Этап заканчивается выводом математических соотношений уравнений или систем уравнений (3 видео)

Математическая постановка задачи

Математическая постановка задачи (МПЗ) — это формулировка нашей задачи как задачи некоторого раздела математики.

Фактически на этом этапе мы рассматриваем те же вопросы (что дано? что найти?как найти?), что и в содержательной постановке задачи, однако сформулированы они на языке математики. И поскольку при этом используются только математические термины, имеющие каждый точное определение, то ответы на них получаем строго однозначные.

Переход к математической задаче дает возможность подобрать и применить для ее решения методы, разработанные и предоставляемые в наше распоряжение математикой.

Основные понятия. Суть рассматриваемого этапа — в следующем:

• выявляем реальный объект (так будем называть объект, группу объектов, ситуацию, явление и т.д., о которых идет речь в задаче) и из множества параметров (свойств), определяющих реальный объект, выделяем те, которые являются существенными для решаемой задачи;
• далее подбираем математический объект (группу объектов) с тем же числом подобных параметров, отражающий (отражающих) суть реального объекта. Такой математический объект (группу объектов) будем называть математической моделью реального объекта задачи или для краткости «моделью объекта задачи» — это ключевое понятие настоящей главы.

Пример: в задаче 13.1 моделью объекта можно считать цилиндр объемом V, а в задаче 13.2 — график функции.

Построив модель объекта, мы можем отказаться от рассмотрения, анализа реального объекта задачи и перейти к анализу модели объекта, выявлению исходных данных и результатов как параметров модели. Выявив математические соотношения, связывающие исходные данные и результаты, тем самым приходим к той или иной математической задаче, описываемой этими соотношениями.

Рассмотрим конкретный пример. Во введении была рассмотрена задача о кошках. Каждая кошка в жизни характеризуется множеством свойств (параметров): масть, вес, длина ушей и т.д., но нас интересует только один ее параметр — длина хвоста (действительная величина). Поэтому для упрощения ситуации можно заменить реальный объект — «кошка» математическим объектом, определяемым также только одним параметром, например точкой С на числовой оси Xс координатой с (тоже действительная величина).

Другой объект задачи — диапазон длин хвостов, определяется двумя параметрами — а и Ь — минимальной и максимальной длиной. Его можно представить таким математическим объектом, как отрезок числовой оси X, определяемым также двумя параметрами (границами), т.е. модель объекта нашей задачи будет представлена отрезком [а, Ь оси Xи точкой С, и мы приходим к решению математической задачи — «Определить, лежит ли точка С на отрезке [а, Ь]1»

Таким образом, на языке математики мы четко сформулировали, что дано и что найти.

Процесс, порядок решения задачи (т.е. ответ на вопрос — как найти?) определяется соотношением:

Здесь У — текстовая переменная, которой присваивается тот или иной текст, отражающий результат решения задачи.

Подобная формулировка и является математической постановкой задачи.

Свойства МПЗ. В общем случае для одной и той же задачи может существовать несколько вариантов МПЗ, так что возникает проблема выбора.

Определить периметр крышки стола.

Здесь нас интересуют лишь размеры крышки стола, поэтому заменим реальный объект — «стол» плоской геометрической фигурой, размеры и конфигурация которой соответствуют поверхности крышки.

Это может быть такая фигура (рис. 13.1):

Однако предварительно следует доказать, что радиусы закругления всех углов крышки стола с точки зрения требуемой точности вычисления результатов можно считать равными и только после этого фигура на рис. 13.1 может считаться моделью крышки стола.

Если это доказано, то математическая постановка задачи имеет такой вид:

исходные данные: г, а, Ь, с,

результат: Р (периметр);

Вычислить значение Р:

Р — 2 пг + а + Ь + с + с/.

Если величина г такова, что при требуемой точности вычисления результатов закруглением углов можно пренебречь, то в качестве модели объекта можно взять четырехугольник общего вида (рис. 13.2).

В этом случае приходим к такой задаче: исходные данные: а, Ь, с, с1 результат: Р. Вычислить значение Р:

В качестве модели объекта задачи можно взять прямоугольник со сторонами а и. Ь. Если окажется, что при заданной точности вычисления противоположные стороны крышки можно считать равными, как и диагонали ее, МПЗ имеет такой вид: исходные данные: а, Ь результат: Р.

Вычислить значение Р:

Из рассмотрения даже такой простейшей задачи можно вывести важные свойства математической постановки задачи:

а) модель объекта не тождественна реальному объекту, а передает только часть его свойств и качеств, являясь приближенным описанием реального объекта;
б) модель объекта задачи не определяется однозначно реальным объектом; для одной и той же задачи можно принять разные модели в зависимости от требуемой точности вычисления результатов;
в) для любой выбранной модели объекта необходимо доказать соответствие ее реальному объекту (ситуации), т.е. доказать адекватность этих понятий с точки зрения требуемой точности вычисления;
г) в случае приближенной модели объекта результаты решения задачи также являются приближенными; чем точнее необходимо получить результаты, тем сложнее должна быть модель.

Научная постановка задачи. Во многих случаях математической постановке задачи предшествует формулировка ее как задачи некоторой науки, будем называть ее научной постановкой. Например, многие задачи, связанные с перемещением реальных предметов и живых существ, сводятся вначале к какой-либо физической задаче о равномерном или равноускоренном движении тела, т.е. вместо того чтобы рассматривать реальный процесс, определяемый множеством свойств, параметров во всей сложности его, мы изучаем физический процесс, который выражает суть реального и отражает только те его свойства, которые существенны с точки зрения нашей задачи. Этот физический процесс является моделью, физической (качественной) моделью реального процесса, так как отражает в первую очередь качество его — равномерность, равноускоренность и т.д.

Далее выделяются параметры физической модели, которые являются исходными данными и результатами задачи. Все они вместе с моделью и составят физическую постановку задачи.

Для примера возьмем такую ситуацию — кошка выпала из окна третьего этажа дома. Сколько времени она будет находиться в воздухе?

Это содержательная постановка задачи.

Физическая постановка может иметь такой вид: тело массой/т = = 1,5 кг движется в свободном падении с начальной скоростью у₀ = 0. Определить, за какое время тело преодолеет расстояние 5’= 12 м.

Исходные данные и результаты здесь очевидны.

От физической постановки задачи следует перейти к математической, которая отражает количественные соотношения между исходными величинами и результатами, для чего иногда достаточно подобрать известные из курса физики формулы, описывающие данную физическую задачу.

Во многих случаях такой переход однозначен.

Нужно заметить, что физическая и математическая постановка задач — необходимые этапы любого способа решения задачи, а не только «машинного». Учащиеся сталкивались с ними и ранее, в курсе физики средней школы.

Содержательная постановка задачи: определить, за какое время турист пройдет б км, если движется со скоростью V км/ч?

Физическая постановка задачи: определить время перемещения тела на расстояние 5 при равномерном прямолинейном движении его со скоростью V.

Математическая постановка задачи определяется здесь однозначно выбранной физической моделью процесса и соответствующей ей формулой / =.у/у.

Научная постановка задачи — неотъемлемая часть процесса решения технических задач, так как многие из них сводятся к решению задач той или иной технической науки, инженерной дисциплины.

Так, задачи проектирования конструкций, механизмов, машин приводятся, как правило, первоначально к задачам таких наук, как теоретическая и строительная механика, сопротивление материалов, теория механизмов и машин и т.д., причем приводятся обычно к типовым задачам этих наук, для которых уже разработаны математические постановки.

Содержание этапа МПЗ. Обобщая сказанное, перечислим основные операции, связанные с математической постановкой задачи.

1. Формулировка научной постановки задачи, т.е. формулировка ее как задачи некоторой науки (в частности, физики). (Условно отнесем эту процедуру к этапу МПЗ, хотя она и предшествует этому этапу.)
2. Выбор модели объекта задачи, т.е. выбор совокупности математических объектов, отражающих все необходимые для нашего случая свойства реальных объектов, процессов, ситуации задачи. Модель может быть числовой, геометрической, графической, аналитической и т.д.
3. Установление адекватности (соответствия) выбранной модели реальному объекту с точки зрения требуемой точности вычисления результатов или других критериев.
4. Выделение исходных данных и результатов задачи как параметров модели.
5. Выявление математических соотношений, связывающих исходные данные и результаты решения задачи и определяемых свойствами модели. Эти соотношения могут быть выражены формулами, уравнениями, неравенствами, системами уравнений, графиками и т.д. Они могут быть выражены и в словесном виде.

Таким образом, в общем случае сформулировать задачу математически довольно сложно. В то же время в простых случаях для этого достаточно перечислить формулы, вычисление по которым приводит к решению задачи.

Следует отметить и основные особенности рассматриваемой постановки задачи:

а) в математической постановке задачи не должны присутствовать какие-либо содержательные термины;
б) сложные задачи на содержательном уровне разбиваются на подзадачи, и для каждой отдельно выполняется МПЗ;
в) математическая задача, к которой сводится наша задача, должна быть известной, типовой задачей математики. Этого добиться непросто и не всегда возможно, но к этому нужно стремиться.

Примеры типовых задач — вычисление интеграла, дифференцирование функции, решение уравнений, систем линейных уравнений и т.д. Для каждого раздела математики существуют свои типовые задачи.

Пояснение. Последнее требование к МПЗ обусловлено тем, что для большинства типовых математических задач уже составлены программы. На каждой ЭВМ такие программы, сведенные в библиотеки, хранятся в памяти. Использование их не вызывает затруднений. Поэтому если удалось свести задачу к типовой задаче математики, то отпадает необходимость в составлении программы и выполнении всех связанных с этим операций, чем достигается большой экономический эффект от использования ЭВМ. Нередко добиться этого можно небольшим изменением условия задачи (содержательной постановки).

Такой случай демонстрирует следующая задача.

имеется табель посещаемости занятий по химии 10-го класса за первую четверть. В классе не более 30 учеников, число занятий — не более 28. Пропуск занятия обозначается буквой «Н», определить число занятий, пропущенных каждым учеником.

Математическая постановка задачи (вариант 1).

Исходные данные: п — число учеников (п [1]

1. Содержательная постановка: мальчик бросил яблоко под углом к горизонту а, с начальной скоростью о₀— Определить, какое расстояние пролетело яблоко.
2. Научная (физическая) постановка задачи. Определить, какое расстояние преодолеет тело, брошенное под углом а к горизонту с начальной скоростью Ось при следующих допущениях:
а) кривизной Земли пренебречь;
б) движением Земли пренебречь;
в) считать ускорение свободного падения постоянным;
г) сопротивлением воздуха пренебречь.

Мы заменили реальную задачу известной задачей физики.

3. Математическая постановка задачи.
а) Модель задачи: задана аналитически функция

где

Исходные данные: а, у₀.

б) Формулировка задачи: решить уравнение

Здесь адекватность математической модели реальной ситуации определяется физической моделью задачи, так как последняя однозначно определяет МПЗ.

Содержание

Основы математического моделирования систем и процессов (стр. 2 )
2.2.1. Прямые методы
3.3.1.3. Уточнение корней
Как решать систему уравнений
Основные понятия
Линейное уравнение с двумя переменными
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Метод подстановки
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Метод сложения
Система линейных уравнений с тремя переменными
Решение задач
Задание 1. Как привести уравнение к стандартному виду ах + by + c = 0?
Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки
Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения
Задание 4. Решить систему уравнений
Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными
💡 Видео

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Основы математического моделирования систем и процессов (стр. 2 )

Этап заканчивается выводом математических соотношений уравнений или систем уравнений

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5

В каждом из перечисленных случаев в различной степени сказывается влияние таких ранее не учтенных факторов, как сила сопротивления воздуха, притяжение Луны, Солнца, убывание плотности атмосферы с высотой, вращение Земли, ветер, по-разному дующий на разных высотах, фактическое отличие формы Земли от шара (она является телом более сложной геометрической формы).

Проблема 3. Определение уровня детализации исследуемого объекта.

Любая физическая система представляет собой совокупность элементов. Каждый элемент в свою очередь можно расчленить на подэлементы. Процесс расчленения теоретически может быть бесконечным. Задача исследователя – выбрать оптимальный уровень детализации моделируемого объекта. Уровень детализации определяется целью моделирования и степенью знаний о свойствах элементов объекта.

Детализацию целесообразно производить до такого уровня, на котором для каждого элемента можно определить зависимость параметров выходных сигналов от параметров входных сигналов. Стремление повысить уровень детализации приводит к чрезмерной громоздкости модели и резкому увеличению ее размерности.

3-й этап. Формирование математической модели, т. е. запись модели в формализованном виде:

– все соотношения записывают в аналитической форме;

– логические условия выражают в виде систем неравенств;

4-й этап. Исследование математической модели. Инструментами исследования являются численные и аналитические методы.

5-й этап. Анализ результатов моделирования с последующим выводом об адекватности модели либо о необходимости ее доработки, либо о ее непригодности.

1.3.4. Классификация математических моделей

Математические модели можно классифицировать по форме их представления (рис. 1.10). За основу второй классификации (рис. 1.11) взят характер модели.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФОРМЕ

СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Области применения

Исследование некоторых физических систем приводит к математическим моделям в форме систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Иногда СЛАУ появляются в процессе математического моделирования как промежуточный шаг (этап) в решении более сложной задачи. Есть значительное число научно-технических задач, в которых математические модели сложных нелинейных систем посредством дискретизации или линеаризации сводятся к решению СЛАУ.

Примеры задач, использующих математические модели в форме СЛАУ:

1) при проектировании и эксплуатации электротехнических устройств требуется проведение расчета и анализа их работы в стационарных режимах. Задача сводится к расчету эквивалентных схем, в основе которого лежит формирование и решение СЛАУ;

2) при построении математической модели, связывающей функциональной зависимостью некоторые параметры x, y исследуемого объекта на основании полученных в результате эксперимента данных , где i = 1,2,3, . ,n (задачи аппроксимации данных);

3) при исследовании процессов в системах, математические модели которых строятся в классе дифференциальных уравнений в частных производных. В результате разностной аппроксимации исходной модели при определенных условиях приходят к математическим соотношениям в форме СЛАУ;

4) сущность многих физических процессов математически отображается с помощью интегральных уравнений. Ввиду сложности решения многих из них исследователь предпочитает свести задачу к решению модели в форме СЛАУ, используя известные методы аппроксимации.

5) исследование систем автоматического регулирования в установившемся режиме приводит во многих случаях к статическим моделям в форме СЛАУ.

Система линейных уравнений порядка n имеет вид:

(2.1)

или в векторно-матричной форме:

(2.2)

где – вектор свободных членов;

– вектор неизвестных;

A – матрица коэффициентов системы, размером .

2.2. Методы решения

Методы решения СЛАУ делятся на две группы: прямые (точные) и итерационные (приближенные).

Прямые методы позволяют получить решение за конечное число шагов. Итерационные методы построены по принципу многократного вычисления последовательных приближений, сходящихся к искомому решению.

Прямые методы целесообразно использовать для решения систем сравнительно небольшой размерности с плотно заполненной матрицей (матрицей, имеющей малое количество нулевых элементов). Итерационные методы предпочтительнее в задачах большой размерности со слабо заполненными матрицами.

К прямым методам относятся метод определителей, метод Гаусса и его модификации, метод LU-разложения, матричный метод и др. К разряду итерационных методов принадлежат метод простой итерации, метод Зейделя.

Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

2.2.1. Прямые методы

2.2.1.1. Метод Гаусса

Решение СЛАУ осуществляется в два этапа (прямой и обратный ход)

Прямой ход. Исходная система (2.1) путем последовательных преобразований приводится к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений. В результате получается эквивалентная система:

(2.3)

Обратный ход. С помощью подстановки в предпоследнее (n-1)-е уравнение системы (2.3) вычисляется . Подстановкой и в (n-2)-е уравнение определяют . Таким же образом последовательно определяют неизвестные .

П р и м е р 14. Решить систему с тремя неизвестными методом Гаусса:

(2.4)

Прямой ход. Первое уравнение из системы (2.4) разделим на 3:

(2.5)

Из второго уравнения исключим неизвестное Для этого ко второму уравнению прибавим преобразованное первое уравнение, умноженное на (–2). Получим:

(2.6)

(2.7)

Разделим уравнение (2.7) на . Получим:

. (2.8)

Из третьего уравнения системы (2.4) исключим . Для этого из третьего уравнения вычтем первое преобразованное (2.5):

(2.9)

(2.10)

Разделим уравнение (2.10) на :

, (2.11)

(2.12)

Из третьего уравнения системы (2.12) исключим неизвестное . Для этого к третьему уравнению прибавим второе:

(2.13)

или , (2.14)

откуда выразим : .

Тогда эквивалентная система в треугольном виде примет вид:

(2.15)

Обратный ход. Подставим значение во второе уравнение системы (2.15) и найдем . Подстановкой значений и в первое уравнение найдем .

Если квадратная матрица линейной системы

(2.16)

имеет отличные от нуля главные диагональные миноры, т. е.

(2.17)

то она может быть разложена на произведение двух треугольных матриц – нижней с ненулевыми диагональными элементами и верхней – с единичными диагональными элементами

(2.18)

Поэтому матричное уравнение (2.16) можно заменить уравнением:

(2.19)

Введем вектор вспомогательных переменных Тогда уравнение (2.19) можно записать в виде системы двух векторно-матричных уравнений:

(2.20)

Таким образом, решение системы (2.16) сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами типа (2.3) или (2.15), из которых неизвестные определяются последовательной подстановкой.

Математически это выражается так: из первого уравнения системы (2.20) определяется вектор :

, (2.21)

после чего из второго уравнения системы (2.19) вычисляется вектор :

. (2.22)

Обратные матрицы и существуют, т. к. определители треугольных матриц L и U, вычисляемые как произведения их диагональных элементов, отличны от нуля.

Метод LU-разложения – это фактически метод Гаусса, выраженный в векторно-матричной форме, отличающийся от классического варианта способом хранения матриц.

2.2.1.3. Матричный метод

Если для системы выполняется условие невырожденности матрицы A

, (2.23)

то решение этой системы можно представить в виде:

, (2.24)

где – обратная матрица.

2.2.2. Итерационные методы

2.2.2.1. Метод простых итераций

Исходная система уравнений (2.1) приводится к виду:

(2.25)

(2.26)

Задав начальные (нулевые) приближения для искомых неизвестных:

(2.27)

подставляем их в правую часть системы (2.26). Получаемые при этом в левой части системы значения представляют собой первые приближения:

, (2.28)

где

Подставив первые приближения в правую часть системы (2.26), в левой ее части получим вторые приближения − :

. (2.29)

Таким образом, итерационный процесс описывается соотношениями:

(2.30)

Полученные в результате последовательности итераций приближения: сходятся к истинному решению системы (2.1), в том случае, если для коэффициентов системы (2.26) выполняется хотя бы одно из условий:

; (2.31)

. (2.32)

Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет выполнено условие:

(2.33)

где – заданная точность.

2.2.2.2. Метод Зейделя

Метод Зейделя – модификация метода простых итераций, обеспечивающая ускорение сходимости итерационного процесса к истинному решению системы за счет следующего приема.

Уточненное значение , полученное из первого уравнения системы (2.26) вводится во второе уравнение системы и используется для вычисления . Затем уточненные значения , вводятся в третье уравнение системы (2.26) и используются для вычисления . Таким образом, k-е приближение будет определяться через уточненные в процессе k-й итерации значения . Следовательно, итерационный процесс, реализуемый в методе Зейделя, может быть выражен соотношениями:

(2.34)

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФОРМЕ НЕЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Пример формирования модели

П р и м е р 15. Моделируемый объект – нелинейная цепь постоянного тока (рис. 3.1). R2 – нелинейное сопротивление.

По закону Кирхгофа

(3.1)

Нелинейную вольт-амперную характеристику (ВАХ) элемента R2 аппроксимируем выражением:

(3.2)

Сделаем подстановку выражения (3.2) в уравнение (3.1):

(3.3)

(3.4)

f(i)

Соотношение f(i) = 0 представляет собой математическую модель электрической цепи в форме нелинейного алгебраического уравнения относительно тока i. Решение этой модели позволит определить ток i в цепи при заданных значениях U и R1.

Исследование объектов различной физической природы в установившемся режиме часто приводит к статическим моделям в форме нелинейных алгебраических уравнений.

Алгебраическое уравнение может содержать только алгебраические функции, в которых над переменной x производятся арифметические операции, возведение в степень с рациональным показателем и извлечение корня. Например:

(3.5)

(3.6)

В некоторых задачах моделирование приводит к трансцендентному уравнению.

Трансцендентным называется уравнение, в состав которого входят трансцендентные функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические функции, возведение в иррациональную степень. Например:

(3.7)

(3.8)

3.2. Базовые понятия

Уравнение с одним неизвестным x в общем случае имеет вид:

где z(x) и g(x) — функции, определенные на некотором числовом множестве X, называемом областью допустимых значений уравнения.

Другая форма записи уравнения с одним неизвестным имеет вид:

где f(x) = z(x) – g(x) получается в результате переноса функции g(x) в левую часть уравнения (3.9).

Всякое значение x*, которое при подстановке в уравнение (3.10) обращает его в числовое равенство, а функцию f(x) — в ноль, т. е. такое, что

, (3.11)

называется корнем уравнения, или нулем функции f(x).

Решить уравнение – значит найти все его корни (решения) или доказать, что уравнение не имеет корней.

Для алгебраических уравнений число корней известно заранее. Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел n корней с учетом кратности.

3.3. Методы решения

Аналитическое (явное) решение, т. е. решение в виде готовой формулы, выражающей неизвестное x через параметры уравнения, можно получить только для ограниченного круга уравнений, например формулы для вычисления корней квадратного (аx2+bx+c=0) и кубического (x3+px+q=0) уравнений. Решение некоторых простейших трансцендентных уравнений может быть получено в аналитической форме с использованием степенных рядов, непрерывных дробей и т. д.

В большинстве случаев найти явное решение уравнения очень сложно или невозможно. Кроме того, использование аналитических формул для решения большинства уравнений не может обеспечить получение точного значения корня, поскольку коэффициенты уравнения являются приближенными величинами, определенными в результате измерений. Поэтому задача отыскания точного значения корня теряет смысл.

Ставится задача – определить приближенное значение корня уравнения с заданной точностью.

Приближенное решение математических задач лежит в основе численных методов.

3.3.1. Особенности численных методов решения

3.3.1.1. Этапы численного решения нелинейного уравнения

Численное решение уравнения f(x) = 0 (речь идет о действительных корнях) проводят в два этапа:

1) отделение корней, т. е. отыскание таких достаточно малых отрезков в области допустимых значений x, в которых содержится только один корень;

2) уточнение корней, т. е. вычисление корней с заданной точностью.

3.3.1.2. Отделение корней

Рассмотрим несколько способов отделения корней.

С п о с о б 1 – по графику функции y = f(x).

приближенно определяется как абсцисса точки пересечения графика с осью Оx (рис. 3.2). Устанавливаются границы a и b отрезка, в пределах которого заключен только один корень x*.

С п о с о б 2 – уравнение f(x) = 0 заменяют равносильным:

. (3.13)

Строят графики функций и

Приближенное значение корня определяют как абсциссу точки пересечения этих графиков.

Например: отделим корень уравнения

(3.14)

для области значений аргумента x > 0.

Преобразуем уравнение (3.14) к виду:

(3.15)

где

Строим графики (рис. 3.3) и находим приближенно x* и отрезок .

С п о с о б 3 – по таблице значений функции f(x) на интересующем интервале изменения аргумента x. Например, представим таблицу (табл.3.1) значений функции

. (3.16)

Из данных табл. 3.1 видно, что корень уравнения существует и его следует искать на отрезке [7,0; 10,0], так как значения функции на концах этого отрезка имеют разные знаки.

Таблица значений функции

С п о с о б 4 – аналитический метод отделения корней, который базируется на знании следующих свойств функции:

а) если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка существует по крайней мере один корень уравнения ;

б) если функция непрерывна и монотонна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри этого отрезка существует корень уравнения и притом единственный.

Функция называется монотонной в заданном интервале, если при любых из этого интервала она удовлетворяет условию (монотонно возрастающая функция)

или (монотонно убывающая функция).

Необходимым и достаточным условием монотонности функции в заданном интервале является выполнение для всех внутренних точек этого интервала условия или

Зная свойства функции , можно сделать вывод о характере графика , что может существенно облегчить процесс отыскания корней. Продемонстрируем это для непрерывной и монотонной на отрезке функции , которая принимает на концах отрезка значения разных знаков, имеет во всех точках интервала первую и вторую производные и , сохраняющие постоянный знак (рис. 3.4).

3.3.1.3. Уточнение корней

Рассмотрим несколько численных методов уточнения корней, применяемых для решения как алгебраических, так и трансцендентных уравнений. Эти методы относятся к разряду итерационных.

Итерационный процесс состоит в последовательном шаг за шагом уточнении начального приближения x0 искомого корня. Каждый шаг такого метода называется итерацией.

В результате реализации итерационного метода получают последовательность приближенных значений корня Если эти значения с увеличением n приближаются к истинному значению корня x*, то говорят, что итерационный процесс сходится.

3.3.1.3.1. Метод половинного деления (дихотомии, бисекции)

Пусть дано уравнение

(3.17)

где функция непрерывна и монотонна на отрезке и имеет на концах отрезка разные знаки:

(3.18)

Требуется найти корень уравнения (3.17) с точностью до График функции представлен на рис. 3.5.

Рассмотрим суть и этапы реализации метода половинного деления.

1) Отрезок делим пополам и определяем середину отрезка:

(3.19)

2) Вычисляем значение функции в точке Если , то является корнем уравнения. Если то поиск корня продолжается на одном из двух полученных отрезков – или . Следует выбрать тот отрезок, на концах которого функция принимает значения противоположных знаков. В данном случае (см. рис. 3.5) выбираем отрезок , так как для него выполняется условие: Для того чтобы сохранить в дальнейших расчетах единое обозначение текущего отрезка, на котором ведется поиск корня на данном шаге вычислений, необходимо параметру b присвоить новое значение : b = . С точки зрения геометрической интерпретации (см. рис. 3.5) это означает, что правая граница исходного отрезка точка b переносится в точку а оставшаяся за пределами точки часть графика дальше не рассматривается.

Видео:Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)Скачать

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Видео:Система уравнений VS Система неравенств. ОГЭ по математике №9, 13| Математика TutorOnlineСкачать

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Решим систему уравнений методом подстановки

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Видео:9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Пример.

Домножим первое уравнение системы на -2, второе оставим без изменений. Система примет вид:

Сложим уравнения, получим

Отсюда y = -3, а, значит, x = 2

Ответ: (2; -3).

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым: