Если определитель матрицы не равен 0 то система уравнений (6 видео)

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Содержание

Формулы Крамера
Три случая при решении систем линейных уравнений
Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера
Применить метод Крамера самостоятельно, а затем посмотреть решения
К началу страницы
Пройти тест по теме Системы линейных уравнений
Продолжаем решать системы методом Крамера вместе
Если определитель матрицы не равен 0 то система уравнений
Решение систем линейных уравнений
Матрица системы — квадратная (m=n)
Определитель матрицы системы не равен 0
Определитель матрицы системы равен 0.
Матрица системы не квадратная $(mneq n)$
🎦 Видео

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Формулы Крамера

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

Найти значения и возможно только при условии, если

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

. (2)

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Видео:5 способов вычисления определителя ★ Какой способ лучше?Скачать

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

* ,

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

** .

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Применить метод Крамера самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 4. Решить систему линейных уравнений:

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Видео:Свойства определителя - bezbotvyСкачать

К началу страницы

Видео:§11 Свойства определителейСкачать

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Видео:Решение матричных уравненийСкачать

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Здесь a — некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Пример 9. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Внимание! Методы вычисления определителей четвёртого порядка здесь объясняться не будут. За этим — на соответствующий раздел сайта. Но небольшие комментарии будут. Решение. Находим определитель системы:

Небольшой комментарий. В первоначальном определителе из элементов второй строки были вычтены элементы четвёртой строки, из элементов третьей строки — элементы четвёртой строки, умноженной на 2, из элементов четвёртой строки — элементы первой строки, умноженной на 2. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Находим определители при неизвестных

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки были вычтены элементы четвёртой строки.

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (1; 1; -1; -1).

Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

Если определитель матрицы не равен 0 то система уравнений

Дадим ряд необходимых определений.

Система линейных уравнений называется неоднородной, если хотя бы один ее свободный член отличен от нуля, и однородной, если все ее свободные члены равны нулю.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел, который, будучи подставленным вместо переменных в систему, обращает каждое ее уравнение в тождество.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Рассмотрим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений, имеющую при n = m следующий общий вид:

Главной матрицей A системы линейных алгебраических уравнений называется матрица, составленная из коэффициентов, стоящих при неизвестных:

Определитель главной матрицы системы называется главным определителем и обозначается ∆.

Вспомогательный определитель ∆ _i получается из главного определителя путем замены i -го столбца на столбец свободных членов .

Теорема 1.1 (теорема Крамера). Если главный определитель системы линейных алгебраических уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

Если главный определитель ∆=0, то система либо имеет бесконечное множество решений (при всех нулевых вспомогательных определителях), либо вообще решения не имеет (при отличии от нуля хотя бы одного из вспомогательных определителей).

В свете приведенных выше определений , теорема Крамера может быть сформулирована иначе: если главный определитель системы линейных алгебраических уравнений отличен от нуля, то система является совместной определенной и при этом ; если главный определитель нулевой, то система является либо совместной неопределенной (при всех ∆ _i = 0), либо несовместной (при отличии хотя бы одного из ∆ _i от нуля).

После этого следует провести проверку полученного решения.

Пример 1.4. Решить систему методом Крамера

Решение. Так как главный определитель системы

отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители

Воспользуемся формулами Крамера (1.6):

Пример 1.5. Данные дневной выручки молочного цеха от реализации молока, сливочного масла и творога за три дня продаж (на 2017 год) занесены в таблицу 1.4.

Определить стоимость 1 единицы продукции молокоцеха каждого вида.

Решение. Обозначим через x – стоимость 1 литра молока, y – 1 кг сливочного масла, z – 1 кг творога. Тогда, учитывая данные таблицы 1.4, выручку молочного цеха каждого из трех дней реализации можно отобразить следующей системой:

Решим систему методом Крамера. Найдем главный определитель системы по формуле (1.2):

Так как он отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители с помощью формулы (1.2):

По формулам Крамера (1.6) имеем:

Вернувшись к обозначениям, видим, что стоимость 1 литра молока равна 44 рубля, 1 кг масла – 540 рублей, 1 кг творога – 176 рублей

Примечание. Как видно, процесс вычисления определителей вручную с помощью калькулятора трудоемок, поэтому на практике используют персональный компьютер. Так, для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера в MS Excel высчитывают ее главный и вспомогательные определители с использованием функции МОПРЕД( ), где аргументом является диапазон ячеек и элементы матрицы, определитель которой находится.

В MathCAD для нахождения определителя пользуются палитрой оператора Matrix

Видео:Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Решение систем линейных уравнений

Системы линейных уравнений имеют следующий общий вид:

$ begin a_cdot x_ + a_cdot x_ + a_cdot x_ + cdots a_ cdot x_ =b_ \ a_cdot x_ + a_cdot x_+ a_cdot x_ + cdots + a_cdot x_ = b_ \ a_cdot x_ + a_cdot x_+a_cdot x_+ cdots + a_cdot x_=b_ \ cdots\ a_cdot x_+ a_cdot x_+a_cdot x_+cdots + a_cdot x_ =b_ end$

$ A= begin a_ & a_ & a_ & . & . & a_ \ a_ & a_ & a_ & . & . & a_ \ a_ & a_ & a_ & . & . & a_ \ cdots \ a_ & a_ & a_ & . & . & a_ end$ — матрица системы, а $b_, b_,b_ cdots b_$ — свободные члены системы.

Если все свободные члены равны 0, то система однородна.

Видео:Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Матрица системы — квадратная (m=n)

Надо вычислить определитель матрицы системы.

$Delta = begin a_ & a_ & a_ & . & . & a_ \ a_ & a_ & a_ & . & . & a_ \ a_ & a_ & a_ & . & . & a_ \ cdots \ a_ & a_ & a_ & . & . & a_ end$

Видео:9. Вычисление ранга методом окаймляющих миноровСкачать

Определитель матрицы системы не равен 0

Система называется невырожденной системой с единственным решением. Чтобы найти решение системы, используем метод Крамера.

Вычислим $ Delta_<x_>$ — определитель матрицы, полученной заменой столбца с коэффициентами соответствующей переменной $x_$ столбцом свободных членов.
$Delta_<x_>= begin b_ & a_ & a_ & . & . & a_ \ b_ & a_ & a_ & . & . & a_ \ b_ & a_ & a_ & . & . & a_ \ cdots \ b_ & a_ & a_ & . & . & a_ end$

Вычислим $ Delta_<x_>$ — определитель матрицы, полученной заменой столбца с коэффициентами соответствующей переменной $x_$ столбцом свободных членов.
$Delta_<x_>= begin a_ & b_ & a_ & . & . & a_ \ a_ & b_ & a_ & . & . & a_ \ a_ & b_ & a_ & . & . & a_ \ cdots \ a_ & b_ & a_ & . & . & a_ end$

Вычислим $ Delta_<x_>$ — определитель матрицы, полученной заменой столбца с коэффициентами соответствующей переменной $x_$ столбцом свободных членов.
$Delta_<x_>= begin a_ & a_ & b_ & . & . & a_ \ a_ & a_ & b_ & . & . & a_ \ a_ & a_ & b_ & . & . & a_ \ cdots \ a_ & a_ & a_ & . & . & a_ end$

Продолжаем делать это с остальными переменными, и в конце-концов записываем решение системы.
$x_=dfrac<Delta_<x_>>$

Пример 53
$begin 2cdot x + 3cdot y -5cdot z = color\ -3 cdot x + 2cdot y + z = color\ 4cdot x — y + 2cdot z = color end$

Матрица системы:
$ begin 2 & 3 & -5\ -3 & 2 & 1\ 4 & -1 & 2 end$

Вычисляем определитель матрицы и получаем $Delta = 8 -15 + 12 +40 +2 + 18 = 65$
Вычисляем $ Delta_= begin color & 3 & -5\ color & 2 & 1\ color & -1 & 2 end= -28 — 45 + 51 + 170 — 7 +54 = 195$

Вычисляем $ Delta_= begin 2 & color & -5\ -3 & color & 1\ 4 & color & 2 end=-36 + 255 -28 -180 -34 -42 = -65$

Вычисляем $ Delta_= begin 2 & 3 &color\ -3 & 2 & color\ 4 & -1 & color end= 68 -21 -108 + 56 -18 + 153 =130$

Пример 54
$begin 4cdot x + 5cdot y -2cdot z = color\ -2 cdot x + 3cdot y — z = color\ -1cdot x — 2cdot y + 3cdot z = color end$

Матрица системы: $ begin 4 & 5 & -2\ -2 & 3 & -1\ -1 & -2 & 3 end$

Вычисляем определитель матрицы и получаем $Delta = 36 -8 + 5 -6 -8 + 30 = 49$

Вычисляем $ Delta_= begin color & 5 & -2\ color & 3 &1\ color & -2 & 3 end= 27 — 12 + 25 — 30 — 6 + 45 = 49$

Вычисляем $ Delta_= begin 4 & color & -2\ -2 & color & -1\ -1 & color & 3 end=-36 -20+ 3 +6 -20 + 18 = -49$

Вычисляем $ Delta_= begin 4 & 5 & color\ -2 & 3 & color\ -1& -2 & color end= -60 + 12 + 15 + 9 — 24 -50 = — 98$

Если система однородна, то ее решение есть , потому что в матрицах, определителями которых являются $Delta_$,$Delta_$ и $Delta_$, есть столбцы из одних нулей, следовательно, эти определители равны 0.

Пример 55
$begin 2cdot x + 3cdot y -5cdot z = color\ -3 cdot x + 2cdot y + z = color\ 4cdot x — y + 2cdot z = color end$

Матрица системы:
$ begin 2 & 3 & -5\ -3 & 2 & 1\ 4 & -1 & 2 end$

Вычисляем определитель матрицы и получаем $Delta = 8 -15 + 12 +40 +2 + 18 = 65 $

Видео:Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Определитель матрицы системы равен 0.

Вычисляем ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы (исходной матрицы, к которой добавлен столбец свободных членов).

Возможны следующие варианты:

Если ранги этих матриц различны, то система не имеет решения. Это несовместная система.
Если ранги равны, то система совместна и имеет бесконечное множество решений.

Решение системы находится следующим образом:

Минор соответствующего ранга становится базисным минором.
Переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными (основными) переменными. Остальные переменные становятся свободными (неосновными), обозначаются другими буквами и переносятся в правую часть уравнений.
Уравнения, содержащие базисный минор, становятся базисными уравнениями.
Решаем систему, состоящую только из базисных уравнений, и находим решение системы, которое будет зависеть от неосновных переменных.
Записываем решение.

Пример 56
$begin 2cdot x + 3cdot y +2cdot z = color\ -3 cdot x + 2cdot y -3 cdot z = color\ 4cdot x — y + 4cdot z = color end$

Матрица системы:
$begin 2 & 3 & 2\ -3 & 2 & -3\ 4 & -1 & 4 end$

Вычисляем ранг матрицы:
$ 2neq 0$

$begin 2 & 3\ -3 & 2 end= 4 + 9 =13 neq0$

$begin 2 & 3 & 2\ -3 & 2 & -3\ 4 & -1 & 4 end=0 $ (матрица имеет два равных столбца, следовательно, ее ранг равен 2)

Расширенная матрица:
$begin 2 & 3 & 2 & color\ -3 & 2 & -3 & color\ 4 & -1 & 4 & color end$

Вычисляем ранг расширенной матрицы:
$ 2neq 0$

$begin 2 & 3\ -3 & 2 end= 4 + 9 =13 neq0$

$begin 2 & 3 & 2\ -3 & 2 & -3\ 4 & -1 & 4 end=0$
$begin 2 & 3 & color\ -3 & 2 & color\ 4 & -1 & color end=0 $ (матрица имеет два равных столбца, следовательно, ее ранг равен 2)

Поскольку ранги равны, система совместна и имеет бесконечное множество решений. Минор соответствующего ранга становится базисным минором.
$ Delta_

= begin 2 & 3\ -3 & 2 end$

Переменные x и y, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными переменными, а z становится неосновной переменной. Пусть $z=alpha$. Первые два уравнения, в которых находится базисный минор, становятся базисными уравнениями. Решаем систему, состоящую из базисных уравнений.
$begin 2cdot x + 3cdot y +2cdot alpha = 5\ -3 cdot x + 2cdot y -3 cdotalpha = -1\ end=$ $begin 2cdot x + 3cdot y = 5 — 2cdot alpha\ -3 cdot x + 2cdot y = -1 + 3cdotalpha\ end$

Умножаем первое уравнение на 3, а второе на 2.
$begin 6cdot x + 9cdot y = 15 — 6cdot alpha\ -6 cdot x + 4cdot y = -2 + 6 cdot alpha \ end$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$ 13cdot y = 13 Rightarrow y = dfrac = 1$

Умножаем первое уравнение на -2, а второе на 3.
$ begin -4cdot x — 6cdot y = -10 + 4cdot alpha\ -9 cdot x + 6cdot y = -3 + 9 cdot alpha \ end$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$ -13cdot x = 13 Rightarrow y = dfrac = alpha -1$
Решение системы: $$

Пример 57
$begin 2cdot x + y +5cdot z = color\ 3 cdot x + 2cdot y +2 cdot z = color\ 7cdot x +y + 12cdot z = color end$

Матрица системы:
$begin 2 & 1 & 5\ 3 & 2 & 2\ 7 & 4 & 12 end$

Вычисляем ранг матрицы:
$ 2neq 0$
$begin 2 & 1\ 3 & 2 end= 4 — 3 =1 neq0$

$begin 2 & 1 & 5\ 3 & 2 & 2\ 7 & 4 & 12 end= 48 + 60 + 14 — 70 -16 -36 =0 $ (следовательно, ранг равен 2)

Расширенная матрица:
$begin 2 & 1 & 5 & color\ 3 & 2 & 2 & color\ 7 & 4 & 12 & color end$

Вычисляем ранг расширенной матрицы:
$ 2neq 0$
$begin 2 & 1\ 3 & 2 end= 4 -3 =1 neq0$

$begin 2 & 1 & 5\ 3 & 2 & 2\ 7 & 4 & 12 end=0$

$begin 2 & 1 & color\ 3 & 2 & color\ 7 & 4 & color end= 8 + 36 + 7 — 42 -8 -6 = -5neq 0 $

Ранг расширенной матрицы равен 3.

Поскольку ранги этих матриц различны, система не имеет решения. Это несовместная система. Однородная система всегда совместна и имеет бесконечное множество решений, поскольку ранг расширенной матрицы, содержащей столбец из одних нулей, всегда совпадает с рангом матрицы системы.

Пример 58
$begin 2cdot x + 3cdot y +2cdot z = color\ -3 cdot x + 2cdot y -3 cdot z = color\ 4cdot x — y + 4cdot z = color end$

Матрица системы:
$begin 2 & 3 & 2\ -3 & 2 & -3\ 4 & -1 & 4 end$

Вычисляем ранг матрицы:
$ 2neq 0$
$begin 2 & 3\ -3 & 2 end= 4 + 9 = 13 neq0$

$ begin 2 & 3 & 2\ -3 & 2 & -3\ 4 & -1 & 4 end=0 $ (матрица имеет два равных столбца, следовательно, ее ранг равен 2)

Расширенная матрица:
$begin 2 & 3 & 2 & color\ -3 & 2 & -3 & color\ 4 & -1 & 4 & color end$

Вычисляем ранг расширенной матрицы:
$ 2neq 0$
$begin 2 & 3\ -3 & 2 end= 4 + 9 =13 neq0$

$begin 2 & 3 & 2\ -3 & 2 & -3\ 4 & -1 & 4 end=0$

$ begin 2 & 3 & color\ -3 & 2 & color\ 4 & -1 & color end=0 $ (матрица включает столбец из одних нулей, следовательно, ее ранг равен 2)

= begin 2 & 3\ -3 & 2 end$

Переменные x и y, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными переменными, а z становится неосновной переменной. Пусть $z=alpha$. Первые два уравнения, в которых находится базисный минор, становятся базисными уравнениями. Решаем систему, состоящую из базисных уравнений.
$begin 2cdot x + 3cdot y +2cdot alpha = 0\ -3 cdot x + 2cdot y -3 cdotalpha = 0\ end=$ $begin 2cdot x + 3cdot y = — 2cdot alpha\ -3 cdot x + 2cdot y = 3cdotalpha\ end$

Умножаем первое уравнение на 3, а второе на 2.
$begin 6cdot x + 9cdot y = -6cdot alpha\ -6 cdot x + 4cdot y = 6 cdot alpha \ end$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$13cdot y = 0 Rightarrow y = dfrac = 0$
Делаем то же самое, чтобы найти x. Умножаем первое уравнение на -2, а второе на 3.
$ begin -4cdot x — 6cdot y = 4cdot alpha\ -9 cdot x + 6cdot y =9 cdot alpha \ end$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$ -13cdot x = 13 Rightarrow y = dfrac = -alpha$
Решение системы: $ $

Видео:Математика без Ху!ни. Как вычислить определитель.Скачать

Матрица системы не квадратная $(mneq n)$

Возможны следующие варианты:

Если ранг этих матриц различен, то система не имеет решения. Это несовместная система.
Если ранги равны, то система совместна и имеет бесконечное множество решений.
Решение системы находится следующим образом:
- Минор соответствующего ранга становится базисным минором.
- Переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными (основными) переменными. Остальные переменные становятся свободными (неосновными), обозначаются другими буквами и переносятся в правую часть уравнений.
- Уравнения, содержащие базисный минор, становятся базисными уравнениями.
- Решаем систему, состоящую только из базисных уравнений, и находим решение системы, которое будет зависеть от неосновных переменных.
- Записываем решение.

Пример 59
$begin 2cdot x + 3cdot y +2cdot z = color\ -3 cdot x + 2cdot y -3 cdot z = color\ end$

Матрица системы:
$begin 2 & 3 & 2\ -3 & 2 & -3\ end$

Вычисляем ранг матрицы:
$ 2neq 0$
$begin 2 & 3\ -3 & 2 end= 4 + 9 =13 neq0$ (ранг равен 2)

Расширенная матрица:
$begin 2 & 3 & 2 & color\ -3 & 2 & -3 & color\ end$

Вычисляем ранг расширенной матрицы:
$ 2neq 0$
$begin 2 & 3\ -3 & 2 end= 4 + 9 =13 neq0$ (ранг также равен 2)

Поскольку ранги равны, система совместна и имеет бесконечное множество решений. Минор соответствующего ранга становится базисным минором.

$begin 2cdot x + 3cdot y +2cdot alpha = 5\ -3 cdot x + 2cdot y -3 cdotalpha = -1\ end=$ $begin 2cdot x + 3cdot y = 5 — 2cdot alpha\ -3 cdot x + 2cdot y = -1 + 3cdotalpha\ end$

Умножаем первое уравнение на 3, а второе на 2.
$begin 6cdot x + 9cdot y = 15 — 6cdot alpha\ -6 cdot x + 4cdot y = -2 + 6 cdot alpha \ end$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$ 13cdot y = 13 Rightarrow y = dfrac = 1$
Делаем то же самое, чтобы найти x. Умножаем первое уравнение на -2, а второе на 3.
$ begin -4cdot x — 6cdot y = -10 + 4cdot alpha\ -9 cdot x + 6cdot y = -3 + 9 cdot alpha \ end$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$-13cdot x = 13 Rightarrow y = dfrac = alpha -1$
Решение системы: $$

Пример 60
$begin 2cdot x + 3cdot y = color\ -3 cdot x + 2cdot y = color\ 4cdot x — y = color end$

Матрица системы:
$begin 2 & 3 \ -3 & 2 \ 4 & -1 end$

Вычисляем ранг матрицы:
$2neq 0$
$begin 2 & 3\ -3 & 2 end= 4 + 9 =13 neq0$ (ранг равен 2)

Расширенная матрица:
$begin 2 & 3 & color\ -3 & 2 & color\ 4 & -1 & color end$

Вычисляем ранг расширенной матрицы:
$2neq 0$
$begin 2 & 3\ -3 & 2 end= 4 + 9 =13 neq0$
$begin 2 & 3 & color\ -3 & 2 & color\ 4 & -1 & color end=0 $ (матрица имеет два равных столбца, следовательно, ее ранг равен 2)

= begin 2 & 3\ -3 & 2 end$

Переменные x и y, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными переменными, а z становится неосновной переменной. Система не имеет неосновных переменных. Первые два уравнения, в которых находится базисный минор, становятся базисными уравнениями. Решаем систему, состоящую из базисных уравнений.
$begin 2cdot x + 3cdot y = 5\ -3 cdot x + 2cdot y = -1\ end$

Умножаем первое уравнение на 3, а второе на 2.
$begin 6cdot x + 9cdot y = 15\ -6 cdot x + 4cdot y = -2 \ end$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$13cdot y = 13 Rightarrow y = dfrac = 1$
Делаем то же самое, чтобы найти x. Умножаем первое уравнение на -2, а второе на 3.
$ begin -4cdot x — 6cdot y = -10\ -9 cdot x + 6cdot y = -3\ end$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$ -13cdot x = -13 Rightarrow y = dfrac = 1$
Убедимся, что результаты удовлетворяют неосновному уравнению.
$4cdot1 -1cdot1 = 3$
Решение системы: $$