Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях

Видео:Размышляю над Хаосом и Равновесием - ДиффурыСкачать

Размышляю над Хаосом и Равновесием - Диффуры

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях

При изучении закона движения материальной точки с массой Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхудобно пользоваться векторной формой записи уравнений. Итак, пусть Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях— закон движения материальной точки в пространстве Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, где Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях— время. Это значит, что в момент времени Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхточка имеет радиус-вектор Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, или, что все равно, координаты Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях. Если точка массы Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхдвижется под действием заданной силы (вектора) Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, то по закону Ньютона и механическому смыслу второй производной функция Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхдолжна удовлетворять уравнению движения

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях. (1)

Векторное уравнение (1) эквивалентно системе трех скалярных уравнений

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях(2)

где Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях,Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях— проекции вектора Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхна оси координат Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях,Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях,Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях.

Если считать неизвестными не только координаты точки Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях,Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях,Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, но и проекции скорости

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях,

то мы получим систему из шести уравнений первого порядка

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях(3)

Векторное уравнение (1) можно также записать в виде системы двух векторных уравнений, если скорость Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхсчитать неизвестной векторной функцией:

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, (1’)

где Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях— вектор с проекциями Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях,Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях,Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях.

Если ввести в рассмотрение вектор

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях,

то уравнение (1) или система (3) эквивалентны одному векторному уравнению первого порядка

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях(4)

в шестимерном пространстве, причем вектор

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях.

Шестимерное пространство точек

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях

в физике называют фазовым, а кривую Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхв шестимерном пространстве, являющуюся решением (4), называют фазовой траекторией.

Фазовое пространство – это пространство состояний движения точки по кривой.

Первые три координаты Фазовое пространство в дифференциальных уравненияххарактеризуют положение точки в трехмерном пространстве Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, а остальные три координаты Фазовое пространство в дифференциальных уравненияххарактеризуют ее скорость Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях.

Приведенная терминология дает так называемую кинетическую интерпретацию системы уравнений.

Систему (3), или, что то же самое, (4) называют динамической системой.

Для выделения одной траектории необходимо задать начальные условия:Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, т.е. начальное положение точки и ее начальную скорость. Другими словами, интегральная кривая Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхдолжна проходить через точку Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхшестимерного пространства.

Таким образом, физические задачи приводят нас к необходимости рассмотрения систем дифференциальных уравнений.

Рассмотрим произвольную систему дифференциальных уравнений первого порядка вида

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, (5)

где Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях— искомые функции, а Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях— известные функции, заданные на некотором множестве точек Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях— мерного пространства.

Нас будут интересовать решения Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхсистемы (5), удовлетворяющие начальным условиям

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, (6)

где Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях— заданная точка Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях— мерного пространства.

Систему (5) (решенную относительно производных искомых функций!) называют нормальной (см. § 1.12, 1.13).

Если функции Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхне зависят явно от независимого переменного Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, то система Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхназывается автономной нормальной системой

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях. (7)

Если ввести векторы в Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхмерном пространстве

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях

то систему (5) можно записать в виде

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, (5’)

а начальные условия (6)- в форме

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях. (6’)

Автономную систему можно записать так:

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях. (7’)

Автономную систему можно интерпретировать следующим образом. В каждой точке Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхнекоторого множества n-мерного пространства определен вектор

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях.

Этим определено на указанном множестве поле векторов.

Решение Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхописывает определенную траекторию движения точки в n-мерном пространстве, причем вектор скоростиФазовое пространство в дифференциальных уравненияхв момент ее прохождения через Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, совпадает с векторомФазовое пространство в дифференциальных уравнениях.

Пространство размеренности n точекФазовое пространство в дифференциальных уравнениях, в котором интерпретируются решения автономной системы (7’) в виде траекторий, называется фазовым пространством системы.

Траектории Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхназываются фазовыми траекториями, векторы Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях— фазовыми скоростями.

Вопрос существования решения нормальной системы был рассмотрен в § 1.12.

© 2022 Научная библиотека

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Видео:Обыкновенные дифференциальные уравненияСкачать

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной, если независимая переменная не входит явно в систему.
В теории автономных систем принято обозначать независимую переменную буквой t, а искомое решение — Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях.
Ограничимся случаем n = 2 и в дальнейшем рассматриваем автономные системы второго порядка:
Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях
Будем полагать, что правые части системы f1(x1, x2 ) , f2(x1, x2) непрерывно дифференцируемы в области Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, т.е. справедлива теорема существования и единственности. Название автономная система оправдано тем, что решение само управляет своим изменением, поскольку производные dx1/dt и dx2/dt зависят только от x1 и x2. Автономные системы называют также динамическими системами.

Пусть x1=j1(t), x2= j2(t) — решение автономной системы второго порядка. Тогда уравнения
Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях
задают в параметрической форме кривую на плоскости. Эта кривая называется фазовой кривой или фазовой траекторией системы. Плоскость, на которой расположены фазовые траектории называется фазовой плоскостью автономной системы. Для n >2 фазовые траектории располагаются в фазовом пространстве.

Если на рисунке изображено несколько фазовых кривых системы, характеризующих качественное поведение решений системы (кривые с одинаковыми асимптотами, предельными точками и пр.), то такое изображение называется фазовым портретом системы.

Интегральные кривые рассматриваемой системы изображаются в трехмерном пространстве переменных (t, x1, x2) и, если x1= f 1(t), x2= f 2(t) — решение системы, то интегральная кривая задается в параметрической форме уравнениями
Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях
а фазовая траектория — не что иное, как проекция интегральной кривой на фазовую плоскость (плоскость (x1, x2).

ПРИМЕР 1. Фазовые кривые автономной системы.

Для фазовых кривых (фазовых траекторий) автономной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью
Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях,
справедливы следующие утверждения:

  • Если существует такая точка Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, что Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, то Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, является решением автономной системы, т.е. соответствующая фазовая траектория — точка.
  • Если точка (x1(t), x2(t)) принадлежит некоторой фазовой кривой, то при любой постоянной С точка (x1(t+С), x2(t+С)) принадлежит той же фазовой кривой.
  • Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают.
  • Фазовая траектория, отличная от точки, есть гладкая кривая (в каждой ее точке есть ненулевой касательный вектор).
  • Всякая фазовая кривая принадлежит к одному из трех типов— гладкая кривая без самопересечений, замкнутая гладкая кривая (цикл), точка.
  • Если фазовая кривая, отвечающая решению Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, есть гладкая замкнутая кривая, то это решение — периодическая функция.

ПРИМЕР 2. Типы фазовых кривых.

Точка Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, в которой правая часть системы обращается в нуль,Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, называется положением равновесия системы. Положение равновесия называют также точкой покоя автономной системы.

ПРИМЕР 3. Точки покоя автономной системы.

Если в каждой точке области Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхзадан n-мерный вектор
Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях,Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, то говорят, что в области G задано векторное поле. Запишем автономную систему второго порядка
Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях
в векторной форме:
Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях
где
Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях
Автономная система
Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях
полностью определяется заданием векторного поля
Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях.
Действительно, в каждой точке
Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях
гладкой фазовой кривой
Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях
существует касательный вектор
(x'(t0 ), y'(t0 ))
равный (в силу системы) вектору
Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях,
иными словами, векторное поле
Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях
автономной системы задает в каждой точке направление касательной к фазовой кривой системы, проходящей через эту точку.
Точки векторного поля, в которых вектор Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях— нулевой, называют особыми точками векторного поля. Таким образом, точки покоя автономной системы — это особые точки векторного поля.

ПРИМЕР 4. Векторное поле автономной системы.

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Видео:Дифференциальные уравнения 6. Фазовые траектории. Особые точки автономных системСкачать

Дифференциальные уравнения 6. Фазовые траектории. Особые точки автономных систем

Понятие о фазовом пространстве. Метод фазовой плоскости

Страницы работы

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях

Содержание работы

Лекция 11.Понятие о фазовом пространстве. Метод фазовой плоскости.

Фазовое пространство, или пространство состояний системы, это nмерное пространство, координатами в котором являются фазовые переменные (переменные состояния) системы. Размерность фазового пространства соответствует размерности системы, то есть порядку системы дифференциальных уравнений в нормальной форме (форме Коши), описывающих данную систему.

В общем случае для нелинейной системы такая модель имеет вид:

Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхi=1,2. n, (11.1)

где ji – нелинейные функции; xi – фазовые переменные системы; g, f– задающее и возмущающее воздействия (возможно, векторные функции).

Если использовать вектор фазовых переменных Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, можно записать эту модель в векторной форме:

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях. (11.2)

Аргумент t в уравнениях (11.1)-(11.2) присутствует только для нестационарных систем.

Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхВ nмерном фазовом пространстве (рис. 51) начальному моменту времени для процесса в системе t0 соответствует точка, отображающая начальное состояние системы X 0 =(x10,x20,…,xn0). Каждому последующему моменту времени t>t0 будет соответствовать другая точка, координаты которой – текущие значения фазовых переменных. Ее называют изображающей точкой. Решению же уравнений (11.1)-(11.2) xi(t), i=1,2. n, соответствует некоторая непрерывная кривая, которую называют фазовой траекторией процесса в системе. Стрелкой на фазовой траектории показывают направление увеличения времени.

Дополнительно отметим, что значения правых частей уравнений (11.1) дают проекции вектора скорости движения изображающей точки по фазовой траектории для любого рассматриваемого момента времени.

Для решения практических задач использовать отображение процесса в системе в многомерном фазовом пространстве, как правило, не удается. Поэтому наиболее распространенным вариантом использования рассматриваемого аппарата является метод фазовой плоскости, когда рассматриваются только две переменные состояния системы и фазовые траектории представляют собой плоские кривые (рис. 52). Очевидно, метод фазовой плоскости позволяет получить полную картину процесса только для систем второго порядка. Для таких систем он в основном и применяется.

В большинстве случаев при использовании метода фазовой плоскости входные сигналы g и f принимают равными нулю и рассматривают процессы, вызванные начальными отклонениями фазовых переменных от установившихся значений. Для стационарной системы второго порядка система уравнений (11.1) при этом примет вид:

Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхФазовое пространство в дифференциальных уравнениях,

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях. (11.3)

Совокупность фазовых траекторий, полученных для различных начальных условий, называют фазовым портретом системы.

Отметим, что при использовании математической модели системы физический смысл фазовых переменных не учитывается. Поэтому даже для системы второго порядка формально могут рассматриваться различные пары (x1, x2) с соответствующими заменами переменных в уравнениях (11.3). Выбор фазовых переменных проводится в зависимости от решаемой задачи для удобства ее решения.

Наиболее распространенный вариант выбора фазовых переменных предусматривает непосредственную связь между ними следующего вида Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях. Тогда уравнения (11.3) упрощаются:

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях,

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях. (11.4)

Удобство такой модели при использовании метода фазовой плоскости определяется тем, что для нее вертикальная координата является производной от горизонтальной. Вследствие этого фазовые траектории подчиняются следующим правилам:

1. В верхней полуплоскости движение изображающей точки по фазовой траектории возможно только слева направо, в нижней — только в обратном направлении.

Объясняется это правило тем, что для верхней полуплоскости Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, то есть при нахождении здесь изображающей точки ее горизонтальная координата обязательно увеличивается. Для нижней полуплоскости Фазовое пространство в дифференциальных уравненияхи справедливо обратное.

2. Фазовые траектории пересекают горизонтальную ось только под прямым углом.

В точках пересечения с горизонтальной осью Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, то есть при пересечении оси горизонтальная координата изображающей точки не изменяется, и касательная к фазовой траектории направлена вертикально.

3. Фазовые траектории не могут пересекаться.

Это правило справедливо для систем второго порядка при любом выборе фазовых переменных, если только уравнения системы не содержат переменных во времени входных сигналов. Во всяком случае, оно справедливо для моделей вида (11.3)-(11.4), которые для любой точки фазового пространства дают однозначные значения составляющих вектора скорости движения изображающей точки.

Рассмотрим некоторые примеры, демонстрирующие связь фазовых траекторий с временными характеристиками и основанный на ней способ построения фазовых траекторий.

Для колебательного звена с передаточной функцией

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях

при отсутствии входного сигнала состояние равновесие устойчиво и совпадает с началом координат, переходный же процесс возбуждается начальными условиями для выходного сигнала и его производной, которые обозначим соответственно x1 и x2. Законы изменения x1 и x2 показаны на рис. 53а. На их графики нанесены точки, соответствующие экстремумам и нулям рассматриваемых функций. Соответствующие точки являются основой для построения фазовой траектории на плоскости с координатами x1 и x2 (рис. 53б).

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях

Ниже приведено аналогичное построение для неустойчивого апериодического звена с передаточной функцией Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях.

В качестве фазовых координат выбираются выходной сигнал звена x1 и его производная Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях. При отсутствии входного сигнала рассматривается процесс, инициируемый начальными условиями. Дифференциальное уравнение звена примет вид:

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях.

Его решение: Tp-1=0, Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях.

Закон изменения производной получим дифференцированием:

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях.

Таким образом, вертикальная координата начальной точки для фазовой траектории: Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях, а уравнение фазовой траектории является уравнением прямой, проходящей через начало координат: Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях. Фазовая траектория показана на рисунке 54.

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях

Вернемся к системе уравнений (11.3). Состояниям равновесия системы соответствует постоянство фазовых переменных, то есть обращение в ноль их производных. Для линейной системы возможно только одно состояние равновесия. У нелинейной системы их может быть несколько. Каждому состоянию равновесия соответствует некоторая точка на фазовой плоскости.

На основе (11.3) может быть получено единое дифференциальное уравнение фазовой траектории:

Фазовое пространство в дифференциальных уравнениях. (11.5)

Его правая часть дает угол наклона касательной к фазовой траектории, то есть направление вектора скорости изображающей точки. Это справедливо для любой точки фазовой плоскости, за исключением точек, соответствующих состояниям равновесия. Для них правые части уравнений (11.3) обращаются в ноль, и в правой части уравнения (11.5) возникает неопределенность. Поэтому такие точки называют особыми точками на фазовой плоскости.

Рассмотренный выше способ построения фазовых траекторий требует получения законов изменения фазовых переменных x1(t) и x2(t). Это обеспечивается путем решения систем уравнений вида (11.4) или (11.5). Для нелинейных систем здесь в большинстве случаев требуется применение приближенных численных методов. При этом построение фазового портрета системы связано с многократным решением уравнений.

Поэтому часто более удобным оказывается анализ особых точек и особых линий на фазовой плоскости, позволяющий составить достаточно полное представление о фазовом портрете и отражаемых им свойствах системы.

🎬 Видео

Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения. Часть 2 - Фазовый портретСкачать

Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения. Часть 2 - Фазовый портрет

Дополнительные главы ИДУ: Построение фазовых портретов | Занятие 3Скачать

Дополнительные главы ИДУ: Построение фазовых портретов | Занятие 3

Сергеев И. Н. - Дифференциальные уравнения II - Фазовые пространства малых размерностейСкачать

Сергеев И. Н. - Дифференциальные уравнения II - Фазовые пространства малых размерностей

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия

Дифференциальные уравнения с многомерными фазовыми пространствами. ВШЭ-РЭШ, 2022-01-25Скачать

Дифференциальные уравнения с многомерными фазовыми пространствами. ВШЭ-РЭШ, 2022-01-25

Стат. термодинамика || 2021 || Лекция 1. Фазовое пространствоСкачать

Стат. термодинамика || 2021 || Лекция 1. Фазовое пространство

Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать

Решение  физических задач с помощью дифференциальных уравнений

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения 20. Исследование поведения фазовых траекторийСкачать

Дифференциальные уравнения 20. Исследование поведения фазовых траекторий

Дифференциальные уравнения 3. Автономные системыСкачать

Дифференциальные уравнения 3. Автономные системы

Дифференциальные уравнения, Ремизов А. О., лекция 5, 29.09.2023Скачать

Дифференциальные уравнения, Ремизов А. О., лекция 5, 29.09.2023

Р.В. Шамин. Дифференциальные уравнения - лекция № 05Скачать

Р.В. Шамин. Дифференциальные уравнения - лекция № 05

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.
Поделиться или сохранить к себе: