Физические задачи с дифференциальными уравнениями (7 видео)

Содержание

Физические задачи с дифференциальными уравнениями
Физические задачи с дифференциальными уравнениями
Задачи на тему Дифференциальные уравнения движения
🎥 Видео

Видео:Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать

Физические задачи с дифференциальными уравнениями

Примеры решения задач по механике, требующих интегрирования дифференциальных уравнений

(Задачи взяты из задачника: И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», М.: Наука, 1981г., 460с.)

Задача №1. Пример задачи, приводящей к интегрированию дифференциальных уравнений методом разделения переменных.

При движении тела в неоднородной среде сила сопротивления изменяется по закону Н, где v – скорость тела в м/с, а s – пройденный путь в метрах. Определить пройденный путь как функцию времени, если начальная скорость v ₀=5 м/с.

Будем считать, что движение происходит вдоль оси 0Х, и что при t =0 тело находилось в начале координат, тогда проекция на ось 0Х силы, действующей на тело, может быть записана в виде

С учётом этого выражения, имеем следующее уравнение движения (считая массу тела m =1 кг)

, (1)

которое дополняется начальными условиями

, (2)

Решение уравнения второго порядка (1) можно свести к двум последовательным интегрированиям дифференциальных уравнений первого порядка. Чтобы получить первое уравнение, перепишем (1) в виде:

, (3)

и домножим на dt левую и правую части (3), учитывая при этом, что dx = v_xdt , получим:

, или (4)

Это уравнение с разделяющимися переменными (вида (1.5) из Раздела №1 Части I ). Очевидно, что оно, дополняется начальным условием, следующим из (2):

(5)

Разделив переменные в (4), в соответствие с формулой (1.7):

вычисляя данные интегралы, получим частный интеграл уравнения (4) (в форме (В.4) из Введения к Части I ):

(6)

Выразив отсюда v_x , будем иметь частное решение уравнения (4) (в форме (В.6) из Введения к Части I ):

(7)

Заменяя теперь в (7)

мы снова получаем уравнение с разделяющимися переменными (вида (1.1) из Раздела №1 Части I )

(8)

Разделяя в (8) переменные, с учётом начального условия (2), ищем частный интеграл этого уравнения (в виде (1.4) из Раздела №1 Части I ):

(9)

Вычисляя интегралы в (9), получим:

(10)

— частный интеграл уравнения (8) в форме (В.4) из Введения к Части I. Выражая отсюда x , получим частное решение уравнения (8):

, (11)

которое одновременно является и частным решением уравнения движения (1), удовлетворяющим начальным условиям (2), то есть, представляет собой закон движения тела (координата x , (или в данном случае путь), как функция времени). Таким образом, решение исходного уравнения движения второго порядка (1) в процессе решения задачи было сведено к интегрированию двух уравнений первого порядка с разделяющимися переменными (4) и (8).

Задача №2. Пример задачи, приводящей к интегрированию линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Тело К, размерами которого можно пренебречь, установлено в верхней точке А шероховатой поверхности неподвижного полуцилиндра радиуса R . Какую начальную горизонтальную скорость , направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно начав движение, остановилось на поверхности цилиндра, если коэффициенты трения скольжения при движении и покое одинаковы и равны .

Расставляем силы, действующие на тело, и записываем второй закон Ньютона:

Спроектируем данное равенство на направление движения и перпендикулярное ему. Эти направления указаны на рисунке векторами и . Таким образом, для описания движения мы используем естественный способ. В результате получим:

(1)

Здесь учтено, что центростремительное ускорение

Сделаем в первом уравнении в (1) замену переменной — перейдем от дифференцирования по времени к дифференцированию по углу :

(т.к. )

С учетом этой замены перепишем (1):

(2)

Домножая второе уравнение на , и вычитая из первого, получим:

(3)

Это уравнение типа (2.1) (из Раздела №2 Части I ), в котором независимой переменной вместо t является ; неизвестной функцией вместо ;

; .

Уравнение (3) дополняется начальным условием:

(4)

С учетом указанных обозначений, используя формулу (2.9) (из Раздела №2 Части I ), решение уравнения (3) можно записать в виде:

(5)

Вычисляя с помощью интегрирования по частям интервалы в (5) , окончательно получим:

(6)

По условиям задачи тело должно остановиться на поверхности; т.е. при каком-то угле .

Подставляя вместо в (6) выразим оттуда :

(7)

Значение угла можно выразить через , поскольку ;

то из уравнений (2) получим:

(8)

Отсюда: ;

(9)

;

из (7) будем иметь:

(10)

Следовательно, чтобы тело остановилось на шероховатой поверхности цилиндра, нужно, чтобы его начальная скорость не превосходила значение, определенного в (10).

Задача №3. Пример задачи, приводящей к решению линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Тело массы 5 кг подвешено к концу пружины жёсткости 20 Н/м и помещено в вязкую среду. Период его колебаний в этом случае равен 10 с. Найти постоянную демпфирования, логарифмический декремент колебаний и период свободных колебаний.

Выберем начало координат в положении статического равновесия тела и расставим силы, действующие на тело в процессе колебаний (считаем, что тело в данный момент времени движется вверх). Если АВ обозначает длину нерастянутой пружины, то отрезок ОВ представляет статическое удлинение пружины под действием силы mg . По закону Гука mg = k × ОВ, где k — коэффициент жёсткости пружины. Записываем второй закон Ньютона:

Проектируем это равенство на ось ОХ, учитывая, что

, .

В результате получим уравнение колебаний

, или (1)

где , .

Уравнение (1) представляет собой однородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (уравнение (1.1) Части II ). Для его решения используем схему, описанную в Разделе №1 Части II .

Составляем характеристическое уравнение:

. (2)

Вычисляем дискриминант уравнения (2):

. (3)

Поскольку в данном случае, в соответствие с условиями задачи движение тела носит колебательный (периодический) характер, то его координата должна изменяться со временем по гармоническому закону, то есть по закону косинуса или синуса. Для того же, чтобы решение уравнения (1) выражалось через данные функции, мы должны считать, что D (4)

где величины и определяются следующим образом:

, (5)

В случае отсутствия затухания (когда n =0), , и тело совершает свободные колебания с периодом с.

Если же n ¹ 0, то период колебаний, с учётом (5),:

Выражаем отсюда , и определяем постоянную демпфирования a (коэффициент пропорциональности в формуле для силы сопротивления):

Подставляя данные задачи, получим a =19 .

В соответствие со своим определением, логарифмический декремент затухания есть натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд, (то есть взятых через половину периода колебания ): . Вычисляя n и подставляя значение Т, получим =9,5.

Задача №4. Пример задачи, приводящей к решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для уменьшения действия на тело массы m возмущающей силы устанавливают пружинный амортизатор с жидкостным демпфером. Коэффициент жёсткости пружины k . Считая, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости ( ), найти максимальное динамическое давление всей системы на фундамент при установившихся колебаниях.

Направим ось 0 X вдоль направления движения, выбрав начало координат в положении статического равновесия тела. При этом считаем, что сила тяжести скомпенсирована силой статического сжатия пружины амортизатора. Записываем второй закон Ньютона:

Проектируем это равенство на ось ОХ, учитывая, что

, , .

В результате получим уравнение колебаний

, или , (1)

где обозначено , .

При колебаниях на фундамент действует сила, складывающаяся из силы деформации пружины и силы сопротивления, равная в соответствие с третьим законом Ньютона,

. (2)

Следовательно, для вычисления этой силы нужно знать уравнение движения тела , для чего необходимо решить уравнение (1). Поскольку в задаче рассматриваются уже установившиеся колебания, то есть рассматривается движение тела, установившееся по истечению достаточно большого промежутка времени от момента его начала. При этом тело будет совершать колебания с частотой вынуждающей силы. Поэтому мы должны найти частное решение уравнения (1), соответствующее этим вынужденным колебаниям. Для этого используем метод подбора по правой части. Представим, в соответствие с формулой (2.5) (из Раздела №2 Части II ) решение уравнения (1) в виде

(3)

Обозначим для краткости записи через и подставим (3) в (1):

Приравнивая коэффициенты при и , получим следующую систему уравнений:

Решая данную систему, находим

, (4)

Подставим (4) в (3):

(5)

Данную формулу, обозначая

, (6)

можно переписать в виде:

(7)

Подставим теперь (7) в (2):

(8)

, (9)

формулу (8) можно переписать в виде

(10)

Отсюда следует, что максимальное динамическое давление всей системы на фундамент равно

. (11)

Видео:Решение физических задач с помощью дифференциальных уравнений. Часть 2Скачать

Физические задачи с дифференциальными уравнениями

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра математического анализа

Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Выполнила: студентка 2 курса

Научный руководитель: к.ф.-м.н.,

доцент Сабитова Ю.К.

1. Электрические цепи

2. Распространение тепла

3. Построение ортогонального семейства кривых

4. Уравнение химической кинетики

5. Реактивное движение

6. Из пушки на Луну

7. Форма равновесия жидкости во вращающемся сосуде

8. Фокусирующее зеркало

10. Уравнение струны

В настоящее время складываются основы новой методологии научных исследований — математического моделирования.

Сущность этого исследования состоит в замене исходного объекта математической моделью, и решения поставленной задачи с помощью современных вычислительных средств.

Моделирование — это метод исследования каких-либо процессов, явлений, который предполагает создание искусственных или естественных систем, имитирующих существенные свойства оригинала.

Математическое моделирование в настоящий момент является одной из главных составляющих научно-технического прогресса. Без применения этой методологии не реализуется ни один крупномасштабный технологический, социальный, экологический проект.

В частности, в качестве математических моделей реальных процессов могут быть использованы дифференциальные уравнения. Довольно часто при изучении многих процессов, протекающих в природе, бывает довольно сложно установить зависимость между функциями, характеризующими те или иные величины. Но зато в некоторых случаях возможно установить связь между теми же функциями и их производными. Это приводит к уравнениям, содержащим неизвестные функции под знаком производной, то есть к дифференциальным уравнениям (с их помощью процесс может быть описан проще и полнее). Отрасль математического анализа, изучающая дифференциальные уравнения, является одной из самых важных по своим положениям.

Эффективность использования дифференциальных уравнений в качестве математических моделей обеспечивается историческими истоками самих дифференциальных уравнений и современными взглядами на многие законы природы с позиции дифференциальных уравнений, приложениями дифференциальных уравнений в современной науке и технике, развитием методов интегрирования и общей теории дифференциальных уравнений, высоким уровнем вычислительной математики и техники.

В различных областях человеческой деятельности возникает большое число задач, решение которых сводиться к дифференциальным уравнениям. Например, происходит какой-либо физический, химический или биологический процесс. Зачастую закономерности данного явления можно описать при помощи дифференциальных уравнений.

Тема курсовой работы обуславливает преимущественное рассмотрение физических процессов. Например, закон изменения температуры, давления или массы с течением времени. Если имеется достаточно полная информация о течении данного процесса, то строят его математическую модель. Во многих случаях такой моделью является дифференциальное уравнение, находят все его решения и выделяют то решение, для которого выполняются дополнительные (начальные или граничные) условия.

Надо отметить, что разные по содержанию задачи приводятся к одинаковым или исходным дифференциальным уравнениям.

Цель курсовой работы: изучение физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Рассмотреть физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям;

Анализ практичности решения физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

1. Электрические цепи

Электрические цепи описываются двумя величинами: током I и падением напряжения ?U . При этом для различных элементов цепи соотношения между током и напряжением различны:

конденсатор, — его емкость,

Сумма падений напряжения на всех участках цепи равна ЭДС этой цепи (тому напряжению, которое подается в цепь извне). Получаем уравнение:

Величины L,R,C нам, как правило, известны — это характеристики эле-
ментов цепи, E(t) — заданная функция. Остается две величины: I и Q.
Но, поэтому уравнения электрического тока в цепи обычно записывают относительно неизвестной функции — заряда на обкладках конденсатора:

Все знают, что более холодное тело (или часть тела) нагревается от более горячего. Каков закон этого процесса? Чтобы выяснить это, необходимо понять, что и как описывает тепловые процессы.

Во-первых, это температура. Температура может измеряться по разным шкалам, но нас интересует не абсолютная величина температуры, а ее изменение (со временем или при переходе от одной точки тела к другой). Температуру обычно обозначают буквой T.

Во-вторых, изменение температуры связано с изменением энергии тела, причем зависимость эта линейная. Для того чтобы различать температуру и энергию, для последней введено специальное название количество теплоты (обозначается обычно Q). Таким образом, Коэффициент С называют теплоемкостью. Он зависит как от материала, из которого сделано тело, так и от его размеров (чтобы нагреть большое тело надо больше тепла). Простые соображения показывают, что для однородного материала С = M/с, где М — масса, с — удельная (на единицу массы) теплоемкость.

Если мы мысленно разобьем тело на две или несколько частей, то количество теплоты, необходимое для нагревания всего тела на 1 градус, равно сумме количеств теплоты, необходимых для нагревания его частей. Количество теплоты оказывается аддитивной функцией множества (при складывании частей в одной целое соответствующие количества теплоты складываются). Однородность означает, что одинаковые (по форме) куски нагреваются одинаково, в какой бы части тела они не находились. Другими словами, эта функция множества инвариантна относительно сдвигов и поворотов. И, наконец, множества с нулевой массой не могут поглощать тепла — это свойство типа непрерывности (если говорить точно, оно называется абсолютной непрерывностью функции множества относительно другой функции — в данном случае массы). Всякая абсолютно непрерывная функция множества, инвариантная относительно сдвигов, пропорциональна в одномерном случае — длине, в двумерном — площади, а в трехмерном — объему множества (или, что то же самое, его массе).

В случае неоднородного тела зависимость Q от Т более сложная и выражается через интеграл

где — количество теплоты, поглощенное объемом V, р(х), с(х) и Т(х)- распределение, соответственно, плотности, удельной теплоемкости и изменения температуры внутри объема.

Далее опишем процесс теплопередачи.

Для этого представим себе обыкновенный кирпич, одна стенка которою имеет температуру Т1, а противоположная — температуру Т2. Если поддерживать температуры стенок постоянными, то, в конце концов, внутри кирпича температура распределится по убыванию от одной стенки к другой.

Практический опыт, с одной стороны, и соображения подобия, с другой, показывают, что это убывание линейно:

В формуле (2) L — расстояние между стенками кирпича, l — «текущая» координата (l = 0 соответствует первой стенке с температурой Т1 , l=L — второй с температурой Т2). Что при этом происходите количеством теплоты? Тепло передается от более горячей стенки к менее горячей, однако для каждого внутреннего «среза» кирпича количество теплоты, приходящей с одной стороны, и количество теплоты, уходящей в другую, совпадают, поскольку процесс установившийся. Это количество теплоты называют тепловым потоком через соответствующий срез и обозначают той же буквой Q, что и количество теплоты.

Рис.1. Тепло передается от более горячей стенке к менее горячей

Тепловой поток зависит от:

разницы температур на стенках кирпича (чем она больше, тем интенсивней идет теплообмен);

расстояния между стенками (чем они ближе друг к другу,
тем интенсивней теплообмен); на самом деле он не зависит ни от того, ни от другого. Чтобы убедиться в этом, совершим следующий мысленный эксперимент. Пусть нас интересует, например, срез, находящийся в левой части кирпича. Распилим кирпич пополам (напомним, в середине кирпич имеет температуру ) и выбросим правую половину, а на сделанном распиле просто будем поддерживать ту же температуру. Что изменится

Рис.2. Распилим кирпич пополам

с точки зрения нашего среза? Да ничего. Тепловой поток, проходящий через него, будет в точности таким же, как и в нераспиленном кирпиче. Дальше мы можем повторить процедуру, отпилив еще один кусок кирпича, и так продолжать дальше и дальше. В итоге получаем, что на самом деле тепловой поток зависит не от разности температур, и не от расстояния между стенками, а от той самой константы, которая фигурировала у нас в формуле (2), и, которая как раз и выражается, в случае однородного тела, через отношение разности температур и расстояния, а в случае неоднородного тела — через производную по направлению нормали к нашему срезу;

г)тепловой поток пропорционален площади среза. Если
мы возьмем кирпич вдвое шире (или просто сложим два кирпича), то
тепловой поток удвоится. Здесь опять срабатывает теория аддитивных
функций множества; д)тепловой поток пропорционален времени, в течение которого он про-
ходил: за 2 часа через тот же срез пройдет вдвое больше тепла, чем за
1 час. Получаем формулу: (3)

Рис.3. Возьмем кирпич вдвое шире

или, если сделать бесконечно малым,

Знак плюс или минус выбирается в зависимости направления нормали к срезу (она ведь может быть направлена как в ту, так и в другую сторону), k — коэффициент, зависящий только от материала, называемый коэффициентом теплопроводности.

Мы не зря так долго говорили о таком банальном объекте, как кирпич. Для неоднородной среды все те же рассуждения повторяются в точности, только с той разницей, что «кирпич» является бесконечно малым (и при этом неоднородностью внутри него можно пренебречь). Формула (4) описывает тепловой поток, протекающий через любую бесконечно малую площадку S любой поверхности в любом теле. Если же мы выделили в произвольном теле некоторый объем V и хотим вычислить тепловой поток, выходящий из этого тела, нам надо проинтегрировать формулу (4) по поверхности S,

Обыкновенные дифференциальные уравнения возникают из формулы (5) при наличии в процессе распространения тепла какой-то симметрии. Тогда за счет подходящего выбора системы поверхностей «расслаивающей» тело на пласты с одинаковой температурой, удается описать процесс обыкновенным дифференциальным уравнением.

Возьмем тот же кирпич: в нем зависит только от одной координаты (например, ). Тогда, выбирая в качестве поверхностей

плоскости , получаем, интеграл просто равен этой производной, умноженной на площадь поперечного сечения кирпича с коэффициентом k, и для установившегося процесса теплоотдачи, получаем уравнение

Если наш процесс имеет сферическую симметрию (т.е. температура зависит только от расстояния r от некоторой точки, то, выбирая в качестве

системы поверхностей сферы, получим , интеграл равен

этой производной, умноженной на площадь сферы с коэффициентом k, и мы получаем другое уравнение:

Аналогично в случае цилиндрической симметрии (температура одинакова на цилиндрических поверхностях) получаем еще одно уравнение:

(здесь r — расстояние до общей оси цилиндров, l — длина образующей цилиндров).

Наконец, мы можем из того же уравнения (5) получить и общее уравнение теплопередачи, пригодное для любого тела. Подставив в него связь между изменением количества теплоты и изменением температуры (1) и воспользуемся известной формулой преобразования интеграла по поверхности от нормальной производной функции в интеграл по объему от оператора Лапласа, примененного к этой функции :

Отсюда, пользуясь тем, что справа и слева стоит интеграл по одному и тому же объему, и тем, что это равенство выполнено для любого объема, получаем равенство подынтегральных функций

известное как уравнение теплопроводности.

3. Построение ортогонального семейства кривых

В некоторых задачах физики и механики бывает необходимо по данному семейству кривых построить семейство ортогональных к ним кривых (ортогональность двух кривых в точке их пересечения понимается, естественно, как ортогональность касательных к ним).

Рис.4. Ортогональные семейства кривых

Пусть нам задано семейство, описываемое уравнением с параметром

Для построения ортогонального семейства нам необходимо вычислить касательные к кривым исходного семейства. Пусть у(х) одна из кривых. Тогда Дифференцируя, получаем

Таким образом, угловой коэффициент касательной к кривой семейства, проходящей через точку (х, y), может быть вычислен без знания самой кривой. Но тогда угловой коэффициент касательной к кривой из ортогонального семейства мы тоже можем вычислить (условие ортогональности прямых):

Это и есть уравнение ортогонального семейства. Например, для семейства окружностей получаем уравнение ортогонального семейства кривых: . Решения этого уравнения — семейство прямых у = Сх, действительно ортогональных к окружностям.

. Уравнение химической кинетики

Скорость реакции пропорциональна количеству каждого из реагирующих веществ. Опишем математически химическую реакцию. Пусть имеются два вещества А и Б, и из них в результате реакции образуется вещество X. Количества веществ А, В и X в момент времени t обозначим, соответственно, через и.Тогда

где k — коэффициент пропорциональности. Оказывается, величины а(t) и b(t) можно выразить через x(t): ведь в любой химической реакции количества веществ А и В, необходимых для образования единицы вещества X, строго фиксированы и определяются формулой реакции! Пусть на единицу вещества Х необходимо вещества A и вещества В. Тогда , (здесь , — начальные количества реагирующих веществ), и мы получаем уравнение

Аналогично в случае трех реагирующих веществ и одною на выходе получается уравнение

Уравнения (10) и (11) и называют обычно уравнениями химической кинетики.

Одним из фундаментальных законов физики является закон сохранения импульса: при распаде тела на части сумма импульсов каждой из частей равна импульсу тела до распада. И хоть этот закон обычно представляется связанным с одноактным действием (одно тело единожды распалось), его оказывается разумным использовать и в более сложных процессах, когда от тела последовательно отпадают части, как идеализация этого процесса (когда части очень мелкие и их очень много и интервал между их отпадениями

Рис.5. Закон реактивного движения

очень мал) — когда из тела непрерывно вытекает (вылетает, высыпается) какая-то масса. Именно в такой форме и записывается закон реактивного движения:

или (если, как обычно, обозначать через )

Здесь и соответственно масса и скорость ракеты в момент времени t, V — скорость истечения горючего из ракеты (точнее, это — V: обычно систему координат направляют вдоль движения ракеты, тогда горючее вытекает с отрицательной скоростью, и именно ее обозначают — V, где V — положительное число, равное абсолютной величине мой скорости). Разность — это масса вытекшего горючего, а — V — его скорость в неподвижной системе координат (напомним, что — V — это скорость движения вытекающего горючего относительно ракеты). На самом деле равенство в (12)-(13) не является вполне точным, так как процесс истечения горючего и изменения скорости происходит не «толчком», а непрерывно. Однако если промежуток времени уменьшать, то равенство перейдет в точное равенство отношению дифференциалов

(если предварительно его разделить на ). После несложных преобразований получаем закон реактивного движения

или, через производные,

который иногда записывают в форме:

. Из пушки на Луну

Еще один известный «космический» сюжет: тело (в классической интерпретации — барона Мюнхгаузена) «выстреливается» с Земли в направлении Луны и долетает до нее в свободном полете. Опишем закон полета. Пусть полет происходит по прямой, соединяющей центры Луны и Земли (расстояние между центрами обозначим R), расстояние до летящего тела от центра Земли в момент времени t будет описываться функцией (таким образом, в начальный момент времени , в конечный ). Если масса тела m, то сила притяжения Земли равна

, cила притяжения Луны , и второй закон Ньютона дает нам уравнение полета на Луну:

Рис.6. Полет от Земли до Луны

. Форма равновесия жидкости во вращающемся сосуде

цепь тепло реактивное равновесие жидкость

Пусть у нас есть цилиндрический сосуд, вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью . Поверхность жидкости при этом не остается плоской, а принимает форму поверхности вращения некоторой кривой. Выведем уравнение этой кривой. Для этого воспользуемся тем фактом, что частица, движущаяся по окружности радиуса r с угловой скоростью , должна иметь ускорение, равное направленное к центру окружности. Рассмотрим сечение сосуда плоскостью, проходящей через ось вращения. Пусть независимая переменная описывает расстояние от точки до оси вращения, а — форма поверхности. Изобразим ускорение. Откуда оно взялось? Конечно же, как результат (сумма) различных воздействий. Прежде всего, это — сила тяжести (она дает ускорение , направленное вертикально вниз) и сила упругой реакции самой жидкости (она дает ускорение, направленное по нормали к поверхности). Величина силы реакции и придаваемое ею ускорение нам неизвестны, но, поскольку частицы на поверхности жидкости двигаются в горизонтальной плоскости по окружностям, естественно предполагать, что реакция жидкости «компенсирует» вертикальную тяжесть, и при этом ее горизонтальная

Рис.7. Форма жидкости во вращающемся сосуде

Рис.8. Вид сверху: частица, движущаяся по окружности, должна иметь ускорение, направленное к центру

Рис.8. Вид сбоку (сечение)

составляющая и придает частицам ускорение . Изобразим силы на чертеже:

Чтобы записать соответствующие уравнения, обозначим через В абсолютную величину ускорения, придаваемого частице реакцией жидкости, расположим ось x горизонтально и направим ее вправо, ось у вертикально и направим ее вверх, угол, образуемый касательной к точке кривой у(r) с

Рис.9. Изобразим наши ускорения на чертеже

положительным направлением оси r, обозначим через. Тогда угол между направлением реакции жидкости и положительным направлением оси r равен, вертикальная проекция ускорения реакции жидкости равна, а горизонтальная . Получаем:

откуда, исключая В, получаем

Остается вспомнить, что — это производная и получить уравнение поверхности вращающейся жидкости

8. Фокусирующее зеркало

Пусть у нас есть отражающая поверхность (в плоской интерпретации отражающая кривая), позволяющая отразить параллельный пучок лучей в пучок, сходящийся в одну точку. Постараемся описать эту кривую. Для этого нам понадобится закон отражения лучей, который, для случая плоскости, мы прекрасно знаем (угол падения равен углу отражения), но который, в случае кривой поверхности, мы не сможем сформулировать. Для неплоского случая закон не намного сложнее плоского: луч, падающий в точку х поверхности, отражается от нее так же, как и от плоскости, касающейся в этой точке нашей поверхности.

Запишем задачу в математической форме. Для этого в качестве начала координат удобно взять как раз ту точку, в которую будут собираться лучи, за положительное направление движения лучей и эту ось обозначим через х, другую ось обозначим через у, а функцию, описывающую форму зеркала, — через у(х). Нарисуем траекторию луча, отразившегося в точке нашей кривой, и касательную, проходящую через эту точку. Поскольку до отражения луч шел

Рис.10. Фокусирующее зеркало

горизонтально, угол падения луча совпадает с углом, образованным касательной,

Вычислим угол отражения. Для этого заметим, что в треугольнике МОА (точка А — это точка пересечения касательной с осью абсцисс) угол МО — его внешний угол и он равен сумме двух внутренних, одни из которых — это угол отражения, а другой — угловой коэффициент касательной, то есть опять же. Поскольку угол МО — это угол поворота вектора (х,у(х)), его тангенс равен отношению, откуда получаем

В принципе можно было бы выразить из уравнений (16) и (17) углы и (или их тангенсы) и воспользоваться законом отражения , воспользовавшись тем, что равен , а он, в свою очередь, в силу (16) равен у'(х), подставим их в (17) с раскрытым тангенсом суммы. В результате получается уравнение

являющееся уравнением фокусирующего зеркала. Решение этого уравнения не гипербола, а парабола (а — параметр).

Получаем параболоид вращения (образуемый вращением этой параболы).

Задачу эту относят к классическим задачам математики. Она возникла еще в Древней Греции. Состоит она в том, чтобы определить длину цепи, подвешенной за концы (в античной формулировке эта цепь перегораживала вход в город). Мы несколько расширим задачу и постараемся определить форму цепи (при этом длина ее будет вычисляться по классическим формулам из анализа).

Рис.11. Висящая цепь

Пусть наша цепь описывается функцией у(х), заданной на некотором отрезке [а,b]. Напишем условия для этой функции, при выполнении которых цепь будет находиться в равновесии. Для этого определим действующие на нее силы. Прежде всего — это сила тяжести. На любой участок цепи [х, х+х] она действует с силой, равной

здесь — линейная плотность цени (т.е. масса на единицу длины) в точке — дифференциал дуги кривой. Интеграл, по существу, есть соответствующего участка цепи. Эта сила направлена вниз.

Кроме силы тяжести, на наш участок действуют еще какие-то силы (т.к. цепь находится в равновесии). Это — силы упругой реакции цепи, или силы натяжения. Убедиться в их существовании нетрудно. Представьте себе, что вы «оторвали» этот участок цепи и, растягивая его за концы, стараетесь придать ему ту же форму, которую он имел, находясь внутри цепи. Не надо никого убеждать в том, что этого можно добиться лишь, прикладывая к концам участка силы (причем значительные). Это и есть те самые (имеется в виду величина и направление, а не происхождение) силы, которые действуют внутри висящей цепи. Эти силы всегда направлены по касательной к точке, в которой они приложены. Обозначим величину силы натяжения, приложенной в точке х, через T(х). Теперь мы можем изобразить все на чертеже и записать условия равновесия. Если обозначить

Рис.12. Изобразим все силы на чертеже

через угол, образованный касательной в точке х с положительным направлением оси абсцисс, то горизонтальная составляющая силы натяжения в точке будет равна , а в точке х — соответственно (обратите внимание на знак минус: в точке х сила натяжения действует не вправо, а влево). Поскольку наш участок цепи находится в равновесии, их сумма равна нулю, откуда

где А — константа (параметр задачи). Она может быть определена, например, по величине натяжения в концах цепи: .

Вертикальные составляющие сил натяжения, действующие на наш участок в точках и х, соответственно, равны и — . Сумма этих сил, вместе с силой тяжести, также равна нулю.

Получаем, с учетом (19), следующее уравнение:

или, учитывая, что ,

Разделив на и устремив его к нулю, получим уравнение висящей цепи:

Задача состоит в том, чтобы описать форму струны, натянутой горизонтально за концы и находящейся под воздействием внешней нагрузки.

Эта задача практически идентична предыдущей, роль внешней нагрузки в которой играет тяжесть. Фактически, правая часть (20) — это «сила», действующая на точку х. Мы слово «сила» употребляем в кавычках потому, что это на самом деле не сила, а ее плотность распределения. «Настоящая» сила (та, которая измеряется, например, в ньютонах) на самом деле действует лишь на конечные, имеющие ненулевую длину участки цепи. Если же мы попытаемся найти силу, действующую на точку, то она окажется равной нулю. Воздействие же на одну точку описывается в терминах и равно

. Если через F(x) обозначить силу, действующую на участок струны левее х, то.

В случае висящей цепи . Теперь уже понятен общий вид уравнения деформаций струны:

Мы уже говорили, что это — уравнение равновесия, которое можно

переписать в виде

при этом второе слагаемое — это действие внешних сил, а первое определяется силами упругости. Струна находится в равновесии, значит, их сумма равна нулю. А если сумма не будет равна нулю? Тогда на нашу струну будет действовать сила, и эта сила, по второму закону Ньютона, будет вызывать ускорение. Если обозначить его буквой а, то мы получим уравнение движения:

Чтобы получить уравнение в окончательном виде, нам остается заметить, что, поскольку струна двигается, ее форма меняется с течением времени и описывается функцией не одной, а двух переменных. При фиксированном t — это форма струны (мгновенный снимок), при фиксированном х — закон движения точки с координатой x. То, что раньше было у», теперь станет второй производной функции по пространственной переменной x, а ускорение оказывается просто второй производной по временной переменной t. Добавим еще, что внешнее воздействие может теперь и меняться со временем, т.е. описываться функцией , и мы получили уравнение колебаний струны

Дифференциальные уравнения являются теоретической основой многих моделей, используемых в науке и технике. Такие процессы отражаются в физике, химии, биологии и многих других областях науки. Многие задачи физики приводят к необходимости решения дифференциальных уравнений. Это обусловлено тем, что практически все физические законы, описывающие физические процессы являются дифференциальными уравнениями, относительно некоторых функций, характеризующих эти процессы. Данные физические законы представляют собой теоретическое обобщение многочисленных экспериментов и описывают эволюцию искомых величин в общем случае, как в пространстве, так и во времени. Решение ДУ представляется важной задачей для многих сфер деятельности человека, а также играет важную роль в познании окружающего мира.

Во многих случаях составление дифференциального уравнения основывается на так называемой «линейности процесса в малом», т.е. на дифференцируемости функций, выражающих зависимость величин. Как правило, можно считать, что все существующие в том или ином процессе величины в течение малого промежутка времени изменяются постоянной скоростью. Это позволяет применить известные из физики законы, описывающие равномерно протекающие явления, для составления соотношения между значениями , т.е. величинами, участвующими в процессе, и их приращениями.

Получающееся равенство имеет лишь приближенный характер, поскольку величины меняются даже за короткий промежуток времен неравномерно. Но если разделить обе части получившегося равенства на , то получиться точное равенство. Оно содержит время t, меняющиеся с течением времени физические величины и их производные, т.е. является дифференциальным уравнением, описывающим данное явление. Таким образом, при составлении дифференциального уравнения мы делаем как бы «мгновенный снимок» процесса в данный момент времени.

В курсовой работе рассмотрены различные физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Описаны процессы протекания данных физических явлений и составлены соответствующие дифференциальные уравнения. В основе решения физических задач с помощью дифференциальных уравнений лежит общая идея — линеаризации — замены функций на малых промежутках изменения аргумента линейными функциями.

Аксененко Е.М. Применение дифференциальных уравнений к решению задач: практикум / Е.М. Аксененко, Г.М. Чуванова. — Южно-Сахалинск, изд-во СахГУ, 2013. — 52с.

Боровских А.В., Перов А.И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — Москва — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2004, 540 стр.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения. — М.:Высш. шк., 2005,671с.

Вагапов В.З. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учеб.пособие для студ.вузов — Стерлитамак: изд-во СГПА, 2008. 191 с.

Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения — Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000. — 386с.

Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. — 2-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 384 с. — ISBN 5-9221-0553-1.

Теги: Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Курсовая работа (теория) Математика

Видео:Решение физических задач при помощи диффуров | Дифференциальные уравненияСкачать

Задачи на тему Дифференциальные уравнения движения

Динамика:
Динамика материальной точки
§ 27. Дифференциальные уравнения движения

Задачи с решениями

27.1 Камень падает в шахту без начальной скорости. Звук от удара камня о дно шахты услышан через 6,5 с от момента начала его падения. Скорость звука равна 330 м/с. Найти глубину шахты.
РЕШЕНИЕ

27.2 Тяжелое тело спускается по гладкой плоскости, наклоненной под углом 30° к горизонту. Найти, за какое время тело пройдет путь 9,6 м, если в начальный момент его скорость равнялась 2 м/с.
РЕШЕНИЕ

27.3 При выстреле из орудия снаряд вылетает с горизонтальной скоростью 570 м/с. Масса снаряда 6 кг. Как велико среднее давление пороховых газов, если снаряд проходит внутри орудия 2 м? Сколько времени движется снаряд в стволе орудия, если считать давление газов постоянным?
РЕШЕНИЕ

27.4 Тело массы m вследствие полученного толчка прошло по негладкой горизонтальной плоскости за 5 с расстояние s=24,5 м и остановилось. Определить коэффициент трения f.
РЕШЕНИЕ

27.5 За какое время и на каком расстоянии может быть остановлен тормозом вагон трамвая, идущий по горизонтальному пути со скоростью 10 м/с, если сопротивление движению, развиваемое при торможении, составляет 0,3 веса вагона.
РЕШЕНИЕ

27.6 Принимая в первом приближении сопротивление откатника постоянным, определить продолжительность отката ствола полевой пушки, если начальная скорость отката равна 10 м/с, а средняя длина отката равна 1 м.
РЕШЕНИЕ

27.7 Тяжелая точка поднимается по негладкой наклонной плоскости, составляющей угол α=30° с горизонтом. В начальный момент скорость точки равнялась v0=15 м/с. Коэффициент трения f=0,1. Какой путь пройдет точка до остановки? За какое время точка пройдет этот путь?
РЕШЕНИЕ

27.8 По прямолинейному железнодорожному пути с углом наклона α=10° вагон катится с постоянной скоростью. Считая сопротивление трения пропорциональным нормальному давлению, определить ускорение вагона и его скорость через 20 с после начала движения, если он начал катиться без начальной скорости по пути с углом наклона β=15°. Определить также, какой путь пройдет вагон за это время.
РЕШЕНИЕ

27.9 Найти наибольшую скорость падения шара массы 10 кг и радиуса r=8 см, принимая, что сопротивление воздуха равно R=kσv2, где v скорость движения, σ площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению его движения, и k численный коэффициент, зависящий от формы тела и имеющий для шара значение 0,24 Н*с2/м4.
РЕШЕНИЕ

27.10 Два геометрически равных и однородных шара сделаны из различных материалов. Плотности материала шаров соответственно равны γ1 и γ2. Оба шара падают в воздухе. Считая сопротивление среды пропорциональным квадрату скорости, определить отношение максимальных скоростей шаров.
РЕШЕНИЕ

27.11 При скоростном спуске лыжник массы 90 кг скользил по склону в 45°, не отталкиваясь палками. Коэффициент трения лыж о снег f=0,1. Сопротивление воздуха движению лыжника пропорционально квадрату скорости лыжника и при скорости в 1 м/с равно 0,635 Н. Какую наибольшую скорость мог развить лыжник? Насколько увеличится максимальная скорость, если подобрав лучшую мазь, лыжник уменьшит коэффициент трения до 0,05?
РЕШЕНИЕ

27.12 Корабль движется, преодолевая сопротивление воды, пропорциональное квадрату скорости и равное 1200 Н при скорости в 1 м/с. Сила упора винтов направлена по скорости движения и изменяется по закону T=12*10^5(1-v/33) Н, где v скорость корабля, выраженная в м/с. Определить наибольшую скорость, которую может развить корабль.
РЕШЕНИЕ

27.13 Самолет летит горизонтально. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,5 Н при скорости в 1 м/с. Сила тяги постоянна, равна 30760 Н и составляет угол в 10° с направлением полета. Определить наибольшую скорость самолета.
РЕШЕНИЕ

27.14 Самолет массы 10^4 кг приземляется на горизонтальное поле на лыжах. Летчик подводит самолет к поверхности без вертикальной скорости и вертикального ускорения в момент приземления. Сила лобового сопротивления пропорциональна квадрату скорости и равна 10 Н при скорости в 1 м/с. Подъемная сила пропорциональна квадрату скорости и равна 30 Н при скорости в 1 м/с. Определить длину и время пробега самолета до остановки, приняв коэффициент трения f=0,1.
РЕШЕНИЕ

27.15 Самолет начинает пикировать без начальной вертикальной скорости. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости. Найти зависимость между вертикальной скоростью в данный момент, пройденным путем и максимальной скоростью пикирования.
РЕШЕНИЕ

27.16 На какую высоту H и за какое время T поднимется тело веса p, брошенное вертикально вверх со скоростью v0, если сопротивление воздуха может быть выражено формулой k2pv2, где v величина скорости тела?
РЕШЕНИЕ

27.17 Тело массы 2 кг, брошенное вертикально вверх со скоростью 20 м/с, испытывает сопротивление воздуха, которое при скорости v м/с равно 0,4v Н. Найти, через сколько секунд тело достигнет наивысшего положения.
РЕШЕНИЕ

27.18 Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую отрицательную плавучесть p, погружается на глубину, двигаясь поступательно. Сопротивление воды при небольшой отрицательной плавучести можно принять пропорциональным первой степени скорости погружения и равным kSv, где k коэффициент пропорциональности, S площадь горизонтальной проекции лодки, v величина скорости погружения. Масса лодки равна M. Определить скорость погружения v, если при t=0 скорость v0=0.
РЕШЕНИЕ

27.19 При условиях предыдущей задачи определить путь z, пройденный погружающейся лодкой за время T.
РЕШЕНИЕ

27.20 Какова должна быть постоянная тяга винта T при горизонтальном полете самолета, чтобы, пролетев s метров, самолет увеличил свою скорость с v0 м/с до v1 м/с. Тяга винта направлена по скорости полета. Сила лобового сопротивления, направленная в сторону, противоположную скорости, пропорциональна квадрату скорости и равна α Н при скорости в 1 м/с. Масса самолета M кг.
РЕШЕНИЕ

27.21 Корабль массы 10^7 кг движется со скоростью 16 м/с. Сопротивление воды пропорционально квадрату скорости корабля и равно 3*10^5 Н при скорости 1 м/с. Какое расстояние пройдет корабль, прежде чем скорость его станет равной 4 м/с? За какое время корабль пройдет это расстояние?
РЕШЕНИЕ

27.22 Тело падает в воздухе без начальной скорости. Сопротивление воздуха R=k2pv2, где v величина скорости тела, p вес тела. Какова будет скорость тела по истечении времени t после начала движения? Каково предельное значение скорости?
РЕШЕНИЕ

27.23 Корабль массы 1,5*10^6 кг преодолевает сопротивление воды, равное R=αv2 Н, где v скорость корабля в м/с, а α постоянный коэффициент, равный 1200. Сила упора винтов направлена по скорости в сторону движения и изменяется по закону T=1,2*106(1-v/33) Н. Найти зависимость скорости корабля от времени, если начальная скорость равна v0 м/с.
РЕШЕНИЕ

27.24 В предыдущей задаче найти зависимость пройденного пути от скорости.
РЕШЕНИЕ

27.25 В задаче 27.23 найти зависимость пути от времени при начальной скорости v0=10 м/с.
РЕШЕНИЕ

27.26 Вагон массы 9216 кг приходит в движение вследствие действия ветра, дующего вдоль полотна, и движется по горизонтальному пути. Сопротивление движению вагона равно 1/200 его веса. Сила давления ветра P=kSu2, где S площадь задней стенки вагона, подверженной давлению ветра, равная 6 м2, u скорость ветра относительно вагона, a k=1,2. Абсолютная скорость ветра v=12 м/с. Считая начальную скорость вагона равной нулю, определить: 1) наибольшую скорость vmax вагона; 2) время T, которое потребовалось бы для достижения этой скорости; 3) на каком расстоянии x вагон наберет скорость 3 м/с.
РЕШЕНИЕ

27.27 Найти уравнение движения точки массы m, падающей без начальной скорости на Землю. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. Коэффициент пропорциональности равен k.
РЕШЕНИЕ

27.28 Буер, весящий вместе с пассажирами Q=1962 H, движется прямолинейно по гладкой горизонтальной поверхности льда вследствие давления ветра на парус, плоскость которого ab образует угол 45° с направлением движения. Абсолютная скорость w ветра перпендикулярна направлению движения. Величина силы давления ветра P выражается формулой Ньютона: P=kSu2 cos2 φ, где φ угол, образуемый относительной скоростью ветра u с перпендикуляром N к плоскости паруса, S=5 м2 площадь паруса, k=0,113 опытный коэффициент. Сила давления P направлена перпендикулярно плоскости ab. Пренебрегая трением, найти: 1) какую наибольшую скорость vmax может получить буер; 2) какой угол α составляет при этой скорости помещенный на мачте флюгер с плоскостью паруса; 3) какой путь x1 должен пройти буер для того, чтобы приобрести скорость v=2/3 w, если его начальная скорость равна нулю.
РЕШЕНИЕ

27.29 Вожатый трамвая, выключая постепенно реостат, увеличивает мощность вагонного двигателя так, что сила тяги возрастает от нуля пропорционально времени, увеличиваясь на 1200 Н в течение каждой секунды. Найти зависимость пройденного пути от времени движения вагона при следующих данных: масса вагона 10000 кг, сопротивление трения постоянно и составляет 0,02 веса вагона, а начальная скорость равна нулю.
РЕШЕНИЕ

27.30 Тело массы 1 кг движется под действием переменной силы F=10(1-t) Н, где время t в секундах. Через сколько секунд тело остановится, если начальная скорость тела v0=20 м/с и сила совпадает по направлению со скоростью тела? Какой путь пройдет тело до остановки?
РЕШЕНИЕ

27.31 Материальная точка массы m совершает прямолинейное движение под действием силы, изменяющейся по закону F=F0 cos ωt, где F0 и ω постоянные величины. В начальный момент точка имела скорость x0=v0. Найти уравнение движения точки.
РЕШЕНИЕ

27.32 Частица массы m, несущая заряд электричества e, находится в однородном электрическом поле с переменным напряжением E=A sin kt (А и k заданные постоянные). Определить движение частицы, если известно, что в электрическом поле на частицу действует сила F=eE, направленная в сторону напряжения E. Влиянием силы тяжести пренебречь. Начальное положение частицы принять за начало координат; начальная скорость частицы равна нулю.
РЕШЕНИЕ

27.33 Определить движение тяжелого шарика вдоль воображаемого прямолинейного канала, проходящего через центр Земли, если принять, что сила притяжения внутри земного шара пропорциональна расстоянию движущейся точки от центра Земли и направлена к этому центру; шарик опущен в канал с поверхности Земли без начальной скорости. Указать также скорость шарика при прохождении через центр Земли и время движения до этого центра. Радиус Земли равен R=6,37*10^6 м, ускорение силы притяжения на поверхности Земли принять равным g=9,8 м/с2.
РЕШЕНИЕ

27.34 Тело падает на Землю с высоты h без начальной скорости. Сопротивлением воздуха пренебречь, а силу притяжения Земли считать обратно пропорциональной квадрату расстояния тела от центра Земли. Найти время T, по истечении которого тело достигнет поверхности Земли. Какую скорость v оно приобретет за это время? Радиус Земли равен R; ускорение силы тяжести у поверхности Земли равно g.
РЕШЕНИЕ

27.35 Материальная точка массы m отталкивается от центра силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент пропорциональности mk2). Сопротивление среды пропорционально скорости движения (коэффициент пропорциональности 2mk1). В начальный момент точка находилась на расстоянии a от центра, и ее скорость в этот момент равнялась нулю. Найти закон движения точки.
РЕШЕНИЕ

27.36 Точка массы m начинает двигаться без начальной скорости из положения x=β прямолинейно (вдоль оси x) под действием силы притяжения к началу координат, изменяющейся по закону R=α/x2. Найти момент времени, когда точка окажется в положении x1=β/2. Определить скорость точки в этом положении.
РЕШЕНИЕ

27.37 Точка массы m начинает двигаться из состояния покоя из положения x0=a прямолинейно под действием силы притяжения, пропорциональной расстоянию от начала координат: Fx=-c1mx, и силы отталкивания, пропорциональной кубу расстояния: Qx=c2mx3. При каком соотношении c1, c2, a точка достигает начала координат и остановится?
РЕШЕНИЕ

27.38 При движении тела в неоднородной среде сила сопротивления изменяется по закону F=-2v2/(3+s) Н, где v скорость тела в м/с, а s пройденный путь в метрах. Определить пройденный путь как функцию времени, если начальная скорость v0=5 м/с.
РЕШЕНИЕ

27.39 Морское орудие выбрасывает снаряд массы 18 кг со скоростью v0=700 м/с, действительная траектория снаряда в воздухе изображена на рисунке в двух случаях: 1) когда угол, составляемый осью орудия с горизонтом, равен 45° и 2) когда этот угол равен 75°. Для каждого из указанных двух случаев определить, на сколько километров увеличилась бы высота и дальность полета, если бы снаряд не испытывал сопротивления воздуха.
РЕШЕНИЕ

27.40 Самолет А летит на высоте 4000 м над землей с горизонтальной скоростью 140 м/с. На каком расстоянии x, измеряемом по горизонтальной прямой от данной точки B, должен быть сброшен с самолета без начальной относительной скорости какой-либо груз для того, чтобы он упал в эту точку? Сопротивлением воздуха пренебречь.
РЕШЕНИЕ

27.41 Самолет A летит над землей на высоте h с горизонтальной скоростью v1. Из орудия B произведен выстрел по самолету в тот момент, когда самолет находится на одной вертикали с орудием. Найти: 1) какому условию должна удовлетворять начальная скорость v0 снаряда для того, чтобы он мог попасть в самолет, и 2) под каким углом α к горизонту должен быть сделан выстрел. Сопротивлением воздуха пренебречь.
РЕШЕНИЕ

27.42 Наибольшая горизонтальная дальность снаряда равна L. Определить его горизонтальную дальность l при угле бросания α=30° и высоту h траектории в этом случае. Сопротивлением воздуха пренебречь.
РЕШЕНИЕ

27.43 При угле бросания α снаряд имеет горизонтальную дальность lα. Определить горизонтальную дальность при угле бросания, равном α/2. Сопротивлением воздуха пренебречь.
РЕШЕНИЕ

27.44 Определить угол наклона ствола орудия к горизонту, если цель обнаружена на расстоянии 32 км, а начальная скорость снаряда v0=600 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
РЕШЕНИЕ

27.45 Решить предыдущую задачу в том случае, когда цель будет находиться на высоте 200 м над уровнем артиллерийских позиций.
РЕШЕНИЕ

27.46 Из орудия, находящегося в точке O, произвели выстрел под углом α к горизонту с начальной скоростью v0. Одновременно из точки A, находящейся на расстоянии l по горизонтали от точки O, произвели выстрел вертикально вверх. Определить, с какой начальной скоростью v1 надо выпустить второй снаряд, чтобы он столкнулся с первым снарядом, если скорость v0 и точка A лежат в одной вертикальной плоскости. Сопротивлением воздуха пренебречь.
РЕШЕНИЕ

27.47 Найти геометрическое место положений в момент t материальных точек, одновременно брошенных в вертикальной плоскости из одной точки с одной и той же начальной скоростью v0 под всевозможными углами к горизонту.
РЕШЕНИЕ

27.48 Найти геометрическое место фокусов всех параболических траекторий, соответствующих одной и той же начальной скорости v0 и всевозможным углам бросания.
РЕШЕНИЕ

27.49 Тело веса P, брошенное с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту, движется под влиянием силы тяжести и сопротивления R воздуха. Определить наибольшую высоту h тела над уровнем начального положения, считая сопротивление пропорциональным первой степени скорости: R=kPv.
РЕШЕНИЕ

27.50 В условиях задачи 27.49 найти уравнения движения точки.
РЕШЕНИЕ

27.51 При условиях задачи 27.49 определить, на каком расстоянии s по горизонтали точка достигнет наивысшего положения.
РЕШЕНИЕ

27.52 В вертикальной трубе, помещенной в центре круглого бассейна и наглухо закрытой сверху, на высоте 1 м сделаны отверстия в боковой поверхности трубы, из которых выбрасываются наклонные струи воды под различными углами φ к горизонту (φ<π/2); начальная скорость струи равна v0=√(4g/(3 cos φ)) м/с, где g ускорение силы тяжести; высота трубы 1 м. Определить наименьший радиус R бассейна, при котором вся выбрасываемая трубой вода падает в бассейн, как бы мала ни была высота его стенки.
РЕШЕНИЕ

27.53 Определить движение тяжелой материальной точки, масса которой равна m, притягиваемой к неподвижному центру O силой, прямо пропорциональной расстоянию. Движение происходит в пустоте; сила притяжения на единице расстояния равна k2m; в момент t=0: x=a, x =0, y=0, y =0, причем ось Oy направлена по вертикали вниз.
РЕШЕНИЕ

27.54 Точка массы m движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра O, изменяющейся по закону F=k2mr, где r радиус-вектор точки. В начальный момент точка находилась в M0(a, 0) и имела скорость v0, направленную параллельно оси y. Определить траекторию точки.
РЕШЕНИЕ

27.55 Упругая нить, закрепленная в точке A, проходит через неподвижное гладкое кольцо O; к свободному концу ее прикреплен шарик M, масса которого равна m. Длина невытянутой нити l=AO; для удлинения нити на 1 м нужно приложить силу, равную k2m. Вытянув нить по прямой AB так, что длина ее увеличилась вдвое, сообщили шарику скорость v0, перпендикулярную прямой AB. Определить траекторию шарика, пренебрегая действием силы тяжести и считая натяжение нити пропорциональным ее удлинению.
РЕШЕНИЕ

27.56 Точка М, масса которой равна m, притягивается к n неподвижным центрам C1, С2, . Сn силами, пропорциональными расстояниям; сила притяжения точки M к центру Сi (i=1, 2, . n) равна kim*MCi Н; точка М и притягивающие центры лежат в плоскости Оху. Определить траекторию точки М, если при t=0: x=х0, y=y0, х =0, у =v0. Действием силы тяжести пренебречь.
РЕШЕНИЕ

27.57 Точка M притягивается к двум центрам C1 и C2 силами, пропорциональными расстояниям: km*MC1 и km*MC2; центр C1 неподвижен и находится в начале координат, центр C2 равномерно движется по оси Ox, так что x2=2(a+bt). Найти траекторию точки M, полагая, что в момент t=0 точка M находится в плоскости xy, координаты ее x=y=a и скорость имеет проекции x = z = b, y = 0.
РЕШЕНИЕ

27.58 Частица массы m, несущая заряд отрицательного электричества e, вступает в однородное электрическое поле напряжения E со скоростью v0, перпендикулярной направлению напряжения поля. Определить траекторию дальнейшего движения частицы, зная, что в электрическом поле на нее действует сила F=eE, направленная в сторону, противоположную напряжению E; действием силы тяжести пренебречь.
РЕШЕНИЕ

27.59 Частица массы m, несущая заряд отрицательного электричества e, вступает в однородное магнитное поле напряжения H со скоростью v0, перпендикулярной направлению напряжения поля. Определить траекторию дальнейшего движения частицы, зная, что на частицу действует сила F=-e(v×H). При решении удобно пользоваться уравнениями движения точки в проекциях на касательную и на главную нормаль к траектории.
РЕШЕНИЕ

27.60 Определить траекторию движения частицы массы m, несущей заряд e электричества, если частица вступила в однородное электрическое поле с переменным напряжением E=A cos kt (A и k заданные постоянные) со скоростью v0, перпендикулярной направлению напряжения поля; влиянием силы тяжести пренебречь. В электрическом поле на частицу действует сила F=-eE.
РЕШЕНИЕ

27.61 По негладкой наклонной плоскости движется тяжелое тело M, постоянно оттягиваемое посредством нити в горизонтальном направлении, параллельно прямой AB. С некоторого момента движение тела становится прямолинейным и равномерным, причем из двух взаимно перпендикулярных составляющих скорости та, которая направлена параллельно AB, равна 12 м/с. Определить вторую составляющую v1 скорости, а также натяжение T нити при следующих данных: уклон плоскости tg α=1/30, коэффициент трения f=0,1, масса тела 30 кг.
РЕШЕНИЕ

27.62 Точка M массы m находится под действием двух сил притяжения, направленных к неподвижным центрам O1 и O2 (см. рисунок). Величина этих сил пропорциональна расстоянию от точек O1 и O2. Коэффициент пропорциональности одинаков и равен c. Движение начинается в точке A0 со скоростью v0, перпендикулярной линии O1O2. Определить, какую траекторию опишет точка M. Найти моменты времени, когда она пересекает направление линии O1O2, и вычислить ее координаты в эти моменты времени. Расстояние от точки A0 до оси y равно 2a.
РЕШЕНИЕ

27.63 На точку A массы m, которая начинает движение из положения r=r0 (где r радиус-вектор точки) со скоростью v0, перпендикулярной r0, действует сила притяжения, направленная к центру O и пропорциональная расстоянию от него. Коэффициент пропорциональности равен mc1. Кроме того, на точку действует постоянная сила mcr0. Найти уравнение движения и траекторию точки. Каково должно быть отношение c1/c, чтобы траектория движения проходила через центр O? С какой скоростью точка пройдет центр О?
РЕШЕНИЕ

27.64 Тяжелая точка массы m падает из положения, определяемого координатами x0=0, y0=h при t=0, под действием силы тяжести (параллельной оси y) и силы отталкивания от оси y, пропорциональной расстоянию от этой оси (коэффициент пропорциональности c). Проекции начальной скорости точки на оси координат равны vx=v0, vy=0. Определить траекторию точки, а также момент времени t1 пересечения оси x.
РЕШЕНИЕ

27.65 Точка M массы m движется под действием силы тяжести по гладкой внутренней поверхности полого цилиндра радиуса r. В начальный момент угол φ0=π/2, а скорость точки равнялась нулю. Определить скорость точки M и реакцию поверхности цилиндра при угле φ=30°.
РЕШЕНИЕ