Выравнивание ряда динамики способом наименьших квадратов заключается в отыскании уравнения кривой, которая наиболее точно отражала бы основную тенденцию изменения уровней в зависимости от времени. Параметры уравнения находят способом наименьших квадратов. Уравнение, выражающее уровни динамического ряда в виде некоторой функции времени, называют трендом.
Этот способ выравнивания следует применять в сочетании со способом укрупнения периодов. Выявление тенденции развития методом наименьших квадратов следует проводить, как правило, внутри качественно однородных периодов.
Выравнивание проводится с помощью различных математических функций — линейной, показательной, логарифмической, параболы разных порядков и т.д. Выбор функции проводится на основе теоретического анализа изучаемого явления, применения графического метода, использования скользящих средних и других приемов.
Уравнение прямой имеет вид: y = a0 + a1t, где
a0 — значение выровненного уровня при t = 0;
a1 — среднее увеличение/уменьшение показателя в год.
Уравнение параболы: y = a0 + a1x1+a2x22, где
a2 — среднее ускорение изменения.
Рассмотрим выравнивание динамических рядов по следующим показателям:
Коэффициент покрытия импорта товаров экспортом;
Добыча естественного газа на душу населения;
Индексы производства продукции сельского хозяйства.
Проведем выравнивание рядов по способу наименьших квадратов по уравнению прямой и уравнению параболы.
Уравнение выравнивания по прямой коэффициента покрытия импорта товаров экспортом:
Коэффициент 52,61 — показывает значение выровненного уровня при t = 0, коэффициент -0,59 показывает скорость развития явления, т.е. среднее уменьшение коэффициента покрытия импорта товаров экспортом в целом на 0,59 в год.
Уравнение выравнивания по параболе коэффициента покрытия импорта товаров экспортом:
У = 56,02 -0,59t -0,31t2
Коэффициент 56,02 — показывает значение выровненного уровня при t = 0, коэффициент -0,59 показывает скорость развития явления, т.е. среднее уменьшение коэффициента покрытия импорта товаров экспортом в целом на 0,59 в год, коэффициент -0,31 -уменьшение развития явления, т.е. наблюдается уменьшение роста коэффициента покрытия импорта товаров экспортом в целом на 0,31 (Приложение В).
Для оценки степени приближения выровненных уровней к фактическим необходимо найти их разность yi — yt, а также остаточную дисперсию:
Среднее квадратическое отклонение составляет для прямой — 3,28 и 1,88 для параболы, т.е. парабола более точно отражает характер изменения коэффициента покрытия импорта товаров экспортомза изучаемый период. Для выравнивания данного ряда может быть использовано так же и уравнение прямой.
Аналогично проведем анализ данных динамического выравнивания добычи естественного газана душу населения.
Уравнение выравнивания по прямой добычи естественного газана душу населения:
Коэффициент 57,3 — показывает значение выровненного уровня при t = 0, коэффициент 1,33 показывает скорость развития явления, т.е. среднее увеличение добычи естественного газана душу населенияв целом на 1,33 в год.
Уравнение выравнивания по параболе добычи естественного газана душу населения:
У = 59,74 + 1,33t -0,22t2
Коэффициент 59,74 — показывает значение выровненного уровня при t = 0, коэффициент 1,33 показывает скорость развития явления, т.е. среднее увеличение размера добычи естественного газана душу населенияв целом на 1,33 в год, коэффициент-0,22 -увеличение развития явления, т.е. наблюдается снижение добычи естественного газана душу населения в целом на 0,22 (Приложение Г).
Среднее квадратическое отклонение составляет для прямой 2,43 и 1,49 для параболы, т.е. парабола более точно отражает характер изменения добычи естественного газана душу населенияза изучаемый период.
Аналогично проведем анализ данных индекса производства продукции сельского хозяйства.
Уравнение выравнивания по прямой индекса производства продукции сельского хозяйства:
Коэффициент 112 — показывает значение выровненного уровня при t = 0, коэффициент 1,12 показывает скорость развития явления, т.е. среднее увеличение индекса производства продукции сельского хозяйства в целом на 1,12 в год.
Уравнение выравнивания по параболе индекса производства продукции сельского хозяйства:
У = 113,04+1,12t -0,09t2
Коэффициент 113,04 — показывает значение выровненного уровня при t = 0, коэффициент 1,12 показывает скорость развития явления, т.е. среднее увеличение индекса производства продукции сельского хозяйствав целом на 1,12 в год, коэффициент-0,09 -увеличение развития явления, т.е. наблюдается снижение роста доли платежей по индексам производства продукции сельского хозяйства в целом на 0,09 (Приложение Д).
Среднее квадратическое отклонение составляет для прямой — 2,73 и 2,6 для параболы, т.е. парабола более точно отражает характер изменения индекса производства продукции сельского хозяйства за изучаемый период.
Видео:Параметрические уравнения прямойСкачать
Трендовые модели и их использование для экономического прогнозирования трудовых показателей
Трендовые модели характеризуют развитие экономической системы через тенденцию (тренд) выбранных основных показателей и отражают набранную инерционность этого развития.
Основная цель создания трендовых моделей экономической динамики заключается в том, чтобы на их основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе временного ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на экстраполяции, т.е. на продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При таком подходе предполагается, что прогнозируемый показатель формируется под воздействием большого количества факторов, которые либо невозможно выделить, либо по ним отсутствует информация. В этом случае ход изменения показателя связывают не с факторами, а с течением времени, что проявляется в образовании одномерных временных рядов. Рассмотрим метод экстраполяции на основе так называемых кривых роста экономической динамики.
Использование метода экстраполяции на основе кривых роста для прогнозирования базируется на трех предположениях:
- 1) временной ряд экономического показателя действительно имеет тренд, т.е. преобладающую тенденцию;
- 2) общие условия, определявшие развитие показателя в прошлом, останутся без существенных изменений в течение периода упреждения;
- 3) модель прогнозирования является адекватной.
В настоящее время насчитывается большое количество типов кривых роста, используемых в качестве моделей экономических процессов. Чтобы правильно подобрать наилучшую кривую роста для моделирования и прогнозирования экономического явления, необходимо знать особенности каждого вида кривых. Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и 5-образные кривые роста.
Простейшие полиномиальные кривые роста имеют вид: 
Параметр а называют линейным приростом, параметр а2 — ускорением роста, параметр аз — изменением ускорения роста.
Для полинома первой степени характерен постоянный закон роста. Если рассчитать первые приросты по формуле щ = yt — yt_, t = 2, 3, . п, то они будут постоянной величиной и равны а.
Если первые приросты рассчитать для полинома второй степени, то они будут иметь линейную зависимость от времени, и ряд из первых приростов и2, «з, . на графике будет представлен прямой линией. Вторые приросты и, (2) = и, — и,_х для полинома второй степени будут постоянны.
Для полинома третьей степени первые приросты будут полиномами второй степени, вторые приросты — линейной функцией времени, а третьи приросты, рассчитываемые по формуле uf ] = w; 2 > —uf_x, — постоянной величиной.
В связи с этим можно отметить следующие свойства полиномиальных кривых роста:
- • от полинома высокого порядка можно путем расчета последовательных разностей (приростов) перейти к полиному более низкого порядка;
- • значения приростов для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции у,.
Таким образом, полиномиальные кривые роста можно использовать для аппроксимации (приближения) и прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.
В отличие от полиномиальных кривых использование экспоненциальных кривых роста предполагает, что дальнейшее развитие зависит от достигнутого уровня, например, прирост зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых: 1) простая экспонента и 2) модифицированная экспонента.
Простая экспонента представляется в виде функции 
где а и b — положительные числа.
При этом если b больше единицы, то функция возрастает вместе с ростом времени t, если b меньше единицы — функция убывает.
Можно заметить, что ордината данной функции изменяется с постоянным темпом прироста. Отношение прироста к ординате есть величина постоянная:
Прологарифмируем выражение для данной функции по любому основанию:
Отсюда можно заметить, что логарифмы ординат простой экспоненты линейно зависят от времени.
Модифицированная экспонента имеет вид:
где постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы. Константа к носит название асимптоты этой функции, т.е. значения функции с возрастанием величины t неограниченно приближаются (снизу) к величине к. Могут быть и другие варианты модифицированной экспоненты, но на практике наиболее часто встречается функция вида (3.6).
Если прологарифмировать первые приросты данной функции, то получится функция, линейно зависящая от времени, а если взять отношение двух последовательных приростов, то оно будет постоянной величиной:
В экономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать некоторого уровня насыщения и др. Для моделирования таких процессов используются так называемые S-образные кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую.
Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение
где а, b — положительные параметры, причем b меньше единицы; к — асимптота функции.
В кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом — прирост функции незначителен, на втором — прирост увеличивается, на третьем участке прирост примерно постоянен, на четвертом — происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к значению к. В результате конфигурация кривой напоминает латинскую букву S.
Логарифм данной функции является экспоненциальной кривой. Логарифм отношения первого прироста к самой ординате функции — линейная функция времени.
На основании кривой Гомперца описывается, например, динамика показателей уровня жизни. Модификации этой кривой используются в демографии для моделирования показателей смертности и т.д.
Логистическая кривая, или кривая Перла—Рида, является возрастающей функцией, которая наиболее часто выражается уравнением вида:
Другие виды этой кривой:
В этих выражениях аи b — положительные параметры; к — предельное значение функции при бесконечном возрастании времени.
Если взять производную данной функции, то можно увидеть, что скорость возрастания логистической кривой в каждый момент времени пропорциональна достигнутому уровню функции и разности между предельным значением к и достигнутым уровнем. Логарифм отношения первого прироста функции к квадрату ее значения (ординаты) есть линейная функция от времени.
Конфигурация графика логистической кривой близка к графику кривой Гомперца, но в отличие от последней логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую с точкой перегиба.
Рассмотрим проблему предварительного выбора вида кривой роста для конкретного временного ряда. Допустим, имеется временной ряд ух, у2, уз, у„.
Наиболее распространенным методом выбора полиномиальной кривой роста того или иного вида является метод конечных разностей (метод Тинтнера). Этот метод может быть использован для предварительного выбора полиномиальной кривой, если, во-первых, уровни временного ряда состоят только из двух компонент — тренда и случайной компоненты, и, во-вторых, тренд является достаточно гладким, чтобы его можно было аппроксимировать полиномом некоторой степени.
На первом этапе этого метода вычисляются разности (приросты) до к-го порядка включительно:
Для аппроксимации экономических процессов обычно вычисляют конечные разности до четвертого порядка.
Затем для исходного ряда и для каждого разностного ряда вычисляют дисперсии по следующим формулам:
• для исходного ряда
• для разностного ряда к-то порядка <к= 1,2, . )
где С** — биномиальный коэффициент.
Производится сравнение отклонений каждой последующей дисперсии от предыдущей, т.е. вычисляются величины
Если для какого-либо к эта величина не превосходит некоторой наперед заданной положительной величины, т.е. дисперсии являются величинами одного порядка, то степень аппроксимирующего полинома должна быть равна к — 1.
Более универсальным методом, который позволяет сделать выбор кривой из широкого класса кривых роста, является метод характеристик приростов. Он основан на использовании отдельных характерных свойств кривых, рассмотренных выше. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней. Например, для интервала сглаживания т = 3 сглаженные уровни рассчитываются по формуле
причем чтобы не потерять первый и последний уровни, их сглаживают по формулам
Затем вычисляются первые средние приросты
вторые средние приросты
а также ряд производных величин, связанных с вычисленными средними приростами и сглаженными уровнями ряда:
В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда, при этом используется табл. 3.4.
На практике в процессе предварительного выбора отбирают обычно две-три кривые роста для дальнейшего исследования и построения трендовой модели данного временного ряда.
Рассмотрим методы определения параметров отобранных кривых роста. Параметры полиномиальных кривых оцениваются, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от соответствующих выравненных по кривой роста значений была наименьшей. Этот метод приводит к системе так называемых нормальных уравнений для определения неизвестных параметров отобранных кривых.
Характер изменения показателя во времени
Видео:Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"Скачать
Метод аналитического выравнивания
Наиболее эффективным методом выявления тенденции развития является аналитическое выравнивание (определение тренда) уровней ряда динамики с построением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освободила его от случайных колебаний.
Сущность метода выравнивания заключается в замене эмпирических (фактических) уровней теоретическими, рассчитанными по уравнению кривой, которая является статистической моделью, описывающей тенденцию развития явления.
Аналитическое уравнение называется кривой роста и представляет собой математическую модель развития явления, которая дает выражение статистической закономерности, проявляющейся в рядах динамики: у = /(?), т.е. зависимость рассматривается только от течения времени.
Метод аналитического выравнивания содержит в себе ряд условностей, связанных прежде всего с тем, что уровни, характеризующие тот или иной динамический ряд, рассматриваются как функция времени. В действительности же развитие явлений обусловлено не тем, сколько времени прошло с начального момента, а тем, какие, в каком направлении и с какой интенсивностью факторы влияли на развитие.
Развитие явлений во времени выступает как внешнее выражение этих факторов, как их суммарное действие, оказывающее влияние на изменение уровня в отдельно взятые промежутки или моменты времени. Выявить основную тенденцию развития можно лишь тогда, когда выяснено, что изменяющиеся во времени процессы протекают на всем рассматриваемом промежутке времени одинаково, что их количественное и качественное изменение происходит под действием одного и того же комплекса основных факторов, определяющих движение данного ряда динамики.
Аналитическое выравнивание производится в три этапа.
1 этап. Исходя из характера динамики и предположения о той или иной закономерности развития явления, осуществляется подбор формы аналитического уравнения (вида кривой), который может быть основан на анализе графического изображения уровней ряда динамики (прямая, парабола, гипербола, показательная, логарифмическая кривая и т.п.). При этом целесообразно использовать графическое изображение сглаженных уровней, в которых погашены случайные колебания. Подобранное уравнение аналитически должно выражать основные черты фактической динамики, предполагаемую закономерность изменения уровня во времени.
Основанием для выбора формы кривой служит анализ сущности отображаемого явления. Однако на практике из нескольких типов линий, достаточно близко выражающих тенденцию, выбирают более простую. Принцип «простоты» обоснован тем, что чем сложнее уравнение линии тренда, тем большее число параметров оно содержит, тем при равной степени приближения труднее дать надежную оценку этих параметров по ограниченному числу уровней ряда и тем больше будут ошибки оценки этих параметров, а также ошибки прогнозируемых уровней.
Выравнивание по прямой осуществляется в тех случаях, когда абсолютные цепные приросты в среднем более или менее постоянны и не проявляют тенденции к увеличению или снижению (разности первого порядка равны нулю), т.е. когда уровни ряда динамики изменятся приблизительно в арифметической прогрессии.
Практика показывает, что такой характер динамики встречается достаточно часто. Это связано с тем, что многие социально-экономические явления зависят от большого числа различных факторов, одни из которых влияют на ускоренный рост, другие — на замедленный рост, а третьи — в направлении сокращения уровней. Влияние разноплановых и разноускоренных сил факторов взаимно усредняется, частично взаимно погашается, а равнодействующая их влияний приобретает характер, близкий к равномерной тенденции.
Параболическая зависимость, выраженная параболой второго порядка, используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка равны нулю) никакой тенденции не проявляют.
Парабола второго порядка используется для описания рядов динамики, в которых меняется направление развития: со снижения показателей на их рост, и наоборот.
Чем выше порядок параболы, тем ближе линия тренда к условиям исходного временного ряда, т.е. любой ряд из п уровней может быть точно отображен параболой (п — 1)-го уровня. Однако параболы третьего и более высоких порядков редко применяются на практике для выражения тенденции динамики, так как в результате их использования происходит смешивание тренда с колебаниями и, кроме того, эти типы уравнений сложны для получения надежных оценок параметров.
Выравнивание по показательной и экспоненциальной функции производится, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные темпы роста более или менее постоянные.
Экспоненциальный тренд характерен для процессов, развивающихся в среде, не создающей никаких ограничений для роста уровня. По своему существу экспоненциальное — это предельно возможное, предельно благоприятное по условиям развитие. Из этого следует, что он может иметь место только на ограниченном промежутке времени, так как рано или поздно среда создаст ограничения либо будут исчерпаны все необходимые для роста ресурсы. Например, на протяжении 1950—1985 гг. численность населения Земли возрастала примерно по экспоненте со средним темпом роста в 1,018 раза и за это время возросла вдвое — с 2,5 млрд до 5 млрд человек. В настоящее время темп роста населения постепенно уменьшается.
В экономике экспоненциальный рост наблюдается, например, по выпуску и реализации новых видов продукции, но когда рынок наполняется, то экспоненциальный рост прекращается.
Для указанных типов кривых М.С. Каяйкинойи АИ. Манеллейбыла разработана методика проверки статистических гипотез о типе тренда:
- 1) провести сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней;
- 2) по ряду сглаженных уровней вычислить цепные абсолютные приросты для прямой, ускорения — для параболы, темпы роста — для экспоненты;
- 3) разбить ряд на несколько примерно равных периодов, и для каждого вычислить средний уровень, постоянство которого подтверждает гипотезу о выборе тренда: средний абсолютный прирост — для прямой, среднее ускорение — для параболы, средний темп — для экспоненты;
- 4) используя дисперсионный анализ при многих средних значениях или по i-критерию при двух значениях проверяемого параметра, проверить существенность различия средних значений параметра в разных подпериодах исходного ряда. Если гипотеза о несущественности различий средних величин параметра в разных подпериодах не отклоняется, то принимается гипотеза о соответствующем типе тренда.
Если различия признаются существенными, то гипотеза о данном типе тренда отвергается и выдвигается следующая гипотеза в порядке усложнения: после отклонения прямой линии — об экспоненте, после отклонения экспоненты — о параболе, при отклонении параболы — о других типах линий.
Гиперболический тренд используется в том случае, когда значения показателя не могут стремиться или достичь, с одной стороны нуля, а с другой — а0. Например, снижение материальных или временных затрат на единицу продукции не может стремиться к нулю, мощность оборудования не может быть использована более чем на 100%.
В любом случае гиперболический тренд описывает тенденцию такого процесса, показатели которого со временем затухают.
Логистический тренд применяется для описания такого процесса, который проходит полный курс развития: начиная с нулевого уровня, сначала медленно, но с ускорением возрастая по параболе, затем в середине цикла ускорение становится нулевым, т.е. рост происходит по линейному тренду, а в завершающей части цикла по мере приближения к предельному значению рост замедляется по гиперболе.
Логистический тренд часто называется S-образной кривой.
Современные компьютерные программы по анализу временных рядов позволяют автоматически определять тип модели, адекватной исходным данным.
2 этап. После выбора формы кривой необходимо вычислить ее параметры. Расчет параметров производится различными методами: избранных точек; наименьших расстояний; конечных разностей; наименьших квадратов.
Наиболее простым методом определения параметров уравнения, описанного полиномом или экспонентой, является решение системы уравнений по известным уровням ряда динамики. Для построения линейного тренда берут две точки, как правило, конечный и начальный уровни, для параболы — три точки и т.д. и затем по ним, решая систему уравнений, строят модель тренда.
Метод линейных отклонений заключается в следующем:
1) разделить ряд на две примерно равные части так, чтобы сумма
выравненных значений в каждой части 
совпала с суммой фактических значений 
2) в случае прямой получаем: 
3) применяя равенство 7.36 к каждой из двух частей, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными: а0 — начальный уровень, а, — скорость ряда.
Метод конечных разностей применяется для полиномов р-й степени, для которых рассчитывают первые, вторые, третьи и т.д. разности. Первые разности представляют собой абсолютный прирост, вторые — абсолютный прирост абсолютных приростов и т.д. Выводы о выборе типа тренда полинома (прямой, параболы второго, третьего и т.д. порядка) описаны в первом этапе проведения аналитического выравнивания.
Чтобы исключить в динамических рядах вариацию данных, вызванную внешними причинами, немецкий статистик В. Лексис предложил использовать метод наименьших квадратов (МНК), наиболее часто применяемый в настоящее время на практике. Его основная задача заключается в том, чтобы из бесконечного числа кривых выбранного вида найти ту, которая обращает в минимум сумму квадратов отклонений фактических уровней динамического ряда от соответствующих им во времени выравненных уровней:
где у — фактические уровни ряда динамики;
у( — соответствующие фактическим выравненные (теоретические) уровни, расположенные на искомой кривой.
Кроме того: 
Параметры кривой, удовлетворяющей этому условию, могут быть найдены путем решения системы нормальных уравнений.
Если фактические уровни динамического ряда изобразить графически в виде ломаной линии (эмпирической линии), то искомая кривая, изображающая плавное изменение уровня, должна подходить к вершинам ломаной в среднем ближе, чем любая кривая данного вида.
По поводу построения теоретической кривой Ф. Энгельс писал: «Если вы начертите среднюю ось кривой, то найдете, что чем длиннее изучаемый период, чем шире изучаемая область, тем более приближается эта ось к оси экономического развития, тем более параллельно ей она идет» [29, с. 471].
Из множества возможных уравнений тренда необходимо выбрать то уравнение, которому соответствует минимальное значение средней ошибки аппроксимации’.
Средняя ошибка аппроксимации показывает, насколько близко аналитическая функция выравнивания огибает все значения исходного ряда.
3 этап. На основе найденного уравнения кривой рассчитывают выравненные уровни, соответствующие во времени фактическим уровням ряда динамики, проводится анализ полученной модели и составляется прогноз.
Отклонения фактических уровней ряда динамики от выравненных (расчетных) используются для характеристики колеблемости фактических уровней около тренда.
Абсолютным показателем колеблемости является среднее квадратическое отклонение фактических значений уровней от расчетных
( ), которое называют средней квадратической ошибкой тренда. Она
рассчитывается по формуле
где р — число параметров кривой роста.
Относительным показателем колеблемости является коэффициент вариации средней квадратической ошибки тренда 
: 
Для оценки надежности, близости трендового уравнения эмпирическому ряду динамики применяется F-критерий Фишера:
где k — число параметров функции, описывающей тенденцию; п — число уровней ряда;
о, 2 „ — остаточная дисперсия находится по формуле
F-критерий можно рассчитать, используя теоретический коэффициент детерминации:
где 
Фактический уровень сравнивается с критическим (табличным) при V, = i — 1 и 2 = п — k степенями свободы и уровне значимости а (обычно а = 0,05). Если F,taKT > FKpm, то построенное уравнение значимо, т.е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции.
Таким образом, технически выравнивание заключается в замене фактических уровней такими плавно изменяющимися уровнями, которые в среднем менее всего отклонялись бы от фактических и имели бы определенное выражение, соответствующее общему направлению и характеру тренда.
Аналитическое выравнивание по прямой. Самым простым типом линии тренда является прямая линия, описываемая линейным уравнением. Рассмотрим методику выравнивания ряда динамики по прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
где у( — выравненные, т.е. лишенные колебаний, уровни тренда.
Параметры а0 и ах искомой прямой, удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находятся путем решения следующей системы нормальных уравнений:
где у — фактические (эмпирические) уровни ряда динамики; п — число уровней;
С — время (порядковый номер интервала или момента времени).
Расчет параметров значительно упростится, если за начало отсчета времени принять центральный интервал (или момент) рассматриваемого ряда (т.е. изменить систему отсчета времени таким образом, чтобы Y,t = 0).
При нечетном числе уровней хронологические показатели заменяются следующими числовыми аналогами (t) (табл. 7.18):
Если число уровней четное, то числовые аналоги (t) хронологических показателей будут следующие (табл. 7.19):
Такое изменение равнозначно измерению времени не в годах, а в полугодиях, при этом параметр а, характеризует средний прирост уровня за полугодие.
Так как 
то система нормальных уравнений примет вид: 
Параметр ах в трендовом уравнении называется коэффициентом регрессии. Он определяет направление развития явления:
- — при а, > 0 — уровни ряда динамики равномерно возрастают;
- — при я, 2
🎦 Видео
Уравнение прямой и его графическая интерпретацияСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать
Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать
Уравнение прямой по графику. ПримерыСкачать
Составляем уравнение прямой по точкамСкачать
Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
§49 Параметрические уравнения прямойСкачать
Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Прогнозирование в Excel с помощью линий трендаСкачать
9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать
Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать
#12. Крутое уравнение с параметром и модулем из ЕГЭ!Скачать
Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать
Видеоурок "Общие уравнения прямой"Скачать
Видеоурок "Нормальное уравнение прямой"Скачать
