквивалентной. Важно, чтобы система оставалась статически неизменяемой.

3. Строим единичные эпюры от усилий Xi=1, совпадающих по направлению с неизвестными силовыми факторами, грузовую эпюру Мр.

5. Решаем систему канонических уравнений метода сил, получаем искомые неизвестные силовые факторы:

8. При необходимости производим проверки: деформационная для моментов и статическая для поперечных и продольных сил.

4. Сущность расчета статически неопределимых систем методом перемещений.

1. Определяем степень кинематической неопределимости системы по формуле:

Где ny – число углов поворота жестких узлов системы, nл – число независимых линейных перемещений рамы, связанных с изгибом ее элементов.

Строим основную систему метода перемещений, путем отбрасывания неизвестных перемещений: в жесткие узлы включаем плавающие заделки, фиксирующие углы поворота этих узлов; линейные смещения фиксируем соответствующими линейными связями.

3. Заменяем основную систему на эквивалентную, вводя вместо неизвестных силовых факторов единичные усилия Z i=1.

Строим единичные эпюры моментов от Z i=1, грузовую эпюру моментов Мр.

4. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения перемножением единичных эпюр: .

Вычисляем свободные члены канонического уравнения перемножением грузовых и единичных эпюр: .

5. Решаем систему канонических уравнений метода перемещений, получаем искомые неизвестные силовые факторы:

6. В исходной системе строим эпюру.

7. Строим эпюру, строим эпюру.

8. Канонические уравнения являются уравнениями совместности перемещений исходной и основной систем по направлению отброшенных связей.

5. Понятие об определении частот и форм собственных колебаний.

где m 1=2 m , m 2= m +2 m =3 m , i , j = 1, 2, причем Mi от Ii =1, W – частота собственных колебаний системы.

Раскрывая определитель, получаем квадратное уравнение, корнями которого будут частоты W 1 и W 2, составляющие спектр частот, причем меньшая W будет называться частотой основного тона или опасной частотой собственных колебаний.

Форма колебаний определяется соотношением амплитудных перемещений присоединенных масс. Для определения формы колебаний используют канонические уравнения метода максимальных инерционных сил:

Где Ai – амплитуда i-й массы

6.1. Краткая характеристика методов расчета упругих систем на устойчивость: статический.

Физический смысл коэффициентов канонических уравненийРкр — ?

; (с – коэфф. жесткости пружины).

Рассматривается новая, иная форма равновесия. Для новой формы записываются уравнения равновесия статики, из которых определяются критические значения сжимающей нагрузки Ркр.

6.2. Краткая характеристика методов расчета упругих систем на устойчивость: энергетический.

А – работа внешних сил, П – потенциальная энергия.

При А≥П – система неустойчива, А 0 – система устойчива;

б) б2Э=0 – система безразлична;

в) б2Э 0 – система неустойчива.

6.3. Краткая характеристика методов расчета упругих систем на устойчивость: динамический.

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

P = P кр тогда W  0

7. Вид канонических уравнений метода перемещений при расчете рам на устойчивость.

Для отыскания критического состояния системы, исходное равновесие которой обозначено штриховыми линиями на рисунке соответствии с принципом малых возмущений задается отклонение некоторым малым воздействием (сила Т). Возмущенное состояние системы характеризуется искривлением первоначально прямых стержней и возникновением в общем случае поворотов и линейных смещений узлов. Эти линейные и угловые перемещения узлов принимаются за основные неизвестные в расчете на устойчивость методом перемещений.

Система канонических уравнений метода перемещений для расчета на устойчивость:

или в развернутом виде:

Матричная форма записи канонических уравнений:

Матрица внешней жесткости основной системы;

Так как rik является функцией V, то рассчитав определитель матрицы (уравнение устойчивости), найдем Vкр. Таким образом можно найти Ркр:

Канонические уравнения описывают возмущенное состояние системы, качественно альтернативное исходному. Они линейны относительно основных неизвестных Z и однородны (не имеют свободных членов) – это следствие использования предпосылок линейной теории устойчивости.

Компоненты rik матрицы внешней жесткости представляют собой реакции введенных связей в единичных состояниях основной системы (от единичных смещений этих связей). Для определения rik можно использовать те же способы, что при расчетах на прочность.

определимую систему, что не соответствует действительности. Это тот случай, когда сам диск статически неопределим, т.е. содержит лишние связи. Мы не можем определить усилия в стержнях, ограничивающих замкнутый контур с помощью уравнений статики. Пользуясь, например, способом сечений и отсекая часть контура сквозным сечением 1-1, (рис. 2.2б) мы неизбежно перерезаем два стержня, а в сечении каждого из этих стержней будут три неизвестных усилия (M , Q иN ). Эти неизвестные шесть усилий невозможно найти с помощь трех уравнений статического равновесия, используемых для расчетов статически определимых плоских систем, поэтому рама на рис. 2.2б трижды статически неопределима. Убедимся в этом, определим число лишних связей в этой раме по формуле (2.2), т.е.:Л = 3К − Ш = 3 1− 0= 3.

Степень статической неопределимости рам, изображенных на рис. 2.2в, г по формуле (2.1) соответственно равна:

Л = 2 1+ 6− 3 2= 2 ;Л = 2 4+ 9− 3 3= 8, и по формуле (2.2)Л = 3 3− 7= 2 иЛ = 3 6− 10= 8.

В шарнирно-стержневых системах (фермах) число лишних связей можно находить по формуле (2.1), но удобнее пользоваться по известной из

первой части курса формулой

C иУ – количество стержней и узлов в структуре системы,

С on – соответственно число опорных стержней и узлов.

Последнее слагаемое в формуле (2.3) соответствует двум степеням сво-

боды каждого узла как точки в плоскости.

В неразрезных балках число лишних связей удобно находить по фор-

т.е. из общего числа опорных связей необходимо вычесть три связи, минимально необходимые для закрепления тела в плоскости.

Степень статической неопределимости системы является важным ее показателем, от которого зависит весь дальнейший расчет методом сил. Поэтому необхо-

димо научиться правильно пользоваться приведенными выше формулами.

2.2. Свойства статически неопределимых систем

Лишние связи накладывают отпечаток на характер работы системы. Они изменяют ее напряженно-деформированное состояние по качественному и количественному признакам. В этом легко убедиться на примере простой системы – двухпролетной неразрезной балки, изображенной на рис. 2.3а, содержащей одну лишнюю связь.

В заданной системе по формуле

т.е., балка один раз статически неопределима. Рассмотрим два напряжен- но-деформированных состояния этой балки: в первом состоянии удалим лишнюю связь, отбросив опорный стержень на опореB (балка стала статически определимой), и построим эпюру изгибающих моментов(M ) в

этой системе от заданной нагрузки q

Максимальный изгибающий момент будет M max = q (2 8 l ) 2 = q 2 l 2 .

В этом состоянии сечение балки, совпадающее с опорой B , будет иметь линейное перемещение по вертикали.

Во втором состоянии (рис. 2.3в) рассмотрим балку статически неопределимой, сохранив опору B , как указано на рис. 2.3а. Эпюра изгибающих моментов в этом случае от действия одной и той же нагрузки имеет совершенно

же его знак), а в серединах пролетов значения изгибающих моментов равны

M 1 = M 2 = q l 2 , что существенно меньше изгибающих моментов в этих сече16

ниях в однопролетной балке, равных 8 3 q l 2 .

В этом состоянии (рис. 2.3в) перемещение по вертикали на опоре B отсутствует, так как в указанном направлении имеется связь.

Как видим, избыточная связь оказала существенное влияние на характер распределения изгибающих моментов в балке и ее перемещения. Аналогичным образом можно показать изменение распределения, например, поперечных сил в сечениях этой балки.

Отметим основные общие свойства, присущие статически неопределимым системам:

1. Усилия в элементах статически неопределимых систем зависят, в общем случае, от размеров поперечных сечений и модулей упругости материала этих элементов (от соотношения жесткостей элементов).

Это вытекает из определения статически неопределимых систем (п.2.1.). Так как в дополнительных уравнениях отыскиваются перемещения, то эта операция может быть выполнена, например, с помощью формулы Мора, которая при действии внешних нагрузок имеет вид:

Из формулы (2.5) следует, что мы не можем определять перемещения не учитывая жесткости элементов системы, и поэтому не сможем рассчитать статически неопределимую систему.

2. В элементах статически неопределимых систем при отсутствии внешней нагрузки могут возникать усилия, вызываемые неравномерным смещением опор, изменением температуры окружающей среды, или неточностью сборки. На рис. 2.4 приведена неразрезная балка (Л =4), третья опора которой сместилась на величинуC 3 и произошел изгиб балки по всей

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

ее длине по некоторой кривой y (x ) . На основании известной зависимости

EIy ′′ (x ) = M x можно утверждать, что во всех сечениях балки возникнут изгибающие моменты, а также поперечные силы, ввиду взаимосвязи

Однопролетная балка с обоими защемленными концами (Л =3), изображенная на рис. 2.5, неизбежно выпучиться при одностороннем увели-

3. Статически неопределимые системы можно рассматривать как усложненные в сравнении со статически определимыми, послужившими основной для образования соответствующих статически неопределимых систем. Поэтому, выход из строя даже всех избыточных связей (кроме абсолютно необходимых), не приведет к изменяемости системы. Произойдет перераспределение усилий в элементах системы, но система, как таковая, останется неизменяемой и в определенной мере пригодной по своему назначению. Выход из строя хотя бы одного элемента в статически определимой системе приводит к ее изменяемости. Поэтому статически неопределимые системы обладают большей «живучестью» в буквальном смысле этого слова.

4. Усилия и перемещения в статически неопределимых системах, как правило, меньше в сравнении с их значениями в исходных статически определимых системах. Это обусловлено большей взаимосвязанностью элементов статически неопределимой системы, большей возможностью пере-

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

распределения усилий между ее элементами (см. рис. 2.3).

5. При заданных внешних воздействиях статически неопределимая система допускает бесконечное множество состояний статического равновесия. В этом можно убедиться на примере неразрезной балки с одной лишней связью, нагруженной внешними нагрузками (рис. 2.6а). Отбросим любую условно необходимую связь, например, обозначенную цифрой 3, и усилие в этой

связи обозначим через X 1 (рис. 2.6б).

Причисляя силу X 1 к внешним на-

грузкам, можно принимать любые ее

значения и будут соблюдаться условия

равновесия системы под действием

совокупной нагрузки, включающей заданные внешние нагрузки и силу X 1 .

Это особенность статически неопределимых систем в отличие от статически определимых, в которых заданному загружению нагрузками соответствует одно единственное условие статического равновесия и оно является истинным.

Расчет статически неопределимой системы состоит в том, чтобы из множества возможных равновесных состояний системы отыскать то единственное (истинное), которое удовлетворяло бы условиям статического равновесия и остальным условиям напряженно-деформированного состояния системы, например, перемещениямвыбранныхсеченийпоизвестнымнаправлениям.

2.3. Методы расчета статически неопределимых систем

Выше (п. 2.2) приведено одно из свойств статически неопределимых систем, согласно которому усилия в элементах системы зависят от жесткости этих элементов. Поэтому, прежде чем рассчитывать такую систему, необходимо назначить сечения ее элементов. Жесткости этих элементов будут учитываться в процессе расчета. Эта операция неизбежна независимо от того, каким методом рассчитывается система. По существу, выполняется повероч-

ный расчет: по заданной геометрической схеме, нагрузкам и принятым сечениям определяются усилия в элементах системы, по которым вновь подбираются сечения элементов. Если полученные по усилиям сечения элементов отличаются от ранее принятых более, чем на 20%, то расчет повторяют, приняв за исходные найденные сечения первого приближения.

Метод расчета статически неопределимых систем определяется выбором основных неизвестных. Если в качестве основных неизвестных принимаются усилия в лишних связях системы, то метод расчета условились называть методом сил , а если основными неизвестными являются перемещения узлов системы, то – метод перемещений . Если основными неизвестными в рассчитываемой системе приняты одновременно усилия и перемещения, то метод называетсясмешанным .

Основными классическими методами расчета статически неопределимых систем являются названные методы, которые с учетом принимаемых допущений относятся к точным методам.

Ниже рассмотрены метод сил и метод перемещений, дано их теоретическое обоснование и приведены примеры численного решения конкретных задач.

Расчет стержневых систем методом сил

3.1. Сущность метода сил. Канонические уравнения

Метод сил исторически был первым методом, которым рассчитывали статически неопределимые системы. Он применим к любым статически неопределимым системам, является хорошей основой для создания и совершенствования других точных и приближенных методов. Особенность метода сил состоит в том, что ход расчета этим методом зависит от степени статической неопределимости заданной системы, т.е. от числа лишних связей в этой системе. Чем больше в заданной системе избыточных (лишних) связей, тем более трудоемок ее расчет.

В расчете систем методом сил можно выделить следующие основные этапы:

1. Устанавливают степень статической неопределимости системы (по формулам (2.1) ÷ (2.4) в зависимости от типа заданной системы).

2. Выбирают так называемую основную систему (О.С.), отбрасывая избыточные связи. Связи могут быть отброшены любые, но полученная основная система должна оставаться геометрически неизменяемой в целом и в отдельных своих частях.

Основная система может быть принята статически определимой (отброшены все лишние связи), или же статически неопределимой (отброшено часть связей). Мы будем пользоваться статически определимой основной системой, как более простой и удобной в выполнении расчета.

Для одной и той же заданной системы может быть найдено много вариантов статически определимых систем. Нужно стремиться отыскать такую основную систему, которая позволяет более просто выполнять расчет.

3. Отброшенные в основной системе лишние связи заменяются усилиями в этих связях, которые принимают за основные неизвестные.

4. Значения основных неизвестных находят из условий, что сум-

марные перемещения по направлениям отброшенных лишних связей в основной и заданной системе должны быть одинаковы. Если к основной системе приложены те же внешние нагрузки, что и в заданной системе, а отброшенные связи заменены усилиями в этих связях, то заданная и основная система будут эквивалентны по напряженно-деформированному состоянию. Усилия во всех сечениях всех элементов в обоих случаях останутся одинаковыми, а так же одинаковы будут все перемещения этих систем.

5. Определив основные неизвестные, заданную статически неопределимую систему можно заменить статически определимой основной системой, для которой в качестве нагрузок будут заданные внешние силы и усилия

в отброшенных связях. Усилия и перемещения в основной системе уже могут быть найдены методами расчета статически определимых систем, изученными в первой части курса.

Как видим, определить усилия в лишних связях статически неопределимой системы – это значит раскрыть ее статическую неопределимость.

Ход расчета статически неопределимой системы методом сил рассмотрим на примере рамы, изображенной на рис. 3.1а. Заданная система содержит

две лишние связи. Возможный вариант основной системы показан на рис. 3.1б, где неизвестными приняты опорная реакция (X 1 ) и изгибающий момент

в сечении ригеля справа от стойки (X 2 ) .

Заданная система и принятая основная система должны быть эквивалентны. Усилия во всех сечениях элементов и перемещения этих сечений в обоих случаях должны быть одинаковы. Принятая нами основная система отличается от заданной тем, что допускает перемещения по направлениям отброшенных связей. Если обеспечить условия, при которых полные перемещения в основной системе по направлениям отброшенных связей равны нулю, то это соответствует заданной системе и поэтому исчезает различие между заданной и основной системой. Найдем полные перемещения по направлениям отброшенных связей и, выполняя необходимые условия, примем эти перемещения равными нулю.

Физический смысл коэффициентов канонических уравнений

Пользуясь принципом независимости действия сил, (рассматривается линейнодеформируемая система) полные перемещения по направлению отброшенных связей можно записать в виде:

где первое уравнение системы (а) выражает суммарное перемещение (линейное) точки приложения силы X 1 по направлению отброшенной вертикальной связи, а второе – суммарное перемещение (взаимный угол поворота) сечений, примыкающих к введенному шарниру. Выясним смысл слагаемых этих уравнений.

В первом уравнении δ 11 – перемещение точки приложения силыX 1 по направлению силыX 1 , вызванное этой же силойX 1 = 1, аδ 11 X 1 – перемеще-

ние той же точки по тому же направлению, вызванное фактическим значением силы X 1 в основной системе. Второе слагаемое этого уравненияδ 12 X 2

выражает перемещение точки приложения силы X 1 в основной системе по направлению этой силы, вызванное силой (моментом)X 2 , а∆ 1 p – переме-

щение той же точки в основной системе по тому же направлению, вызванное заданными нагрузками. Суммарное перемещение точки приложения силы X 1

по направлению этой силы должно быть равно нулю, так как в заданной системе по этому направлению имеется связь и перемещение невозможно. Слагаемые второго уравнения выражают взаимный угол поворота сечений, примыкающих к сквозному шарниру в основной системе. Суммарный взаимный угол поворота сечений должен быть равен нулю, так как в заданной системе в этом месте нет разреза ригеля и перелом упругой линии невозможен.

δ 21X 1+ δ 22X 2+ δ 23X 3+ L

+ δ 2 n X n + ∆2 p =0;

Каждое уравнение системы (3.1) выражает суммарное перемещение по направлению отбрасываемой связи, и канонические уравнения метода сил являются кинематическими уравнениями . Таков механический смысл уравнений метода сил.

Перемещения в системе уравнений (3.1) обладают следующими свойствами: δ ii , расположенные на главной диагонали (на прямой слева вниз на-

право), не могут быть отрицательными или равными нулю; побочные коэффициенты δ ik обладают свойством взаимности (δ ik = δ ki на основании тео-

ремы о взаимности перемещений) и могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Свободные члены уравнений ∆ iP могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Выше показано, что каждое каноническое уравнение метода сил выражает суммарное перемещение определенного вида по направлению отбрасываемой связи. Характер этого суммарного перемещения зависит от типа принятого в основной системе неизвестногоX i . Например, для рамы, изобра-

женной на рис. 3.2а, обладающей семью избыточными связями, может быть принята основная система, как показано на рис. 3.2,б.

В данном примере имеем семь канонических уравнений. Каждое из

🎦 Видео

Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"Скачать

Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"

ЧК_МИФ: 4.1.1.ДФ_1 Физический смысл уравнений МаксвеллаСкачать

ЧК_МИФ: 4.1.1.ДФ_1 Физический смысл уравнений  Максвелла

Приведение линейного уравнения в частных производных c постоянными коэфф--ми к каноническому виду.Скачать

Приведение линейного уравнения в частных производных c постоянными коэфф--ми к каноническому виду.

Расчет статически неопределимой рамы методом сил на изменение температурыСкачать

Расчет статически неопределимой рамы методом сил на изменение температуры

Геометрический смысл дифференциального уравненияСкачать

Геометрический смысл дифференциального уравнения

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

2.1. Метод характеристик. Задача Коши для гиперболического уравнения на плоскости.Скачать

2.1. Метод характеристик. Задача Коши для гиперболического уравнения на плоскости.
Поделиться или сохранить к себе: