Фигуры лиссажу и их уравнения (3 видео)

Фигуры лиссажу и их уравнения

Фигуры Лиссажу

Рассмотрим некоторые частные случаи решений уравнения (2.3.2).

1. Начальные фазы колебаний одинаковы:

т.е.

Тогда уравнение (2.3.2) примет вид:

или ;

отсюда получим уравнение результирующего колебания:

(2.4.1)

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис. 2.7, а). Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми начальными фазами будут происходить колебания вдоль прямой, проходящей через начало координат.


а	б	в
Рис. 2.7

Такие колебания называются линейно поляризованными.

2. Начальная разность фаз равна π. Тогда , следовательно

;

Уравнение колебания в этом случае

(2.4.2)

То есть точка тоже будет колебаться вдоль прямой, проходящей через начало координат, но прямая лежит в других четвертях по сравнению с первым случаем (рис. 2.7, б).

Амплитуда результирующего колебания в обоих случаях равна:

(2.4.3)

3. Начальная разность фаз равна π/2. Проанализируем уравнение (2.3.2), учитывая, что .

(2.4.4)

Это уравнение эллипса с полуосями А₁ и А₂ (рис. 2.7, в). Случай эллиптически поляризованных колебаний.

При получим уравнение окружности (циркулярно-поляризованные колебания).

4. Все остальные разности фаз дают эллипсы с различным углом наклона относительно осей координат.

Необходимо отметить, что все рассматриваемые случаи, все кривые – это эллипсы (даже прямая – частный случай эллипса).

Фигуры, получаемые при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот, называются фигурами Лиссажу (Ж. Лиссажу (1822–1880) – французский физик). В простейших случаях можно сравнить частоты по виду фигур.

В приведенных выше примерах рассматривались простейшие случаи, когда Если , то в результате будут получаться уже не эллипсы, а более сложные фигуры Лиссажу. В табл. 1 приведены несколько фигур Лиссажу для разных соотношений частот колебаний и заданной разности фаз .

Угол сдвига фаз

Содержание

Фигуры лиссажу и их уравнения
Фигуры Лиссажу
Что такое фигуры Лиссажу?
Как получить фигуры Лиссажу
Режим XY-осциллографа
Строим фигуры Лиссажу на осциллографе
🔍 Видео

Видео:Урок 342. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры ЛиссажуСкачать

Фигуры лиссажу и их уравнения

Наставник: Ляликова Наталья Владимировна

Ученик: Абышева Елизавета (16 лет)

Город (село): г. Екатеринбург

Название колледжа: Колледж железнодорожного транспорта государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения»

Название изобретения или изделия: Проект по физике. Фигуры Лиссажу

С колебательными явлениями встречаешься буквально на каждом шагу. Это и качание веток деревьев, и волны на воде, и детали различных машин, совершающие колебательные движения, и, наконец, колебания воздуха, когда мы говорим. А еще существуют электромагнитные колебания и радиоволны.

Все колебательные и волновые процессы обладают общими чертами и даже подчиняются одинаковым закономерностям, несмотря на то, что могут иметь совершенно разную физическую природу. Самая характерная черта колебательных движений, отличающая их от других явлений, состоит в том, что колебательные движения многократно повторяются или приблизительно повторяются через определенные промежутки времени. Универсальность законов колебательных процессов позволяет с единой точки зрения рассматривать различные по физической природе колебания, встречающиеся в разнообразных физических явлениях и технических устройствах.

Единый подход к изучению колебаний разной физической природы позволяет глубже проанализировать любое конкретное явление, выявить аналогию между совершенно разными по своей природе явлениями, найти общий язык для их описания и в конечном счете почувствовать единство физического мира.

Со времен Ньютона развитие физики происходило таким образом, что при изучении любого нового явления- электрического, оптического- для него прежде всего пытались придумать механическую аналогию, т.е. объяснить его с точки зрения законов механики. Например, Кельвин говорил, что понимает явление, если может составить для него механическую модель. Максвелл приложил много усилий для того, чтобы объяснить с помощью механических представлений найденные им уравнения электромагнитного поля. Однако многие современные физики и инженеры уже предпочли бы сказать, что понимают механическое явление, если создали для него электрическую модель. Именно при изучении колебательных процессов пришло в физику отчетливое понимание того, что явления разной природы, несмотря на внешнее сходство, несводимы друг к другу, однако могут подчиняться одинаковым законам и описываться одними и теми же уравнениями.

Ярким подтверждением вышесказанному являются фигуры Лиссажу, с которыми приходится встречаться довольно часто в тех случаях, когда колебания взаимно перпендикулярны. Так, они неизбежно появляются и при колебании маятника и при настройке осциллографа.

Обычный, хорошо нам знакомый математический маятник не меняет плоскости своих колебаний.

На этом свойстве маятника основана известная демонстрация вращения Земли- опыт Фуко. На длинном тросе подвешен тяжелый шар. Он качается над круглой площадкой с делениями. И когда проходит некоторое время, зрители видят, что маятник качается уже над другими делениями круга. Создается впечатление, что маятник повернулся, стал качаться в другой плоскости. На самом же деле это впечатление ошибочное. Маятник качается в прежней плоскости, никуда он не повернулся, он строго сохраняет плоскость своего качания, ведь никакие посторонние силы не пытаются сдвинуть его в сторону от своей дороги. Почему же все-таки он очутился над другими делениями круга? Потому что повернулся сам круг, повернулся вместе с Землей. Благодаря тому, что плоскость колебаний маятника относительно неподвижных звезд не меняется, а Земля вращается вокруг своей оси, с течением времени маятник проходит последовательно над всеми отметками круга. На полюсе за сутки круг под маятником совершит полный оборот. Впервые такой опыт был проведен французским физиком Л. Фуко в 1851 году под куполом Пантеона в Париже с маятником длиною 67 м.

Проделаем такой опыт. Привяжем к карандашу нитку с грузиком- например, с гайкой. Положим на стол линейку и, держа карандаш горизонтально, подтолкнем маятник, чтобы он качался вдоль линейки. Начнем постепенно поворачивать карандаш в горизонтальной плоскости. Мы убедимся, что поворот карандаша не повлиял на маятник, он будет по- прежнему качаться вдоль линейки. Во время этого опыта не должно быть ветра, сквозняка, которые могли бы оказать влияние на маятник.

II. Сложение колебаний

Что произойдет, если на маятник оказать влияние?

Колебания можно складывать. Если они направлены в одну сторону, то получаются колебания, размах которых равняется сумме размахов слагаемых колебаний. Если же направления колебаний одинакового размаха противоположны, то колебания вычитаются друг из друга и прекращаются. На специальном приборе ставится опыт со звуком. В результате вычитания одного звукового колебания из другого, точно такого же, звук исчезает и ничего не слышно.

А если складывать два взаимно перпендикулярные колебания, сообщив их одному маятнику? Ведь нить подвеса позволяет ему колебаться в любой вертикальной плоскости. Посмотрим, что получится в результате этого сложения.

Подвесим маятник в таком месте, чтобы его колебаниям ничто не мешало (например, дверной проем). Отклоним его вправо и, перед тем как опустить, толкнем вперед. Маятник получил сразу два направления движения: ему надо качаться справа налево и одновременно вперед и назад, поскольку мы его так толкнули. Направления колебаний перпендикулярны друг другу, они складываются, и маятник теперь описывает эллипсы и даже окружности.

III. Странный маятник

Сделаем другой маятник. Возьмем нитку, сложим ее пополам и к середине привяжем еще одну нитку. К другому концу этой второй нитки прикрепим какой-нибудь груз- и маятник готов. (Вертикальная нить подвеса должна быть достаточно длинной. По крайней мере, не меньше, чем нить наклонного подвеса.)

Подвесим маятник за оба конца сложенной пополам нитки на кнопках или гвоздиках (например, в дверной проем). Если теперь отклонить маятник от положения равновесия и затем отпустить, то увидим любопытную картину. Маятник будет двигаться по эллипсу, причем этот эллипс будет постоянно меняться, вытягиваться то в одну, то в другую сторону. Почему это происходит?

У маятника с одной точкой подвеса плоскость колебаний ничем не выделена. Каким бы ни было первоначальное отклонение маятника, все силы, действующие на него, лежат в одной плоскости. Нужно только, отпуская маятник, не толкнуть его вбок.

Другое дело наш маятник. Здесь точками закрепления и линией отвеса строго фиксирована первоначальная плоскость. Поэтому с самого начала маятник отклонен так, что он не лежит в этой плоскости. Конечно, если отклонить маятник строго перпендикулярно плоскости подвеса, он будет совершать колебания в одной плоскости, перпендикулярной плоскости подвеса. Но практически всегда существуют отклонения от перпендикуляра. Сила натяжения имеет составляющую, перпендикулярную первоначальной плоскости. Благодаря этой составляющей движение маятника выходит из первоначальной плоскости. При этом, поскольку сила натяжения не постоянна, меняется и ее перпендикулярная составляющая. Далее, отклоняясь в противоположную сторону, маятник натягивает другую из закрепленных нитей. Это приводит к появлению силы, действующей в другом направлении. При этом, как показывает опыт, и возникает движение по двум взаимно перпендикулярным направлениям.

IV. Наблюдение фигур Лиссажу

Кривые, которые описывает наш маятник, называются фигурами Лиссажу, по имени французского физика Ж. Лиссажу, который в 1863 году впервые описал их. Фигуры Лиссажу получаются при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний. Они могут быть довольно сложными, особенно при близких частотах продольных и поперечных колебаний. Если частоты одинаковы, траекторией движения будет эллипс. Соотношение частот можно варьировать, меняя отношение длин вертикальной и наклонной нитей подвеса. При этом вычислить частоты колебаний маятника довольно сложно, а вот увидеть фигуры, вычерчиваемые им, значительно проще.

Вот как это, например, делается. Склеим из картона конус с маленьким (один- два миллиметра) отверстием в его вершине. Подвесим конус за две нитки в дверном проеме вершиной вниз. Зажмем обе нитки зажимом «крокодил» в каком-нибудь месте, скажем, в пяти сантиметрах от конуса. На пол положим кусок бумаги черного цвета.

Затем надо отвести маятник немного на себя и вправо и насыпать в воронку конуса просеянного, промытого, просушенного песка. Отпустив маятник, сможем наблюдать получающиеся в результате его колебаний фигуры Лиссажу. Меняя положение зажима ниток, т.е. соотношение длин вертикальной и наклонной нитей подвеса, можно получать разные фигуры.

В опытах с маятником следует учитывать, что более или менее правильная траектория получается только в том случае, когда нет сильных затуханий. Колебания маятника с малой массой груза и достаточно большим объемом будут быстро затухать. Такой маятник качнется несколько раз, быстро уменьшая амплитуду. Естественно, при движении с сильным затуханием увидеть и сфотографировать изменение направления колебаний маятника не удается.

V. Математическая модель фигур Лиссажу

Самые простые колебания тела – это колебания, при которых отклонение x тела от положения равновесия изменяется по закону

где А- амплитуда, ω — частота, φ — начальная фаза колебаний.

Такие колебания называются гармоническими.

Кривую, которая является графиком функции вида x = А sin (ω t + φ) называют синусоидой. График этой функции получается из синусоиды x= sin t сдвигом по оси Оt на – φ, растяжением (сжатием) в ω раз по оси Оt и растяжением (сжатием) в А раз по оси Ох.

Гармонические колебания совершают математический маятник, груз на пружинке, напряжение в электрическом контуре. Еще один пример синусоидальных колебаний- звук (гармонические колебания воздуха). Однако редко удается услышать чистый звук- звук, соответствующий колебанию x=А sinωt. В большинстве случаев мы слышим ряд других звуков (обертоны), соответствующих колебаниям с меньшей амплитудой. Эти звуки музыкальных инструментов дают основному тону специфическую окраску- тембр.

Сумма двух любых гармонических колебаний с одной и той же частотой (периодом) снова является гармоническим колебанием с той же частотой (периодом):

Результатом сложения гармонических колебаний с различными частотами служит более сложное колебание, вообще говоря, отличное от гармонического колебания.

При сложении колебаний в двух взаимно перпендикулярных направлениях получается более сложная траектория, которая описывается системой уравнений

где x и y – проекции смещения тела на осях X и Y.

В этой работе я рассмотрела случай, когда тело участвует одновременно в двух гармонических колебаниях. Фигуры Лиссажу — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Фигуры Лиссажу можно наблюдать с помощью осциллографа, подавая одновременно на вход X и вход Y (горизонтальные и вертикальные отклоняющие пластины) переменные напряжения кратных частот.

где φ — угол сдвига фаз колебаний, ω = 2πν- круговая частота колебаний

Введем новые переменные , получаем

Исключая время t, получаем кривую в координатах (x, y) . Из первого уравнения найдем

и подставим во второе:

Возведем обе его части в квадрат, тогда окончательно получаем:

— уравнение эллипса.

В зависимости от значения φ получаем различно ориентированные эллипсы.

Если φ= φ(t), то фигуры будут двигаться на экране осциллографа.

В случае кратных частот колебаний получаем соответствующие фигуры Лиссажу:

б) при кратности частот получаем фигуру Лиссажу типа короны с тремя пиками:

в) при кратности частот получаем кардиоиду:

Вид фигур Лиссажу зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры Лиссажу представляют собой эллипсы, которые при разности фаз φ=0 или φ=π вырождаются в отрезки прямых, а при φ=π/2 и равенстве амплитуд превращаются в окружность. Если периоды обоих колебаний не совпадают точно, то φ всё время меняется, вследствие чего эллипс непрерывно деформируется. При существенно различных периодах эллипс деформируется быстро, картина размывается, и фигуры Лиссажу не наблюдаются. Однако если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение — получаются фигуры Лиссажу более сложной формы. При этом число касаний фигуры Лиссажу со сторонами прямоугольника, в который она вписывается, даёт отношение периодов обоих колебаний.

Вид фигур Лиссажу при различных соотношениях периодов (1 : 1, 1 : 2 и т. д.) и разностях фаз.

Фигуры Лиссажу можно наблюдать, например, на экране электронно-лучевого осциллографа, если к двум парам отклоняющих пластин подведены переменные напряжения с равными или кратными периодами. Вид фигур Лиссажу позволяет определить соотношения между периодами и фазами обоих колебаний. Если колебания, которые совершает точка, происходят не по гармоническому, а по более сложному закону, но с одинаковым периодом, то получаются замкнутые траектории, аналогичные фигурам Лиссажу, но искажённой формы. По виду этих фигур можно судить о форме колебаний. Таким образом, наблюдение фигур Лиссажу- удобный метод исследования соотношений между периодами и фазами колебаний, а также и формы колебаний.

Видео:4 Фигуры ЛиссажуСкачать

Фигуры Лиссажу

Видео:Фигуры ЛиссажуСкачать

Что такое фигуры Лиссажу?

Фигуры Лиссажу представляют из себя различные геометрически-красивые рисунки, которые вычерчиваются точкой, колеблющейся в двух взаимно-перпендикулярных направлениях на одной плоскости.

Чтобы было более понятно, давайте представим девочку на качели из покрышки:

И вот представьте, что сзади ее раскачивает папа, а сбоку — мама. То есть наша девочка будет одновременно летать вперед-назад, а также влево-вправо. Долго ли она продержится — это уже другой вопрос). Если в солнечный денек посмотреть на землю, то мы увидим, что тень девочки вырисовывает различную траекторию полета.

Почему бы нам не поиграться пучком электронов, отклоняя его одновременно и по вертикали и по горизонтали? Вспоминаем, как выглядит электронно-лучевая трубка осциллографа:

1 — это горизонтальные пластины

2 — вертикальные пластины

ну и остальные детали — это составляющие электронной пушки.

Подаем на вертикальные пластины один синусоидальный сигнал, а на горизонтальные — другой синусоидальный сигнал. В результате точка на осциллографе будет вырисовывать различные линии и кривые, в зависимости от частоты сигналов. Хотя, цифровой осциллограф и аналоговый почти не похожи по внутренней начинке, но принцип действия у них все равно схож.

Видео:Фигуры Лиссажу: запись песком.Скачать

Как получить фигуры Лиссажу

Итак, для того, чтобы вырисовывать фигуры Лиссажу, нам потребуются два генератора частоты.

и осциллограф с функцией XY-режима. В моем случае это цифровой осциллограф OWON

Думаю, почти во всех современных осциллографах есть режим XY, будь это аналоговый или цифровой осциллограф.

Видео:Фигуры Лиссажу на осциллографеСкачать

Режим XY-осциллографа

Как вы помните, при простом использовании осциллографа у нас по оси X было время, а по оси Y — напряжение. Поэтому, по умолчанию, мы на осциллографе смотрим изменение напряжения во времени. Но если с помощью нехитрой кнопки переключить в режим XY, то у нас по Y будет напряжение и по X…. тоже напряжение, но уже с другого генератора частоты. Если включить в таком режиме только один генератор, то мы увидим только одну прямую линию либо по вертикали, либо по горизонтали. Это аналогично тому, если бы нашу девочку раскачивал только папа или только мама. Наша девочка летела бы только по одной прямой траектории.

А что будет, если сбоку нашу девочку будет раскачивать мама, а сзади — папа? Тут уже траектория девочки будет хаотичной. Но во всяком хаосе рождается порядок. И первым его заметил французский математик Жюль Антуан Лиссажу.

Видео:Фигуры Лиссажу: осциллограф.Скачать

Строим фигуры Лиссажу на осциллографе

Цепляем на один канал один генератор частоты, а на другой канал — другой генератор частоты:

На осциллографе мы должны увидеть два сигнала с разных генераторов частоты, благо у меня осциллограф двухканальный:

Теперь переводим осциллограф в режим XY. На моем осциллографе это делается с помощью кнопки Display

Ну а потом с помощью дисплейных клавиш выбираем режим XY

И получается примерно вот такая хаотическая картинка:

Ну еще бы, один генератор дергает точку по X, другой по Y и у каждого генератора разная частота.

А давайте возьмем один генератор и с него подадим сигнал на два канала сразу. Частота и фаза совпадают и на первом и втором канале, так как мы берем сигнал с одного и то же генератора. В результате у нас будет вот такая картинка:

Если взять 100 Герц на первом генераторе и на втором генераторе, то получим что-то типа этого:

В реальности же получается круг, который все время крутится и превращается то в эллипс, то в прямую, так как очень ровно подобрать частоту на первом и втором генераторе очень сложно. Хотя на практике можно подавать сигнал на один канал напрямую, а на другой — через фазовращатель.

Если увеличить частоту на одном из генераторов вдвое, то можно наблюдать уже другие фигуры:

Эта фигура тоже все время крутится на осциллографе.

Увеличиваем на одном генераторе частоту в кратное число раз, то есть было 100, потом 200, 300 и тд и получаем абсолютно новые 3D фигуры 😉

Различное отношение частот одного генератора к другому дает различные фигуры Лиссажу:

Вот такие фигуры вы будете видеть на экране своего осциллографа:

А вот такие фигуры Лиссажу получаются, если использовать пилообразный сигнал с обоих генераторов сразу при разных отношениях коэффициентов

А вот такие фигуры получаются, если на одном оставить синус, а на втором поставить пилу:

В основном фигуры Лиссажу в электронике можно использовать тогда, когда надо узнать частоту неизвестного генератора через образцовый генератор, частоту которого мы знаем, а также узнать сдвиг фаз между двумя одинаковыми сигналами. Ну и второе применение — это чисто визуальный кайф при вращении этих фигур на экранчике вашего осциллографа 😉